凸函数的性质及其应用

中文题目：凸函数的性质及其应用英文题目：The Property and Applications of ConvexFunctions完成人：指导教师：系（院）别：数学与信息科技学院专业、班级：数学与应用数学0602班完成时间：二〇一〇年六月河北科技师范学院数信学院制目录中文摘要 (1)1 引言 (1)2 预备知识 (1)2.1 凸函数的定义 (2)2.2凸函数的运算性质 (2)2.3 Jesen不等式 (2)3 本文的主要结果 (3)3.1 凸函数的连续性 (3)3.2 凸函数的微分性质 (3)3.3 凸函数的积分性质 (6)3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7)结束语 (12)参考文献 (12)英文摘要 (13)致谢 (13)凸函数的性质及其应用(河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班)指导教师：摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。

本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。

并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。

关键词: 凸函数；不等式；证明1 引言凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】。

对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有着十分重要的作用【4】。

人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。

函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。

对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。

在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的【7】。

凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。

本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】。

凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。

应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】。

由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。

数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】。

另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。

2 预备知识2.1 凸函数的定义定义1【10】设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ∀∈,总有1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。

若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹）函数。

定义2【10】设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有1212()()()22x x f x f x f ++<,那么称()f x 是区间I 上的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的; 如果恒有1212()()()22x x f x f x f ++<,则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上的。

定义3【10】设函数()f x 在I 内可导,对任意0x I ∈,如果过点))(,(0x f x M 的切线位于)(x f y = 的下方,即))(()()(000x x x f x f x f -'+>,I x ∈0则称函数)(x f 为I 内的凸函数;如果有过点))(,(0x f x M 的切线位于)(x f y =的上方, 即))(()()(000x x x f x f x f -'+<, 则称函数)(x f 为I 内的凹函数。

定义4【10】设函数)(x f 在I 内可导,如果)(x f '在I 内是递增的,则称函数)(x f y '=为I 内的凸函数;如果)(x f '在I 内是递减的,则称函数)(x f y '=为I 内的凹函数。

2.2凸函数的运算性质定理2.2.1【7】若(),()f x g x 均为[,]a b 上的凸函数，则()()f x g x +也是[,]a b 上的凸函数。

定理2.2.2【7】设1()f x 为[,]a b 上的凸函数，λ为正常则()f x λ也为[,]a b 上的凸函数。

定理2.2.3【7】若()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数。

定理 2.2.4【7】设)(x f 与)(x g 都是],[b a 上的非单调递增的凸函数，则)()()(x g x f x h =也是其上的凸函数。

2.3 Jesen 不等式定理2.3.1【9】Jesen 不等式：若f 为[,]a b 上的凸函数,则对任意],[b a x i ∈，0>i λ,n i ,,2,1 =, 11ni i λ==∑ ，有()11n ni i i i i i f x f x λλ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑该不等式称为Jensen 不等式,该性质是凸函数的一个重要性质,也是定义的一般情况. 可以说,凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的,因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式,因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用. 利用它我们可以推出常用的一些重要公式,为我们证明不等式开辟了一条新路。

推论1：设()f x 在(),a b 为凸函数，(),i x a b ∈，1,2,,i n =，则()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当12n x x x ===时等号成立。

3 本文的主要结果下面我们探讨凸函数的分析性质：3.1凸函数的连续性定理3.1.1若()f x 在区间I 为凸函数，则()f x 在区间I 的任意一点x 连续。

证明：因x 为内点，故∃12,x x I ∈，使12x x x <<，因此1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--，且当1x 严格增加时，11()()f x f x x x --严格增加，由单调有界性定理知1'11()()()lim x x f x f x f x x x --→-=-存在，即()f x 在内点x 左可导，同理可证()f x 在内点x 右可导，从而()f x 在内点x 连续，因此()f x 在区间I 的任意一点x 连续。

3.2凸函数的微分性质定义 1 设f 为[],a b 上的凸函数，(),x a b ∈若常数p 满足：()()()[],,f y f x p y x y a b ≥+-∀∈则称常数p 为f 在x 的一个次梯度；f 在x 的所有次梯度构成一个集合, 称为f 在x 的次微 分 ，记为()f x ∂，即()()()()[]{},,f x p R f y f x p y x y a b ∂=∈≥+-∀∈因为()f x ∂是一个非空闭凸集，且当f 在x 可 微时有()(){}'f x f x ∂=。

引理 1 设f 为[],a b 上的连续凸函数,(),x a b ∈，则x 为f 在[],a b 上的极小值 点当且仅当()0f x ∈∂。

证明 因为f 在[],a b 上连续，所以f 在[],a b 上有界。

设若()p f x ∈∂。

则有()()[],,f y f x y a b ≥∀∈即()()[],,f y f x y a b ≥∀∈，所以x 为f 在[],a b 上的极小值点。

反之，如果x 为f 在[],a b 上的极小值点，则必有()()[],,f y f x y a b ≥∀∈所以由定义1 知()p f x ∈∂。

定理3.2.1 设f 为[],a b 上的连续凸函数，则对于任意的()0,x a b ∈及任意的()0p f x ∈∂，总存在两个异于0x 的点1x ，2x [],a b ∈, 使得()()2121f x f x p x x -=-证明 我们分两种情况来证明结论： 1) 0p = 的情形。

此时，据引理1 可知()0f x 为f 在[],a b 上的极小值 ( i) 如果()()f a f b =，可取1x a =，2x b =，使得：()()21210f x f x p x x -==-( ii) 如果()()f a f b ≠。

不失一般性 ，可设()()f a f b <。

当()()0f a f x = 时 ，由()0f x 为f 在[],a b 上的极小值及f 的凸性可知()()()()()()()000011a f x f x f a f x f x λλλλ≤+-≤+-=，[]0,1λ∀∈这表明f 在[]0,a x 上取常值, 此时令0123a x x +=，0223a x x +=就有()()21210f x f x p x x -==-当()()0f a f x >时 ，注意到()()()0f x f a f b <<且f 在[]0,x b 上连续, 由连续函数 的介值性定理可知 ，存在()20,x x b ∈ ，使得()()2f x f a =。

此时取1x a =便有()()21210f x f x p x x -==-2) 0p ≠的情形。

构造函数[]:,F a b R →, 这里()()()()F x f x f a p x a =---。

则F 满足： ( i) F 为[],a b 上的连续凸函数； ( ii) ()0p F x ∈∂。

第一点很容易验证. 以下来说明第二点.事实上, 由于()0p F x ∈∂，据次梯度的定义可知()()()00f x f x p x x ≥+-，[],x a b ∀∈于是有()()()()()()()[]000,,f x f a p x a f x f a p x a p x x x a b ---≥---+-∀∈这表明()0p F x ∈∂。