高等数学同济第七版第四章学习指导
高数高等数学同济版第七版习题答案1-4
习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20. 解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .。
高等数学教案同济大学第七版_0
高等数学教案同济大学第七版《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性，掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)
练习1-1
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练习1-2
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练习1-3
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)
第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。
（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。
则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。
2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。
（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。
（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。
（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。
3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。
二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。
【9A文】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
同济大学数学系《高等数学》(上册)学习辅导书(不定积分)【圣才出品】
第4章 不定积分4.1 复习笔记一、不定积分的概念与性质 1．原函数存在定理如果函数f （x ）在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数F （x ）使对任意x ∈I 都有F ′（x ）＝f （x ），即连续函数一定有原函数。
2．基本积分表()d k x kx C k =+⎰是常数()1d 11x x x C μμμμ+=+≠-+⎰d ln xx C x =+⎰ 2d arctan 1xx C x =++⎰arcsin x C =+⎰cos d sin x x x C =+⎰ sin d cos x x x C =-+⎰22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰ 22d csc d cot sin x x x x C x ==-+⎰⎰sec tan d sec x x x x C =+⎰ csc cot d csc x x x x C =-+⎰e d e x xx C =+⎰d ln xxa a x C a =+⎰3．不定积分的性质 （1）性质1设函数f （x ）及g （x ）的原函数存在，则()()()()d d d f x g x x f x x g x x +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 注：性质1对于有限个函数都是成立的。
（2）性质2设函数f （x ）的原函数存在，k 为非零常数，则()()d d kf x x k f x x =⎰⎰二、换元积分法 1．第一类换元法设f （u ）具有原函数，u ＝φ（x ）可导，则有换元公式()[()]()d [()d ]u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设x ＝ψ（t ）是单调的可导函数，并且ψ′（t ）≠0又设f[ψ（t ）]ψ′（t ）具有原函数，则有换元公式1()()d [[()]()d ]t x f x x f t t t ψψψ-='=⎰⎰其中ψ－1（t ）是x ＝ψ（t ）的反函数。
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真分式 的分解：
①如果 为实系数多项式，则 总可以分解为若干实系数的一次因子与二次质因子的乘幂之积.即
（4-1）
其中 均为正整数，且
②如果 的分解式如（4-1）式，则有理真分式 可以唯一地分解为下述最简分式之和
其中 、 、 及 、 及 均为常数.
.
常用的三角代换:
①被积函数中含有根式 则令
②被积函数中含有根式 则令
③被积函数中含有根式 则令 .
（3）分部积分法
定理3设函数 ， 具有连续导数，则有
.
即
或简写为
应用分部积分公式时，选取u和dv的原则：
①v要容易求得;
② 容易积出.
（4）几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分我们称两个多项式的商，即 为有理函数，其中 和 均为多项式，且 和 不可约.当 的次数高于 的次数时， 是真分式，否则 是假分式.
定义2在区间I上，函数 的带有任意常数项的原函数称为 （或 ）在区间I上的不定积分，记作 .
即若 是 在区间I上的一个原函数，那么 就是 的不定积分，即
（C为任意常数）.
根据不定积分的定义，可知下述关系：
或 ；
或 ；
（2）.不定积分的性质
性质1设函数 及 的原函数存在，则
.
性质2设函数 的原函数存在，k为非零常数，则
;
.
熟练掌握这些常见的凑微分形式，是用第一换元积分法求不定积分的基础.
对于被积函数较复杂时，将被积表达式写成 ，对 或其主要部分 求导，若其导数为 的常数倍，则
或
其中 为常数．
计算 型积分时，可以通过恒等变形（加零劈项或分子分母同乘以 ）化为已知类型的不定积分.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例4.6 ().
分析本题为有理函数的不定积分，四种简单有理式之一 ，按固定解法做即可．
计算三角函数有理式的积分 ，一般有以下三种方式:
①令 ,
.
② 利用三角恒等式化简;
③特殊代换
若 ，可令 ；
若 ，可令 ；
若 ，可令 .
简单无理函数的积分
① ,
可令 ，其中N为 的最小公倍数.
② ,
可令 ，其中N为 的最小公倍数.
二、典型题精讲
题型1.利用概念或基本公式计算不定积分
【方法与技巧】
（1）熟练掌握原函数和不定积分的定义是解题的基础.概念题常见的类型有:
.
