电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
电子科大16秋《随机信号与系统》在线作业2
2. 高斯信号的性质有（ ）。
A. 所有的分布由均值和协方差函数决定
B. 经过任意线性变换后仍是高斯信号
C. 它是独立信号的充要条件是协方差函数为0
D. 它在某个时刻的值是确定的
正确答案：
3. 下列说法不正确的是（ ）。
A. 几个随机变量的联合事件的概率等于各自概率的积
A. 0
B. A
C. 1
D. w
正确答案：
5. 下列哪个函数可能是实平稳信号的相关函数（）其中t=t2-t1（ ）。
A. R(t)=2t
B. R(t)=2+t
C. R(t)=t2
D. R(t)=4-t2
正确答案：
6. 已知一个随机信号的自相关函数R(t1,t2)=2（t1-t2），则该随机信号的均方差为（ ）。
B. 只有随机变量相互独立时，他们的联合事件的概率等于各自概率的积
C. 两个随机变量独立，他们一定正交
正确答案：
4. 下列说法正确的是（ ）。
A. 不可能发生的事件的概率是0
B. 必然发生的事件的概率是1
C. 随机事件的概率是大于0小于1
D. 以上说法都不正确
正确答案：
5. 下列关于0-1分布，记为1的概率为p为0的概率为q说法正确的是（ ）。
A. a
B. 0
C. 2
D. 不确定
正确答案：
3. 平稳随机信号X(t)的功率谱为Sx(w)=1/(w2+3)通过一LTI系统，系统函数为H(w)=2,则输出信号的功率谱为（ ）。
A. 4/(w2+1)
B. 4
C. 2
西安电子科技大学 电院 《随机信号分析》大作业
一、用matlab语言产生一个随机白噪声序列的样本序列X(n)，要求
3.用遍历性估计X(n)的自相关序列R X(m)，画出R X(m)的图像。
二、将一中产生的序列通过一个线性系统，其单位脉冲响应为h(n)=0.9n，n=0，
1，…，100
三、比较X(n)与Y(n)的幅度分布直方图，发生了什么变化。
分析其变化的原
因。
随机信号经过线性系统后，不会增加新的频率分量，但是输出的幅度和相位会发生变化。
白噪声X(n)的幅度基本相同，而Y(n)的幅度基本呈正态分布。
因为均匀白噪声是一种宽带非正态过程，所以通过一有限带宽线性系统后，输出Y(n)近似呈正态分布。
——via 1402011 赵春昊。
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos ()2t X t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求：（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；（3）画出上述分布函数的图形。
2.3 解：（1）一维分布为: ()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+-()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-(2) cos ()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生 二维分布函数为()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：串（4bit 数据）为：∑=+=30)(2)(k k k n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}222222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯-=-=所以随机变量)(n X 的矩为：均值：[]303300[()]2()2()20.812k k k kk k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑方差：()[]3033200[()]2()2()40.1613.6k k k k k k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦= （3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1（4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
电子科技大学15春《随机信号与系统》在线作业2满分答案
15春《随机信号与系统》在线作业2
1. 随机变量X~N(0,a),那么Y=2X的均值为（）。
A. a
B. 0
C. 4a
D. 不确定
正确答案：B 满分：4 分得分：4
2. 若随机变量X和Y正交且E(Y)不等于0，则E(X)一定为（）。
A. 1
B. 0
C. 1/2
D. 不确定
正确答案：B 满分：4 分得分：4
3. 随机变量X服从均匀分布[a,b]，则X的均值为（）。
A. a/2
B. b/2
C. (a+b)/2
D. （b-a)/2
正确答案：C 满分：4 分得分：4
4. 已知白噪声的相关函数为Nδ(t)/2，则其功率谱为（）。
A. N
B. N/2
C. 2N
D. 3N
正确答案：B 满分：4 分得分：4
5. 均值为零的白噪声通过LTI系统后的输出噪声的均值为（）。
A. 2
B. 0
C. 1
D. 不确定
正确答案：B 满分：4 分得分：4
6. 已知随机信号X(t)的协方差函数C(t1,t2)=p,则C(t2,t1)等于（）。
A. 1-p
B. p
C. p/3
D. 条件不够
正确答案：B 满分：4 分得分：4
7. 服从正态分布N（a，b）的随机变量的特征函数是（）。
A. Φ(v)=exp(jav-bv2/2)
