实际问题与二次函数(中考复习专题)
2023年九年级中考数学复习：实际问题与二次函数(拱桥问题)专训(附答案)
试卷第1页，共6页2023年九年级中考数学复习：实际问题与二次函数（拱桥问题）训练一、单选题1．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ，请根据所给的数据，则支柱MN 的长度为（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．62．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m3．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2D ．34．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的试卷第2页，共6页顺利航行( ) A ．2.76米B ．7米C ．6米D ．6.76米5．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB 位置时，拱顶（即抛物线的顶点）离水面2m ，水面宽为4m ，水面下降1m 后，水面宽为（ ） A ．5mB ．6mC．6mD ．26m6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ） A ．2.76米B ．6.76米C ．6米D ．7米7．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ） A ．2254y x =B ．2254y x =- C ．2425y x =-D ．2425y x =8．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米二、填空题9．某古城门断面是由抛物线与矩形组成（如图），一辆高为h 米，宽为2.4米的货车通过该古城门，则h 的最大值是___ __米．试卷第3页，共6页10．拱桥截面是一条抛物线，如图所示，现测得水面宽AB=16m ，拱顶O 到水面的距离为8m ，在图中的直角坐标系内，拱桥所在抛物线的解析式是________11．如图，是某座抛物线型桥的示意图，已知抛物线的函数表达式为211036y x =-+，为保护桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8.5米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是________米（结果保留根号）．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．13．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12 m ，宽为5 m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8 m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为_____.试卷第4页，共6页14．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，当水位上涨1m 时，水面宽CD 为m ，则桥下的水面宽AB 为_____m ．15．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高为________．（水泥建筑物厚度不计，精确到1米）；16．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x 轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m 时，此时水面的宽度增加了_____m （结果保留根号）．三、解答题17．如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB 为4m ，跨度OC 为10m ．试卷第5页，共6页(1)请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． (2)如图，在AB 右边1m 的D 处所对应桥洞离水面的高是多少？18．有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离． (3)隧道内设双向单车道（中间有一条隔离带，隔离带宽度忽略不计），一辆满载后车身宽2.5m ，高2.8m 的卡车能否安全通过？19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面1AA 的距离为8m ，建立如图所示平面直角坐标系．(1)求该抛物线的表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)一辆大型货运汽车装载大型设备后高为7m ，宽为4m ．如果该隧道设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？试卷第6页，共6页20．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m ，宽为4m ，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为216y x c =-+（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E 到地面BC 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米?答案第7页，共1页参考答案：1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B 9．5.64 10．218y x =-11．6612．2.76 13．y ＝－2112x ＋8 14．6 15．6.9 16．6﹣4． 17．(1)()245425y x =--+； (2)962518．(1)238y x =-(2)灯与点B 的距离为7.5m(3)车身宽2.5m ，高2.8m 的卡车能安全通过19．(1)21812y x =-+，66x -≤≤ (2)不能安全通过，20．（1）抛物线的表达式为21106y x =-+，拱顶E 到地面BC 的距离为10m ；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是3。
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案
中考数学高频考点《实际问题与二次函数》专项练习题-带答案一、单选题1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．5米B．10米C．1米D．2米2．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（）A．6米B．5米C．4米D．1米3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣ x2D．y= x24．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2A．45B．83C．4 D．565．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y= √32x2B．y= √3x2C．y=2 √3x2D．y=3 √3x26．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，正方形ABCD的顶点A（0，√22），B（√22，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤√2），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（）A．B．C．D．8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间t（单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t=1.5s时，小球的高度h=30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④二、填空题9．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了米．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的取值范围是。
九年级数学 中考专题训练 实际问题与二次函数
