江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.不等式x2-5x+6＜0的解集是（）A. 或B. 或C. 或D.2.与的等比中项是（）A. B. C. D.3.已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（）A. 8B. 4C. 8或4D. 以上答案都不对4.“a=-2”是“直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{a n}是递增的等比数列，a4=4a2，a1+a5=17，则S2019-2a2019的值为（）A. 1B.C.D.6.若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（）A. B.C. D.8.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（）A. B. C. D.9.若关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.10.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）A. 4kmB. 5kmC. 6kmD. 7km11.设f（n）=2+23+25+27+…+22n+7（n∈Z），则f（n）等于（）A. B. C. D.12.已知等差数列{a n}首项为a，公差为1，，若对任意的正整数n都有b n≥b5，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为．14.在等比数列{a n}中，a n＞a n+1且a7•a11=6，a4+a14=5，则=______．15.已知椭圆的方程为（a＞b＞0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，直线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率为______．16.已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知关于x的不等式：ax2-2（a+1）x+4＞0，a∈R．（1）当a=-4时，求不等式的解集；（2）当a＞0时，求不等式的解集．18.在等差数列{a n}中，a2=3，a5=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．19.已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．（2）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围．20.某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d．（1）若P是EF的中点，求d的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求△AEF面积的最小值．21.在数列{a n}中，已知，且2a n+1=a n+1（n∈N*）．（1）求证：数列{a n-1}是等比数列；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值；（2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：不等式x2-5x+6＜0化为（x-2）（x-3）＜0，解得2＜x＜3，所以不等式的解集是{x|-2＜x＜3}．故选：D．把不等式化为（x-2）（x-3）＜0，求出解集即可．本题考查了求一元二次不等式解集的应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=±．则两数与的等比中项是±=±．故选：C．由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=±．代入计算即可得到所求值．本题考查等比中项的定义和求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵椭圆的长轴在x轴上，∴m-2＞10-m＞0，解得6＜m＜10，∵椭圆的焦距为4，∴c2=m-2-10+m=4，解得m=8．故选：A．利用椭圆的简单性质列出不等式求出m的范围，然后利用椭圆的焦距直接求解即可．本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．4.【答案】A【解析】解：当a=-2时，l1：2x+y-3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=-2，或a=1，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，a4=4a2，所以q2=4，又a1+a5=17=a1+16a1，所以a1=1，因为数列{a n}是递增的等比数列，所以q=2，所以S2019-2a2019=-2×22019-1=22019-1-22019=-1，故选：B．由a4=4a2，得q=2，再将a1+a5=17，转化为a1的方程，求出a1，即可求出S2019-2a2019的值．本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：．故选：D．利用三角形△F1F2M的周长以及离心率列出方程求解a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】A【解析】解：正数a、b满足ab=a+b+3，∵a+b≥2，当且仅当a=b时取等号，∴ab=a+b+3解不等式可得，≥3或≤-1（舍）则ab≥9故选：A．由基本不等式可得，ab=a+b+3，解不等式可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．8.【答案】B【解析】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d=，∴每一等人比下一等人多得斤金．故选：B．根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．本题考查等差数列在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题．9.【答案】A【解析】解：关于x的不等式x2-mx+4＞0在x∈[1，3]上有解，即m＜x+在x∈[1，3]上能成立．设f（x）=x+，则f（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，故当x=2时，f（x）取得最小值4，又f（1）=5，f（3）=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值．则实数m＜5，故选：A．由题意可得m＜x+在x∈[1，3]上能成立．设f（x）=x+，求出函数f（x）在x∈[1，3]上的最大值，可得m的范围．本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查构造法以及转化思想的应用．是基本知识的考查，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可设y1=，y2=k2x，∴k1=xy1，k2=，把x=10，y1=2与x=10，y2=8分别代入上式得k1=20，k2=0.8，∴y1=，y2=0.8x（x为仓库与车站距离），费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2×4=8，当且仅当0.8x=，即x=5时等号成立．当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．应选B．据题意用待定系数法设出两个函数y1=，y2=k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能．11.【答案】D【解析】解：依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和，所以f（n）==，故选：D．依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和，代入等比数列的求和公式即可．本题考查了等比数列的前n项和，找到公比和项数是解题关键，本题属于基础题．12.【答案】D【解析】解：等差数列{a n}首项为a，公差为1，所以a n=a+n-1，所以，则，若对任意的正整数n都有b n≥b5，所以（b n）min=b5=，所以＜＜，解得-5＜a＜-4．故选：D．直接利用数列的递推关系式求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值和不等式的解法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的关系式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】∃x0∈R，x02+2x0+2≤0【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可，命题的否定仅否定原命题的结论，主要与否命题概念的混淆。
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”．故答案为：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0．14.【答案】【解析】解：∵a7•a11=a4•a14=6∴a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2∵a n＞a n+1∴a4=3，a14=2∴q10=故==故答案为：根据等比中项的性质可知a7•a11=a4•a14求得a4•a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求．本题主要考查等比数列的性质．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程．15.【答案】【解析】解：因为椭圆的方程为（a＞b＞0），过椭圆右焦点F且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，得FQ=，MF=-c，所以tan30°=====e，所以e=，故答案为：．设F为右焦点，先求出FQ的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得tan30°=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小．16.【答案】-25【解析】解：依题意，x＞0，y＞0，且，所以x＞1，y＞1，且，即x+y=xy，所以=+=-9-4-（+），因为＞0，＞0，所以=-13-（+）≤-13-2=-13-2=-13-12=-25．当且仅当x=，y=时等号成立．故答案为：-25．，所以，即x+y=xy，且x＞1，y＞1，再结合基本不等式即可得到的最大值．本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本题属于难题．17.【答案】解：（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+4＞0，变形可得：2x2-3x-2＜0，解可得：-＜x＜2，即不等式的解集为（-，2）；（2）当a＞0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）＞0，若a=1，则不等式为（x-2）2＞0，其解集为{x|x≠2}，若a＞1，（x-）（x-2）＞0⇒x＞2或x＜，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}；若a＜1，（x-）（x-2）＞0⇒x＜2或x＞，不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；综合可得：a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}，a＞1时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}；a＜1时，不等式的解集为{x|x＞或x＜2}．【解析】（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+4＞0，解可得x的取值范围，即可得不等式的解集；（2）当a＞0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）＞0，按a的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案．本题考查不等式的解法，涉及含有参数问题的讨论，属于基础题．18.【答案】解：等差数列{a n}中，a2=3，a5=6．可得d===1，a1=a2-d=2．所以a n=n+1．（2）b n===．数列{b n}的前n项和S n==．【解析】（1）利用等差数列关系式求出公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法：裂项消项法的应用，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+3，当x∈R时，f（x）≥a恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立，∴△=a2-4（3-a）≤0，化简得a2+4a-12≤0，解得：-6≤a≤2；（2）设g（a）=x2+ax+3，则由题可得：当a∈[4，6]时，恒有g（a）≥0，∴ 即解得或或，即x≤-3-或x≥-3+，∴x的取值范围是{x|x≤-3-或x≥-3+}．【解析】（1）f（x）≥a恒成立，x2+ax+3-a≥0对任意x∈R恒成立，根据判别式进而求解；（2）设g（a）=x2+ax+3，转化成关于a的一次函数，进而求解．（1）考查不等式恒成立，不等式与二次函数的联系，判别式的应用；（2）考查转化思想，将关于x的函数转化为关于a的函数．20.【答案】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）．AC所在直线方程为y=2x，AD所在直线方程为y=-x．设E（-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0．∵P是EF的中点，∴ ，解得，∴E（-960，480），∴d=|AE|==480．（2）∵EF经过点P，∴k PE=k PF，即=，化简得80m+240n=mn．由基本不等式得：mn=80m+240n≥160，即mn≥76800，当且仅当m=3n=480时等号成立．∵k AC•k AD=-1，∴AC⊥AD，∴S△AEF=AE•AF=m•n=mn≥76800=192000，此时E（-960，480），d=AE=480．故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480．△AEF面积的最小值为192000 m2．【解析】（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出E点坐标，从而可计算d；（2）根据基本不等式得出AE•AF的最小值，进而求出△AEF的面积最小值．本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2a n+1=a n+1（n∈N*）．∴2（a n+1-1）=a n-1，∵，∴a1-1=且a n-1≠0，∴=，∴数列{a n-1}是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得：a n-1=，∴a n=∴b n=na n=n，∴T n=（）+（1+2+…+n），令A n=，∴=…+（n-1）+n，两式相减可得，=，==1-∴A n=2-2×-n=2-∴T n=2-【解析】（1）由已知可得，2（a n+1-1）=a n-1，从而可证明数列{a n-1}是等比数列；（2）由（1）可求a n，进而可求b n，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解．本题主要考查了利用等比数列的定义证明等比数列，体现了转化思想的应用，还考查了等差数列的求和公式及错位相减求和方法的应用．22.【答案】解：（1）∵PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），∴a2-b2=c2=4，=1，解得：a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为=1．∴F1（-2，0），直线PF1的方程为y=（x+2），将y=（x+2）代入椭圆方程，解得x Q=-，∴λ=；（2）∵PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（-c，0），由PQ=λF1Q，得c-x1=λ（-c-x1），，解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-），∵点Q在椭圆上，∴=1，即（λ+1）2e2+（1-e2）=（λ-1）2．∴（λ+2）e2=λ-2，从而e2=．∵4≤λ≤5，∴，解得．∴椭圆C的离心率的取值范围是[，]．【解析】（1）由PF2⊥x轴，且点P的坐标为（2，3），可得关于a，b，c的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求，写出直线PF1的方程，与椭圆方程联立，解得Q的横坐标，由λ=求解λ的值；（2）由PF2⊥x轴，不妨设P在x轴上方，可得P（c，y0），y0＞0，设Q（x1，y1），由P在椭圆上，解得P（c，），再由已知向量等式得Q的坐标，结合点Q在椭圆上，可得．再由4≤λ≤5，即可求得椭圆C的离心率的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
江苏省江阴四校高二数学上学期期中试题
2018—2019学年高二期中考试数学学科试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1。
命题“1sin ,≤∈∃*x N x ”的否定是 ▲ ． 2。
直线310x y ++=的倾斜角的大小是 ▲ ．3。
“1>x ”是“12>x ”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要"“既不充分也不必要"之一）。
4。
平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程 ▲ 。
5. 若圆C 经过（1，0），(3，0）两点，且与y 轴相切，则圆C 的标准方程为_____▲ ____. 6。
点P 是直线02=-+y x 上的动点,点Q 是圆122=+y x 上的动点，则线段PQ 长的最小值为 ▲ .7. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4,AA 1＝6．若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ▲ ．8. 若将一圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥体积为__▲ ．9。
椭圆1163622=+y x 焦点为21,F F ,P 为椭圆上一点，且21PF PF ⊥,则21F PF ∆的面积为 ▲ ． 10. 已知βα,是不同的平面，l m ,是不同的直线，给出下列4个命题： ①若,,//αα⊂m l 则;//m l ②若,,//,m l l =⊂βαβα 则;//m l ③若α⊂m m l ,//则α//l ；④若,//,ααm l ⊥则.m l ⊥ 则其中真命题为 ▲ .11. 若命题“R x ∈∃，使01)1()1(2≤+---x a x a ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ 。
12。
在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax+y ﹣2=0与圆心为C 的圆(x ﹣1)2+(y ﹣a)2= 相交于A,B 两点，且△ABC 为正三角形，则实数a 的值是 ▲ ．13. 在平面直角坐标系中,若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的取值范围是___▲ _。
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
互相平行”的（） B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
5. 已知数列{an}是递增的等比数列，a4=4a2，a1+a5=17，则S2019-2a2019的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6. 若椭圆 ）
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1. 不等式x2-5x+6＜0的解集是（ ）
A．
或
C．
或
B．
或
D．
2.
与
的等比中项是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知椭圆 A．8 C．8或4
的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（ ） B．4 D．以上答案都不对
4. “
”是“直线
F1并延长交椭圆于另一点Q，设 =λ
．
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结P
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
（1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及λ的值； （2）若4≤λ≤5，求椭圆C的离心率的取值范围．
（2）设
，求数列{bn}的前n项和Sn．
江苏省江阴市四校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
19. 已知函数f（x）=x2+ax+3． （1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． （2）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求x的取值范围．
20. 某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P 到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在△AEF内试验养殖一种新的水产品，当△AEF的面 积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设AE=d．
江苏省江阴2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题附答案
2020-2021学年第一学期高二期中考试数学学科试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题2",0"x R x x ∀∈+≥的否定是( )A ．2000,0x R x x ≤∃∈+ B ．2000,0x R x x <∃∈+ C ．2,0x R x x ∀∈+≤ D ．2,0x R x x ∀∈+< 2.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（）中的数应为（ ）.A ．1118B ．1116C ．12D ．9163.设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若522, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023- B ．511 C ．1023 D ．511-4.设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若369,36S S ==，则789a a a ++等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27 6.已知正数，满足()18m n n -=，则2m n +的最小值是( ). A ．18 B ．16 C ．8 D ．10 7.过点(32)-，且与22194xy+=有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A ．2211015xy+= B ．221225100xy+= C ．2211510xy+=D ．221100225xy+=8.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．0,0)2a b ab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C．20,0)ab a b a b≤>>+ D．0,0)2b a a b ≤>>+二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设0,b a c R >>∈，则下列不等式中正确的是( )A<11a b> C.22a ab b+>+ D.22ac bc <10. 下列四个函数中，最小值为的是( ) A ．1sin (0)sin 2y x x xπ=+<≤B ．1ln (0,1)ln y x x x x=+>≠C．26x y +=．44x x y -=+11.在公比为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前项，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ） A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列12.等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是( )A ．0d < B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时的最小值为 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.设30,2x <<，则函数4(32)y x x =-的最大值为______．14. 若关于的不等式2()10(,,0)ax a b x a b R a +++>∈≠的解集为{13}x x -<<，则b =15.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺. 16.若数列{}n a 满足111(,)n nd n N d a a *+-=∈为常数，则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为“调和数列”，且21201920190b b b +++=，则22018b b 的最大值是________．四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17.已知2:{|230},:{|3}p A x x x q B x x m =--≤=->，若是的充分条件，求实数的取值范围．18.在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前项和n S ．在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 已知函数2()(1)()f x x c x c c R =-++∈．(1)解关于的不等式()0f x <；(2)当2c =-时,不等式2()5f x ax >-在(0,2)上恒成立,求实数的取值范围．20. 椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，焦距为，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆的方程； (2)若AB x ⊥轴，求2ABF 的面积．21.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求060ACB ∠=，BC 的长度大于米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，设(1),(0)BC x x AC t t =>=>， （1）求关于的表达式； （2）当BC 为何值时，AC 最短并求最短值.22.设数列{}n a 的前项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式(2)若n nn b a =,求{}n b 的前项和n T(3)在（2）的条件下判断是否存在正整数使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在，求出所有值；若不存在说明理由.2020-2021学年第一学期高二期中考试数学学科答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 B2、 D 3 、C 4 、A 5、 B 6 、A 7、C 8、 D二．选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9、ABC 10、AD 11.ABC 12、BD三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13、92 14、1 15、 10.5 16、100.四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17.（10分）已知p ：A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，q ：B ＝{x||x －m|>3}，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由题意得A ＝{x|－1≤x≤3 }，（2分）B ＝{x|x<m －3或x>m ＋3 }（4分） 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，（6分） 所以m －3>3或m ＋3<－1，解得m>6或m<－4， （9分）即实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．（10分）18.（12分）在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)由题意得，11415323182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩．(3分) ∴3(1)33n a n n =+-⨯=．(5分) (2)选条件①：∵19911133(1)(1)1n n n b a a n n n n n n +====-⋅+++，（8分) ∴11111111223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++.