双勾函数的性质及应用

双勾函数的性质及应用 Revised by Petrel at 2021“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2y =的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2y ==，此时如果利用均值不等式，即2y ==，而=显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢这种形式的函数又具有何特征呢是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义我们把形如()kf x x x=+（k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kf x x x =+（k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像y 2ba=-．y 2ba=-．二次函数图“双勾函数”图像（2）“双勾函数”性质的探究①当0x>时，在x=y随着x的增大而减小；在x=y随着x的增大而增大；当x=y有最小值②当0x<时，在x=y随着x的增大而增大；在x=侧，y随着x的增大而减小．当x=y有最大值-．综上知，函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,x x∈R，且12x x<，则1212121212121212()()()()()(1)x x x x ka k kf x f x x x x xx x xx x x---=+--==--．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x≠，∴0x=就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x==，210kx-=可得到x=()f x的定义域分为(,-∞，[，，)+∞四个区间，再讨论它的单调性．设120x x<<≤12x x-<，12x x>，120x x k<<，∴12x x k-<．∴121212121212()()()()0x x x x kk kf x f xx xx x x x---=+--=>，即12()()f x f x>．∴()f x在上单调递减．同理可得，()f x在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在[上单调递减．故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，在[和上单调递减．性质启发：由函数()(0)kf x x k x =+>的单调性及()f x 在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()y f x =的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1）“二次函数”的区间最值设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a=-2， ①当a >0时，抛物线开口向上．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x ba=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当0a <时，抛物线开口向下．若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值； 若-∉b a m n 2[]，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x ba=-2较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当a >0时，max121()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图如图，，≤≤，．max 78()()()22()()2b b fx f m n a a b f m m a ⎪⎪=--⎨⎪⎪-<⎪⎩如图如图，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩如图如图，≥，．分析：①当0x >时，其图像为第一象限部分． []m n ，，则函数必在界点x =端点处的函数值；[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x <时，其图像为第三象限部分．若[]m n ，，则函数必在界点x =个端点处的函数值；图1 图2 图3图4 图5图6 图7图8 图9图10若[]m n ，，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离直线x =远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论． ①当0x >时，230400010x y x =-+．问： （1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本； （2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为yS x=万元． 即400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)+∞上为增函数．所以当200x =时，函数400014000030()301010y x S x x x x==+-=+-有最小值为140000(200)301010200S =+-=最小（万元）， 所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元． （2）设年获得总利润为Q 万元，图14 图15图16则2211616304000(230)12901010x Q x y x x x =-=-+-=-+，当230(150,250)x =∈，1290Q =最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x 吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶．分析：要计算全程的运输成本s bv v abv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本s bv v a bv a v s y )()(2+=+=(v <0≤c )，所要解决的问题是求bv v a+何时取最小值，显然要对c 的大小进行讨论，讨论的标准也就是c 与ba的大小． 解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为s bv v abv a v s y ⋅+=+⋅=)()(2，又据题意v <0≤c ，故所求函数及其定义域分别为：)(bv vas y +⋅=，],0(c v ∈．（2）设()()aab u f v bv b v v v ==+=+，∴u 在],0(b a上是减函数，在)+∞上是增函数． ①若ba≤c ，结合“双勾函数”的性质知， 当bav =时运输成本y 最小． ②若c ba>，函数在],0(c 上单调递减，所以当c v =时，全程运输成本最小．评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()f x 在R 上有定义，对任意实数0a >和任意实数x ，都有()()f ax af x =．（Ⅰ）证明(0)0f =；（Ⅱ）证明0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩，≥，，其中k 和h 均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >，设1()()(0)()g x f x x f x =+>，讨论()g x 在(0)+∞，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =．（Ⅱ）①令x a =，∵0a >，∴0x >，则()()2f x xf x =．假设0x ≥时，()f x kx =(k ∈R ），则()22f x kx =，而()2xf x x kx kx =⋅=，∴()()2f x xf x =，即()f x kx =成立．②令x a =-，∵0a >，∴0x <，()()2f x xf x -=- 假设0x <时，()f x hx =()h R ∈，则()22f x hx -=-，而()2xf x x hx hx -=-⋅=-，∴()()2f x xf x -=-，即()f x hx =成立．∴(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩成立．（Ⅲ）当0x >时，()()()2111()k g x f x kx k x f x kx x=+=+=+， 由“双勾函数”性质知在1(0,]k 上为减函数，在1[,)k+∞上为增函数，所以当1x k=时，min [()]2g x =．评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧．适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分．本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为(1)λλ<，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小如果要求23[,]34λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小分析：设定变元x ，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为x cm ，宽为x λcm ，则24840x λ= 设纸张面积为S cm 2，则有2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++,将2210x λ=代入上式得,58500035210(S λλ=+,(0)t t λ=>，则58()500035210()(0)S t t t t=++>，函数S 在5]8上为减函数，在5,)8+∞上为增函数， 所以当58t =S 取最小值， 此时55(1)88λ=<，高：484088x λ==cm ，宽：588558x λ=⨯=cm ．如果23[,]34λ∈，则235,],)348t ∈⊆+∞， 所以函数S 在23[,]34上为增函数，故当23t =S 取最小值，此时23λ=．评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画．要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．。