22.3实际问题与二次函数(1)教案
22.3 实际问题与二次函数(1)教案
习题22.3第1、4题．
反思
教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．
教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．
2
8
10
17
3
板书设计
22.3实际问题与二次函数（1）
当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－ 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值 ．
教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．
然后让学生计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时，h的值是多少？
再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．
根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
三、巩固练习
探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：略
利用二次函数解决实际问题的过程是什么？
找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．
学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．
教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．
当t＝－ ＝－ ＝3时，h有最大值 ＝ ＝45．
答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．
22.3实际问题与二次函数（1）教学设计
人教版数学九年级上册 教案：22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册教案：22.3《实际问题与二次函数》一、教学目标1.理解实际问题与二次函数之间的关系。
2.掌握解决实际问题的二次函数模型建立方法。
3.能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学重难点1.掌握如何将实际问题抽象为二次函数模型。
2.解决实际问题时的思维过程和方法。
三、教学准备1.课本《人教版数学》九年级上册。
2.教学投影仪。
3.讲义、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾上节课学习的内容，并复习二次函数的定义、图像和性质。
2. 引入实际问题给出一个实际问题，例如：小明用压岁钱买了一台照相机，照相机的价格是x 元，如果每售出一台照相机，他能从中获利5x - x^2 元。
请问小明应该以多少价格售出照相机，才能使利润最大化？3. 建立二次函数模型解释给出问题，并引导学生思考如何建立二次函数模型。
提示学生需要确定自变量和因变量，并分析问题中的关系。
通过与学生互动，引导出二次函数模型：利润函数 P(x) = 5x - x^2。
4. 解决问题通过对利润函数进行求导，并求得导函数为0的临界点 x = 2.5。
由此可得，当照相机的价格为2.5元时，小明的利润最大化。
5. 拓展实际问题给出更多类似的实际问题，例如：某体育用品店销售护膝，价格为x元一副，销量为100 - 5x副。
请问店家应该以多少价格销售护膝，才能使利润最大化？引导学生分析问题并建立二次函数模型。
通过解法流程的讲解，帮助学生掌握解决实际问题的方法。
6. 总结回顾对本节课学习的内容进行总结回顾。
重点强调实际问题与二次函数之间的联系，以及解决实际问题的方法。
五、课堂练习根据给出的实际问题，学生单独完成建立二次函数模型，并求解出最优解。
1.某农场种植西瓜，每亩土地种植西瓜数量为x只，销量为100x - 2x^2只。
请问农场应该种植多少只西瓜，才能使销售额最大化？2.某旅游公司举办一次旅行，每人收费为x元，游客的数量为200 - 10x人。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 实际问题与二次函数(第1课时)
22.3 实际问题与二次函数（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型,感受数学的应用价值,增强数学的应用意识.二、课型新授课三、课时第1课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3:排球运动员从地面竖直向上抛出排球,排球的高度h（单位:m）与排球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时,排球最高？排球运动中的最大高度是多少？（二）探索新知探究二次函数与几何图形面积的最值出示课件5:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h（单位:m）与小球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师分析:可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.教师问:如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）学生答:由于抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,当2b x a=-时,二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值244ac b y a -=． 师生共同解答:（出示课件7）解:303225ba -=-=⨯-（）， 2243045445ac b h a --===⨯-（）．小球运动的时间是3s 时,小球最高;小球运动中的最大高度是45m ．师生共同总结: 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,也就是说,当2b x a=-时,二次函数有最小（大）值244ac b y a -=． 出示课件8:例 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时,场地的面积S 最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l 表示另一边？问题3 面积S 的函数关系式是什么？学生思考后,师生共同解答.解:矩形场地的周长是60m,一边长为lm, 所以另一边长为（60l 2-）m. 场地的面积S=l(30-l),即S=-l 2+30l(0<l<30).因此,当301522(1)b l a =-=-=⨯-时,S有最大值22430225.44(1)ac ba--==⨯-即当l是15m时,场地的面积S最大.教师点拨:利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点:（出示课件10）1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1 如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件11）教师问:变式1与例题有什么不同？学生答:一边靠墙.教师问:我们可以设面积为S,如何设自变量？学生答:设垂直于墙的边长为x米.教师问:面积S的函数关系式是什么？学生答:S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问:如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）学生答:0＜60－2x≤32,即14≤x＜30.教师问:如何求最值？学生答:最值在其顶点处,即当x=15m 时,S=450m 2.变式2 如图,用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件13）教师问:变式2与变式1有什么异同？学生答:墙长不一样.教师问:可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？学生答:设垂直于墙的边长为x 米.S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.教师问:可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边与面积？ 学生答:设矩形面积为Sm 2,与墙平行的一边为x 米,则22601130(30)450.222x S x x x x •-==-+=--+ 教师问:当x=30时,S 取最大值,此结论是否正确？（出示课件14）学生答:不正确.教师问:如何求自变量的取值范围？学生答:0＜x ≤18.教师问:如何求最值？学生答:由于30＞18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时,S 有最大值是378.教师总结:（出示课件15）实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 出示课件16:已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？师生共同分析后,生独立解决.解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.