中值法——手工快速开平方
手动开平方的计算方法
手动开平方的计算方法手动开平方可分为以下几种计算方法：一、利用类比法求平方：这种方法是根据反复数学课本上所学的“X的平方等于两个等比数的乘积”的乘法公式，根据乘积的大小，来求X的平方数。
可以用这种方法帮助求出有规律的数的平方根。
具体操作步骤如下：1.试着将平方数分解成最小数或者等比数。
2.根据被开方数的大小，一步步试着变换“两个等比数的乘积”，从中找出合适的结果，来求出平方根。
二、利用算术竖式计算：这种方法是把平方数写在一行横线上，然后从低位到高位去直接拆分并求平方根，最后加以结合即可得到结果。
主要的步骤有三种：1.根据平方数的最后一位，先确定只有一位的平方数的估计位，多至少为5；2.然后按照竖式计算步骤，一位一位求出相应位数的开平方结果，数位大于三位的，需要先拆分成小于以及等于三位的；3.最后将个位到高位求出的各个结果加以结合，即可求出该平方数的平方根。
三、折半法计算：折半法是根据“X的平方等于两个等比数的乘积”的乘法公式，根据一开始设定的平方根的范围和猜测的值，来调整猜测的值，一步步收敛出结果的。
具体操作方法如下：1.先判断被开方数的大小，根据你要求的精度，确定其平方根的大致范围；2.假设左右猜测的值，如62处，将62以正负5以此来作为猜测的值；3.计算出猜测的值的乘积，来和被开的方数进行比较，同时看看是否满足精度的要求，如果猜测的值的乘积大于被开方数，则说明此时所猜测的值有点大了，反之则可以猜测有点小了；4.根据3步骤中所得到的结果，来调整猜测的值，再次求猜测值的乘积，如果还是和被开方数有差距，则再次调整猜测的值，这样反复调整，直至得到满足精度要求的结果，则认为已经求出了被开方数的平方根。
以上三种手动开平方的计算方法都可以求出平方根，在实际的计算中，只需要按照一种即可求出满意的结果。
手动开平方方法(最新方案)
手动开平方方法（最新方案）虽然现在开方可以直接用符号表示，但考试中如果出一道开方让你写数值的题目怎么办呢？在最新的数学研究中，有一种最新的开平方法。
如有下题：1522756=（）开方步骤如下：（一）分位把一个平方数分为几段。
1.从最低位（个位）开始。
2.每两个数为一位。
3.最高位可以是一位数。
1522756分为：1|52|27|56分位后，1522756被分为了4段，开方结果为四位数（这里是完全平方数，没有小数）（二）开方开方运算和除法类似，每运算1次都有一个递减过程。
运算时也是从高位至低位。
如1|52|27|56先算1，再算52……格式如下：平方根52||156|27运算过程和除法类似，平方根写在横线上面，运算过程写在下面。
平方定义，12=1所以如下：152||156|271———————5 2这第一步与除法佷像，但是是一次落2位，也就是1段。
下面的运算就与除法有些差别了，这是计算中非常麻烦的部分。
这一步骤叫：造数首先，将已开出的平方根部分×2，得到1×2=2然后，我们须要假设下一个我们要开出的平方根是A，A的范围是0~9中任何一个自然数。
下面就需要我们去试一试了，我们要在0~9中找出一个数作为A的值，前提是：要使前面一步算出的2与A合为一个新数，就是以A为个位，2为十位，合成2A（注意：这里不指2和A相乘，如果A=6，那么这个数为26），并且2A×A最接近而不超过前面落下的52。
下一步就是试数，经试验A=2合适，也就得到22×2=44。
这一步的44就是结果了，下一位平方根为A，也就是2，得到：1 252|1|27|561———————5 24 4 （这里就不是22了，而是2A×A）———————8 2 7这一步开始就改变了形式，从此每一步都要设A，我们称作设A法，也称造数法。
下面和上一步一样了，但注意一下，我们不能用2×2=4，而是用所有已知平方根：12×2=24，然后24A×A最接近而不超过827试数。
手工开平方的方法
手工开平方的方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊手工开平方这个神奇的事儿。
你说开平方，不就用计算器按一下嘛，多简单呀！但你想过没，要是在一个没有计算器的世界里，咱还不得靠自己的双手呀！就好像走路，咱有车坐的时候当然方便，可要是没车了，咱还得靠自己的两条腿不是。