方法三将被积函数的分子分母同乘以 ,凑微分后再积分.
.
例4.9求不定积分 .
分析本题为三角函数有理式的积分，作三角恒等变形，再用公式求不定积分．
解方法一将被积函数三角恒等变形后再积分.
.
方法二将被积函数的分子分母同乘以 ,凑微分后再积分.
.
例4.10求不定积分 .
分析本题为简单无理函数的积分，作变量代换或凑微分后再积分.
① 已知函数的原函数,求函数关系式;
②已知函数的导数或导数的复合关系,求函数关系式；
③ 综合运用原函数与不定积分的概念求不定积分等.利用原函数及不定积分的概念解题时,常用下面关系式:
; ;
; .
（2）熟练掌握基本积分公式，利用恒等变形（如一项拆成多项，分解因子，分母有理化，三角变换等）后再求不定积分.
.
（3）.基本积分公式
(k是常数)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
2.求不定积分的基本方法
（1）第一类换元法
定理1设 具有原函数， 可导，则有换元公式
.
常用的几种配元形式:
① ，
② ，
③ ，
④ ，
⑤ ，
⑥ ，
⑦ ，
⑧ .
（2）第二类换元法
定理2设 是单调的可导函数，且 .又设
具有原函数，则有换元公式
解
.
题型3.利用第二类换元法计算不定积分
【方法与技巧】
第二类换元积分的基本思想是:通过变量代换消去被积函数中的根式或把比较难计算的不定积分化为容易求的不定积分.常见的变换有下面几种形式：
(1)被积函数中含有 时,令 ；
(2)被积函数中含有 时,令 ；
（3）被积函数中含有 时,令
(4)对于被积函数中含有 形式时，可考虑作变量代换 .例 型积分，一般通过变量代换 可以化为已知类型的不定积分.
第四章不定积分
一、知识点梳理
1.不定积分的概念与性质
（1）原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间I上，可导函数 的导函数为 ，即对任一 ，都有
或 ，
那么函数 就称为 （或 ）在区间I上的一个原函数.
原函数存在定理如果函数 在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数 ，使对任一 都有 .
即，连续函数一定有原函数.
例4.1若 的导函数为 ,则 的一个原函数为（）.
; ; ; .
分析由原函数的定义，先确定 ，再求 的一个原函数.或直接对每个选项求二阶导数来判定.
解 取 于是 .
令 ,则得 的一个原函数 ,故应选(B).
例4.2设 是连续函数, 是 的原函数,则下列结论正确的是( ).
(A)当 是奇函数时， 必是偶函数；
解原式
.
所以答案应为： .
例4.7求 ．
分析本题为简单无理函数的积分，将被积函数恒等变形，再用公式 求不定积分．
解方法一
.
方法二
.
注意由此例可见,不定积分的结果的表达形式是不唯一的.
例4.8求 .
分析本题为 形式.
解方法一加零劈项,凑微分后再积分.
.
方法二将被积函数的分子分母同乘以 ,恒等变形后再积分.
求有理函数的不定积分，可归结为求多项式与以下面四种简单有理式的不定积分
① ;
② ;
③ ;
④ 为大于1的正整数， .
三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数以及常数经过有限次的四则运算所构成的函数。由于 ， ， ， 都可以用 和 表示，所以，一切三角函数有理式都可以表示为关于 和 的有理式，记作 .
(B)当 是偶函数时， 必是奇函数；
(C)当 是周期函数时， 必是周期函数；
(D)当 是单增函数时， 必是单增函数．
解可用排除法.
(B) 是偶函数，但原函数 不是奇函数；
(C) 是周期函数，但原函数 不是周期函数；
(D) 是单增函数，但原函数 不是单增函数．
所以应选（A）．
例4.3已知 ，且 ,则 .
分析先作变量代换，确定 后再由不定积分求 .
解令 ，则 .所以
,
由 ，得 ,
故 .
例4.4求 .
分析拆项凑微分,把被积函数化为 的代数和的形式,再按公式积分．
解
.
例4.5求 .
分析本题为三角函数有理式的积分，作三角恒等变形，再用公式求不定积分．
解
.
题型2.利用第一类换元法计算不定积分
【方法与技巧】
第一换元积分法也叫凑微分法.其基本思想就是通过凑微分，把不定积分化为能利用基本积分公式的形式.常用凑微分的形式（除去前面的八种形式外）还有: