§2.8 用算子符号表示微分方程

当求系统的零状态响应时，则要解r(t)=H(p)e(t)的非齐次方 当求系统的零状态响应时，则要解r )=H 程。 由上述可以看出：在时域分析中， 由上述可以看出：在时域分析中，算子符号形式提供了简 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同， 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同，而形 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 返回
e(t)
-
i(t) 1
1H
i(t) 2
1
i(t) 3
1F
用算子符号建立微分方程（续2） 用算子符号建立微分方程（
di di di 3 1 − 2 − 3 =0 dt dt dt di di − 1 + 2 + i 2 − i 3 = e( t ) dt dt − di 1 − i + di 3 + i + t i dt = 0 2 3 ∫− ∞ 3 dt dt
− p p + 3
−1
e ( t ) 0
( 2 p 2 + 10 p + 3 )i 2 = pe ( t )
d 2 i2 即： 2 2 + 10 di 2 + 3i 2 = d e ( t ) dt dt dt
1H 1H
+
例2-8-2：如图所示电路，激 如图所示电路， 励电压为e ),请用算子符号列 励电压为e(t),请用算子符号列 写求电流i 的微分方程。 写求电流i1(t)的微分方程。 解：列出3个网孔的回路方程 列出3
( C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n − 1 p + C n )r ( t ) = ( E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m )e ( t ) D ( p ) = C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n −1 p + C n N ( p ) = E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m
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三、用算子符号建立微分方程
按照上述讨论规则，即可运用算子符号表示微分方程。 按照上述讨论规则，即可运用算子符号表示微分方程。 这不仅使书写简便， 这不仅使书写简便，而且在建立系统数学模型时便于由 联立方程消元构成一元高阶微分方程。 联立方程消元构成一元高阶微分方程。 例2-8-1：如图所示电路，激励 如图所示电路， 电压为e ),请用算子符号列写 电压为e(t),请用算子符号列写 求电流i 的微分方程。 求电流i2(t)的微分方程。 1Ω 解：列出2个网孔的回路方程 列出2
p 1 1 x ≠ px p p
1 d t p x = ⋅ ∫ xdτ = x p dt − ∞
1 px = p
∫
t
−∞
(
d x ) ⋅ dτ = x ( t ) − x( −∞ ) ≠ x dt
这表明“先乘后除”的算子运算（先微分后积分） 这表明“先乘后除”的算子运算（先微分后积分）不 能相消；而“先除后乘” （先积分后微分）可以相消。 先除后乘” 先积分后微分）可以相消。
3 pi 1 − pi 2 − pi 3 = 0 算子形式 − pi 1 + ( p + 1 )i 2 − i 3 = e( t ) 1 − pi 1 − i 2 + ( p + 1 + )i 3 = 0 p
这是一个微积分方程组，把它变成微分方程组，并写成矩阵形式 这是一个微积分方程组，把它变成微分方程组，
用算子符号建立微分方程（续1） 用算子符号建立微分方程（
3 p + 1 − p − p i1 e ( t ) i = 0 p + 3 2
i2 = p e( t ) 2 ( 2 p + 10 p + 3 )
i1 3 p + 1 = i − p 2
+
2H
1
i(t) 1
1H
i(t) 2
2
di di 1 3 + i1 − 2 = e( t ) dt dt di di − 1 + 2 + 3i 2 = 0 dt dt
e(t)
-
写成算子形式
( 3 p + 1 )i 1 − pi 2 = e ( t ) − pi 1 + ( p + 3 )i 2 = 0
D ( p )r ( t ) = N ( p )e ( t )
或
r( t ) =