手工开平方就像是一场奇妙的冒险。
咱先找个要开平方的数，就把它当成是一座神秘的山峰。
然后呢，咱一点点地去探索，去找到它的平方根。
比如说，咱要给 4 开平方。
嘿，这多简单呀，一眼就知道是 2 嘛。
可要是遇到个大点儿的数，比如 25，这就得动点小脑筋啦。
咱就从最小的数开始猜，1 的平方是 1，小了；2 的平方是 4，也小了；3 的平方是 9，还是小；4 的平方是 16，哎呀，小了点儿；5 的平方是 25，嘿，这不就找到啦！这就完啦？哪有那么容易哟！要是遇到更复杂的数，那可就像在迷宫里找出口一样。
咱得一步步地试探，一点点地接近答案。
再比如说 36 吧，咱先猜个 5，5 的平方是 25，小了；那再试试 6，6 的平方是 36，哈哈，找到了！可要是数再大点儿呢，那就得更细心更耐心啦。
手工开平方就像是解一道谜题，每一步都充满了挑战和乐趣。
它可不是简单的算算而已，那是对我们思维的一种锻炼呀！就像跑步能让我们身体更强壮一样，手工开平方能让我们的脑子更灵活呢。
你想想，要是在一个聚会上，别人都在玩手机，你突然说：“嘿，我给你们表演个手工开平方！”那得多牛呀！大家肯定都会对你投来敬佩的目光，说不定还会有人说：“哇，你好厉害呀！”这感觉，不爽吗？而且呀，手工开平方还能让我们更好地理解数学的奥秘。
就像我们了解一个人的性格一样，只有深入了解了，才能真正懂。
所以呀，朋友们，别小看了手工开平方这个小小的技能，它里面可有着大大的学问呢！别总是依赖计算器，偶尔也让自己的双手和大脑动起来，去感受一下手工开平方的奇妙之处吧！相信我，你会发现一个不一样的数学世界哟！怎么样，要不要现在就试试呢？。
手工开方的技巧
手工开方的技巧手工开方是指通过手工计算的方法来求一个数的开方值。
在计算中，我们常用的方法是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种通过逐次逼近根的方法，其算法如下：1. 首先，我们先猜测一个近似解x0；2. 然后，我们通过迭代公式来得到下一个近似解x1 = (x0 + a/x0)/2；3. 我们重复第二步，直到我们得到一个足够接近真实解的近似解。
下面我们以求根号2的近似值为例来介绍手工开方的技巧。
首先，我们需要猜测一个近似解x0，通常可以猜测为1。
然后，我们通过迭代公式来计算下一个近似解。
首先，我们计算出x1 = (x0 + 2/x0)/2，即x1 = (1 + 2/1)/2 = 1.5。
然后，我们继续计算x2 = (x1 + 2/x1)/2 = (1.5 + 2/1.5)/2 = 1.4167。
我们可以继续迭代计算下去，直到我们得到一个足够精确的近似解。
通过迭代计算，我们可以得到以下结果：x1 = 1.5x2 = 1.4167x3 = 1.41422x4 = 1.41421x5 = 1.41421根号2的近似值为1.41421。
我们可以将这个值与计算器得到的精确值进行比较，发现它们十分接近。
除了牛顿迭代法，还有其他一些方法可以用于手工开方计算，如二分法和试位法。
二分法是一种通过将区间逐渐缩小来得到根的方法。
我们可以选择一个适当的区间，然后计算区间的中点。
然后根据中点的特殊性来判断根可能在区间的哪一半。
这样，我们逐渐缩小区间，直到得到一个足够精确的近似值。
试位法是一种通过逐次试探来逼近根的方法。
我们可以选择一个适当的起始点，然后计算函数在该点的值。
然后根据函数值的正负性来判断根可能在的区间。
接着，我们选择区间的一半，并再次计算函数值。
我们不断重复这个过程，直到得到一个足够精确的近似值。
总结来说，手工开方的技巧主要包括牛顿迭代法、二分法和试位法。
这些方法可以帮助我们通过手工计算来得到一个数的近似开方值。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行手工开方，以满足精度和效率的要求。
手动开平方和开立方的方法
手动开平方和开立方的方法开平方和开立方是非常常见的数学运算，主要用于求解根号及立方根问题。
下面将介绍手动开平方和开立方的方法。
1.估算：首先根据被开方数的大小，可以先大致估算出开方结果的范围。
例如，如果被开方数是个两位数，那么它的开方结果肯定在1-9之间。
2.质因数分解：然后可以对被开方数进行质因数分解，将其写成所有质因数的乘积形式。