B. Φ(v)=ae/b Φ(v)=exp(jav)
C. Φ(v)=exp(-bv)
正确答案：A 满分：4 分得分：4
8. 高斯信号X(t)的均值为u,方差d2,Y(t)=2X(t),Y(t)的均值为（）。
电子科技大学22春“电子信息工程”《数字信号处理》作业考核题库高频考点版(参考答案)试题号2
电子科技大学22春“电子信息工程”《数字信号处理》作业考核题库高频考点版（参考答案）一.综合考核(共50题)1.下列关于窗函数设计法的说法中错误的是()。
A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小，旁瓣宽度减小B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加D.窗函数法不能用于设计FIR高通滤波器参考答案：D2.下列对IIR滤波器特点的论述中错误的是()。
A.系统的单位冲激响应h(n)是无限长的B.结构必是递归型的C.肯定是稳定的D.系统函数H(z)在有限z平面(0|z|∞)上有极点参考答案：C3.下列关于因果稳定系统说法错误的是()。
A.极点可以在单位圆外B.系统函数的Z变换收敛域包括单位圆C.因果稳定系统的单位冲激响应是因果序列D.因果稳定系统的系统函数的Z变换收敛域包括参考答案：A4.已知DFT[x(n)]=X(k)，0≤n，kN，下面说法中正确的是()。
A.若x(n)为实数圆周奇对称序列，则X(k)为实数圆周奇对称序列B.若x(n)为实数圆周奇对称序列，则X(k)为实数圆周偶对称序列C.若x(n)为实数圆周奇对称序列，则X(k)为虚数圆周奇对称序列D.若x(n)为实数圆周奇对称序列，则X(k)为虚数圆周偶对称序列5.下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?()A.h(n)=δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=u(n)-u(n-1)D.h(n)=u(n)-u(n+1)参考答案：D6.在IIR数字滤波器的设计中，需将模拟参考滤波器从S平面到Z平面作单值映射，应采用()。
A.脉冲响应不变法B.双线性变换法C.窗函数法D.频率采样法参考答案：B7.两有限长序列的长度分别是12和15，要利用DFT计算两者的线性卷积，则DFT的点数至少应取()。
A.15B.26C.27D.28参考答案：C8.下列关于冲激响应不变法的说法中错误的是()。
电子科技大学2009年随机信号分析试题A与标准答案
（1） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关 性及正交性； （2） 试判断 X ( t ) 和 Y ( t ) 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于 X ( t ) 和 Y( t ) 包含同一随机变量 θ ，因此非独立。 根据题意有
f (θ ) = 1 2π
π
−π
1 1 = cos[ w0 ( t1 − t2 )] cos( w0τ ) 2 2
同理可得 RY ( t1 ,t2 ) = RX ( t1 ,t2 ) ，因此 X ( t ) 和 Y( t ) 均广义平稳。
,t2 ) C XY ( t1= ,t2 ) 由于 RXY ( t1= 1 1 sin [w0 ( t1 − = t2 )] sin (w0τ ) ，因此 X ( t ) 和 2 2
。
π
−π
E[ X ( t )] E [sin(ω = = 0 t + Θ) ]
E[Y( t )] E [ cos(ω = = 0 t + Θ) ]
π
∫
1 sin( w0= t + θ )dθ 0 ， 2π
−π
∫
1 cos( w0= t + θ )dθ 0 2π
C XY ( t1 ,t2 ) = RXY ( t1 ,t2 ) = E[ X ( t1 )Y( t2 )] = E[sin (w0t1 + θ )co s( w0t2 + θ )]
1 1 1 1 − τ 1 −3 τ = P R(0)= += R (τ )= e + e ，所以 4 12 3 4 12
1 ∞ 1 10 20 P S ( ) d 2 d = = = ω ω ω （3） 可以。 2π ∫−∞ 2π ∫−10 π
电子科大随机信号分析随机期末试题答案完整版
电子科大随机信号分析随机期末试题答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。
(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=当34t πω=时，3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。
(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分)解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。
3.两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
(完整word版)电子科技大学随机信号分析期末考试A
一、已知随机变量X 服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===。
若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数()Z f z 。
2、特征函数()Z v Φ。
解：1、随机变量X 均服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，111,()()220,X x f x rect x otherwise ⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩11()(1)(1)22Y f y x x δδ=++-由于X 和Y 彼此统计独立，所以11()()()(1)22Z X Y f z f z f z rect z rect=*=++131/2,220,z otherwise ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩2、()2rect z Sa ω⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭且 ()()FTz z f z v Φ-所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-⎛⎫⎛⎫Φ=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问：1、信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦。
2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。
3、()X t 的一维概率分布函数();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。
解：1、()00.510.50.5X t E =⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦2、当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯= 1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+-二维分布：当12,t t 在同一个时隙时 ()[][12121212,;,0.5,0.51,X F x x t t u x x u x x =+--当12,t t 不在同一个时隙时：()121211221112,;,[(),()][()][()]X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤()()()1212120.25,0.251,0.25,10u x x u x x u x x =+-+-+三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。
随机信号习题及答案
Y (t ) ___
_
___。
5. 已知平稳过程 X (t ) 的自相关函数为 R X (τ ) = 16 +
1 1+ 5
τ
，则其均值为
，方差
为 。 6. 若一高斯过程是宽平稳的，则必定是 ；若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关 的，则必定是 的（独立、不独立、不一定） 。 7. 若线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为 。 二、简答题 1. 请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件。 2. 若平稳随机过程是信号电压，试说明其数字期望、均方值、方差的物理意义。 3. 给出平稳过程的自相关函数的性质。 4. 写出随机过程的两个定义。 5. 随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？ 6. 叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？ 7. (a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b) 简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。 三、计算题 1 设随机振幅信号为
−10 t
10 ， 4 + j 5ω
U (t ) 的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。 −3t 4-2 已知系统的单位冲激响应 h(t ) = 5e U (t ) ，设其输入随机信号为 X (t ) = M + 4 cos(2t + Θ), (− ∞ < t < ∞ ) ，其中 M 是随机变量， Θ 是 (0,2π ) 上均匀分布的随机变量， 且 M 和 Θ 相互独立，求输出信号的表达式。
1.
第一章 二进制无记忆不对称信道，如图所示，传输 0，1，分别以 A0 和 A1 代表发送 0 和 1，以 3 5 B0 和 B1 代表接收 0 和 1 码，两个正确的转移概率分别为 P ( B0 / A0 ) = ， P( B1 / A1 ) = ， 6 4 1 1 两个错误的转移概率分别为 P ( B1 / A0 ) = ， P( B0 / A1 ) = ，且先验概率相等，即： 6 4 1 P ( A0 ) = P( A1 ) = ，求：①B 端接收到 0 码及 1 码的概率 P ( B0 ) 及 P( B1 ) ；②当分别收到 2
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2.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos t 出现正面X(t)2t 出现反面设“出现正面” 和“出现反面” 的概率相等。
试求：( 1 ) X(t) 的一维分布函数F X (x,12) ，F X (x,1)；(2) X(t)的二维分布函数F X ( x1, x2 ;1 2,1) ；(3)画出上述分布函数的图形。
