必修1随堂练.2对数函数的图象及性质的应用
高中数学人教A版必修第一册 课时训练 分层突破 对数函数的图象和性质的应用(习题课)
第2课时对数函数的图象和性质的应用(习题课)选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g 13π，b=log 3π，c=log 4π，则( A )A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22. 综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数， 所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是;若x∈[1，92]，则函数f(x)的值域是.解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)= -log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数，所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x2-2ax+3，则y=lo g12t在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a≥2,4-4a+3≥0,所以a≥2，且a≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9;(1)求f(3)的值.(2)令t=log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.解:(1)因为函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，且19≤x≤9，故f(3)= log327·log39=3×2=6.(2)令t=log3x，19≤x≤9，则-2≤t≤2，且f(x)=(log3x+2)(1+log3x)=t2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]，故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数，g(x)=λf(x). (1)求实数a 的值;(2)若g(x)≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围. 解:(1)函数f(x)=ln(e x +a)是定义域为R 的奇函数， 则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0， 故函数f(x)=ln e x =x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x 是奇函数，满足条件，所以a=0. (2)由(1)知f(x)=x ，g(x)=λx ，则λx ≤xlog 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，即λ≤log 2x 在x ∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log 2x 在x ∈[2，3]上单调递增，最小值为log 22=1， 所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。
高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（ ）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（ ） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（ ）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小： （1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3； （3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）． （2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论． （3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小． 【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ． 故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合； 对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合； 故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增 所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意； 对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意； 对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ； 对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可 【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立 所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小； （3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2） 由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2） 当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立 所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案； （2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论； （3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围． 【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭． 所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ． （3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立 即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可 【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增 综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ． 故答案为1(,0]2-． 【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立 即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根 整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增 又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。
对数函数及其图像与性质的应用
x
1 O
2
x
A.
B.
C.
D.
题醉了
一、典型例题 2 、与对数函数有关的不等式 2 例题 2 若 loga（a +1）<loga2a<0,则 a 的取值范 围是（
B
1 1 ）A.(0,1) B.( ,1) C.(0, 2 ) D.(1, ) 2
1 ( , ) 2
【变式训练】 （1 ）若 log0.5 （4x-1）<log0.52x, 则 x 的取值范围是 是
5 (2, ) 2
.
（2 ）若 log3（10-4x ）<log3 x,则 x 的取值范围 .
题醉了
【变式训练】 （3 ）已知函数 f(x)=lg(x+1), 解关于 x 的不等式 0<f(x+2)<1.
( 1, 7)
一、典型例题
题醉了
3 、与对数函数有关的奇偶性问题 例题 3 定义在 R 上的函数 f(x)=ln( 1 4x2 2x )是 （
谢谢观看！
题醉了
【变式训练】 （1 ）对于定义在 R 上的偶函数，f(x) 在[0， ）是 单调增函数，若 f(1)<f(lgx), 求 x 的取值范围.
x 1或x 1
（2 ）已知函数 f(x)=lg（ax +2x+1 ）. a 1 ①若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； ②若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围. 0 a1
一、典型例题 5 、与复合函数有关的问题 例题 5 1.判断下列函数的单调性并求单调区间. （1 ）y=lg(1-3x) （2 ）y=lg(x -3x+2)
2
人教版2017高中数学(必修一)2.2习题课 对数函数及其性质的应用PPT课件
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解对数函数的单调性,并能 利用单调性比较大小. 2.能利用对数函数的单调性解简 单的对数不等式. 3.能解简单的对数综合问题.