例如，对于100的平方根，可以分解为10的平方。
质因数分解可以大大简化计算。
3.按位提取：将被开方数按位进行分组，并且从左往右每次提取两位数。
对于每一位，从1开始尝试，找到一个数x，使得x*x小于等于当前提取的数。
这个x就是该位的结果。
4.除法法：类似于手算除法的步骤，从高位往低位依次计算。
对于每一位，先将之前已经得到的结果乘以2，再在该位后面补上一个数字，使得这个数与之前的结果乘以2之后的数的乘积不大于当前被开方数的余数，然后将这个数记录下来，并且用它减去之前的乘积，得到新的余数。
不断重复这个步骤，直到所有位数都计算完毕。
5.迭代法：使用迭代法可以逐步逼近开方结果。
首先猜一个近似值，然后用被开方数除以这个猜测值得到一个新的近似值。
迭代多次后，就可以得到一个更接近开方结果的值。
手动开立方的方法:1.近似法：可以先利用近似法找到一个与被开立方数近似的数。
比如，找到一个整数x，使得x的立方小于等于被开立方数。
然后逐步增加x，直到x的立方大于被开立方数，这样就得到了一个近似值。
2.不断逼近法：可以利用不断逼近法逐步逼近开立方结果。
类似于开平方的迭代法，首先猜一个近似值，然后用被开立方数除以这个猜测值的平方，得到一个新的猜测值。
不断迭代计算，直到收敛到一个满足条件的值。
3.牛顿法：牛顿法也是一种常用的开立方方法。
它基于函数求根的思想，通过不断迭代逼近函数的根。
具体步骤是，首先猜一个近似值，然后根据牛顿法公式：x=x-f(x)/f'(x)，来更新猜测值，直到满足收敛条件。
中值定理法(开平方算法)
最快的开平方算法(中值定理法)作者:李义2006关键词:最快开平方根算法中值定理开方整数平方数中值定理:设a、b、c为顺序排列间距为P的3个整数,A、B、C是它们的平方则有:b2＝(a 2+c2)/2-R,即:B＝(A+C)/2-R其中:修正值R＝P2特别地,如果间隔P＝1、2、4、8、16、…2 n (或Pn=2Pn-1)时则: 修正值R＝1、4、16、64、256、…22n (或Rn＝4Rn-1)证明:已知:a＝b+Pc＝b-P有:a 2＝(b+P)2＝b2+2Pb+P2c2＝(b-P)2＝b2-2Pb+P2则:a2+c2＝2b2+2P2即:b2＝(a2+c2)/2-P2特别地当:间隔P＝2 n＝2*2 n -1＝2 Pn-1时(n为自然数)则:修正值R＝P2＝22n＝(2 Pn-1)2＝4(P n-1)2＝4Rn-1(证明完)根据以上定理,可以实现整数快速开平方根计算:先构建一个长度为N的数组1:数组长N=Ni+1 1 2 3 4 5 …间隔P=2Pi 2 4 8 16 32 …修正值R=4Ri 4 16 64 256 1024 …以及一个对应2PN(这里N=4、2PN=32)的典型数和它的平方数组2:按N=4间隔排列的数d=di+2PN 32 64 96 128 160 192 224 256 …该数的平方D=d2 1024 4096 9216 16384 25600 36864 50176 65536 …显然,N值越大则数组2越小、程序代码效率越高、用时(插值次数)越多.以2字节整数开方为例的计算流程如下:其中,被开方数D(范围0~65536),其平方根d(范围0~256)注:1、查表可以从任何位置开始,对计算速度影响不大.其中D=0、D=1、D=Di、D>65280判断可以省去.2、此算法完全没有乘法试算,其1/2、1/4除法运算可由二进制移位简单实现,且为完全补偿后的精确插值,所以递归速度非常快(这里4次).3、最后运算已经包括了小数部分的精确4舍5入算法.4、此算法略加改动,即可实现更长字节整数或定长浮点数平方根精确解,其逆运算也可以实现乘方运算.