九年级数学中考专题训练实际问题与二次函数1．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为60元时，可售出300套．应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．(1)若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写表格：时间第一个月第二个月销售定价(元/套)60 ______销售量(套)300 ______(2)若商店预计要在第二个月的销售中获利4000元，则第二个月销售定价每套多少元？(3)若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少？此时第二个月的最大利润是多少？2．如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围住，在BC边开个门（宽度为1米），MN的长度为15m，(1)为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积达到112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少？(2)当猪圈的长与宽分别是多少时，猪圈的面积达到最大？3．某品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？4．某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？5．有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？6．如图1所示为某公司生产的A型活动板房，成本是每个395元，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD=米，宽3AB=米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米．(1)按如图1所示建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式．(2)现将A 型活动板房改为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户框架FGMN ，点G 、M 在AD 上，点N 、F 在抛物线上，长方形窗户框架的成本为10元/米，设(),0M m ，且满足112m ≤≤，当窗户框架FGMN 的周长最大时，每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本＋一扇长方形窗户框架FGMN 成本）(3)根据市场调查，以单价600元销售（2）中窗户框架周长最大时的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润W （元）最大？最大利润是多少？7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售肉粽的利润（单位：元）．(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x 满足5060x ≤≤，求商家每天的最大利润．8．北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 做水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线21144:1233C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者琪琪从点O 正上方A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当琪琪滑到离A 处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为172米，则b =______，c =______． (2)在（1）的条件下，当琪琪滑出后离A 的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为43米？ (3)琪琪若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．9．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 每千克售价x （元）… 25 30 35 … 日销售量y （千克） … 102 92 82 …(1)直接写出y 与x 之间的函数表达式______；(2)该超市要想获得1280元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大并求出最大利润．10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=8cm ，点D 是AB 中点，连接CD ，动点P 从点C 5cm/s 的速度向终点D 运动．过点P 作PE⊥BC 于E ，以PE 、PD 为邻边作平行四边形PDFE ．设点P 的运动时间为t （s ），平行四边形PDFE 的面积为S （cm 2）．(1)求CD 的长；(2)求S 关于t 的函数解析式，并求出S 的最大值．11．在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB ，CD 垂直于水平地面上，在AB ，CD 间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线2120y x bx c =++，已知绳子最低点距离地面74米．以点B 为坐标原点，直线BD 为x 轴，直线AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB 的长度；(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD 之间与AB 相距4米的地方加上一根立柱MN 撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线1F 的最低点相对点A 下降了1米，距立柱MN 也是1米，如图2所示，求MN 的长；(3)若加在线段BD 之间的立柱MN 的长度是2.4米，并通过调整MN 的位置，使抛物线1F 的开口大小与抛物线21112y x =+的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN 与CD 的距离．12．如图，排球运动场的场地长18m ，球网在场地中央且高度为2.24m ，球网距离球场左、右边界均为9m ．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为hm ，当排球运动到水平距离球网3m 时达到最大高度2.5m ，建立如图平面直角坐标系．(1)当2h =时：①求抛物线的表达式；②排球过网后，如果对方没有拦住球，判断排球能否落在界内，并说明理由；(2) 若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），求h 的取值范围．13．为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．杨老板按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y ＝−10x ＋500．(1)杨老板在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设杨老板获得的利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果杨老板想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．如图，在矩形ABCD 中，3cm,3cm AB AD ==．动点P 在边AB 上从点A 向点B 运动速度为1cm/s ；过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为(s)x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．(1)当x =__________s 时，点Q 与点C 重合；(2)①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②在点P 的运动过程中，是否存在y 的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．15．一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮并命中。
2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%； 方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。
实际问题与二次函数-2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