(12分) 选条件②：∵3n a n =，(1)n n n b a =-， ∴36912(1)3n n S n =-+-+-+-，(7分)当n 为偶数时，3(36)(912)[3(1)3]322n n nS n n =-++-+++--+=⨯=；(9分)当n 为奇数时，n －1为偶数，13(36)(912)[3(2)3(1)]333(1)22n n S n n n n n -=-++-+++--+--=⨯-=-+．（11分） ∴3,23(1),2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为偶数为奇数.(12分)19、（12分）已知函数f(x)＝x 2－(c ＋1)x ＋c(c∈R)．(1)解关于x 的不等式f(x)<0；(2)当2c =-时,不等式2()5f x ax >-在(0,2)上恒成立,求实数的取值范围． 【解析】(1)∵f(x)<0∴x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －1)(x －c)<0,（2分） ①当c<1时,c<x<1,（3分）②当c ＝1时,(x －1)2<0,∴x ∈⌀,（4分） ③当c>1时,1<x<c,（5分）综上,当c<1时,不等式的解集为{ |x c<x<1},当c ＝1时,不等式的解集为⌀,当c>1时,不等式的解集为{ |x 1<x<c}．（6分） (2)当c ＝－2时,2()5f x ax >-化为2225x x ax +->-223x x ax <++∴对一切x∈(0,2)恒成立,2min131x x a ⎛⎫< ++⎪⎝⎭∴ （8分）设213()1g x xx=++11(,)2t x =∈+∞令 ( 9分) 2113()2y tt t ∴=++>9,4y ∴∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭(11分 ) 94a ∴≤ (12分)20、（12分）椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，焦距为2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若AB ⊥x 轴，求△ABF 2的面积． 解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，（3分）由焦距为2，所以c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，（5分） 所以椭圆E 的方程为x 24＋y23＝1.（6分） (2)设直线AB 的方程为x ＝-1， 由x 24＋y 23＝1，x ＝-1，得y 2＝94，解得y 1＝32，y 2＝-32，（10分） 所以S △ABF 2＝c·|y 1－y 2|＝3（12分）21、（12分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，设BC ＝x(x ＞1)，AC ＝t(t ＞0)， （1）求t 关于x 的表达式；（2）当BC 为何值时，AC 最短并求最短值. 解：（1）由题意得AB ＝AC －0.5＝t －0.5，（2分）在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，（4分）化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x ＞1)，（6分）（2）t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3（10分）⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝1＋32时，等号成立，（11分）此时t 取最小值2＋ 3. 答：当BC=1 ，AC 最短，最短值2＋3米.（12分） 22.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式 (2)若n nnb a =,求{}n b 的前n 项和n T (3)在（2）的条件下判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【答案】(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．（2分） ∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n na ；（4分）(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+ ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-（8分） (3)代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．所以226n n =+，即2612nn +=（9分） 令26()2n n f n +=，()1251()02n n f n f n +--+-=< ∴()f n 为单调递减数列 又()()()()()272930311,27,3,4,5281632f f f f f =====， 因为()f n 为单调递减数列，所以5,()1n f n ><当（11分）所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．（12分）。
江苏省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(三)
江苏省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B 两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭，l2与椭圆C圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长﹣x2|=•=8．|AB|=|x16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二上学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题“x∈R，x≤1或x>4”的否定为．2.若直线x+ay−a=0与直线ax−(2a−3)y−1=0垂直，则a的值为3.设条件p：|2x+3|<1；条件q：x2−(2a+2)x+a(a+2)≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．4.圆x2+y2−4x−4y−10=0的圆心坐标为______ ．5.已知直线a，b，c，d，给出以下四个命题：①若a//b，a⊥c，则b⊥c；②若a⊥c，b⊥c，则a//b；③若a，b分别和异面直线c，d都相交，则a，b是异面直线；④已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则∠ABC是异面直线a，b所成的角，则以上命题中正确命题的序号是______ ．6.已知直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2<θ<0)，则直线l的倾斜角为______．7.圆锥的侧面展开图是面积为2π的扇形，若圆锥的母线长是2，则圆锥的体积是______．8.直线y=x+2被圆M：所截得的弦长为9.设椭圆C2：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为e=12，抛物线C1：y2=−4mx(m>0)的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为______．10.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是______．11.若不等式的解集为区间［a，b］，且b−a=2，则k=______________．12.已知圆C1：x2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x−1=0相交于两点A，B，则直线AB的方程为______．13.已知圆O：x2+y2=1，圆N：(x−a)2+(y−a−1)2=1(a>0)，若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠AQB=60°，则a的取值范围是______．14.已知倾斜角为α的直线l与直线2x+y−3=0垂直，则cos(2019π+2α)=______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知圆C的方程为，过点斜率为的直线与圆交于另一点，且(1)求直线的方程；(2)时，求过点且与圆C相切的直线的方程．16. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PA=PB，PC=2．(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(Ⅱ)H为PA的中点，求二面角D−CH−B的余弦值．17. 设命题p：方程x22+k −y23k+1=1表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P(−2,1),且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p，q都是真命题，求k的取值范围．18. 如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是边AD的中点．平面ADE⊥平面ABCD，AB=2DE，∠ADE=90°.线段BE上的点M满足BM=2ME．(1)证明：DE//平面GMC；(2)求直线BG与平面GMC所成角的正弦值．19. 如图，直线PA为⊙O的切线，切点为A，PO交⊙O于E，F两点，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．(1)若PA=4，PE=2，求⊙O直径的长度．(2)证明：PA=PD．