一个C语言实例:// sqrt_2 中值定理法开平方程序(直接查表-插值)// 输入D (两字节无符号整数)// 输出d (一字节无符号整数)char a,b,c,p;int A,B,C,D,R,K;void main(){D=11111; // 被开方数if(D>50176){A=0; a=0; C=50176;c=224;break;}; // 查表if(D>36864){A=50176;a=224;C=36864;c=192;break;};if(D>25600){A=36864;a=192;C=25600;c=160;break;};if(D>16384){A=25600;a=160;C=16384;c=128;break;};if(D>9216) {A=16384; a=128;C= 9216; c= 96; break;};if(D>4096) {A= 9216; a= 96; C= 4096; c= 64; break;};if(D>1024) {A= 4096; a= 64; C= 1024; c= 32; break;};A= 1024; a= 32; C= 0; c= 0; break;p=16;R=256; // 初始化数据do{ b=c+p;B=C;B>>=1; // 插值计算循环if(A!=0){K=A;K>>=1;}else K=0x8000; // 65536>>=1的数B+=K;B-=R;if(D>B){C=B;c=b;}else{A=B;a=b;}p>>=1;R>>=2;}while(p!=1); // 循环4次结束K=A-C;K>>=2;A-=K; C+=K; // 小数部分四舍五入if(Delse{if(Delse b=a;}} //开方结束进一步研究表明,由于循环内所有运算都是加、减、位移、比较等简单运算,所花费的时间很少,可以适当加大循环次数.特别地,如果把间隔P加大到128,对应修正值R=13684,则循环次数N=7,对应数组2就简化到:按N=7间隔排列的数d=di+Pn 0 256 512 …该数的平方Di=d*d 0 65536 262144 …这时,对于两字节数被开方数D来讲,查表环节也可省去,程序代码大幅减少,计算流程如下:C语言程序的一个例子:unsigned char a,b,p=0x80;unsigned int K,A,B,C,R=0x4000,D=60000;sqt1(){do{b=a-p;B=C;B>>=1;if(A){K=A;K>>=1;}else K=0x8000;B+=K;B-=R;if(D>B)C=B;else{A=B;a=b;}p>>=1;R>>=2;}while(p!=1); //循环7次结束p=(A-C)>>2;A-=p; C+=p;b=a;if(D < A)b--;if(D < C)b--;} //输出方根b程序里只用了一个特别的数128(及其它的平方数16384),就能够把两字节数0~65535范围内的任意整数的整数平方根精确(小数部分严格4舍5入)求解.程序思想还可以继续延伸到更长字节无符号整数的开方,只需要修改对应的初始值p、R就行了.结论:本文首先提出并证明了整数平方数中值定理,进而提出一种基于此定理的的快速开方算法,并给出了具体的计算流程和C语言程序实例.由于全部运算不使用乘法运算或幂运算,只使用加、减、移位、逻辑等简单运算,只引入极少的初始变量,在经过有限次循环后即可迅速逼近任意有限大整数的整数平方根的精确解(小数部分严格4舍5入),从而把整数开平方运算的迄今最快速度提高了一个数量级.此算法对于由没有集成硬件乘法器的芯片组成的微处理(控制)系统、同时要担负大量开方运算而时间特别紧张的应用——如大型游戏程序、图形处理系统中两坐标点的距离计算(方根)、交流电压有效值等控制计算(均方根)——具有一针见血的效果,对于任何高级程序语言、游戏机乃至计算器、民用或工业控制系统中的开平方函数代码的优化具有显著积极的意义.。
关于开平方及开立方的手动算法
关于开平方及开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们可以帮助我们快速计算一个数的平方根和立方根。
手动计算开平方和开立方的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
首先，我们来考虑开平方的手动计算方法。
假设我们要计算一个正数a的平方根，即要找到一个数x，使得x^2=a。
下面是一种基于二分法的手动计算平方根的方法：1.首先，选择一个较小的正数x0作为初始近似解，可以选择1或者a/22.使用下面的二分法迭代计算新的近似解，直到达到所需精度：-计算当前近似解x的平方，记为f(x)；-如果f(x)=a，则找到了平方根，计算结束；-如果f(x)>a，那么平方根肯定在x的左侧，令x1=(x0+x)/2，并将x1作为新的近似解；-如果f(x)<a，那么平方根肯定在x的右侧，令x1=(x+x0)/2，并将x1作为新的近似解。