2.3 解：1)一维分布为:F X (x;0.5) 0.5u x 0.5u x 1F X (x;1) 0.5u x 1 0.5u x 2X (0.5) 0, X (1) 1 , 依概率 0.5发生X (0.5) 1, X (1) 2 ,依概率 0.5发生 二维分布函数为F ( x 1, x 2 ;0.5,1) 0.5u x 1,x 2 1 0.5u x 1 1,x 2 22.4 假定二进制数据序列 {B(n), n=1, 2, 3, , .} 是伯努利随机序列， 其每一位数据对 应随机变量 B(n) ，并有概率 P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.8 。
试问，( 1)连续 4 位构成的串为 {1011}的概率是 多少？(2)连续 4 位构成的串的平均串是什么？( 3)连续 4 位构成的串中，概率最大的 是(2) cos X(t) c 2o t s 出现正面出现反面什么？( 4 )该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4 解：解：(1)P 1011P B n 1 P B n 1 0 P B n 2 1 P B n 3 10.8 0.2 0.8 0.8 0.10242)设连续 4 位数据构成的串为B(n) ，B(n+1) ，B(n+2) ，B(n+3) ，n=1, 2, 3,⋯.其中B(n) 为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：3k串(4bit 数据)为：X (n) 2k B(n k)，k0其矩特性为：因为随机变量B(n) 的矩为：均值： E[B(n)] 0 0.2 1 0.8 0.802 0.2 12 0.8 0.8220.8 0.82 0.16 所以随机变量 X(n) 的矩为：均值：3E[X(n)] E k0332k E B(n k) 2k 0.8 12k 0 k 0方差：3k D[X(n)] D 2k B(n k) k03 2 3 2k 2 D B(n k) 4k 0.16 13.6k 0 k 0如果将 4bit 串看作是一个随机向量 ， 则随机向量的均值和方差为： 串平均 ：B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8方差：Var B(n) Bn 2Bn 2k B(n k)串方差：Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 30.16,0.16,0.16,0.163) 概率达到最大的串为1,1,1,14) 该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0 或1，与前面的序列没有任何关系。
所以如果见到10111 后，下一位仍为0 或 1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.2.5 正弦随机信号{X(t,s)=Acos(200πt), t>0}, 其中振幅随机变量 A 取值为 1 和0，概率分别为0.1 和0.9，试问，( 1)一维概率分布F(x,5)； (2)二维概率分布F(x, y, 0, 0.0025)； (3)开启该设备后最可能见到什么样的信号？( 4)如果开启后t=1 时刻测得输出电压为 1 伏特，问t=2 时刻可能的输出电压是什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？解：( 1) X(t) Acos 200 5 X(5) AF x;5 0.1u x 1 0.9u x(2)X(0) 1, X (0.0025) 0 ,依概率0.1发生X(0) 0, X (0.0025) 0 , 依概率0.9发生F x, y;0,0.0025 0.1u x 1，y 0.9u x,y （3）因为P A 0 0.9 ，所以开启该设备后90% 的情况会见到无电压（A = 0）。
（4）t = 1 时刻，有X t,s Acos 200 1 A 1，可得A=1 ；t = 2 时刻，有X t,s Acos 200 2 A 1；因为在A=1 的前提下，t=2 时刻输出电压为确定值 1 ，所以P X 2 1 X 1 1 1。
它是可预测的随机信号。
解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量A，而它的值只在初始时是不确定的，一旦 A 的值确定了，信号变成了确定信号2.6 若正弦信号 X(t) Acos( t ) ，其中振幅 A 与频率 取常数， 相位 是一个随机变量， 它 均匀分布于 ,间，即 1 , f ( ) 2 0 其他求在 t 时刻信号 X(t)的概率密度 f X t (x) 解：注意到 X(t)因此，2.7 设 质 点 运 动 的 位 置 如 直 线 过 程 X(t) Vt X 0，其中 V N(1,1)与 X 0 N(0,2) ，并 彼此独立。
试问：( 1) t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？(2) 它是可预测的随机信号吗？2.7 解： (1)独立高斯分布的线性组合依然是xarccos t 。
A t ， X(t) Acos( t )随 可 但在每个单调段上都有， f [ (x)] (x)是 的函数，并且，对于任意给定的 X(t )(x) 11 2 A 2 x 2f X(t) (x) 12 A 2 x 2 0xA其他高斯分布E[ X (t)] E[Vt X0] tE[V] E[X0] t22D[X(t)] D[Vt X0] t2D[V] D[X0] t2 2 所以它的一维概率密度函数1 (x t)2为: f X (x) 2 (1t2 2) exp{ 2((x t2 t)2)}(2) 此信号是可预测随机信号2.8 假定 ( -1,+1 ) 的伯努利序列I n,n 1,2,... 的取值具有等概特性。
