47对勾函数的性质及应用
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。
它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。
在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。
从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。
在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。
在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。
阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。
对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。
在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。
当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。
对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。
在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。
开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。
对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。
此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。
例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。
对勾函数具有一些重要的性质。
首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。
它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。
其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。
此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。
它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。
(完整版)对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数,又被
对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，又被称为“双勾函数”，“勾函数”.不过由于数学教材中对对勾函数涉及较少，学生对相关知识的学习比较分散，也缺乏系统的归纳和提升.因此，学生应在适当的时候，及时加以总结、巩固和提高.对勾函数作为考试的内容时，主要考察单调性、极值、值域等.因此，理解对勾函数的知识，灵活运用这些知识点的技能，对掌握一些题目的做法大有裨益.所谓的对勾函数，是形如()bf x ax x=+ （0,0a b >>）的函数，由它的图像得名. 对勾函数的性质如下：（1）定义域为()(),00,-∞+∞U（2）值域为(),⎡-∞-+∞⎣U （3）奇偶性：在其定义域上是奇函数（4）单调性：单调增区间为⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭.单调减区间⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝. （5）渐进性：渐进线是y 轴和直线y x =方法一：利用单调性的定义进行证明:任意取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <则()()12f x f x -1212b b ax ax x x =+--，()()211212b x x a x x x x -=-+()1212b x x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()121212a bx x x x x x -=-()*,要判定此式的正负只要确定12a bx x -的正负即可.这样，又需要判断12x x 与ba的大小，由于12,x x 的任意性，考虑到要将区间()0,+∞分为⎛ ⎝与⎫+∞⎪⎪⎭（1） 当12,x x ⎛∈ ⎝时，120b x x a <<，120x x -<.∴()*式小于0，即()()120f x f x ->，∴()()21f x f x <.∴()f x 在⎛ ⎝上是减函数（2） 当12,x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时12bx x a >，∴()*式大于0即()()120f x f x -<∴()()21f x f x >，∴()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上是增函数. 同理可得，（3）当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()bf x ax x =+是减函数.（4）当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()b f x ax x=+是增函数综上所述()b f x ax x =+在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上是增函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上是减函数 方法二：通过导数的知识来探究单调性.()bf x ax x=+，()222b ax bf x a x x -'=-=，令()0f x '=，1,2x =⎫⎪⎪⎭和⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.