3.重复步骤2，直到达到所需精度为止。
可以选择一个精度要求，例如小数点后固定几位，或者判断两次迭代的结果差值是否满足要求。
这个方法的思路是根据以下性质：如果一个数x的平方大于a，那么x的平方根肯定小于x；反之，如果一个数x的平方小于a，那么x的平方根肯定大于x。
因此，通过不断调整近似解的大小，可以逐渐逼近真正的平方根。
接下来，我们来考虑开立方的手动计算方法。
假设我们要计算一个正数a的立方根，即要找到一个数x，使得x^3=a。
下面是一种基于牛顿迭代法的手动计算立方根的方法：1.首先，选择一个较小的正数x0作为初始近似解，可以选择1或者a/22.使用下面的牛顿迭代法计算新的近似解，直到达到所需精度：-计算当前近似解x的立方，记为f(x)；-计算函数f(x)的导数f'(x)；-根据牛顿迭代法的公式，计算新的近似解x1=x-(f(x)/f'(x))；-将x1作为新的近似解。
3.重复步骤2，直到达到所需精度为止。
同样可以选择一个精度要求，例如小数点后固定几位，或者判断两次迭代的结果差值是否满足要求。
关于开平方开立方的手动算法
关于开平方开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍关于开平方和开立方的手动算法。
一、开平方的手动算法：开平方是指求一个数的平方根。
手动算法可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法是指通过一系列计算逐渐逼近目标结果。
其中最常用的近似算法是牛顿-拉弗森迭代法。
该算法的基本思想是通过不断迭代来逼近目标值。
假设要求一个数x的平方根，我们可以假设一个初始值y作为近似根，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=(y+x/y)/2按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到近似的平方根。
举个例子：求根号2的近似值，假设初始值y=1，根据迭代公式计算：y=(1+2/1)/2=1.5y=(1.5+2/1.5)/2=1.4167y=(1.4167+2/1.4167)/2=1.4142最终得到的值1.4142就是根号2的近似值。
2.精确算法：精确算法是指通过数学公式或者算法直接计算得到目标结果。
最常用的精确算法是二分法和牛顿迭代法。
a. 二分法：对于给定的数x，我们可以通过二分法来求其平方根。
假设左边界为0，右边界为x，中间值为mid，根据中值定理，我们可以得到mid的平方与x的大小关系。
如果mid的平方小于x，则将左边界移动到mid，如果mid的平方大于x，则将右边界移动到mid。
不断重复这个过程，直到左右边界足够接近，即可得到精确的平方根。
b.牛顿迭代法：牛顿迭代法同样可以用来计算平方根。
假设要求一个数x的平方根，假设初始值y=1，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=0.5*(y+x/y)按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到精确的平方根。
以上就是开平方的手动算法，无论是近似算法还是精确算法，都可以用来计算一个数的平方根。
二、开立方的手动算法：开立方是指求一个数的立方根。
手动算法同样可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法可以通过类似的迭代方法来逼近目标结果。
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中值法——手工快速开平方
【题目】
假设a²=53,509,225，求a。
【分析】
按照教科书上的开平方的方法，对位数不多的数来讲，还比较实用，但对于位数较多的数字或小数位数较多的数来讲，此方法就比较繁琐，并且还有可能出错，并且一出错就得重头计算。
经过笔者不断总结、分析，找到一个非常好的方法，暂且叫做“中值法”吧。
一个实数的平方根为绝对值相等的一正一负两个数，所以，a应该是两个值。
