求解谐振物体的速度和加速度讲解
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念
简谐振动是指一个物体在恢复力作用下沿一个固定轴向作往复运动的一种运动形式。
在简谐振动中，物体的加速度与与位移成正比，加速度方向与位移方向相反，称为简谐振
动的两个必要条件。
1. 幅度：简谐振动的幅度是指物体往复运动时离开平衡位置的最大位移。
幅度越大，表示物体的振动范围越大。
2. 周期：简谐振动的周期是指物体完成一次完整振动所需的时间。
用符号T表示。
周期的倒数称为频率，表示单位时间内完成振动的次数。
3. 频率：简谐振动的频率是指物体每秒钟完成振动的次数。
用符号f表示。
频率与周期的关系为：f=1/T。
5. 相位：简谐振动的相位是指物体在运动中与某一特定时刻的位移差。
相位用角度
或弧度来表示。
相位的差值可以用来描述两个物体之间的运动关系。
6. 动能和势能：在简谐振动中，物体在平衡位置附近的位移较小时，恢复力较小，
动能较大；而在位移最大时，恢复力最大，动能为零。
因此在简谐振动中，动能与位移成
正比。
而势能与位移的平方成正比，即势能与振动物体的位移的平方成正比。
7. 谐振：当外力的频率等于振动系统的固有频率时，振动系统会出现共振现象，此
时振幅剧烈增大，称为谐振现象。
简谐振动广泛应用于物理学和工程学中，例如弹簧振子、摆钟等都可以视作简谐振动。
通过对简谐振动的概念的分析，我们可以更好地理解和描述物体的振动行为，为相关学科
的研究和应用提供基础。
求解谐振物体的速度和加速度讲解
求解谐振物体的速度和加速度一物体沿x 轴作简谐振动，振幅 A 二0.12m ，周期T =2S 。
当t =0时，物体的位移 x = 0.06m,而且相x 轴正方向运动。
试求：（1） 此简谐振动的表达式；（2）t =T 时物体的位置、速度和加速度； 4 （3） 物体从x 二-0.06m 向x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。
解：（1）设这一简谐振动的表达式为 x = Acos （，t 亠0）.2jr现在振幅 A = 0.12m ，周期 T =2S 。
则= 2 rad / S.T由初始条件：t = 0时，x 0二0.06m ，得到 0.06 二 0.12 cos 01 兀 或者 cos '0 , '0. 2 3根据初始速度的条件， 乂- - As in '0。
因为t=0时，物体向x 轴正方向运动，即V 0・0, 所以'0 . 3这样，此简谐振动的表达式为 兀 x =0.12cos （「t -§）m.0，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一 x =0.104m,V 二-0.18m/S,a = 1.03m/ S 2.负号表示速度V 和加速度a 的方向都指向x 轴负方向。
也可以利用旋转矢量法求出所示，从而得到 0 . 3（2）由简谐振动的表达式，得到dx 兀 V 0.12 sin （「：t ）m/S; dt 3 dV a = dt =-0.12二 2 c os 「：t - 2 —）m/ S .在 t 4=0.5S 时，(3)当x = -0.06m,设该时刻为t 1,得到-0.06 = 0.12cos(t |兀 1 兀 cos(-：t i ) ,二 1 - 3 2 3 因为物体向x 轴负方向运动，V<0,所以取 ，这样t 1 =1 S. 3体在平衡位置处的相位为与，则由出下号，求得图二4二~3当物体第一次回到平衡位置，设该时刻为 t 2，由于物体向 x 轴正向运动，所以此时物 t 2 .83S.6(f 2)图二所以，从x 二-0.06m 处第一次回到平衡位置所需的时间5t=t 2-t i 1 0.83S.6 6 这也可由振幅矢量图求得，如图二所示。
求解谐振物体的速度和加速度
求解谐振物体的速度和加速度一物体沿x 轴作简谐振动，振幅m A 12.0=，周期S T 2=。
当0=t 时，物体的位移,06.0m x =而且相x 轴正方向运动。
试求：（1） 此简谐振动的表达式；（2） 4T t =时物体的位置、速度和加速度； （3） 物体从m x 06.0-=向x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。
解：（1）设这一简谐振动的表达式为).cos(0φω+=t A x现在振幅m A 12.0=，周期S T 2=。
则./2S rad Tππω==由初始条件：0=t 时，m x 06.00=，得到 0cos 12.006.0φ=或者.3,21cos 00πφφ±== 根据初始速度的条件，00sin φωA V -=。
因为t=0时，物体向x 轴正方向运动，即00>V ，所以.30πφ-=这样，此简谐振动的表达式为.)3cos(12.0m t x ππ-= 也可以利用旋转矢量法求出0φ，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一所示，从而得到.30πφ-=（2）由简谐振动的表达式，得到;/)3sin(12.0S m t dt dx V πππ--==./)3cos(12.022S m t dt dV a πππ--== 在S T t 5.04==时，./03.1,/18.0,104.02S m a S m V m x =-==负号表示速度V 和加速度a 的方向都指向x 轴负方向。
（3）当,06.0m x -=设该时刻为,1t 得到 ),3cos(12.006.01ππ-=-t ,21)3cos(1-=-ππt .34,3231ππππ=-t 因为物体向x 轴负方向运动，V<0,所以取32π，这样.11S t = 当物体第一次回到平衡位置，设该时刻为2t ，由于物体向x 轴正向运动，所以此时物体在平衡位置处的相位为23π，则由2332πππ=-t ， 求得 .83.16112S t ==所以，从m x 06.0-=处第一次回到平衡位置所需的时间.83.065161112S t t t ==-=-=∆ 这也可由振幅矢量图求得，如图二所示。
谐振工作原理
谐振工作原理
谐振是指一个物体在受到外力作用后，以一定频率固有地振动的现象。
它是由于物体的固有频率与外力频率相同导致的。
谐振的工作原理可以通过简谐振动模型来解释。
简谐振动是指物体在恢复力的作用下以固定频率和固定振幅来振动。
在简谐振动中，物体会在正向偏离平衡位置时受到一个与偏离量成正比的恢复力的作用，这个恢复力的方向与偏离方向相反。
恢复力的大小可以用胡克定律来描述，即恢复力与偏离量成正比。
当物体受到外力作用时，如果外力频率和物体的固有频率相同，则物体将发生谐振现象。
在谐振状态下，外力与恢复力相互抵消，使物体的振幅不断增加。
不过，在现实中很难找到一个真正的谐振系统，因为存在摩擦力、阻尼等其他因素，这些因素会减小振幅并使谐振系统逐渐停止。
谐振在许多领域都有应用，例如音乐乐器、电子电路、建筑结构等。
在电子电路中，谐振电路可以用来选择特定频率的信号，如收音机中的调谐电路。
在建筑结构中，谐振现象需要被避免，因为谐振可能导致结构的破坏。
总之，谐振是物体在固有频率和外力频率相同的条件下以固定振幅振动的现象。
谐振的工作原理是在外力和恢复力之间达到动态平衡，使物体保持振幅稳定。
高中物理振动速度问题教案
高中物理振动速度问题教案
目标：学生能够理解振动速度的概念，能够运用公式计算振动速度，能够解决相关问题。
教学内容：
1. 振动速度的概念
2. 计算振动速度的公式
3. 振动速度的应用题
教学步骤：
一、导入
教师通过引入声音波动和弹簧振子的示例，引起学生对振动速度的兴趣。
二、讲解
1. 讲解振动速度的概念和公式：振动速度是指振动物体振动的每秒平均位移速度，可用公
式$v=\lambda f$进行计算，其中$v$表示振动速度，$\lambda$表示波长，$f$表示振动的
频率。
2. 通过实例讲解如何计算振动速度，并进行相关公式推导。
三、练习
教师让学生进行练习，计算不同波长和频率下的振动速度，并解决相关应用题。
四、总结
学生通过练习和应用题，对振动速度的概念和计算方法有了更深入的理解和掌握。
五、作业
布置相关作业，让学生进一步巩固和深化对振动速度的理解。
六、拓展
教师可以引导学生通过实验探究振动速度的影响因素，或者探索其他相关内容，拓展学生
的知识面。
通过本节课的学习，相信学生能够掌握振动速度的概念，能够灵活运用公式解决相关问题，为今后更深入的学习奠定坚实的基础。
谐振的原理
谐振的原理
谐振是指当一个物体受到外界周期性的激励时，它会以特定的频率与激励频率产生共振现象的一种运动模式。
谐振现象与物体的固有频率密切相关，固有频率也叫共振频率，是指物体在没有外界激励时的自然振动频率。
谐振的原理可以通过以下几个方面来解释：
1. 能量传递：当外界周期性激励与物体的共振频率相等或接近时，能量将以较大的幅度传递给物体。
这是因为在共振频率附近，外界激励与物体的固有振动频率产生完全或近乎完全的同步，从而使得能量传递效率最高。
2. 相位同步：共振发生时，外界激励与物体的振动相位达到同步。
这是因为相位同步使得激励和响应之间的相对位移最小，从而使得能量传递更加高效。
当外界激励频率高于或低于共振频率时，相位差将逐渐增大，能量传递将显著减弱。
3. 能量存储和释放：谐振时，物体会将能量存储在其固有振动模式中，并以一定的频率进行振动。
当外界激励周期性地提供能量时，物体将持续吸收和释放能量，使得振幅保持较大的值。
4. 衰减：谐振也存在能量损耗的情况，称为衰减。
能量损耗的原因可以包括内部阻尼和外界阻尼等。
阻尼的存在将逐渐减小振幅，并最终使振动停止。
总结起来，谐振的原理包括能量传递、相位同步、能量存储和
释放以及衰减等。
谐振的发生与物体的固有频率密切相关，在共振频率附近能够达到最大的振幅和能量传递效率。
动力学谐振运动的振幅计算
动力学谐振运动的振幅计算动力学谐振运动是物体在受到周期性力作用下，以某一频率来回振动的运动方式。
在进行动力学谐振运动的研究时，我们常常需要计算振幅，即物体在振动过程中的位移极值。
在进行振幅计算之前，我们首先需要了解动力学谐振运动的一些基本概念和数学模型。
在简单谐振动中，物体的振动可以用以下的函数表示：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示位移随时间的变化情况，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
在一般的情况下，物体的谐振运动可以被看作是由势能和动能相互转换所引起的。
根据力学原理，物体的振动方程可以表示为：m * d²x/dt² = -kx其中，m表示物体的质量，k表示弹簧的劲度系数。
考虑到振动的频率ω与角频率ω之间的关系是ω = 2πf（f为频率），我们可以将上述的振动方程重写为：d²x/dt² + (k/m) * x = 0接下来，我们就可以根据以上的基本概念和数学模型来计算动力学谐振运动的振幅了。
首先，我们需要确定谐振运动的频率。
根据给定的问题，我们可以通过已知的物理参数来计算。
假设我们已经得到了角频率ω，那么根据振动方程，我们可以得到x(t)的一般解为：x(t) = A * sin(ωt + φ)根据题目要求，我们需要计算振幅A。
为了计算A，我们可以选择一个特定的时间点进行计算。
假设在t=0时刻，物体的位移为x0，速度为v0，则有：x0 = A * sin(φ)v0 = A * ω * cos(φ)由此，我们可以解得振幅A：A = √(x0² + (v0/ω)²)至此，我们就完成了动力学谐振运动的振幅计算。
根据题目要求，我们可以按照以下格式给出结果：振幅A的计算公式为：A = √(x0² + (v0/ω)²)在实际应用中，我们可以根据已知的物理参数和观测数据，使用上述公式来计算振幅A。
谐振动的运动学
)
令 t=0 则
x0
A c os 0
(1)
V 0
Asin 0
(2)
12 22
得
A
x02
V02
2
2、周期T（频率、圆频率ω 、固有圆频率）
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
2
(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数
13
2、参考圆、参考点：
(1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参 考点。
参考点在坐标轴上的投影才是谐振动。
（2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限
由图可知:
x>0, v<0 , φ在第 I 象限
v2
v1
x<0, v<0 , φ在第Ⅱ 象限 x<0, v>0 , φ在第 III 象限 x>0, v>0 , φ在第Ⅳ 象限
φ ＝tg-1（－ｖ0／ωｘ0）＝12.6° 在第三象限， φ0 ＝180°＋12.6°
或取
φ0 ＝180°+12.6°＝192.6°＝3.36 rad
也可写成 φ0 ＝－2.92 rad
振动表达式为
ｘ＝2.05×10-2cos（11.2ｔ－2.92） （ＳＩ）
12
三、谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量的规定法则 (1) 旋转矢量的制作
两个同频振动在同一时刻的位相之差
Δφ=φ20-φ10
2）同一振动在不同时刻的位相差
同一振动在t1、t2时刻的位相差为
Δφ=(ωt2+φ0)-(ωt1+φ0)=ω(t2-t1)
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求解谐振物体的速度和加速度一物体沿x 轴作简谐振动，振幅m A 12.0=，周期S T 2=。
当0=t 时，物体的位移,06.0m x =而且相x 轴正方向运动。
试求：（1） 此简谐振动的表达式；（2） 4T t =时物体的位置、速度和加速度； （3） 物体从m x 06.0-=向x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。
解：（1）设这一简谐振动的表达式为).cos(0φω+=t A x现在振幅m A 12.0=，周期S T 2=。
则./2S rad Tππω==由初始条件：0=t 时，m x 06.00=，得到 0cos 12.006.0φ= 或者.3,21cos 00πφφ±== 根据初始速度的条件，00sin φωA V -=。
因为t=0时，物体向x 轴正方向运动，即00>V ，所以.30πφ-=这样，此简谐振动的表达式为.)3cos(12.0m t x ππ-= 也可以利用旋转矢量法求出0φ，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一所示，从而得到.30πφ-=（2）由简谐振动的表达式，得到;/)3sin(12.0S m t dt dx V πππ--== ./)3cos(12.022S m t dt dV a πππ--== 在S T t 5.04==时，./03.1,/18.0,104.02S m a S m V m x =-==负号表示速度V 和加速度a 的方向都指向x 轴负方向。
（3）当,06.0m x -=设该时刻为,1t 得到),3cos(12.006.01ππ-=-t ,21)3cos(1-=-ππt .34,3231ππππ=-t 因为物体向x 轴负方向运动，V<0,所以取32π，这样.11S t = 当物体第一次回到平衡位置，设该时刻为2t ，由于物体向x 轴正向运动，所以此时物体在平衡位置处的相位为23π，则由2332πππ=-t ， 求得 .83.16112S t ==所以，从m x 06.0-=处第一次回到平衡位置所需的时间.83.065161112S t t t ==-=-=∆ 这也可由振幅矢量图求得，如图二所示。
从x m 06.0-=向x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置时，振幅矢量转过的角度为.653223πππ=- 这就是两者的相位差。
由于振幅矢量的角速度为ω，所以可以得到.83.065S t ==∆=∆ππωφ 由振动图线求解某点对应的相位一振动质点的振动曲线如图一所示，试求：（1） 振动表达式；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间。
解：（1）由旋转矢量图，如图二，可知，初相.30rad πφ-= 从0=t 到S t 1=时间内的相位差.65)3(2rad πππφ=--=∆ 而t ∆=∆ωφ 得到.65S t πφω=∆∆= 于是，得到振动的表达式.)365cos(10.0m t x ππ-= （2）点P 对应的相位.0=P φ（3）到达点P 相应的位置所需的时间为.4.065)3(00S t P =--=-='∆='ππωφφωφ求解单摆的角速度和线速度有一单摆，绳长,0.1cm l =摆球的质量,100g m =最大摆角为05。
（1） 单摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的振动表达式；（3） 当摆角为03时的角速度和摆球的线速度各为多少？解：（1）单摆的角频率和周期分别为 ,13.30.18.91-===S l g ω .01.28.9222S l g l T ====ππωπ(2)开始时摆角很大，则初相00=φ，单摆的振动表达式为.)13.3cos(36rad t πθ=（3）单摆的振动角速度./13.3sin 13.336sin 0S trad t ⨯-=-=Ωπωωθ 当03=θ时，.5313.3cos ),13.3(3660=⨯=t t ππ 于是，有 ,5413.3sin =t ./218.05413.336S rad -=⨯⨯-=Ωπ 摆球的线速度为./218.01218.0S m l V =⨯=Ω=求解振子在斜面上的振动倾角为θ的光滑斜面上置一劲度系数为k 的轻弹簧，弹簧下端固定在挡板上。
上端与一质量为m 的物体相连。
当t=0时，物体经过平衡位置向下运动的速度为0V ，如图一。
如取平衡位置为坐标原点，且沿斜面向上为正。
（1） 写出物体的振动表达式；（2） 写出振动系统的总势能（取坐标原点为势能零点）。
解：（1）物体在平衡位置时，弹簧的压缩量为.sin 0kmg x θ= 物体在任意位置时，其x 方向所受合力为,)(sin 0kx x x k mg F x -=---=θ所以，物体在x 方向上作简谐振动，其角频率为.mk =ω 由题意，当0=t 时，x=0,0V V -=,由初始条件可得.2,000πφω===k m V V A 所以，物体的振动表达式为).2cos()cos(00πφω+=+=t k m k m V t A x （2）振动系统的总势能为220202121)(21sin kx kx x x k mgx E p =--+=θ 求解物体与木板间的振动情况一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。
（1） 当此板沿水平方向作频率为 2.0Z H 的简谐振动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应为多大？（2） 若令此板改作竖直方向的简谐振动，其频率仍为 2.0Z H ,要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？解：（1）设物体在离平衡位置x 处的静摩擦力为f,此时物体的加速度为,2x a ω-=因而 .4222mx x m f νπω-=-=要使物体在板上不致滑动，其摩擦力达到最大静摩擦力，即,max mg N f μμ==必须满足条件,4max 22mA mg νπμ> 即.031.0)0.2(48.950.042222max m g A =⨯⨯⨯=≤πνπμ（2）物体在最大位移时，设在最高位置物体所受的托力为1N ,则.4222max 1A m A m ma N mg νπω⋅=⋅==-).4(221A g m N νπ-=设在最低位置物体所受的托力为2N ，则,4222max 2A m A m ma mg N νπω===-).4(222A g m N νπ+=要使物体在板上振动时不致滑动的条件是01≥N ，由此可得,04max 22=-A g νπ.062.0)0.2(48.942222max m gA =⨯⨯==πνπ 求解几种振子的振动周期劲度系数为1k 和2k 的两根轻弹簧，按照图一所示的方式与质量为m 的小球连接，试求： 各种连接方式的振动周期。