则该直角三角形面积:S=（8-x ）x ÷2,即:214.2S x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时, S 有最大值244ac b a-＝8, ∴当两直角边都是4时,直角三角形面积最大,最大值为8.（三）课堂练习（出示课件17-25）1.如图,在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD ≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形菜园的最大面积是________.3.如图,在△ABC中, ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB 向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）,动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过秒,四边形APQC的面积最小.4.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm,绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大？6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.参考答案:1.解:⑴设AB=xm,则BC=（100﹣2x）m,根据题意得x（100﹣2x）=450,解得x1=5,x2=45.当x=5时,100﹣2x=90＞20,不合题意舍去；当x=45时,100﹣2x=10.答:AD的长为10m；⑵设AD=xm,∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,则当0＜x≤a时,S随x的增大而增大；当x=a时,S的最大值为50a﹣12a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,S的最大值为50a﹣12a2．2.2225m 83.34.解:令AB 长为1,设DH=x,正方形EFGH 的面积为y,则DG=1-x.2211114(1)2(01).222y x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯-=-+<< 当x=12时,y 有最小值12. 即当E 位于AB 中点时,正方形EFGH 面积最小.5.解:40(1)()2x y x -=2240120,22x x x x -==-+即2120(025).2y x x x =-+<≤∵0＜x ＜25,∴当x=20时,满足条件的绿化带面积y 最大=200.6.解:(1)设矩形一边长为x,则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x 2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x 2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时,即矩形的一边长为3m 时,矩形面积最大,为9m 2.这时设计费最多,为9×1000=9000（元）.x x y 202122+-=）（)40(212x x --=)202040(21222-+--=x x 200)20(212+--=x（四）课堂小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.（五）课前预习预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第4、5、6、7题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,也是某些单变量最优化的数学模型,如最大利润、最大面积等实际问题,因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题,由于学生对于这一转化过程较难理解,因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出,让学生自主建立数学模型,在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之,在本课时的教学过程中,要让学生经历数学建模的基本过程,体验探究知识的乐趣.。
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》说课稿
人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。
教材通过引入生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容安排合理，由浅入深，通过具体的实例引导学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.引导学生学会将实际问题转化为二次函数问题，提高学生的数学思维能力。
3.通过解决实际问题，巩固学生对二次函数图像和性质的理解。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.教学难点：引导学生理解实际问题与二次函数之间的联系，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图像，帮助学生更好地理解二次函数的性质。
3.通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活中的实例，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。
2.讲解实例：分析实例中的问题，将其转化为二次函数问题，讲解如何运用二次函数解决实际问题。
3.巩固知识：通过练习题，让学生巩固对二次函数解决实际问题的方法。
4.小组讨论：让学生分组讨论如何将实际问题转化为二次函数问题，并分享讨论成果。
5.总结提升：总结本节课的重点内容，强调二次函数在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
《22.3 实际问题与二次函数》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级上册
《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握其一般形式。
2. 能够根据实际问题建立二次函数模型，解决相关问题。
3. 培养运用二次函数解决实际问题的意识和能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解二次函数的概念，掌握其应用。
2. 教学难点：将实际问题转化为二次函数模型。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模型等。
2. 搜集与二次函数相关的实际问题，制作课件。
3. 布置学生预习课本，准备参与课堂的讨论。
4. 复习一次函数的知识，为新课做铺垫。
四、教学过程：本节课是《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时），以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，我会向学生介绍本节课的主题——实际问题与二次函数，并解释二次函数在解决实际问题中的重要性。
通过一些简单的实际问题，引导学生认识到二次函数的应用广泛性，激发他们的学习兴趣。
2. 案例分析：通过具体的案例分析，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
案例应该涵盖各种不同类型的实际问题，如销售问题、最值问题、规划问题等，以便学生能够全面掌握。
3. 小组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论身边的实际问题，并尝试将其转化为二次函数问题。
这有助于培养学生的思维能力和团队协作精神。
在讨论过程中，教师需要给予适当的指导，帮助学生解决困惑。
4. 课堂互动：鼓励学生提出自己的问题和观点，与教师和其他同学进行交流。
通过互动环节，教师可以了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
5. 总结归纳：在课堂结束前，对所学内容进行总结归纳，强调二次函数在解决实际问题中的关键点和注意事项。
同时，引导学生反思自己的学习成果，鼓励他们将所学知识应用到实际生活中。
6. 布置作业：根据本节课的内容，为学生布置一些相关的作业题，以巩固所学知识。
作业内容应该包括理论题和实践题两种类型，以便学生能够全面掌握二次函数的应用。
《实际问题与二次函数(1)》名师教案