【中值法步骤】
1、确定区间[a1,a2]，使a1²≤a²≤a2²。
一般区间可考虑整数，如[100,200]、[500,600]等。
2、取区间中间值a3，即a3=(a1+a2)÷2。
3、计算a的初值a4，即a4=(a3+a²÷a3)×0.5
4、计算a的准确值。
a5=(a4+a²÷a4)×0.5，如果a5与a4相差很小，根据a²的个位数，判断a的个位数，确定a的准确值。
如果a²是一个完全平方数（及a为整数），到上面第4步时，结果就已经出来了；如果不是一个完全平方数（即a是一个小数），并且需要精确到小数点后n位，则重复第3、4步，直到小数位数达到需要的n位，就可以了。
【解题】
1、判断a区间。
明显
7,000＜a²＜8,000
2、取区间中间值。
（7,000+8,000）÷2=7,500
3、计算初值。
（7,500+53,509,225÷7,500）×0.5=7,317.281,667
4、确定准确值。
（7,317.281,667+53,509,225÷7,317.281,667）×0.5=7,315.000,356
这个结果与初值相差不大。
且a²的个位为5，所以，a值就是7,315和 -7,315。
【例题1】
已知a²=2,345,678,911，求a（如果a为小数，保留4位小数，且
a>0）
1、判断a区间。
明显
40,000＜a²＜50,000
2、取区间中值。
（40,000+50,000）÷2=45,000
3、计算初值。
（45,000+2,345,678,911÷45,000）×0.5=48,563.099,01
4、确定准确值。
（48,563.099+2,345,678,911÷48,563.099,01）×0.5=48,432.385,83
此数与上数还有一定差距，且a²个位为1，与48,432接近的数中，
只有48,431的个位为1，但48,431²≠2,345,678,911，所以，这个不是完全平方数。
5、
（48,432.385,83+2,345,678,911÷48,432.385,83）×0.5=48,432.209,44
此数已经与上数非常接近，所以，a=48,432.209,4（保留四位小数）【说明】
1、采用此方法，一般在4步到6步就能计算出结果，且不怕过程计算错误，尤其对不完全平方数，能精确到非常高的位数。
2、区间的确定技巧。
将数字从右到左，每两位分成一段，确定最高位上的开方区间，后面每两位看成一个0，就得出了区间，且最高位的区间一般设置为连续的两个整数，便于取中间值。
例如：
（1）294,743，从右往左每两位分为一段，即29,47,43，并且29的开方区间为[5,6]（因为5²=25，与5连续的整数为6），将47和43换成0，得到区间为[500,600]
（2）3,982,087，从右往左每两位分为一段，即3,58,20,87，得到最高位3的开方区间为[1,2]，并将58、20、87换成0，得到区间为[1000,2000]
当然，区间的确定也可以设置为一个相对准确一点的区间，不一定非要设置成上述形式，比如上面（2）中，就可以再设置次高位58的开方数区间为[7,8]，这样区间就是[1,700,1,800]（这就可以看出来了，
虽然最后结果不在区间内，但仍然能计算出准确结果，这就是这种方法的优点）
【例题2】
已知37,298,013的平方根为正数，求这个平方根（如果是小数，保留3位小数点）。
1、判断平方根的区间。
37,29,80,13，所以区间为[6,500,6,600]
2、取区间中值。
6,550
3、计算平方根初值。
（6,550+37,298,013÷6,550）×0.5=6,122.176,565
4、确定准确值。
（6,122.176,565+37,298,013÷6,122.176,565）×0.5=6,107.228,214
与上数差距较大，继续计算。
5、
（6,107.228,214+37,298,013÷6,107.228,214）×0.5=6,107.209,919
与上数差距非常小，所以，最后结果就是6,107.228
此题中，虽然结果不在区间内，但仍然计算出了准确结果，并且未舍小数位数前得数与实际结果已经非常接近了，误差在±0.000,000,5。