相应的极大值为-当,x ⎛∈-∞ ⎝，()0f x '>，此时()f x 单调递增当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '<，此时()f x 单调递减当x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，此时()f x 单调递减当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增一、对勾函数值域及其应用对勾函数的值域在高中数学中是一个重要的知识点.对于对勾函数，当其定义域为()(),00,-∞+∞U ，函数不存在最值，但存在极值.值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ；当其定义域为(),0-∞或()0,+∞时，函数存在最值.利用对勾函数的这一性质，我们可以解决一类复杂的函数的值域问题. 例1求21log (2)y x x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭的值域 分析：由已知先求出1x x+的范围，这是关键部分，然后再根据对数函数的单调性，求解. 解：令1u x x=+(2)x ≥ ∴ 55220u u u ⎧≥⎪⇒≥⎨⎪>⎩ ∴225log log 2y u =≥ ∴函数的值域为25log ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2 若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12tan tan x x+的最小值为 分析：根据x 的范围，求出tan x 的范围.再根据对勾函数的图像，求出最值. 解：令tan t x =()0t >∴11222y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭令()()120g t t t t=+>，由对勾函数的单调性及最值知识，()min g t =∴min y =例3（2006，上海高考）已知函数有ay xx=+如下性质：如果常数0a>，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数.（1）如果函数()2by x xx=+>的值域为[)6,+∞，求b的值（2）研究函数22cy xx=+（常数0c>）在定义域内的单调性，并说明理由（3）对函数ay xx=+和22ay xx=+（常数0a>）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数()2211n nF x x xx x⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（n是正整数）在区间上的最大值和在最小值（可利用你的研究结论）分析：根据题目已知，灵活使用对勾函数的性质，进而解决问题.解：(1)由题意得，2by xx=+在(上是减函数，在)+∞上是增函数，∴当x=，函数2by xx=+取得最小值6.6b=，∴2log9b=(2)设120x x<<，2221212221c cy y x xx x-=+--()222122121cx xx x⎛⎫=--⎪⎝⎭.12x x<<时，21y y>函数22cy xx=+在)+∞是增函数；当120x x<<< 21y y<.函数22cy xx=+在(上是减函数.又22cy xx=+是偶函数，于是，该函数在上(,-∞是减函数，在)⎡⎣上是增函数；(3)当n是奇数时，函数nnay xx=+在(0,上是减函数，在)⎡+∞⎣上是增函数，在(,-∞-上是增函数，在)⎡⎣上是减函数.当n是偶数时，函数nnay xx=+在(0,上是减函数，在)⎡+∞⎣上是增函数，在(,-∞-上是减函数，在)⎡⎣上是增函数；()2211n nF x x xx x⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212322311n nn nn nC x C xx x--⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231r n r n n r C x x --⎛⎫++ ⎪⎝⎭L 1n nn n C x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L 因此()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在[]1,2上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，()F x 取得最小值12n +例4 求下列函数在(]1,2x ∈的值域 （1）21xy x =+ （2）232x x y x++=分析：对函数进行变形，进而根据x 的范围，求出1x x+的范围，求出值域. 解： （1）2111x y x x x==++ ∵(]1,2x ∈ ∴152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦ ∴121,152x x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+ ∴值域为21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭（2）解：23223x x y x x x++==++ ∵(]1,2x ∈∴2x x⎡⎤+∈⎣⎦∴值域为3,6⎡⎤⎣⎦ 例5(2008,江西高考) 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则函数()()1()F x f x f x =+的值域是（）A 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 103,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：令()t f x =，则()1y F x t t ==+，其中1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由()0b y x b x =+>的单调性知b y x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(]1,3是增函数.