【中考高分指南】数学（选择+填空） 【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）实际问题与二次函数1．二次函数的定义形如 y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做x 的二次函数. 2．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质函数二次函数y=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0)图象a >0a <0性质①当a >0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸. ②对称轴是a b x 2−=,顶点坐标是①当a <0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.②对称轴是abx 2−=,顶点坐标是（1）二者的形状相同,位置不同,y=a (x -h )2+k 是由y=ax 2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax 2的图象y=a (x -h )2的图象y=a (x -h )2+k 的图象. 4．二次函数的解析式的确定要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0);（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a (x -h )2+k (a ≠0). 5．二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x 轴有交点时，令y=0，解方程ax 2+bx+c=0就可求出与x 轴交点的横坐标.6设抛物线y=ax 2+bx+c (a>0)与x 轴交于(x 1,0),(x 2,0)两点，其中x 1<x 2,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为x>x 2或x<x 1，不等式ax 2+bx+c<0的解集为x 1<x<x 2.右左上下【考点1】图形问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m；③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，当AB=6时，40−x2=6，解得：x=28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x·40−x2=192，整理得：x2−40x+384=0，解得：x=24或x=16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y=x·40−x2=−12(x2−40x)=−12(x−20)2+200，∵−12<0，20<26，∴当x=20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴综上所述，结论②③正确，即正确的结论有2个，故选：C．设AD边长为xm，则AB边长为长为40−x2m，根据AB=6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积=192.解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．【例2】（2024·湖北模拟）用12米长的围栏围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )A. 方案1B. 方案2C. 方案3D. 都一样【答案】C【解析】解：设围成的图形的面积为ym2，方案一：设与墙相邻的边长为x米，则另一边为(12−2x)米，由题意得：y=x(12−2x)=−2(x−3)2+18，当x=3时，y有最大值为18；方案二：∴等腰三角形的腰为6米，当顶角为直角时，面积最大，为：12×6×6=18；方案三：设圆的半径为r米，则：πr=12，解得：r=12π，∴y=12π(12π)2=72π≈23，∵23>18，故选：C．先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．本题考查了二次函数的应用，计算图形的面积是解题的关键．1.（2024·浙江模拟）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCFG，连结EG 交DC于K.已知AB=10，设AC=x(5<x<10)，记△EDK的面积为S1，记△EAC的面积为S2.则S1S2与x的函数关系为( )A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 反比例函数关系D. 二次函数关系【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD，BCFG为正方形，∴AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，S1=S△EDK=12DE⋅DK，S2=S△EAC=12AC⋅AK，∵∠EDC=∠DFG=90°，∴ED//FG，∴△EDK∽△GFK，∴KF KD =FGED=10−xx，∴KD=x10−x⋅KF，∵DK+KF+CF=CD，∴KF+x10−x⋅KF+10−x=x，∴KF=(2x−10)(10−x)10，∴DK=x(2x−10)10，∴S1=12x⋅x(2x−10)10=12x2⋅2x−1010，S2=12x2，∴S1 S2=2x−110=15x−1，∴S1S2与x的函数关系为一次函数，故选：B．根据四边形ABCD，BCFG为正方形，得出AC=AE=ED=CD=x，BC=CF=FG=10−x，再根据△EDK∽△GFK求出KF和DF，再根据直角三角形的面积公式求出S1和S2，再作比值即可．本题考查二次函数的应用，关键是写出S1，S2的与x的关系式．2.（2024·江西模拟）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系( )A. 一次函数B. 二次函数C. 反比例函数D. 其它函数【答案】B【解析】解：设图2外面正方形为正方形ABCD，里面正方形为正方形EFGH，如图：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=6，∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH，∠AEF=∠DHE=90°−∠DEH，在△AEF与△DHE中，{∠A=∠D∠AEF=∠DHE EF=EH，∴△AEF≌△DHE(AAS)，∴AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，∴S=EF2=AE2+AF2=x2+(6−x)2=2x2−12x+36，∴S与x之间是二次函数关系，故选：B．先根据正方形性质可得∠A=∠D，EF=EH，再由同角的余角相等得到∠AEF=∠DHE，就可以根据AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=(6−x)，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式，即可解答．本题考查正方形的性质、二次函数在实际生活中的应用，是中考高频考点，解题关键是证明△AEF≌△DHE．【考点2】图形运动问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·江苏模拟）如图，正方形ABCD 的边长为5，动点P 的运动路线为A →B →C ，动点Q 的运动路线为B →D.点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止.设点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：(1)点P 在AB 上运动时，0<x ≤5，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发， 作QE ⊥AB 交AB 于点E ，则有AP =BQ =x ，∠EBQ =∠EQB =45∘， ∴BP =5−x ，QE =√22x ， ∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE 12×(5−x)×√22x =−√24x 2+5√24x(0<x ⩽5)，∴此时图象为抛物线开口方向向下；(2)点P 在BC 上运动时，5<x ≤5√2，如右图，∵正方形ABCD 的边长为5，点P 与Q 以相同的均匀速度分别从A ，B 两点同时出发， 作QE ⊥BC 交BC 于点E ，则有AB +BP =BQ =x ，∠QBE =∠BQE =45∘， ∴BP =x −5，QE =√22x ，∴△BPQ 的面积为：y =12BP ⋅QE =12×(x −5)×√22x =√24x 2−5√24x(5<x ≤5√2)， ∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y 随x 的增大而增大； 综上，只有选项B 的图象符合， 故选B.分两种情况：P 点在AB 上运动和P 点在BC 上运动时；分别求出解析式即可． 本题主要考查动点问题的函数图象，正确的求出函数解析式是解题的关键．【例2】（2024·广东模拟）如图，菱形ABCD中，∠B=60∘,AB=2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )A. B.C. D.【答案】A【答案】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60∘=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与χ之间函数关系，由二次函数的性质可求解．【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于点H，由题意得BP=AQ=x，∵菱形ABCD中，∠B=60∘，AB=2∴AB=BC=CD=AD=2，∠B=∠D=60∘，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC=AB=2，∠BAC=∠ACD=60∘∵sin∠BAC=HQAQ，∴HQ=AQ⋅sin60∘=√ 32x，∴△APQ的面积y=12(2−x)×√ 3x2=−√ 34(x−1)2+√ 34，当2<x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于点N，由题意得AP=CQ=x−2，∵sin∠ACD=NQCQ =√ 32，∴NQ=√ 32(x−2)∴△APQ的面积y=12(x−2)×√ 32(x−2)=√ 34(x−2)2，该图象开口向上，对称轴为直线x=2∴2<x≤4时，y随为的增大而增大，∴当x=4时，y有最大值为√ 3⋅故选A．1.（2024·安徽模拟）如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的ΔCPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图像大致是 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查的是二次函数的应用、二次函数的图象及根据实际问题列二次函数关系式的知识，依据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键．先根据三角形的面积公式列出y与x的函数关系式，由y与x的函数关系式可知，函数图象是一条抛物线的一部分，且抛物线的开口向上，从而求得问题的答案．【解答】解：∵运动时间xs，则CP=xcm，CO=2xcm；∴S△CPO=12CP×CO=12x·2x=x2．∴△CPO的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关系式是：y=x2(0<x≤3)．∴根据二次函数的图象特点，C正确．故选C．2.（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm.动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm2【答案】C【解析】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程(路程=时间×速度)；这类动点型问题一般情况都是把面积的最值问题，转化为函数求最值问题，求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．先根据已知点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列出S关于t的函数关系式，并求最值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=6cm，BC=8cm，由题意得：AP=t，BP=6−t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=12×BP×BQ=12×2t×(6−t)，∴S=−t2+6t=−(t2−6t+9−9)=−(t−3)2+9，∵P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．【考点3】拱桥问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·陕西模拟）某市新建一座景观桥.如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为( )A. 13米B. 14米C. 15米D. 16米【答案】C【解析】略【例2】（2024·山西模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y=−125x2，在正常水位时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=( )A. 20米B. 15米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】解：∵AB=30米，∴当x=15时，y=−125×152=−9，当水位上升5米时，y=−4，把y=−4代入y=−125x2得，−4=−125x2，解得x=±10，此时水面宽CD=20米，故选：A．根据正常水位时水面宽AB=30米，求出当x=15时y=−9，再根据水位上升5米时y=−4，代入解析式求出x即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．1.（2024·河北模拟）如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m，水面宽6m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A. y=−13x2 B. y=13x2 C. y=−3x2 D. y=3x2【答案】A【解析】解：设出抛物线方程y=ax2(a≠0)，由图象可知该图象经过(−3,−3)点，故−3=9a，a=−13，故y=−13x2，故选：A．设出抛物线方程y=ax2(a≠0)代入坐标求得a．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．2.（2024·陕西模拟）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是( )A. 8√ 5米B. 10米C. 6√ 5米D. 8√ 3米【答案】A【解析】本题考查了二次函数的应用．由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=−140x2+10得：x=±4√ 5，即E点坐标为(−4√ 5,8)，F点坐标为(4√ 5,8)，∴EF=8√ 5(米)．3.（2024·山西模拟）小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的.如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y=−14x2+bx+c，如果AB= 8m，AD=2m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为( )A. 8mB. 7mC. 6mD. 5m【答案】C【解析】解：由题意可得：点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(0,8)，将点D和C代入抛物线表达式可得{2=c2=−14×82+8b+c，解得{b=2c=2，∴y=−14x2+2x+2，令x=4，可得y=−1×42+2×4+2=6．4故选：C．根据条件易有点D坐标为(0,2)，点C的坐标为(8,2)，点N的横坐标为4，将点D和C代入抛物线表达式可解的b 和c的值，然后令x=4计算点N的纵坐标即为距离．本题主要考查二次函数的实际应用，能够根据条件得到对应点的坐标，解出抛物线表达式是解题的关键，然后在将实际问题转化为二次函数点的坐标问题．【考点4】销售问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·广东模拟）将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价( ) A. 5元 B. 15元 C. 25元 D. 35元【答案】C【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400=−(x−25)2+2025，∵−1<0，∴当x=25元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价25元．故选：C．设应降价x元，所求利润的关系式为(20+x)(100−x−30)=−x2+50x+1400，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．此题考查二次函数在销售利润方面的应用，利润，公式：利润=销售价−成本价；还考查求二次函数的极值方法，求极值一般有三种方法：第一种根据图象顶点坐标直接得出；第二种是配成顶点式；第三种是利用顶点坐标公式进行计算．解题关键是熟练掌握以上方法．【例2】（2024·河北模拟）农特产品展销推荐会在杨凌举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为40元.已知每千克售价不低于成本价，不超过80元.经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克.为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )A. 20B. 60C. 70D. 80【答案】C【解析】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=(x−40)[100−2(x−50)]=−2x2+280x−8000=−2(x−70)2+1800，答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元，故选：C．设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y=−2(x−70)2+1800，根据二次函数的性质即可得到结论．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．1.（2024·河北模拟）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )A. 50B. 90C. 80D. 70【答案】D【解析】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，由题意可得：w=(x−50)[200+(80−x)×20]=−20(x−70)2+8000，∴当x=70时，w取得最大值，故选：D．