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对数函数的图象和性质 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表所示:
底数 a>1 图象 定义域:(0,+∞) 值域:(-∞,+∞) 当 x=1 时,y= 0,即图象恒过定点(1,0) 性质 当 x>1 时,y> 0; 当 x>1 时,y< 0; 当 0<x<1 时 ,y<0 当 0<x<1 时 ,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 0<a<1
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变式训练1 比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π,logπ3. 解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2. (2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2. 故当a>1时,loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的图象和性质的应用(习题课)
第2课时 对数函数的图象和性质的应用(习题课)对数函数的单调性类型一 利用单调性比较大小 [例1] 比较下列各组数的大小. (1)lo g 1245与lo g 1267;(2)lo g 123与lo g 153;(3)log a 2与log a 3(a>0，且a ≠1). 解:(1)y=lo g 12x 在(0，+∞)上单调递减，又因为45<67，所以lo g 1245>lo g 1267.(2)因为在x ∈(1，+∞)上，y=lo g 15x 的图象在y=lo g 12x 图象的上方，所以lo g 123<lo g 153.(3)当a>1时，y=log a x 为增函数， 所以log a 2<log a 3;当0<a<1时，y=log a x 为减函数， 所以log a 2>log a 3.比较两个对数值大小的方法 (1)log a b 与log a c 型(同底数) ①构造函数y=log a x; ②判断b 与c 的大小关系; ③利用y=log a x 的单调性比较大小.(2)log a c与log b c型(同真数)①在同一平面直角坐标系中作y=log a x与y=log b x的图象;②作直线x=c与两图象分别交于A，B两点;③根据点A，B高低判断对数值的大小.(3)log a b与log c d型(底数不同，真数不同)①取中间值，通常为1，0，log a d或log c b;②把两个对数值与中间值进行比较;③利用不等关系的传递性，间接得到对数值的大小关系.针对训练1:比较下列各组数的大小.(1)log a2.7，log a2.8(a>0，且a≠1);(2)log34，log65;(3)log0.37，log97.解:(1)当a>1时，由函数y=log a x的单调性可知log a2.7<log a2.8;当0<a<1时，同理可得log a2.7>log a2.8.(2)log34>log33=1，log65<log66=1，所以log34>log65.(3)log0.37<log0.31=0，log97>log91=0，所以log0.37<log97.类型二对数不等式解法[例2] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);(2)若log a 23<1，求实数a 的取值范围.解:(1)原不等式等价于{x +1>0,1-x >0,x +1>1-x ,解得0<x<1.所以原不等式的解集为(0，1).(2)若a>1，则log a 23<1=log a a ，所以a>1.若0<a<1，则log a 23<1=log a a ，所以0<a<23，综上所述，实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，+∞).(1)log a f(x)<log a g(x)，a>1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )<g (x )同解.(2)log a f(x)<log a g(x)，0<a<1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )>g (x )同解.(3)特别地，当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论.针对训练2:解关于x 的不等式. (1)log 0.1(x+2)>log 0.1x 2; (2)log a (x+1-a)>1.解:(1)原不等式等价于{x +2>0,x 2>x +2,x 2>0解得-2<x<-1或x>2，故原不等式的解集为{x|-2<x<-1或x>2}. (2)①当a>1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a >a ,解得x>2a-1.②当0<a<1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a <a ,解得a-1<x<2a-1.综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}; 当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}. 类型三 对数型复合函数的单调性[例3] 求函数f(x)=log a (2x 2-3x-2)的单调区间.解:由2x 2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-12}.当a>1时，y=log a t 为增函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减.当0<a<1时，y=log a t 为减函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递减，在(-∞，-12)上单调递增.综上可知，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-12);当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-12)，单调递减区间为(2，+∞).解决对数型复合函数单调性问题的思路(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数，即y=log a f(x)型;另一类是内层函数为对数函数，即y=f(log a x)型.①对于y=log a f(x)型复合函数的单调性，有以下结论:在a>1时，函数y=log a f(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性相同，在0<a<1时相反.②研究y=f(log a x)型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t=log a x，则只需研究t=log a x及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.针对训练3:(1)函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为( ) A.(-∞，1) B.(-∞，-2)C.(4，+∞)D.(-∞，1](2)函数y=log0.5(5+4x-x2)的单调递减区间是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-1，2)D.