又当12t =时，152y =； 当3t =时，210532y => 当3t =时max103y =； 当1t =时，min 2y =当1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1102,3y t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦函数()()()1Fx f x f x =+的值域为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、对勾函数的图像应用 例1解不等式44a a+> 解：方法一：(1)当0a <，显然不成立(2)当0a >时，244a a +>，∴()220a ->，∴0a >且2a ≠.方法二：把分式不等式化为整式不等式()220a a ⇔->，∴0a >且2a ≠（穿针引线法，奇穿偶不穿）方法三：根据函数4y x x=+的图像， 图像在()0,+∞上最小值是4，∴0a >且2a ≠例2 ()11f x x x =+-的图像关于（）对称 A x 轴 B y 轴C 点()1,1D 直线1x =解析： ()1111f x x x =-++- 而()1f x x x=+是奇函数，所以图像关于()0,0对称. ∴()111g x x x =-+-的图像关于()1,0对称∴()1111f x x x =-++-图像关于()1,1对称. 例3 设()f x 的图像向左向上分别平移一个单位，得到()g x 的图像，又()g x 的图像关于1x =对称的是()1h x x x=+的图像，求()f x 的图像. 解： ()y h x =与()2y h x =-关于1x =对称.∴()()1222g x h x x x=-=-+- ∴()()()121121f x x x =--+---123x x=-++-本文就对勾函数性质的应用做了一个简单的介绍，充分认识到了对勾函数图像和性质在解决问题中的重要性.正确掌握这些知识，并灵活使用，有待同学们更深入的去研究，从而使我能进一步理解函数思想和函数方法，进而培养了学生从数学角度分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.。
对勾函数图像
对勾函数图像引言在数学中，对勾函数是一种常见的数学函数，通常用来表示一个变量随另一个变量的变化而变化的关系。
对勾函数通常用来描述两个变量之间的简单和直接的联系。
本文将介绍对勾函数的基本概念和性质，并通过绘制对勾函数的图像来展示其特征。
对勾函数的定义对勾函数是一种特殊的函数，通常表示为y=f(x)的关系式。
在对勾函数中，对于每一个x，对应有唯一的y，反之亦然。
简言之，对勾函数是一种一对一的函数关系。
对勾函数的性质1.单调性对勾函数通常具有单调性，即当x1<x2时，对应的y1<y2，或者当x1>x2时，对应的y1>y2。
2.定义域和值域对勾函数的定义域是所有可能的x的取值范围，而值域是所有可能的y的取值范围。
对勾函数通常具有明确的定义域和值域。
3.关于坐标轴的对称性对勾函数通常具有某种关于坐标轴的对称性，可以是关于x轴、y轴或者原点的对称性。
4.渐近线一些对勾函数可能具有渐近线，这些线可以帮助我们更好地理解函数的特征。
对勾函数图像的绘制为了更好地了解对勾函数的性质，我们可以通过绘制对勾函数的图像来展示其特征。
下面我们将给出一些实际的例子。
例子一考虑对勾函数y=2x+3。
我们可以通过构建一个x−y的坐标系，选择若干个x的值，计算相应的y值，并将这些点连接起来，就可以得到对应的函数图像。
例子二考虑对勾函数 $y = \\sqrt{x}$。
这是一个常见的对勾函数，表示y和x之间的平方根关系。
我们同样可以通过选择x的值，计算相应的y值，并绘制函数图像。
结论本文介绍了对勾函数的基本概念和性质，通过绘制对勾函数的图像，展示了其特征。
对勾函数是数学中一个重要的概念，对于理解函数关系和数据之间的联系具有重要意义。
通过对勾函数的学习，我们可以更好地理解数学模型，并在实践中应用。
以上就是关于对勾函数图像的介绍，希望对读者有所帮助。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数的性质及图像
对勾函数的性质及图像
对勾函数是一类常见的抽象函数，它也被称为条件函数。
以一般形式来讲，它有两个参数：一个表示参数，另一个表示值，它把第一个参数映射到第二个参数，其表达式为：y=f(x)，当且仅当条件C成立时才有定义。
这里，参数x表示满足条件C的状态，而参数y表示对应的返回的值。
二、对勾函数的特性
（1）对勾函数是一种非线性函数，它的表达式不是一次方程或者一个多项式，它的表达式可以是任意的。
（2）当参数f与参数x相同时，对勾函数的值也可以不同。
（3）对勾函数是一种强烈以条件为导向的函数，只有当条件C 满足时，函数f才有定义，这使得对勾函数可以精准地控制函数参数的行为。
三、对勾函数的图像
对勾函数的图像包括折线图、曲线图以及平面图等多种类型。
用折线图表示时，把y=f(x)作为一组直线方程可以分别画出两条直线，而这两条直线都是y>=(f(x)的解析解。
用曲线图表示时，可以把对勾函数的图像表示为一条曲线，其中的曲线是y>=(f(x)的解析解，因此曲线图可以表示函数f的连续性。
四、总结
对勾函数是一类常见的抽象函数，它的表达式可以是任意的，且只有当特定条件满足时才有定义。
对勾函数的图像可以用折线图、曲
线图以及平面图等多种类型表示。
这些特性使得对勾函数在许多方面得到了广泛的应用，例如在人工智能中，它通常用于推理过程，给定一组条件，可以用函数f来计算出各种可能的结果，从而让系统变得更加智能。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数知识点
对勾函数知识点对勾函数是一种常见的数学函数，也是离散数学中的一个重要概念。
它在逻辑学、集合论等领域有着广泛的应用。
本文将从对勾函数的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和运用对勾函数。
一、对勾函数的定义和性质对勾函数，又称为特征函数、示性函数或指示函数，是一种从一个集合到一个二元集合（通常是{0, 1}）的函数。
对于给定的集合A，对勾函数的定义如下：f(x) = {1, if x ∈ A;0, if x ∉ A.其中，x表示集合A中的元素，∈表示属于的关系。
对勾函数的性质如下：1. 对勾函数的值只能是0或1，表示元素是否属于集合A。
2. 对勾函数是一种离散函数，它只对集合A中的元素有定义。
3. 对勾函数是一种分段函数，对于集合A中的元素，对勾函数的值为1，对于不属于集合A的元素，对勾函数的值为0。
