对数性凸函数的性质及应用解读
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。
凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。
最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。
其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。
线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。
此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。
最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。
最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。
机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。
凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。
总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。
凸函数的判定与应用
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
凸函数的性质与应用【文献综述】
文献综述数学与应用数学凸函数的性质与应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书中对凸函数的定义叙述为:定义1[1] 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数λ∈（0,1）总有: 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.几何形状如下图所示:根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：定理2[1]设f 为区间I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸函数的充要条件是: 0)(''≥x f ,I x ∈.从凸函数的定义,图像,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助.国内外现状与研究方向：由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性[华东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明].除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质[邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式];利用Jenven不等式证明当 n 取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用[于靖.利用曲线的凹凸性证明柯西不等式];凸函数与极值,导数的一些关系[裴礼文.数学分析中的典型问题与方法;孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和方法];判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点:由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用[方良秋.高考题中凸函数的题型及应用].最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣[钟伟,周彬林.凸函数的几种不同定义及应用].进展情况：一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中的应用.但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应用》则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入.存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题:（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.(3)对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散,跨度大.参考文献：[1] 华东师范大学. 数学分析上册（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：119-125.[2] 雷澜.凸函数的性质与不等式证明[N].渝州大学学报,2000,17(4):19-21.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 186-191.[4] 卢兴江,金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2010: 20-46.[5] 顾荣. 函数凹凸性定义的探讨[J]. 佳木斯教育学院学报，2010, 102(6): 299.[6] 王庆东,侯海军. R n 中函数凹凸性判定的充要条件[J]. 河北理科教学研究， 2003, 3: 50.[7] 张国坤. 多元函数的凹凸性再探[J], 曲靖师专学报. 1995, 14(6): 29-31.[8] 陈朝晖. 二元函数凹凸性的判别法及最值探讨[J]. 高师理科学刊, 2010, 30(5): 25-28.[9] 白景华. 凸函数的性质、等价定义及应用[J]. 开封大学学报, 2003, 17(2), 69-64.[10] 赵文彼, 栗洪敏. 利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式[J]. 工科数学, 1994, 10(4):227-229.[11] 王新奇. 利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[J]. 西安文理学院学报(自然科学版), 2005,8(3): 37-40.[12] 于靖. 利用曲线的凹凸性证明柯西不等式[J]. 辽宁师专学报, 2003, 5(2): 2-3.[13] 沈文国. 用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广[J]. 兰州工业高等专科学校学报, 2001,8(4): 4-8.[14] 普丰山, 李兆强. 连续函数的单调性及凸凹性研究[J]. 河南科学, 2009, 27(8): 896-899.[15] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：203-205.[16] 时贞军. 无约束优化的超记忆梯度算法[J]. 工程数学学报, 2000, 17(2): 99-104.[17] 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和方法[M]. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1983：246-264.[18] 方良秋.高考题中的凸函数题型及其应用[J].数学教学通讯报,2007,271:38-4.[19] 李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[N].广西师范学院学报,2004,21(2):93-95.[20] 邱忠文, 刘瑞金. 函数的凹凸性及不等式的证明[J]. 工科数学, 1993, 19(3): 151-154.[21] 陈太道.凸函数判定及其应用[N].临沂师范学院学报,2002,24(3):91-92.[22] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(2):172-182.。