(2，5)解析:(1)由x2-2x-8>0，得x>4或x<-2.由y=log3u在(0，+∞)上为增函数，u=x2-2x-8在(-∞，-2)上为减函数，在(4，+∞)上为增函数，可得函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为(-∞，-2).故选B. (2)令t=5+4x-x2>0得-1<x<5，由t=-x2+4x+5知，其对称轴为直线x=2，在(-1，2)上是增函数，在(2，5)上是减函数.又函数y=log 0.5t 在(0，+∞)上是减函数，故函数y=log 0.5(-x 2+4x+5)在(-1，2)上是减函数.故选C.对数型函数的值域与最值[例4] 设f(x)=log a (1+x)+log a (3-x)(a>0，a ≠1)，且f(1)=2. (1)求a 的值;(2)求f(x)在区间[0，32]上的最大值.解:(1)因为f(1)=2，所以f(1)=log a 2+log a 2=log a 4=2，所以a=2. (2)由{1+x >0,3-x >0得x ∈(-1，3)，所以函数f(x)的定义域为(-1，3)，f(x)=log 2(1+x)+log 2(3-x)=log 2[(1+x)·(3-x)]=log 2(-x 2+2x+3)=lo g 2[-(x-1)2+4]， 记t=-(x-1)2+4， 因为x ∈[0，32].所以x=1时，t 有最大值4，当x=0时，t 有最小值3. 所以3≤t ≤4. 所以log 2t ≤log 24=2.所以f(x)在区间[0，32]上的最大值为2.(1)对数函数的值域为(-∞，+∞).(2)求形如y=log a f(x)(a>0，且a ≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=log a u(a>0，且a ≠1)，u=f(x)两个函数;③由定义域求u 的取值范围;④利用函数y=log a u(a>0，且a ≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(log a x)(a>0，且a≠1)型复合函数的值域.针对训练4:(1)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).①求函数f(x)的定义域;②若函数f(x)的最小值为-2，求a的值.(2)已知函数f(x)=(lo g14x)2-lo g14x+5，x∈[2，4]，求f(x)的最大值及最小值.解:(1)①要使函数有意义，则有{1-x>0,x+3>0,解得-3<x<1，所以定义域为(-3，1).②函数可化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4]. 因为-3<x<1，所以0<-(x+1)2+4≤4.又0<a<1，所以log a[-(x+1)2+4]≥log a4，即f(x)的最小值为log a4.由log a4=-2，得a-2=4，所以a=4-12=12.(2)设t=lo g14x，因为x∈[2，4]，所以t∈[-1，-12]，令g(t)=t2-t+5，t∈[-1，-12]，g(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=12，在t∈[-1，-12]上是减函数，所以g(t)min=g(-12)=234，g(t)max=g(-1)=7.所以函数f(x)的最大值为7，最小值为234.指数函数与对数函数的关系[例5] (1)函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，则f(2)等于( ) A.9 B.18 C.32 D.36(2)若函数y=f(x)是函数y=a x (a>0，且a ≠1)的反函数，且f(x)的图象经过点(√23，23)，则a 等于( )A.2B.√2C.√493D.√43解析:(1)因为函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，所以f(x)=3x ，所以f(2)=32=9.故选A.(2)依题意，点(√23，23)在函数y=a x 的反函数的图象上，则点(23，√23)在函数y=a x的图象上，得√23=a 23，解得a=√2.故选B.(1)指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)应用反函数的性质时涉及的知识点①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称;②函数y=f(x)的图象过点(a ，b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b ，a)的充要条件;③互为反函数的两函数的单调性相同;④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.针对训练5:(1)函数f(x)与g(x)=a x 互为反函数，且g(x)过点(-2，4)，则f(1)+f(2)等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.14(2)已知函数f(x)=log 2x ，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于( )A.1B.2C.3D.4解析:(1)由题意，指数函数g(x)=a x 的图象过点(-2，4)， 可得4=a -2，解得a=12，故函数g(x)=(12)x ，故其反函数f(x)=lo g 12x ，故f(1)+f(2)=lo g 121+lo g 122=0-1=-1.故选A.(2)由题意，g(x)=2x ，所以g(2)=22=4， 则f(g(2))=f(4)=log 24=2.故选B.对数函数的综合应用[例6] 已知函数f(x)=log a 1-mx x+1(a>0，a ≠1，m ≠-1)是定义在(-1，1)上的奇函数.(1)求f(0)的值和实数m 的值;(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并给出证明; (3)若f(12) >0，且f(b-2)+f(2b-2)>0，求实数b 的取值范围.解:(1)f(0)=log a 1=0.因为f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，定义域关于原点对称，结合1-mx x+1>0可知，x=1是1-mx=0的根，1-m=0，m=1，此时f(x)=log a1-x1+x，且f(x)+f(-x)=log a 1-x 1+x+log a1+x 1-x=log a 1=0，故f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以m=1. (2)由(1)知f(x)=log a1-x 1+x，定义域为(-1，1)，∀x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2， 设t=1-x x+1=-(x+1)+2x+1=-1+2x+1，则t 1-t 2=2x 1+1-2x 2+1=2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1)，因为-1<x 1<x 2<1，所以x 2-x 1>0，(x 1+1)(x 2+1)>0， 所以t 1>t 2.当a>1时，log a t 1>log a t 2，即f(x 1)>f(x 2)， 所以当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数. 当0<a<1时，log a t 1<log a t 2，即f(x 1)<f(x 2)， 所以当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数.