解：如图（a ）连接形式，当小球偏离平衡位置的位移为x 时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为,2222x k dtx d m -= 而,,211122x x x x k x k =+= 所以，.0)(212122=++x k k m k k dtx d 振动周期.)(222121k k k k m T +==πωπ如图（b ）的连接方式，当小球偏离平衡位移x 时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为 ),(2122x k x k dtx d m +-= 即.02122=++x m k k dtx d所以振动周期为.2221k k m T +==πωπ如图（c ）的连接方式，若两弹簧的原长分别为10l 和20l ，小球位于平衡位置处，两弹簧的伸长量分别为1l ∆和2l ∆，如图(e)所示，此时小球受到的合外力为零，即,2211L k L k ∆=∆如AB 间的长度为L ，则.20110L l l l =+∆+联立，解得).)((21220101k k k l l L l +--=∆ 所以平衡位置离开A 点的距离为).)((212201010110k k k l l L l l l +--+=∆+ 当小球偏离平衡位置位移为x 时，小球所受的合力为)()(2211x l k x l k F -∆++∆-=,)()(21212211x k k x k k l k l k +-=+-∆+∆-= 小球的运动方程为.)(2122x k k dtx d m +-= 所以，小球的振动周期为.221k k m T +=π 如图（d ）的连接方式，设小球平衡时两弹簧的伸长量为1l ∆和2l ∆，此时小球受到的合外力为零，即,22mg x k =∆而,1122l k x k ∆=∆.021x l l =∆+∆联立以上三式，得到小球在平衡位置处两弹簧的总伸长量为.2121mg k k k k mg += 当小球偏离平衡位置位移为x 时，两弹簧的伸长量分别为11x l +∆和22x l +∆，而x x x =+21，此时小球的运动方程为,)(22222dtx d m x l k mg =+∆- 又).()(111222x l k x l k +∆=+∆联立，解方程组，得到.0)(1212122=++x k k k k m dtx d 所以振动周期为.)(22121k k k k m T +=π 运用转动定律求解棒的摆动周期一均匀细棒，长为L ，质量为m.在其两端用长为l 的平行细绳悬挂起来，如图一所示。
求：棒以角速度绕中心轴O O '摆动的周期。
解：当棒平衡时，每根细绳的拉力.21mg T = 当细绳偏过一小角度φ时，相应的棒转过一小角度θ，由几何关系可见.2θφL l ≈ 由于转角φ很小，近似地认为绳子的拉力不变，仍为.21mg 此拉力在水平方向上的分力为φsin T ，因而作用在棒上的力偶矩（即回复力矩） ,2sin 2L T L T M φφ≈⋅= 将φ及T 的值代入，得到.42212lmgL L l L mg M θθ== 根据转动定律，棒的运动方程为.4222l mgL dt d J θθ-=而,1212mL J = 代入，得到θθl g dtd 322-=. 所以棒的振动周期为.322gl T πωπ== 求解轮棒系统的运动情况如图一所示，两轮的转轴互相平行，相距为2d ，其转速相同，转向相反。
将质量为m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为μ.当木板的重心C 偏离对称位置后，它将如何运动？如果为简谐振动，其周期为多少？若两轮均沿图示的相反方向旋转，木板将如何运动？解：由于滚轮与木板之间有相对滑动，而两轮转动的方向不同，木板受到方向相反的两个摩擦力1f （向右）和2f （向左）的作用，如图二，同时木板受到轮子的支持力1N 和2N 以及木板的重力G 。
因木板在竖直方向上无运动，故.21mg N N =+当木板质心C 偏离两轮轴的中心位置O 微小距离x 时，根据力矩平衡条件，有).()(21x d N x d N -=+由以上两式，解得.2,221mg dx d N mg d x d N +=-= 木板在x 方向受到的合力为,2121x d mgN N f f F μμμ-=-=-=由上式可见，木板将沿x 方向作简谐振动。