2007物理竞赛2(力学)

解： 以车厢为参照系，引入惯性力
A T m Aa0 mm Ag m Aa
B
m2a2 B0
B
g2
T
m B a
T
a2 0
g2 mg
m Am B

a0
m A m B
＝125.4（N）
A
a0
C
N
f
f* T
mA g a
B
T f*
a
mB g
行星绕恒星的椭圆运动
一、能量和角动量
解二：椭圆轨道的角动量
mv1( A C ) mv 2( A C )
1 2
m
v2 1
G
Mm AC

1 2
m
v22
G
Mm AC
L m( A C )v2 mB
GM A
圆轨道的角动量
L mvR m GM0R
P2
R AC
① ②
M g M0
v1
C
P1
角动量守恒
2
2R
2 5.4R
椭圆轨道 对比 E GMm 2a
偏心率 e a r近 0.63 a
a 5.4R 2R
在近地点
a
(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒
m GM 2m GM (2m m)v
2R
R
v 2 2 1 GM 3 2R
v GM
R 2m m
B
vc
A
例：一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车 厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的 物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平 位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量 M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚 时的位移（不计空气阻力， m1 和m2 视作质点）
m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m ＝0则滑 轮不会转动；若m ≠ 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之 间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相对 滑动刚好消失，试求m0 值。
解：T1 m1 g m1a
m1 m
m2 g T2 m2a
m2 2m
h k2
2
E < 0，则偏心率 e < 1， 质点的运动轨道为椭圆。
E = 0，则偏心率 e= 1， 质点的运动轨道为抛物线。
E > 0，则偏心率 e>1， 质点的运动轨道为双曲线。
以地球为例：
U(r) RE 0
rmax
K=E－U
E2>0 r
E1<0
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发
生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星
随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提
示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则
e
A2 B2 )
解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点
A
先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况
v0
对圆轨道 P 点：
m v20 GM0m A C (A C)2
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅱ)
纯滚动（无滑动的滚动）
质心的速度为 vc
质心的加速度为 ac
轮子上一点相对于质心系的角速度为
轮子上一点相对于质心系的角加速度为
接触点对地的速度为零
vc
vc R ac R
A
B
例： （18th, 5）半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t ＝0 时
刻开始以恒定角加速度 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0，环
上最低点 A 的加速度的大小为
, 最高点 B 的加速度
的大小为
解： 质心系中
an

v2 R

R 2

R 2t 2
at R
最低点A，地面系中
at at ac
at R
at 0
ac R
向左 向右
L mB
GgM 0
A
m
GM0( A C)
gB2 A C
A
g(A C) 1 A
C
A2 B2
e
A
A
e 1 g g
A P2
A2 B2 C 2
v1 B
C
P1
例（21届，10分）一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径
为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为
T2 R

T1 R

J

1 2
2m R2
a R
T2
T1
m2 g m1 g
解：
T1 m1 g m1a
m1 m
m2 g T2 m2a
m2 2m
T2 R T1R J mR 2
a R T1 mg ma
2mg T2 2ma
a1g 4
T1

5 4
mg
T2 T1 ma
T2

3 2
mg
T2
T1
m2 g m1 g
d
绳子的质量忽略不计
2

Fi 0
T ( d )
dN
df
T( d )cos d df T( )cos d
2
2
d 0
df T( d ) T( ) dT
d
u(t) M V (t) (m1 m2 )
设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ’
在Dt ’ 内， m1和m2相对车厢的速度为 u’(t)
V (t)
u(t) V (t) u(t)
A
u(t )
V (t) M V (t) m1 m2 M V (t)
(m1 m2 )
1 2
k (Dl )2

1 2
MV
2

1 2
(m1

m2 )u2
V (t)
A
u(t )
Dl

m1u0
[
1 k
(
1 M

m1
1
m2
1
)] 2
在m1和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒
(m1 m2 )u MV (m1 m2 )u(t) MV (t) 0
u(t) M u V (t ) (m1 m2 ) V
对椭圆轨道 P1 点：
P S
m v20 GgM0m ( A C)2
v1 AB
B2
A
P2
A2 B2 C 2
C
P1
m v20 GM0m
①
A C (A C)2
B2
A
mv20 GgM0m (A C)2
②
1
(AC) g
AC 1 Ag
e A2 B2 C
(m1 m2 )
Dt
u(t)dt Dl
0
Dt
V (t)dt DX2
0
DX 2

m1 m2 M (m1 m2 )
Dl

m1 m2 m1 m2 M

m1u0[
1 k
(
1 M

m1
1
m2
1
)] 2
车厢的总位移为DX
DX

DX1

DX 2

m1 m1 M
判断。
解：(1) 碰撞前卫星的速度
m M
G
Mm (2R)2

m
v02 (2R)
GM v0 2R
2R R
2m
小流星与卫星碰撞，动量守恒
m GM 2m GM (2m m)v
2R
R
v 4 2 GM 6R
m M
2R R
2m
v GM R
新星体的能量 E 1 (3m)v2 G M (3m) GM(3m) 0
a t
B
vc
an R 2t 2
A
合加速度的大小
a R 2t 2
最高点B
an

v2 R

R 2
R 2t 2
at at ac
at ac R
at 2R
an R 2t 2
at R
a (2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
解： 由动量守恒 由角动量守恒
MV0 MV mVc
①
MV0
l 2

MV
l 2

Jc
②
Jc

1 12
ml2
由动能守恒
1 MV 2 1 MV 2 1 m V 2 1 J2 ③
GM
GM L m(a c)v2 mb a
P2
E

1 2
m v22

G
Mm ac
GMm 2a
v1 b
ac
P1
a2 c2 b2
二、椭圆在 P1 点的曲率半径为
b2
a
三、椭圆轨道的偏心率为
e c a2 b2
a
a
四、轨道按能量的分类
e