综上所述，当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数;当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数. (3)由f(b-2)+f(2b-2)>0， 得f(b-2)>-f(2b-2)， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(b-2)>f(2-2b)， 由f(12) =log a 13>0得0<a<1，由(2)得f(x)在(-1，1)上是增函数，所以{b -2>2-2b ,-1<b -2<1,-1<2-2b <1,所以43<b<32，所以b 的取值范围是(43，32).(1)形如f(x)=log a g(x)的函数为奇函数时，利用f(-x)+f(x)=log a 1=0运算比较方便，巧妙利用定义域关于原点对称也可以简化运算，但是要注意检验.(2)讨论形如f(x)=log a g(x)的函数单调性，转化为讨论函数g(x)的单调性，注意对数的底数对单调性的影响，本题把1-x 1+x转化为-1+21+x可以简化运算.针对训练6:设函数f(x)=lg(x+√x 2+1). (1)确定函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在其定义域上的单调性，说明理由.解:(1)要使函数有意义，则x+√x 2+1>0，因为√x 2+1>√x 2=|x|，所以x+√x 2+1>0恒成立，所以定义域为R. (2)∀x ∈R ，-x ∈R ，又因为f(-x)+f(x)=lg(-x+√x 2+1)+lg(x+√x 2+1)=lg 1=0， 所以f(-x)=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数.(3)f(x)在其定义域R 上是增函数.证明:当0≤x1<x2时，有x12<x22，所以√x12+1<√x22+1，所以x1+√x12+1<x2+√x22+1，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，又f(0)=0，且f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在其定义域R上是增函数.典例探究:已知a>2，求证:log(a-1)a>log a(a+1).证明:法一因为log(a-1)a-log a(a+1)=1log a(a-1)-log a(a+1)=1-[log a(a-1)]·[log a(a+1)]log a(a-1).因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以log(a-1)a-log a(a+1)>0，即log(a-1)a>log a(a+1).法二因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log(a-1)alog a(a+1)=1log a(a-1)log a(a+1)=1[log a(a-1)]·[log a(a+1)]，因为log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以1log a(a-1)·log a(a+1)>1，即log(a-1)alog a(a+1)>1，所以log(a-1)a>log a(a+1).应用探究:已知0<t<1，a=log3t，b=log4t，c=log5t，则( )A.4b<5c<3aB.5c<3a<4bC.5c<4b<3aD.4b<3a<5c 解析:由已知可得a=1log t 3，b=1log t 4，c=1log t 5，所以3a-4b=3log t 3-4log t 4=3log t 4-4log t 3log t 3·log t 4=log t 43-log t 34log t 3·log t 4，因为0<t<1，43<34，所以log t 43-log t 34>0，log t 3<0，log t 4<0， 所以3a-4b>0，即3a>4b ， 同理可得4b-5c>0，即4b>5c. 综上，3a>4b>5c.故选C.1.不等式log 2x<12的解集是( B )A.{x|0<x<√22} B.{x|0<x<√2} C.{x|x>√2} D.{x|x>√22}解析:依题意log 2x<log 2212，由于y=log 2x 是定义域上的增函数，故0<x<212.故选B.2.(多选题)下列各组大小的比较，正确的是( AC ) A.log 0.33>log 0.35 B.log 70.5>0 C.ln 3<ln3.001 D.log 23<log 43 解析:由于log 70.5<log 71，故B 不正确. 又log 23>log 22=1，log 43<log 44=1. 故log 23>log 43，故D 不正确.故选AC.3.函数y=log21-x1+x的图象( B )A.关于y轴对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于直线y=x对称解析:令f(x)=log21-x1+x ，则1-x1+x>0，所以f(x)的定义域为(-1，1)，且f(-x)+f(x)=log21+x1-x +log21-x1+x=log21=0，即函数y=log21-x1+x为奇函数，故其图象关于原点对称.故选B.4.函数y=lo g12(2x+1)的值域为.解析:因为2x+1>1，函数y=lo g12x是(0，+∞)上的减函数，所以lo g12(2x+1)< lo g121=0，即所求函数的值域为(-∞，0).答案:(-∞，0)[例1] (多选题)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是( ) A.log a(1+a)<log a(1+1a)B.log a(1+a)>log a(1+1a)C.a1+a<a1+1aD.a1+a>a1+1a解析:因为0<a<1，所以a<1a，从而1+a<1+1a，所以log a(1+a)>log a(1+1a)，a1+a>a1+1a.故选BD.[例2] (多选题)下列条件能使log a3<log b3成立的有( ) A.b>a>0 B.1>a>b>0C.b>1a>1 D.1>1a >1b>0解析:要使log a 3<log b 3成立，只要lg3lga <lg3lgb，所以1lga <1lgb，所以0>lg a>lgb 或lg a>lg b>0或lg a<0，lg b>0，解得1>a>b>0或a>b>1或b>1>a>0.故选BC.[例3] 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，则实数a= . 解析:法一 因为f(x)为偶函数， 所以f(-1)=f(1)，得lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a ，所以a=-12，验证知符合题意，所以a=-12.法二 因为f(x)为偶函数，所以对任意的实数x 都有f(-x)=f(x)， 即lg(10-x +1)-ax=lg(10x +1)+ax ，整理得 lg(10-x +1)-lg(10x +1)=2ax ⇔lg 10-x =2ax ，所以2ax=-x ，所以2a=-1，即a=-12.答案:-12[例4] 已知函数f(x)=kx+log 2(4x +1)(k ∈R)是偶函数. (1)求k 的值;(2)设函数g(x)=log 2(a ·2x -4a)，其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为R ，因为函数f(x)=kx+log 2(4x +1)是R 上的偶函数，所以f(-1)=f(1)，即-k+log2(4-1+1)=k+log2(4+1)，所以-2k=log25-log254=2，解得k=-1，验证知符合题意，所以k=-1.(2)当a>0时，函数g(x)=log2(a·2x-4a)的定义域是(2，+∞)，由题意知，-x+log2(4x+1)=log2(a·2x-4a)在(2，+∞)上有且只有一解，即方程4x+12x=a·2x-4a在(2，+∞)内只有一解;令2x=t，则t>4，因而等价于关于t的方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上只有一解;设h(t)=(a-1)t2-4at-1，当a=1时，解得t=-14∉(4，+∞)，不合题意;当0<a<1时，h(t)的对称轴t=2aa-1<0，故h(t)在(0，+∞)上单调递减，而h(0)=-1，所以方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上无解;当a>1时，h(t)的对称轴t=2aa-1>0，故只需h(4)<0，即16(a-1)-16a-1<0，此不等式恒成立.综上，a的取值范围是(1，+∞).[例5] 设函数f(x)=ln x+1x-1.(1)判断函数f(x)在区间(1，+∞)上的单调性，并证明;(2)对于区间[2，4]上的任意一个x，不等式f(x)≥e x+m恒成立，求实数m的取值范围.解:(1)判断结论:函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.证明:在区间(1，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则1<x 1<x 2， 所以x 2-1>x 1-1>0， 所以0<1x 2-1<1x 1-1，所以1<1+2x 2-1<1+2x 1-1，即x 1+1x 1-1>x 2+1x 2-1>1， 所以lnx 1+1x 1-1>lnx 2+1x 2-1，所以f(x 1)>f(x 2)， 所以函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.(2)因为f(x)≥e x +m ，所以m ≤f(x)-e x ，记g(x)=f(x)-e x ， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x ，x ∈[2，4]，由(1)知，f(x)=ln x+1x -1在(1，+∞)上单调递减，又因为-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=ln x+1x -1-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x 在[2，4]上单调递减，所以g(x)≥g(4)=ln 53-e 4， 所以m ≤ln 53-e 4，所以实数m 的取值范围是(-∞，ln 53-e 4].选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g1π，b=log3π，c=log4π，则( A )3A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22.综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数， 所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log 2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是 ;若x ∈[1，92]，则函数f(x)的值域是 .解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)=-log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x 2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数， 所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x 2-2ax+3，则y=lo g 12t 在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a ，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a ≥2,4-4a +3≥0,所以a ≥2，且a ≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a ，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9; (1)求f(3)的值.(2)令t=log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值.解:(1)因为函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9，故f(3)= log 327·log 39=3×2=6.(2)令t=log 3x ，19≤x ≤9，则-2≤t ≤2， 且f(x)=(log 3x+2)(1+log 3x)=t 2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]， 故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，g(x)=λf(x).(1)求实数a的值;(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围.解:(1)函数f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0，故函数f(x)=ln e x=x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x是奇函数，满足条件，所以a=0.(2)由(1)知f(x)=x，g(x)=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log2x在x∈[2，3]上单调递增，最小值为log22=1，所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。
人教版数学高一-15-16高中数学必修1课后练 .2对数函数的图象及性质的应用
2.2.2.2对数函数的图象及性质的应用课后课时精练 新人教A 版必修1知识点基础 中档 稍难 与对数函数有关的图象 2、3 对数函数的单调性 1、4、7 5 对数函数性质的综合应用 68、9101．已知log 12b <log 12 a <log 12c ，则( )A ．2a >2b >2cB ．2b>2a>2cC ．2c>2b>2aD ．2c>2a>2b[解析] 由于函数y ＝log 12x 为减函数，因此由log 12b <log 12a <log 12c 可得b >a >c ，又由于函数y ＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.[答案] B2．[2015·哈三中高一模考]函数f (x )＝log 21＋x1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于y 轴对称[解析] ∵函数的定义域为(－1,1)，f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x)－1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． ∴图象关于原点对称． [答案] A3．[2014·宁夏银川高一期中]函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )[解析] ∵y ＝ln|x |是偶函数关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调增，∴f (x )＝ln|x －1|关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调增．[答案] B4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4[解析] 当a >1时，f (x )在[0,1]上单调递增；当0<a <1时，f (x )在[0,1]上单调递减．由此可知，f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，所以f (0)＋f (1)＝a ， 即(1＋0)＋(a ＋log a 2)＝a ，log a 2＝－1， 解得a ＝12.[答案] B5．[2015·黑龙江哈尔滨高一检测]若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[1，＋∞)C ．[2,3)D ．(1,3)[解析] 因为二次函数f (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，所以f (x )＝x 2－ax ＋2在(－∞，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)单调递增，又因为函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a 2≥112－a ×1＋2＞0解得2≤a ＜3. [答案] C 二、填空题6．[2015·江西三校高一联考]已知函数f (x )＝log 13(x ＋2)的定义域为(1,7]，则它的反函数f －1(x )的定义域为________．[解析] ∵原函数的值域为它的反函数的定义域，∴x ∈(1,7]，∴log 13(7＋2)≤log 13 (x ＋2)<log 13(1＋2)，即－2≤f (x )<－1.∴f －1(x )的定义域为[－2，－1)． [答案] [－2，－1)7．已知log m 7<log n 7<0，则m ，n,0,1间的大小关系是__________． [解析] ∵log m 7<log n 7<0， ∴0>log 7m >log 7n .又y ＝log 7x 在(0,1)内递增且函数值小于0， ∴0<n <m <1. [答案] 0<n <m <18．[2014·重庆高考]函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．[解析] 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14.[答案] －14三、解答题9．已知函数f (x )＝lg|x |. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．[解] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如右图所示． (3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)． 证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg|x 1|－lg|x 2| ＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2. ∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2， ∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1x 2|>1.∴lg|x 1x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数， 即函数的单调递减区间是(－∞，0)．10．[2014·黑龙江哈尔滨高一月考]已知函数f (x )＝log a (3＋x )，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )＋g (x )的定义域、值域； (2)求使f (x )－g (x )＞0成立的x 取值范围．[解] (1)当a ＝2时，有y ＝log 2(3＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(－x 2＋9)，则由3＋x >0且3－x ＞0，解得－3＜x ＜3，故函数y 的定义域为(－3,3)；又因为0＜－x 2＋9≤9且函数y ＝log 2t (令t ＝－x2＋9)为增函数，所以log 2(－x 2＋9)≤log 29＝2log 23即y ≤2log 23，故函数y 的值域为(－∞，2log 23]．(2)由f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (3＋x )＞log a (3－x )， 当a ＞1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x ＞3－x 3＋x ＞03－x ＞0解得0＜x ＜3；当0＜a ＜1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＜1－x 3＋x ＞03－x ＞0解得－3＜x ＜0故所求x 取值范围为：当a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜3}，当0＜a ＜1时，解集为{x |－3＜x ＜0}．。
2.2.2第二课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课)-word
第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )(A)e2x-2(B)e2x(C)e2x+1(D)e2x+2解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.3.若log m3<log n3<0,则m,n应满足的条件是( D )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0解析:因为log m3<log n3<0,所以0<n<1,0<m<1且<<0,即lg 3(-)<0⇔lg 3()<0.因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,即lg n<lg m⇔n<m,所以1>m>n>0.故选D.4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)解析:由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.5.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,0),设函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为. 解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.答案:07.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).答案:(-∞,log2(-1))8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求函数f(x)的值域.解:(1)由求得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],所以y≤lg 1=0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].9.已知log2b<log2a<log2c,则( A )(A)()b>()a>()c(B)()a>()b>()c(C)()c>()b>()a(D)()c>()a>()b解析:因为log2b<log2a<log2c,所以c>a>b,所以()b>()a>()c.故选A.10.(2019·许昌五校高一联考)函数f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值解析:由|x-1|>0得,函数y=log a|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.因为f(x)=log a|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1.所以f(x)=log a|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为.解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),因为y=lo t为减函数,所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,所以解得1≤m≤2.答案:[1,2]12.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y 取最大值时x的值.解:因为f(x)=2+log3x,所以y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(2+log3x)2+2+2log3x=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足所以1≤x≤3,所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.当log3x=1,即x=3时,y=13.所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.。
新教材人教A版数学必修第一册4.4.2 第二课时 对数函数的图象和性质的应用(习题课)课件
首先要确保f(x)>0，
形如y＝logaf(x)的函数的单调性
当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致； 当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．
[注意] 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义
2
2
(2)∵f(x)＝log2x4·log2x2＝(log2x－2)·(log2x－1)
＝log2x－322－14， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝32，
3
即x＝22＝2
2时，f(x)取最小值－14；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，
∴函数f(x)的值域是－14，2.
第四
章
指数函数与对数函数
4．4 对数函数
4．4.2 对数函数的图象和性质
第二课时 对数函数的图象和性质的应用(习题课)
对数型函数的单调性
[例1] (1)函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上的单调性为
A．先增后减
B．先减后增
C．单调递增
D．单调递减
(2)函数y＝lg(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是________．
1．已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g12的值为
A．－1
B．1
C．12
D．2
解析：∵由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y， ∴原函数的反函数为g(x)＝log2x， 则g12＝log212＝－1.故选A. 答案：A
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2．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是
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【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.2对数函数的图象及性质的
应用随堂练习 新人教A 版必修1
1.[2015·宁夏银川高一期中]已知y ＝(14
)x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( ) A ．－2 B ．－1
C ．2 D.12
[解析] y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14
x ，
∴f (x 0)＝log 14 x 0＝－
12.
∴x 0＝(14)－12 ＝[(12)2] －12
＝2.
[答案] C
2．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为(
) A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(0,2)
D ．[2，＋∞)
[解析] 题目中隐含条件a >0.
当a >0时，t ＝2－ax 为减函数，
故要使y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，
则a >1，且t ＝2－ax 在x ∈[0,1]时恒为正数，
即2－a >0，故可得1<a <2.
[答案] B
3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2
，c ＝log 45，则( )
A ．a <c <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．b <a <c
[解析] ∵log 54>log 53>0，
1>log 53>0，
∴log 54>(log 53)2
即a >b .
又∵log 45>1>log 54，
即c >a .
∴c >a >b .
[答案] D
4．[2014·天津高考]函数f (x )＝log 12
(x 2－4)的单调递增区间为(
)
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
[解析] 令u ＝x 2－4，则y ＝log 12
u .由u >0得x <－2或x >2，又y ＝log 12 u 为减函数，所以原
函数的单调增区间为u ＝x 2－4的减区间，即为(－∞，－2)．
[答案] D
5．[2015·沈阳二中高一段考]已知2log a (x －4)>log a (x －2)，求x 的取值范围．
[解] 由题意得x >4，原不等式可变为log a (x －4)2>log a (x －2)． 当a >1时，y ＝log a x 为定义域内的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －42>x －2，x －4>0，
x －2>0，解得x >6. 当0<a <1时，y ＝log a x 为定义域内的减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －42<x －2，x －4>0，
x －2>0，解得4<x <6.
综上所述，当a >1时，x 的取值范围为(6，＋∞)；
当0<a <1时，x 的取值范围为(4,6)．。