根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．2.（2024·天津模拟）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件.若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( )A. 50元B. 80元C. 90元D. 100元【答案】C【解析】略18.（2024·广东模拟）一人一盔安全守规，一人一带平安常在!某商店销售一批头盔，每顶头盔的售价为80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每顶头盔的售价每降低1元，每月可多售出20顶.已知每顶头盔的进价为50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( ) A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元【答案】C【解析】设每顶头盔降价x元，利润为w元.由题意可得，w=(80−x−50)(200+20x)=−20(x−10)2+ 8000，∴当x=10时，w取得最大值，此时80−x=70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头备的售价为70元，故选C．【考点5】喷水问题（实际问题与二次函数）【例1】（2024·北京模拟）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图所示)，水平距离x(m)与水流喷出的高度y(m)之间的关系式为y=−29x2+43x+2，则水流喷出的最大高度是( )A. 5.5mB. 5mC. 4.5mD. 4m 【答案】D【解析】本题考查二次函数的应用，关键是把抛物线解析式化为顶点式．把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求最值．【解答】解：y=−29x2+43x+2=−29(x−3)2+4，∵−29<0，∴当x=3时，y有最大值，最大值为4，故选：D．【例2】（2024·山东模拟）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距喷水头的水平距离为8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最大水平距离OC是( )A. 20米B. 18米C. 10米D. 8米【答案】A【解析】由题意可知抛物线的顶点坐标为(8,1.8)，设水流所在抛物线的表达式为y=a(x−8)2+1.8(a≠0)，将点(0,1)代入，得1=a(0−8)2+1.8，解得a=−180，∴y=−180(x−8)2+1.8.当y=0时，0=−180(x−8)2+1.8，解得x=−4(舍去)或x=20．∴水流喷射的最大水平距离OC是20米，故选A．1.（2024·广东模拟）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为2.25m，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心1m时，水柱的最高点为3m，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为( )A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m【答案】A【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．根据题意设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入求出函数解析式，再令y=0，即可得出答案．【解答】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为(1,3)，与y轴的交点坐标为(0,2.25)，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3，把(0,2.25)代入到y=a(x−1)2+3中得：a+3=2.25，∴a=−0.75，∴抛物线解析式为y=−0.75(x−1)2+3，当y=0时，则−0.75(x−1)2+3=0，解得x=−1(舍去)或x=3，∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为3m，故选A．2.（2024·河北模拟）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4.5米B. 5米C. 6.25米D. 7米【答案】C【解析】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+6x的顶点坐标的纵坐标，∴y=−x2+5x=−(x−2.5)2+6.25，∴顶点坐标为：(2.5,6.25)，∴喷水的最大高度为6.25米，故选：C．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=−x2+5x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．本题考查了二次函数的应用，从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题是解题的关键．3.（2024·吉林模拟）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m.则水管OA的高是A. 2mB. 2.25mC. 2.5mD. 2.8m【答案】B【解析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解本题关键，属于基础题.可设水柱高度y 和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据待定系数法求出该二次函数解析式，然后令x=0，求出此时的y值即可．【解答】解：根据题意知喷出的抛物线形水柱的图像是二次函数，故可设水柱高度y和水柱落地处离池中心距离x的关系为y=ax2+bx+c，根据题意知函数y经过点(1,3)，(3,0)，且−b2a=1，代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=39a+3b+c=0−b2a=1，解得{a=−34b=32c=94，∴y=−34x2+32x+94，当x=0时，函数值便是水管OA的高，∴水管OA的高为94m=2.25m，【考点6】其他问题（实际问题与二次函数）【例1】（2023·北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】略【例2】（2023·上海）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为( ) 第一次训练数据A. 23.20cmB. 22.75cmC. 21.40cmD. 23cm【答案】A【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，∴k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，故选：A．根据表格中数据求出顶点坐标即可．本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．1.（2024·湖北模拟）如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+ bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 10mB. 20mC. 15mD. 22.5m【答案】C【解析】此题考查了二次函数的应用，将点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)，则{c=54.01600a+40b+c=46.2400a+20b+c=57.9，解得：{a=−0.0195b=0.585c=54.0，∴抛物线的解析式为y=−0.0195x2+0.585x+54，开口向下，对称轴为直线x=−b2a =−0.5852×(−0.0195)=15，∴当该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为15m．2.（2024·山西模拟）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系y=−116x2+58x+32，则小康这次实心球训练的成绩为( )A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米【答案】B【解析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．【解答】解：当y=0时，则−116x2+58x+32=0，解得x=−2(舍去)或x=12，则小康这次实心球训练的成绩为12米．3.（2024·黑龙江模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−k)2+ℎ.已知球与O点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是( )A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定【答案】C【解析】利用球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，可得k=6，ℎ=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点(0,2)代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=−160(x−6)2+2.6=2.45，所以球能过球网；当y=0时，−160(x−6)2+2.6=0，解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)，故会出界．此题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y=a(x−6)2+2.6，∵抛物线y=a(x−6)2+2.6过点(0,2)，∴2=a(0−6)2+2.6，解得：a=−1，60(x−6)2+2.6，故y与x的关系式为：y=−160(x−6)2+2.6=2.45>2.43，当x=9时，y=−160所以球能过球网；(x−6)2+2.6=0，当y=0时，−160解得：x1=6+2√ 39>18，x2=6−2√ 39(舍去)故会出界．故选C．。