凸函数的性质及应用(0907142王波波).docx
目录1引言 (2)2凸函数的定义及性质 (2)2.1凸函数的几种不同定义及其关联 (2)2.2凸函数的判定定理及证明 (4)2.3凸函数的性质 (5)3凸函数的应用 (6)3.1詹森不等式及应用 (6)3.2凸函数在微分学的应用 (8)3.3凸函数在积分学的应用 (9)结论 (11)参考文献 (11)凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论. 关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties of Convex Function and Its ApplicationWangbobo , College of Mathematic and Computer Science Abstract：Convex function is a basic content of higher maths.lt plays an important role in proving more complex inequality. In this paper，we summarized some properties and theorem of convex function . And finally we proved some important inequality using the method of Convex function and Jensen inequality of convex function and discussed some conclusion.Key words：Convex function; Method; Inequality; Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。
02-凸函数
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
凸函数的性质及其应用
摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
对数凸函数的一个充要条件及其应用
对数凸函数的一个充要条件及其应用
对数凸函数是一种特殊凸函数，它包含特定参数的对数函数，可以成比例地拉伸属性之间的关系。
它是经常用于回归研究中建立预测模型的重要技术，由于有明确的充要条件，尤其是单调性和凸性要求，因此被广泛应用于数据处理的理论和技术。
充要条件是指当一组条件都满足时才能保证某种特殊实现。
因此，对于对数凸函数，充要条件主要有两个：一是函数存在单调性，二是函数具有凸性。
首先是关于单调性，即函数增加或减少不存在波动，越接近函数的定义域中的点，函数的变量就越好。
其次，关于凸性，凸函数是在定义域中的所有端点或者点的曲线图，当定义域中的可处理参数被认为是凹函数时，函数顶点朝着定义域中的另一侧弯曲，因此才能满足充要条件的要求。
实际应用中，对数凸函数广泛应用于线性回归模型，特别是在互联网领域，它常被用来表示变量之间的关联性。
比如，在谷歌搜索结果中，与关键词长度和其他变量有关的可靠性可以被表示为一个对数凸函数。
另一方面，在电子商务平台中，购买者每次购买的数量通常也可以用对数凸函数表示，从而在商业上发现和利用相关性。
总而言之，对数凸函数具有单调性和凸性的充要条件是使其具有优良的数据处理性能的关键。
而在互联网领域，它在关联性分析和复杂结构分析等方面也发挥着重要作用，从而大大提高了计算精度，提高了系统预测能力。
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对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。
关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。
1.对数性凸函数的基本性质 1.1 凸函数的定义定义 [1]1 设()f x 在区间I 上有定义,如果对任意I x x ∈21,和所有实数)1,0(∈λ有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (1)成立，则称()f x 在区间I 上为下凸函数。
如果12x x ≠，（1）式严格不等式成立，则称()f x 在间区I 上为严格下凸函数。
若（1）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为上凸函数。
1.2 对数性凸函数的定义定义 [1]2 设()f x 为区间I 上的正值函数，如果ln ()f x 在区间I 上为下凸函数，即对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈有1212ln ((1))ln ()(1)ln ()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (2)成立，则称()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，如果对于12x x ≠，（2）式严格不等式成立，则称()f x 在区间I 上为严格对数性下凸函数。
若（2）式中不等号反向，则称()f x 在区间I 上为对数性上凸函数。
1.3 对数性凸函数的基本性质引理[1]若110,01,x y p q ≥≥+=且1,p >则1111p qx y x y p q≤+，其中等式成立当且仅当x y =.定理 [1]1 设()f x 为区间I 上的正值函数，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈有11212((1))()()f x x f x f x λλλλ-+-≤⋅定理[1]2设()f x 为区间I 上的正值函数且二阶可导，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对任意x I ∈有'''2()()(())f x f x f x ⋅≥性质 [1]1 如果函数12()()f x f x 和为区间I 上的对数性下凸函数，则12()()f x f x ⋅也为区间I 上的对数性下凸函数。
推论 [1]1 如果函数()(1,2,,)i f x i n = 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()ni i f x =∏也为区间I 上的对数性下凸函数。
性质 [1]2 如果函数12()()f x f x 和为区间I 上的对数性下凸函数，则12()()f x f x +也为区间I 上的对数性下凸函数。
推论 [1]2 如果函数()(1,2,,)i f x i n = 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()ni i f x =∑也为区间I 上的对数性下凸函数。
性质 [1]3 如果函数()f x 为区间I 上的对数性下凸函数，则1()f x 为区间I 上的对数性上凸函数。
性质 [1]4 设()f μ为定义在区间I 上的正值函数，():x A B A B ϕ→其中，为区间，()B I f μ⊆，若为区间I 上严格增的对数性下凸函数且()x μϕ=在A 区间上为下凸函数，则(())f x ϕ为区间A 上的对数性下凸函数。
性质 [1]5 如果一个正值函数()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，则()x e f x α⋅对所有的α值是下凸函数。
性质 [1]6 如果任意的212,()((1))x x I f x x ϕααα∈=+-１的、为区间[0，1]上的对数性下凸函数，则()f x 是区间I 上的对数性下凸函数。
2. 对数性凸函数的七个性质推论 1 如果函数(),()f x g x 为区间I 上的对数性下凸函数，则(),()()f x f x g x ααβ+（,αβ为正实数）也为区间I 上的对数性下凸函数。