4. 对勾函数的定义域是集合A的全体元素组成的集合，值域是{0, 1}。
二、对勾函数的实际应用对勾函数在逻辑学、集合论以及计算机科学等领域有着广泛的应用。
下面我们将介绍对勾函数在这些领域中的具体应用。
1. 逻辑学中的应用：在逻辑学中，对勾函数常被用来表示命题的真假。
如果一个命题为真，则对应的对勾函数值为1；如果一个命题为假，则对应的对勾函数值为0。
通过对勾函数，我们可以方便地进行逻辑推理和证明。
2. 集合论中的应用：对勾函数在集合论中起到了重要的作用。
通过对勾函数，我们可以方便地表示集合之间的关系和运算。
例如，两个集合的交集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的乘积；两个集合的并集可以用对勾函数表示为两个对勾函数的最大值。
3. 计算机科学中的应用：对勾函数在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，在算法设计中，对勾函数可以用来表示某个元素是否满足某个条件，从而方便地进行选择和判断。
在数据结构中，对勾函数可以用来表示一个集合是否为空，从而实现集合的操作和处理。
三、对勾函数的扩展除了上述介绍的基本对勾函数外，还有一些对勾函数的扩展形式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式能够得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、关于求函数()01>+=x xx y 最小值的解法1. 均值不等式 0>x ，∴21≥+=xx y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y 2. ∆法 0112=+-⇒+=yx x xx y 若y 的最小值存有，则042≥-=∆y 必需存有，即2≥y 或2-≤y （舍）找到使2=y 时，存有相对应的x 即可。
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类型
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调性
在 上单调递增
在 上单调递减
②当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 。
综上所述，函数 的值域为 。
【题型7】函数 。
此类函数可变形为标准形式： .
【例12】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，则 ，显然在 上单调递增，故 ，此时 ，故函数 的最小值为 。
【例13】函数 的值域为.
【答案】
【解析】由题可知，函数 ，令 ，故 ，故函数 的值域为 。
类型
图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
奇函数
单调递增区间
单调递减区间
最值
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
【例4】函数 的在区间 上的值域为
【答案】
【解析】 ， ， 函数 在 上单调递增， ，当且仅当 时取等号，即 。
【例5】如 ， ，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】由题可知， ，令 ， ， ，
在 上单调递减， ，即 ， ，故 ，得 。
【例1】函数 的值域为
【答案】
【解析】显然函数的定义域为 ， 。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 取等号;
综上所述，函数 的值域为 。
【例2】函数 的值域为
【答案】
【解析】易知函数 的定义域为 ，
。
①当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
②当 时, , ,当且仅当 ，即 时取等号;
【题型4】函数 .
可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到。
【例6】已知 ，则函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知， ， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号 函数 的最小值为 。
【例7】已知 ，则函数 的最大值为。
【答案】
【解析】由题可知， ， ， ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号，故函数 的最大值为 。
【题型5】函数
这类型题目，可以令 ，得 ，代入原函数，将其转化为关于 的函数求解。
【例8】函数 在区间 上的最大值为。
【解析】
【解析】由题可知，令 ，则 ， ，令 ，故 ，当且仅当 ，即 ，即 时取等号。 函数 在区间 上的最大值 。
【例9】函数 在区间 上的最大值。
【答案】
【解析】由题可知， ， ，令 ， 则 ，即
综上所述，函数 的值域为 。
【题型2】函数 。
此类函数可变形为 ，可由对勾函数 上下平移得到。
【例3】函数 的值域为
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
①当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号;
②当 时， ,当且仅当 ，即 时取等号;
综上所述，函数 的值域为 .
【题型】函数 。
此类函数定义域为 ，且可变形为 (当 时单调考虑。)
，当且仅当 ，即 取等号，故函数 在区间 上的最大值为 。
【题型6】函数 .
此类函数可变形为对勾函数的标准形式，即 。
【例10】函数 的最小值为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 的定义域为 ，
，当且仅当 ，即 时取等号。
【例11】函数 的值域为。
【答案】
【解析】由题可知，函数 的定义域为 ，
①当 时， ;
专题47、对勾函数的性质及应用
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，故称“对勾函数”，也称“耐克函数”或“双勾函数”。对勾函数的图像与性质如下表：
解析式
图像
定义域
值域
特殊点
奇偶性
奇函数
奇函数
奇函数
增区间
减区间
【题型1】函数
此类函数可变形为 ，则 可由对勾函数 左右平移，上下平移得到