人教版九年级中考数学专题：实际问题与二次函数(销售问题)训练含答案
人教版九年级中考数学专题：实际问题与二次函数（销售问题）训练一、单选题1．某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x （元）与产品的销售量y （件）满足当130x =时，70y =，当150x =时，50y =，且y 是x 的一次函数，为了获得最大利润S （元），每件产品的销售价应定为（ ）A ．160元B ．180元C ．140元D ．200元 2．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．260(1)y x =-B ．()2601y x =-C ．260y x =-D ．260(1)y x =+ 3．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A ．8元或10元B ．12元C ．8元D ．10元4．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（ ）A ．y=（x ﹣35）（400﹣5x ）B ．y=（x ﹣35）（600﹣10x ）C ．y=（x+5）（200﹣5x ）D ．y=（x+5）（200﹣10x ）5．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元 6．“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x 元，一天可售出()8x -个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）A ．600元B ．625元C ．650元D ．675元8．某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ）A ．60元B ．50元C ．40元D ．40元或60元二、填空题9．进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为_________________．10．已知某商品每箱盈利10元，现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价x 元时（其中x 为正整数），每天的总利润为y 元，则y 与x 之间的关系式为_______．11．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件. 根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为_______元.12．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元． 13．服装店将进价为每件100元的服装按每件()100x x >元出售，每天可销售()200 x -件，若想获得最大利润，则x 应定为_____元．14．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件，则商场按_______元销售时可获得最大利润__________．15．某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系．每盆植入4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0．5元．要使每盆盈利达到最大，则每盆应植______株．16．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为5元/件．已知此产品每一季度的销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式20y x =-+．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________．三、解答题17．某精品店购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品共需36元，购进3件甲商品与2件乙商品共需64元．(1)求甲商品的和乙商品的进价．(2)甲商品售价是10元一件，可售出200件，据商家统计，甲商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，请问售价定为多少时，才能使利润最大，并求出最大利润．18．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：2240.w x =-+设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：(1)求y 与x 的关系式；(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，应将销售单价定为多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．(1)若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？(2)若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？20．九年级某班数学小组经过市场调查，整理出某种商品在第()190x x ≤≤天的销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设当天销售该商品的利润为y 元(1)求出y 与x 之间的函数关系式(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？(3)该商品在销售过程中，共有多少天销售利润不低于4800元？请直接写出结果参考答案：1．A2．A3．A4．A5．B6．D7．B8．A9．2(1)y a x=-10．2230500y x x=-++（x为正整数）11．512．7013．15014．95225015．616．2254元17．(1)甲、乙两种商品进价分别为8元/件，20元/件(2)甲商品售价为14元/件时，获得利润最大，最大利润为720元18．(1)2234012000y x x=-+-；(2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润；(3)将销售单价定为75元时，可获得2250元的销售利润．19．(1)每件衬衫应降价20元(2)每件衬衫降价18元时，商场所获得的利润最大为2420元20．(1)()()221802000150120120005090x x xyx x⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)45(3)41答案第1页，共1页。
中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题(附带答案)
