旋转体与简单组合体的结构特征

第2课时旋转体与简单组合体的结构特征

知识点一圆柱

思考观察如图所示的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？

答案以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．梳理圆柱的结构特征

圆柱

图形及表示

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

图中圆柱表示为圆柱

O ′O

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：半圆的半径

直径：半圆的直径

知识点五简单组合体

思考下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？

答案这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．

梳理简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

类型一旋转体的结构特征

例1下列命题正确的是________．

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

答案④⑤⑥

解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1下列命题：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．

其中正确的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 C

解析②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.

类型二简单组合体

命题角度1直接描述组合体的构成

例2观察下图中的几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

解图①是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体．图②是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的几何体．图③是由一个圆台和挖去一个和圆台的上底面相同的圆锥组合而成的几何体．

反思与感悟(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征．

(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式．

(3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)．

跟踪训练2请描述如图所示的几何体是如何形成的．

(1)________________________________________________________________________；

(2)________________________________________________________________________；

(3)________________________________________________________________________．

答案(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体

(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体

(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体

命题角度2图形旋转所得组合体问题

例3直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．

解以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥，以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．

引申探究

例3中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．

解以AB为轴旋转可得到一个圆台，以BC为轴旋转可得一个圆柱和圆锥的组合体．如图所示．

反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

跟踪训练3如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD

解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．

类型三旋转体中的有关计算

例4一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：

(1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.

又由题意知腰长为12 cm，

所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得l－12

l＝

5，

解得l＝20(cm)．

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

跟踪训练4有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．

解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，

由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．

AC＝AB2＋BC2＝5π cm，

故铁丝的最短长度为5π cm.

1．下列说法正确的是()

A．圆锥的母线长等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

答案 D

解析圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行．2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是()

图1

答案 B

解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．

3．下面几何体的截面一定是圆面的是()

A．圆台B．球

C．圆柱D．棱柱

答案 B

解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

4．下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成；

②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；

③由一个长方体挖去一个四棱台构成；

④由一个长方体与两个四棱台组合而成.

其中正确说法的序号是________．

答案①②

5．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.

答案9

解析如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.

根据相似三角形的性质得

3＋y

＝

4x，解此方程得y＝9.

所以圆台的母线长为9 cm.

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

课时作业

一、选择题

1．下列几何体中不是旋转体的是()

答案 D

2．下列命题中正确的是()

A．将正方形旋转不可能形成圆柱

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案 C

解析将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.

3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()

答案 A

解析此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．

4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()

A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的

B ．该几何体有12条棱、6个顶点

C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案 D

解析其中ABCD 不是面，该几何体有8个面．

5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( ) A ．2 B ．2π C.2π或4π D.π2或π

答案 C

解析如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2

，故选C.

6．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A ．10 3 cm B ．20 3 cm C ．20 cm

D ．10 cm

答案 A

解析如图所示，在Rt △ABO 中，AB ＝20 cm ，∠A ＝30°，所以AO ＝AB ·cos 30° ＝20×

＝103(cm)． 7.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )

A ．一个球体

B ．一个球体中间挖去一个圆柱

C ．一个圆柱

D ．一个球体中间挖去一个长方体答案 B

解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B. 8．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )

答案 B

解析由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B. 二、填空题

9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．答案两个圆锥

解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．

10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．答案 2 2

解析设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2， ∴由题意可知1

2·2r ·h ＝r 42－r 2＝8，

∴r 2＝8，∴h ＝2 2.

11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________．答案 3

解析如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，

r 2＝2 2.

∵球心到两个截面的距离

d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，

∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，

∴R 2＝9，∴R ＝3. 三、解答题

12．一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得的几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？解如图所示，图(1)(2)旋转一周所得的几何体是圆锥，图(3)旋转一周所得的是两个圆锥的组合体；图(4)旋转180°所得的是两个半圆锥的组合体，旋转360°围成的几何体是一个圆锥内部有一个同顶点等高的圆锥．

13．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求： (1)绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，

设OB ＝l ，

则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π

2，l ＝20 cm.

∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm. ∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm.

(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离． ∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.

故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 四、探究与拓展

14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号) ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．答案 ①②③⑤

解析可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．

15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．

(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．