N( p ) e( t ) D( p )
则H( p ) =
N( p ) D( p )
就定义为传输算子。 就定义为传输算子。 传输算子
D ( p )r ( t ) = 0
当求系统的零输入响应时，就是解齐次方程 当求系统的零输入响应时，
3p − p − p 2 − p p+1 − p − p i1 0 i = e ( t ) −1 2 0 + p + 1 i3
p2
p( p 2 + 2 p + 1 ) e( t ) 求解i 求解i1得：i1 = 3 2 p( p + 2 p + 2 p + 3 )
n
∫
t −∞
(
)d τ
1 = p
则有
dx px = dt
dnx p x = dt n
∫
t −∞
( x )d τ
2．用算子符号表示微分方程
运用上述算子符号表示规定，下述微分方程 运用上述算子符号表示规定，
d n r( t ) d n −1 r ( t ) d r( t ) C0 + C1 + K + C n −1 + C nr( t ) n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt
算子符号的基本规则（续） 算子符号的基本规则（
例如： 例如：d
dt x= d y dt
的算子方程表示为px= 的算子方程表示为px=py，而对微分方
程两边的积分后有x=y+C 程两边的积分后有x=y+C 3.算子多项式中的算子乘除顺序不可随意颠倒。 3.算子多项式中的算子乘除顺序不可随意颠倒。 算子多项式中的算子乘除顺序不可随意颠倒 即： 理由是： 理由是： 而
则可进一步简化为： 则可进一步简化为：D ( p )[ r ( t )] = N ( p )[ e ( t )] 注意：这种表示不是代数方程，而是微分方程。 注意：这种表示不是代数方程，而是微分方程。
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二、算子符号的基本规则
算子符号表示的算子多项式仅仅是一种运算符号， 算子符号表示的算子多项式仅仅是一种运算符号，代 数方程中的运算规则有的适用于算子多项式， 数方程中的运算规则有的适用于算子多项式，有的不适 用。 1.算子多项式可以进行类似于代数运算的因式分解或因 1.算子多项式可以进行类似于代数运算的因式分解或因 式相乘展开。例如： 式相乘展开。例如：
注意: 注意: 1）P多项式两端的P不能消去； 多项式两端的P不能消去； 2）求解时，应先将微积分方程组化成微分方程组。 求解时，应先将微积分方程组化成微分方程组。
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四、传输算子概念 传输算子概念
对于线性时不变系统，一般讲，激励信号e 对于线性时不变系统，一般讲，激励信号e(t)与响应 r(t)之间的关系可用算子形式写成如下的微分方程： 之间的关系可用算子形式写成如下的微分方程：
( p + 3 )( p + 2 )x = ( d d d d d + 3 )( x + 2 x ) = [ x + 2 x ] + 3[ x + 2 x ] dt dt dt dt dt d2 d = 2 x + 5 x + 6 x = ( p 2 + 5 p + 6 )x dt dt
因此有： 因此有： ( p + 3 )( p + 2 ) = p2 + 5p + 6 2.算子多项式等式两端的公共因式不能随意相消。 2.算子多项式等式两端的公共因式不能随意相消。 算子多项式等式两端的公共因式不能随意相消
一、（续） 、（续
则可表示为： 则可表示为：C 0 p 或简化为： 或简化为： 若进一步令： 若进一步令：
n
r ( t ) + C 1 p n −1 r ( t ) + L + C n −1 pr ( t ) + C n r ( t )
= E 0 p m e ( t ) + E 1 p m −1 e ( t ) + L + E m − 1 pe ( t ) + E m e ( t )
即：
p( p 3 + 2 p 2 + 2 p + 3 )i 1 ( t ) = p( p 2 + 2 p + 1 )e ( t )
用算子符号建立微分方程（ 用算子符号建立微分方程（3）
写成一元高阶微分方程形式: 写成一元高阶微分方程形式:
d 4 i1 ( t ) d 3 i1 ( t ) d 2 i1 ( t ) di 1 ( t ) d 3 e ( t ) d 2 e ( t ) de ( t ) +2 +2 +3 = +2 + 4 3 2 3 2 dt dt dt dt dt dt dt