中考数学总复习《实际问题与二次函数》专项提升练习题（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．有一块形状如图的四边形余料ABCD ，4AB BC CD ===测得∠B=90°，60C ∠=︒要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AB 上，并使截得的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一个顶点恰好为D ，求该矩形材料的面积．(2)能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由．2．如图，利用一面墙（墙EF 最长可利用24米），围成一个矩形苗圃园ABCD ，与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口（如图MN 所示，不用砌墙），用45米长的墙的材料做围墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．5．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽OP为12米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围）(2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP，，的长度之和的最大值．上，求所需的三根“光带”AB AD DC、分别在x轴、y轴的正6．如图1，以边长为16的正方形OABC的顶点O为原点建立直角坐标系，OA OC方向上．(1)求以y 轴为对称轴，且经过点A C 、的抛物线的函数解析式；(2)平移正方形OABC ，但保持抛物线与对应边O A ''交于点D 、与对应边B C ''交于点E ，且点D 不与点O A ''、重合，点E 不与点B C ''、重合，如图2，设点C '的坐标为(),C a b '且0a >．①当OE AE =时，求出点D E 、的坐标；①在①的条件下，直接写出a 的取值范围；①当7b =时，是否存在实数a 使得点E 为边B C ''的中点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．7．如图，在Rt ABC △中1ABC S =△，点P 是BC 边上任意一点(点P 与点B ，C 不重合)，矩形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．(1)若BP ：PC=2：3求BPF S ；(2)已知2BC =，设BP x =，矩形AFPE 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，y 在x 为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．8．为了进一步保护好人们的眼睛，某公司投资生产了一种护眼台灯．这种台灯的成本为每盏20元，公司派一名销售员进行市场销售，第一个月以每盏22元的售价出售了280盏．第二个月进行了市场调查，每盏台灯提高0.5元就少销售5盏台灯，设第二个月月销售量为y （盏）与销售单价x （元），在销售过程中，销售单价不低于第一个月售价，且每盏台灯的利润不高于成本价的60%．(1)请求出销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．(2)设第二个月的利润为w （元），求出第二个月的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，第二个月的销售利润最大，最大利润为多少元．(3)如果公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，那么公司第二个月的成本最少需要多少元？9．跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m ，并且相距4m ．现在以两人的站立点所在的直线为x 轴，过小明拿绳子的手作x 轴的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式为216y x bx c =-++．(1)求出绳子所对应的抛物线的解析式．(2)身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．(3)身高为1.64m的小颖，站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，请直接写出的取值范围．10．某水果店出售一种水果，该水果的进价为8元/千克，经过往年销售经验可知：以12元/千克出售，每天可售出60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但x≥），每天售出水果的总重量为y千克．售价不低于进价．设该水果的销售单价为x元/千克（8(1)求y与x的函数关系式；x x≥的函数关系式，并求出当x为何值时，利润W最(2)设水果店每天的销售利润为w元，试求出w与(8)大，最大利润是多少？11．小李在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，球飞行路线满足抛物线21855y x x =-+（如图所示），其中()m y 是球的飞行高度，()m x 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．(1)请写出抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)请求出球洞距离击球点的水平距离；(3)若小李再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行的路线应满足怎样的抛物线？求其表达式．12．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m 处达到最高，且最高为3m ，水柱落地处离广场中央3m ，建立如图所示的直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水管的长度；(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5m 的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？13．根据心理学研究表明，学生上课对概念的接受能力y与讲授概念的时间x之间的关系是二次函数，如图OC ．是y与x的函数图象，点A是该抛物线的顶点，且43(1)求y与x的函数关系式；(2)研究表明，当学生的接受能力在55及以上时，视为学生接受能力的黄金期．①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容，学习效果会更好．请问，张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适？①若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟，请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完？说明理由．14．如图，某长为800m 的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为4m 的墙OA ，右侧是高为5m 的墙BC ，拱壁上某处离地面的高度()m y 与其离墙OA 的水平距离()m x 之间的关系满足216y x bx c =-++．现测得,OA BC 两墙体之间的水平距离为12m ．(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OC 的距离．(2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于203m 32，每相邻两排吊灯之间的水平距离为2m ，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为10m ．求共需要多少盏吊灯？(3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为5m ，两条车道之间是宽为1m 的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为5m 、宽为4m ，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由．15．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为()>40x x 元，求该商品销售量y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？(3)若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？参考答案答案第11页，共11页 最大利润为2160元(3)公司想要第二个月获得的利润不低于2000元，公司第二个月的成本最少为3600元9．【答案】(1)212163y x x (2)绳子不能过他的头顶(3)1.6 2.4d << 10．【答案】(1)4108y x =-+(8x ≥)(2)当352x =时,利润最大,最大利润为361元 11．【答案】(1)开口向下，顶点为16(4,)5，对称轴为4x =(2)球洞离击球点的距离为10m (3)21616(5)1255y x =--+ 12．【答案】(1)()23134y x =--+(2)2.25米(3)012m ≤<+ 13．【答案】(1)20.1(13)59.9y x =--+(2)①张老师在上课6~20内讲授重点内容合适；①能在学生接受能力的黄金期内讲完14．【答案】(1)212510096496y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 1009m 96(2)486盏 (3)货车无论从哪条车道都能安全通过15．【答案】(1)2160y x =-+(2)50(3)定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W 最大，最大利润是1248元。
2024年中考数学高频考点专题复习-销售问题(实际问题与二次函数)
