专题2 第1讲 三角函数的图象与性质

专题二 三角函数、平面向量第1讲 三角函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·青岛模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6解析 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，然后将所得图象向左平移π3个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图象． 答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件． 答案 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为 ( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎨⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.答案 A4．(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，－π3B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )．A.π12 B ．π6 C ．π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.答案 B6．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝ ( )．A.23 B ．32 C ．2D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为直线x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B7．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－1B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )解析 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，所以sin (π＋φ)<sin (2π＋φ)，即－sinφ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 答案 D 二、填空题8．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －799．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析 ∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8. 答案 3π810．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时，函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255. 答案 －25511．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______．解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，312．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 π 三、解答题13．(2014·西安五校二次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω， ∴ω＝π4，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.由π4×1＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π4， 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4(x ＋2)＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4. ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴π4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y 的最大值为6； 当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－2 2.14．已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3(其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0， 所以T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin(4x －π6)的图象． 由－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )； 由π2＋2k π≤4x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12(k ∈Z )．故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π24，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12. 15．(2013·湖南卷)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335.求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x . (1)由f (α)＝335，得sin α＝35， 又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15. (2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1. 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．谢谢大家。