初中数学二次函数动点问题

函数性问题专题—动点问题

函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题）

一、因动点而产生的面积问题

例1：如图10，已知抛物线P ：y =ax 2

+bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

(1 求A 、B 、C 三点的坐标；

(2 若点D 的坐标为(m ，0 ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；

(3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM

=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.

若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分：

(2 若点D 的坐标为(1，0 ，求矩形DEFG 的面积

.

例2：如图1，已知直线

12

y x =-与抛物线2

164

y x =-

+交于A B ，两点．

（1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段A B 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段A B 端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2

图1

图10

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例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边

AB=4,BC=4

(1求矩形ODEF 的面积；

(2）将图l 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转 900，若旋转过程中OF 与OA 的夹角（图2中的∠FOA ）的正切的值为x ，两个矩形重叠部分的面积为y ，求 y 与 x 的函数关系式；

(3将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连结EC 、EA ，△ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由。

二、因动点而产生的等腰三角形问题

例4：如图，抛物线254y ax ax =-+经过A B C △的

三个顶点，已知B C x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且A C B C =

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在P A B △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P

坐标；不存在，请说明理由．

三、因动点而产生的直角三角形问题

例5：如图12，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作N P 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．

（1）点（填M 或N ）能到达终点；

（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的

取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；

（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的

图12

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坐标，若不存在，说明理由．

四、因动点而产生的相似形问题

例6：设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0 、B(m，0 ，与y 轴交于点C . 且∠ACB=90°． (1求m 的值和抛物线的解析式；

(2已知点D(1，n 在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以

点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． (3在(2的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．．

五、因动点而产生的平行四边问题

例7：如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40 A -，，

(20 B -，，(08 E ，．

（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形

M D N A 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的

速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形M D N A 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形M D N A 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形M D N A 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

例8、如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A

点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中 C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线

于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

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六、因动点而产生的梯形问题

例9：已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △

OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；

（2）若抛物线bx ax y +=2

（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

七、因动点而产生的线段和（差）问题

例10：如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点

A 、

B ．已知抛物线2

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y x bx c

=++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线2

16

y x bx c =

++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最

小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

例11、已知抛物线y =ax 2

+bx +c 与y 轴交于点

A (0，3 ，与x 轴分别交于

B (1

，0 、C (5，0 两点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；

（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E ，再到达抛物线的对称轴上

某点(设为点F ，最后运动到点A 。求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。

例12：抛物线y=ax2

+bx+c交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为

x=1,B(3,0,C(0,-3, (1求二次函数的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。