试问：( 1) 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？(2) 它是可预测的随机信号吗？2.8 解：(1) f I (i) 0.5 (i 1) 0.5 (i 1)E[I n] 0.5(1 1) 0C(n1,n2) R( n1 , n2 ) E I n1 I n2E[I n1]E[I n2 ] 0 n1 n22,E[ I n21 ] 1 n1 n2(2) 该随机信号不可预测2.92.10 给定随机过程X(t) 和常数a，试以X(t)的自相关函数来表示差信号Y(t) X(t a) X(t) 的自相关函数。
2.10 解：由题意可得：R Y (t1,t2)E[Y(t1)Y(t2)]E X(t1 a) X(t1) X(t2 a) X(t2)E X(t1 a)X(t2 a) E X(t1 a)X(t2)E X(t1)X(t2 a) E X(t1)X(t2)R X (t1 a,t2 a) R X (t1 a,t2) R X (t1,t2 a) R X (t1,t2)2.11 两个随机信号X(t)=Asin( ωt+ Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中 A 与 B 为未知分布随机变量，Θ 为0～2π均匀分布随机变量，A、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数R XY（t1,t2）；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；解：(1)X t Asin t E A sin t 0Y t Bcos t 0 ，R XY t1,t2 C XY t1,t2 X t1 Y t2Asin t1Bcos t21A B sin t1 t2 sin t1 t2 21A B sin t1 t2sin t1 t2 21A B sin t1 t22）①如果E[A] 或E[B]为0，则R XY t1,t2 C XY t1,t2 0 ，随机信号X（t）与Y （t）正交且互不相关；② 如果E[A] 与E[B] 均不为0，则R XY t1,t2 C XY t1,t2 0，X(t) 与Y(t) 不正交，相关；③因为随机信号X(t) 与Y(t) 中都有随机变量Θ，所以X(t) 与Y(t) 一般不会相互独立。
22X t 2Y t 2 AB2.122.13 假定正弦电压信号X(t) Acos t ，其中， A 服从均匀分布U( 1, 1)，服从均匀分布U( , ) ，它们彼此独立。
如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。
题 2.13 解：由电路原理的相关知识可知：X( t) Ac o s tit cos( t ) AC R sin( t ) ，则E[i 2t ]2.142.15 零均值 高斯信号 X(t) 的自相关函数 为R X (t 1,t 2) 0.5e t 1 t2，求 X(t) 的一维和二维 概率密度。
解： (1) 因为 m X (t ) ，0R X (t 1,t 2) C X (t 1,t 2) 0.5e t 1 t2D X ( t) C X ( 0 ) R X ( 0 )所以一维概率密度函数为：exp x(2) 高斯信号 X(t) 的二维概率密度函数A E cos( t )R A 22 E[ 2 cos 2( t )A 2C 2 2 2 1 C 2 26R 26AC sin( t )A 2Csin(2 t 2 ) Rsin 2( t )]11 1 E A21112a 2da 13f X x,texp2 D X (t)x m X (t) 2D X (t)X(t 1) 0 X μX(t 2)(t 1,t 2) exp t 1 t 2 ，则f X x 1, x 2; t 1,t 22.162.172.18 某高斯信号的均值 m X (t) 2，协 方差C X (t 1,t 2) 8cos(t 1 t 2) ，写出当 t 1 0 、 t 2 0.5和 t 3 1时的三维概率密度。
解：由定义得：0.50.5exp t 1 t 20.5expt 1 t 20.5C(t 1,t 1) C(t 1,t 2) C(t 2,t 1) C(t 2,t 2)为：Cexp 2 0.5 1 2x 12 x 22 2x 1x 22 1 20.5C(t 1,t 1) C(t 1,t 2) C(t 1,t 3) C C(t 2,t 1) C(t 2,t 2) C(t 2,t 3) C(t 3,t 1) C(t 3,t 2) C(t 3,t 3) C(0,0) C(0,0.5) C(0,1) C(0.5,0) C(0.5,0.5) C(0.5,1) C(1,0) C(1,0.5) C(1,1)又因为C(0,0) C(0.5,0.5) C(1,1) 8cos(0) 8C(0,0.5) C (0.5,1) C(0.5,0) C (1,0.5) 8cos(0.5)X(t 1) t 12XX(t 2) ,tt2 ,μ2X(t 3)t3288cos(1/ 2) 8cos18 8cos(1/ 2) 8cos(1/ 2) 8C8cos(1/ 2)8cos1 则1f X x ,t3/ 2x μ C 1 x μ1/2exp2 C 2C(0,1) C(1,0)cos(1)2.19 设随机变量X,Y ~ N μ,C ，其中23μ 22，C3 5，求X,Y 的概率密度和特征函数XY u,v 。