2024年中考数学高频考点专题复习-销售问题（实际问题与二次函数）1．某商家出售的一种商品成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数2100y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元．(1)求w 关于x 的函数解析式；(2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？2．2022年北京冬奥会前夕，某网络经销商以5元/件的价格购进了一批以冬奥会为主题的饰品进行销售，该饰品的日销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间有如表所示的关系：x … 6 6.5 7 8 …y … 180 170 160 140 …(1)已知上表数据满足我们初中所学函数中的一种，请判断是何种函数并求出y 关于x 的函数表达式；(2)当该饰品的销售单价定为多少时，日销售利润最大？(3)销售一段时间后，物价部门出台新的规定：单件利润不得超过80%．在新的规定下，求该饰品的最大日利润．3．大熊猫属于中国独有的一种动物，数量稀少，被称为“中国国宝”，某店专门销售熊猫公仔玩具，成本为30元/件，每天销售量y (件)与销售单价x (元)之间存在如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天熊猫公仔玩具的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少?4．但愿人长久，千里共婵娟，9月29日是今年的中秋佳节，某商店销售一种礼盒月饼，这种月饼的成本价为60元/盒，依照相关规定，每盒月饼的售价不能低于成本价且不能高于成本价的两倍，经过市场调查发现，月饼的销售数量y（盒）与销售单价x（元）存在如图所示的函数关系，在销售过程中，商店还需每天付给促销员200元的工资，设每天所得利润为W元．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求每天销售月饼能获得的最大利润．5．2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕．吉祥物“小喜”，以合肥市鸟喜鹊为原型，活泼可爱、神情欢快，突出了地域特色，也体现了合肥开放包容、热情友好的城市气质．某商家新开发了一款“小喜”玩偶套装，每套成本为30元，规定销售单价不低于成本且不高于52元，且为整数．销售一段时间发现，每天的销售量y （套）与售价x（元/套）满足一次函数关系，部分数据如表所示．售价x（元/套）…354045…每天销售量y（套）…908070…(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么售价应定为每套多少元？(3)若要使每天销售所得利润不低于1200元，请写出所能确定的售价x的值．6．第20届中国草莓文化旅游节于2023年12月在我市邹城举办，邹城有11个镇种植，涉及20多个品种，是我市最大的绿色草莓生产基地。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
D
二
C
次 函
数
与
最
大
面
积
回顾《何时获得最大利润》和《最大面积是多少》 这两节解决问题的过程，试总结解决此类问题的基本思 路。
（1）理解问题； （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； （3）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
由抛物线经过点（－2，2）， 可得 a 1
2
所以，这条抛物线的二次函数 为：
y 1 x2 2
当水面下降1m时，水面的纵
坐标为 y 3
当 y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的
二次函数与生产生活
宽度为2 6 m
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
例4.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球
x
❖ 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6y
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
用抛物线的知识解决运动场上或者生活 中的一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系 二次函数
值分别为（ 55 ）、（ 13）。
求函数的最值问题，应注意什么?
6
4
2
0
x
-4 -2
2
二次函数与最大利润 二次函数与最大面积 二次函数与生产生活 二次函数与体育运动
例1.某商店经营T恤衫，已知成批购进 时单价是2.5元。根据市场调查，销售 量与销售单价满足如下关系：在一段 时间内，单价是13.5元时，销售量是 500件；而单价每降低1元，就可以多 售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
单价(元) 销售量(件)
13.5 500
x
二
500 20013.5 x
次 函
单件利润(元) 13.5 2.5
x 2.5
数 与
总利润(元)
13.5 2.5 500 x 2.5500 20013.5 x
9
0
4
8
x
如图，建立平面 直角坐标系，
点（4，4）是图中这段抛物
线的顶点，因此可设这段抛
物线对应的函数为：
y ax 42 4 (0≤x≤8)
当x 8时，y 20 9
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
抛物线经过点 0，20
20
9
a0 42 4
最 大
利
润
例1.某商店经营T恤衫，已知成批购进
时单价是2.5元。根据市场调查，销售
量与销售单价满足如下关系：在一段
时间内，单价是13.5元时，销售量是
500件；而单价每降低1元，就可以多
售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
解：设销售单价为 x 0 x 13.5 元，则所获利润
鸡场的最大面积。
D 二
C次 函 数 与 最 大 面 积
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 鸡场长BC为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝
b 3 时，
2a
A
S最大值＝ 4ac b2＝36（平方米） B
4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系
式为_y___6_00__5_x__10_0__x__。
y 5x2 100 x 60000
确定自变量的取值范围；
（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；
（5）检验结果的合理性、拓展等。
y
解：设这条抛物线表示的二次
函数为 y ax2
0
(-2,-2) ●
x
(2,-2) ●
例3.抛物线形拱桥，当水面在 l
时，拱顶离水面2m，水面宽度4m，
水面下降1m，水面宽度增加多少？
y x 2.5500 20013.5 x
二 次
即
y 200 x2 3700 x 8000
函
当
x
2
3700
200
9.25
时
数 与 最
y
4 200 8000 3700 4 200
2
9112 .5
大 利 润
实际问题与 二次函数
——中考数学专题复习
课前热身 1、求下列二次函数的最大值或最小 值：
y
⑴ y=－x2＋2x－3; ⑵ y=x2＋4x
2、图中所示的二次函数图像的解析式
为： y 2x2 8x 13
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值
分别为（ 55 ）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小
9
若假设出手的角度和力度都不变, 探究 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
❖ 在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
问题求解
找出实际问题的答案
某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个 橙子。
假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有_1_0_0__x_ 棵 橙子树，这时平均每棵树结_6_0_0__5_x_个橙子。
出手时离地面高 20米，与篮圈中心的水平
9
距离为8米，当球出手后水平距离为4米时
到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为
抛物线，篮圈中心距离地面3米。 问此球能否投中？
20 9
4米
4米 8米
二
次
函
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
与
体
3米
育
运
动
y
（4，4）
20 9
a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
所以销售单价是9.25元时，获利最多，达到9112.5元。
例2:如图，在一面靠墙的空地上用长为24
米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的
长方形鸡场，设鸡场的宽AB为x米，
面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值
范围； (2)当x取何值时所围成的鸡场面积最大，A
最大值是多少？
B
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成