22.3.2实际问题与二次函数——二次函数与销售利润最大问题(杜星兰)一、教学目标（一）学习目标1.初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题；2.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型，发展合情推理．3.能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题．（二）学习重点学会用二次函数知识解决实际问题, 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题．（三）学习难点1．读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．2．理解与应用函数图象顶点、端点与最值的关系．二、教学设计（一）课前设计预习任务1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴是x= 2b a -；二次函数的图象是一条抛物线，当a ＞0时，图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下；2.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：（1）若a >0，则当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a -；（2）若a <0，则当x =2b a -时，y 最大值=244ac b a -. 预习自测1.已知二次函数221y x x =-++，当x=______时，取得最_______值为_______；【知识点】二次函数求最值【解题过程】配方，得2(1)2y x =--+，∴当x=1时，取得最大值为2.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值【答案】1、大、2.2.已知二次函数221y x x =-++，2≤x ≦5，则当x=______时，取得最大值为_______；x=______时，取得最小值为_______。
【知识点】二次函数区间求最值【解题过程】配方，得2)1(2+--=x y ，∵2≤x≤5 在对称轴的右边,且抛物线开口向下，∴当2≤x≤5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=2时，取得最大值为1；当x=5时，取得最小值为-14.【思路点拨】将二次函数的一般式转化成顶点式，再根据x 的取值范围并结合图象，求二次函数的区间最值【答案】2，1；5，-14.3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件售价应为____元．【知识点】二次函数的应用．【思路点拨】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．【解题过程】解：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=2x 2525+-（﹣）， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，【答案】254.某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？【知识点】销售问题中的数量关系，二次函数求最值【解题过程】解：(1)y ＝－10x 2＋1400x －40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x 2＋1400x －40000＝8000，化简得x 2－140x ＋4800＝0，∴x 1＝60，x 2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．【思路点拨】关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．(二)课堂设计1.知识回顾（1）营销问题的基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的最值问题：①若a >0，则当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a -；②若a <0，则当x =2b a -时，y 最大值=244ac b a -. 2.问题探究探究一 销售问题中的利润最大问题（★▲）●活动1 回顾旧知，回忆销售问题中常见概念和公式.师问：销售问题中一般都会涉及哪些名词？它们之间的数量关系是什么？学生抢答： 成本价；定价；售价；利润；销量；利润率；定价；利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动2 整合旧知，探究利润最大问题创设情景，激发学生学习兴趣，引入新课.师问：在讲课之前，我对咱班的学生先做一个小小的调查。
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22.3 实际问题与二次函数（1）
教学目标：
1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y ＝ax 2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点难点：
重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y ＝ax 2、y ＝ax 2＋bx ＋c 的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：
一、创设问题情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立
适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根
据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过
点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。
这
时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2 (a ＜0) (1)
因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB 2
＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a ＝－0.2
因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。
二、引申拓展
问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?
分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。
即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。
因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，拱高OC ＝0.8m ， 所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可得c ＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到
⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0.816＋4b ＝0 解这个方程组， 得⎩
⎨⎧a ＝－15b ＝45 所以，所求的二次函数的关系式为y ＝－15x 2＋45
x 。
问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)
三、课堂练习： P18练习1．(1)、(3)2。
四、综合运用
例1．如图所示，求二次函数的关系式。
分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C
点坐标为(0，4)。
从图中可知对称轴是直线x ＝
3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。
解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x ＝3。
因为对称轴是直线x ＝3，所以B 点坐标为(－2，0)。
设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c ＝4，又由
于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到⎩⎨⎧64a ＋8b ＝－44a －2b ＝－4 解这个方程组，得⎩
⎨⎧a ＝－14b ＝32 所以，所求二次函数的关系式是y ＝－14x 2＋32
x ＋4 练习： 一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。
五、小结： 二次函数的关系式有几种形式，二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a 、b 、c ，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。
六、作业 1．习题 4．(1)、(3)、5。
教后反思：
22.3 实际问题与二次函数（1）作业优化设计
1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。
2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。
3．如果抛物线y ＝ax 2＋Bx ＋c 经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a ＋b ＋c 的值。
4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；
5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是－12，32
，与x 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。