证明： 令()()h x f x α=，由于()f x 为对数性下凸函数故 11212((1))()()f x x fx f x λλλλ-+-≤⋅ 两边同乘以正实数α，则11212((1))()()f x x f x f x λλαλλα-+-≤⋅即(1)11212((1))()()f x x f x f x λλλλαλλα+--+-≤⋅⋅故11212((1))(())(())f x x f x f x λλαλλαα-+-≤⋅故由定理[1]1,()f x α为区间I 上的对数性下凸函数，同理()g x β也是区间I 上的对数性下凸函数。
又由性质[1]2有，()()f x g x αβ+为区间I 上的对数性下凸函数.推论 2 设()f x 和()x ϕ为区间I 上的正数,()()x x αϕαϕ=，1212()()()x x x x ϕαβϕαϕβ+=⋅(,)R αβ∀∈，若()f x 在I 上是对数性下凸函数，则()()x f x ϕ⋅是下凸函数。
证明：由于函数()f x 是对数性下凸函数，故对任意的I x x ∈21,和所有的实数(0,1)λ∈，由定理[1]1有11212((1))()()f x x f x f x λλλλ-+-≤⋅因为1121212((1))()((1))()()x x x x x x λλϕλλϕλϕλϕϕ-+-=⋅-=⋅所以112121212((1))((1)))()((1))()()x x f x x x x f x f x λλϕλλλλϕλϕλ-+-⋅+-≤⋅-⋅⋅=111212()()()()x x f x f x λλλλϕϕ--⋅⋅⋅=11122(()())(()())x f x x f x λλϕϕ-⋅⋅⋅所以,由引理[1]知11122(()())(()())x f x x f x λλϕϕ-⋅⋅⋅1122(()())(1)(()())x f x x f x λϕλϕ≤⋅+-⋅即12121122((1))((1))(()())(1)(()())x x f x x x f x x f x ϕλλλλλϕλϕ+-⋅+-≤⋅+-⋅ 所以,()()x f x ϕ⋅是下凸函数。
定理 3 若()f x 为区间I 上的正值函数，则以下三个条件等价：（1）.()f x 为区间I 上的对数性下凸函数；（2）.1,0,1(1,2,,)ni i ii x I i n λλ=∀∈≥==∑ ,有()11()inni iii i f x f x λλ==≤∑∏.（3）.,(1,2,,)i i x I i n λ∀∈= 是不全为零的非负实数，有121122112()()innn n i i n x x x f f x λλλλλλλλλλ+++=+++≤+++∏ .证明：（1）⇒（2） 用数学归纳法证明.（1）. 2n =时，由定义[1]2知结论成立.（2）.假设n=k 时，结论成立，即()11()ikk i iii i f x f x λλ==≤∑∏.当1n k =+时，令1(1,2,,)1ii k i n λαλ+==- ,则11111()()k ki i i i k k i i f x f x x λλλ+++===+∑∑11221111((1))1k kk k k k x x x f x λλλλλλ+++++++=-⋅+-11111221()()k k k k k f x x x f x λλααα++-+≤+++⋅11(1)11()()k i i ki k i fx fx λαλ++⋅-+=≤⋅∏11()ik i i fx λ+==∏即1n k =+时，结论也成立，因此由数学归纳法知，结论成立。
（2）⇒（3）令12,,1,2,,ii i nk k R i n k k k λ+=∈=+++ ，则可得到（3）（3）⇒（1）令2n =,由定义[1]2可知，()f x 为区间I 上的对数性下凸函数。
定理 4 设函数()f x 为区间I 上的对数性下凸函数，则函数()f x 在I 的任意闭子区间上有界。
证明：设[a,b]I ⊂为任意闭子区间 （Ⅰ）.下证()f x 在[a,b]I ⊂上有上界事实上，[,],[0,1],(1)x ax a b x b a b aλλλ-∀∈=∈=+--取则，因()f x 为区间I 上的对数性下凸函数,故由定理]1[，知11()((1))()()f x f b a f b f a M λλλλ-=+-≤⋅≤，其中1M max f f ={(a),(b)}（Ⅱ）.下证()f x 在[a,b]I ⊂上有下界 记2a b c +=为a,b 的中点,[a,b]x ∀∈,设x 关于c 的对称点是x '，则2x x c '+=. 因为()f x 为区间I 上的对数性下凸函数,故由定义[1]2,得12ln ()ln ()ln ()ln ()ln[()()]22x x f x f x f c f f x f x ''++'=≤= 所以 ,令2[ , ]a b M max f x ={|()|},则[a,b]x ∀∈，有12()[()()]f c f x f x '≤ ，2()()()f c f x f x '≤,22()()f c f x M ≤.故22()()f c f x M ≥, 所以()f x 在[a,b]有下界.定理 6 设()f x 为区间I 上的正值函数，则()f x 在区间I 上为对数性下凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，总有2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛证明：必要性：123 x x x I ∀∈、、，记1323x x x x --=λ，则213(1)x x x λλ=+-，由于()f x 在区间I 上为对数性下凸函数，所以ln ()f x 为下凸函数，故 )()1()(ln ))1((ln )(ln 31312x f x f x x f x f λλλλ-+≤-+=3221133131ln ()ln ()x x x xf x f x x x x x --=+-- 故 )(ln )()(ln )()(ln )(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤-即 )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln )(ln 313212132123x f x x f x x f x x f x x f x x f x -+-≤-)(ln )(ln )(ln )(ln 12132223x f x x f x x f x x f x +--)(ln )(ln )(ln )(ln 21312232x f x x f x x f x x f x +--≤ 整理，得))(ln )((ln ))(ln )((ln )(ln )()(ln )(231232123223x f x f x x f x f x x f x x x f x x ---≤---))(ln )()(ln ())(ln )()(ln (23121223x f x f x x x f x f x x --≤--即 2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛充分性：在I 上任取)(,3131x x x x <，在],[31x x 上任取一点2x ，213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则1323x x x x --=λ 由于 2312123112)()()()(x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛故 2312123112)()(ln )()(ln x x x x x f x f x f x f --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)()(ln 1)()(ln 123231212x f x f x x x f x f x x )(ln )(ln )(ln )(ln 12132223x f x x f x x f x x f x +--)(ln )(ln )(ln )(ln 21312232x f x x f x x f x x f x +--≤整理，得≤)(ln 2x f 3221133131ln ()ln ()x x x xf x f x x x x x --+--由于1323x x x x --=λ，故21311x x x x λ--=-，于是)()1()(ln ))1((ln )(ln 31312x f x f x x f x f λλλλ-+≤-+=所以()f x 为区间I 上为对数性下凸函数。