20. 已知椭圆C1的方程为x24+y22=1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2√2，求直线l的方程．【答案与解析】1.答案：． 解析：由题意得，， 故答案为：．2.答案：0或2．解析：当时，两直线分别为与，显然垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上的值为0或2．3.答案：[−3,−2]解析：解：∵q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，且q ⇏p ．记p ：A ={x||2x +3|<1}={x|−2<x <−1}，q ：B ={x|x 2−(2a +2)x +a(a +2)≤0}={x|a ≤x ≤a +2}，则A 是B 的真子集．从而{a ≤−2a +2≥−1且两个等号不同时成立， 解得−3≤a ≤−2．故实数a 的取值范围是[−3,−2]求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键．4.答案：(2,2)解析：解：由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，∴圆心坐标为(2,2)．故答案为：(2,2)由方程x 2+y 2−4x −4y −10=0可得(x −2)2+(y −2)2=18，即可得到圆心的坐标．本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题．5.答案：①解析：解：对于①，若a//b，a⊥c，由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，可得b⊥c，故①对；对于②，空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故②错；对于③，比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，故③错；对于④，已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b 所成的角，故④错．故答案为：①．由垂直于两平行线中的一条，也垂直于另一条的性质，即可判断①；空间中，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，即可判断②；比如空间四边形ABCD中，AD，BC为异面直线，AB，AC和它们都相交，但AB，AC相交，即可判断③；已知a，b是异面直线，若AB//a，BC//b，则AB，AC所成的锐角或直角是异面直线a，b所成的角，即可判断④．本题考查空间两直线的位置关系：平行和相交或异面，考查异面直线所成的角的概念，是一道易错题，也是基础题．6.答案：π+θ解析：解：设直线的倾斜角为α<θ<0)，直线l：xsinθ−ycosθ+2=0(−π2，则直线y=tanθx+2cosθ则直线的斜率k=tanθ=tanα，则α=π+θ，故答案为：π+θ设直线的倾斜角为α，0≤α<π，即可求出答案．本题考查了直线的倾斜角的问题，关键掌握倾斜角的范围，属于基础题．7.答案：√3π3。
江苏省无锡市江阴市四校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”否定是_____________.2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ．3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________.5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.6. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.11. 已知实数x y ，满足方程y yx取值范围是_______.12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+的的的相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；的（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卡指定位置处.1. 命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2nx n ∃∈≤N 故答案为2,2nx n ∃∈≤N2. 过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0 【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0． 考点：两条直线的位置关系 3. 32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空） 【答案】充分不必要 【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4. 若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y += 【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=.故答案为221x y +=5. 已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______. 【答案】π4【解析】【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46. 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7. 设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________. 的32【解析】 【分析】 ，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值. 【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以lr ， 即S 2＝12l ×2πr2＝π，所以12S S32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8. 直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2- 【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),10)a a ><或,因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆则2a =-.故答案为-29. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C方程为____.【答案】22143x y +=【解析】【分析】 由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程. 【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10. 已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______. 【答案】①④ 【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误; 由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11. 已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______. 【答案】0⎡⎣【解析】 【分析】方程y ()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令yk x=,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k,所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为⎡⎣【详解】12. 已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【解析】 【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切，∴|C 1C 2a b =+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭．故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．13. 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )≥4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y =kx m+相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】 设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a km a k b -+所以0y =2222b ma k b+,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b +=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12. 故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15. （1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【解析】 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得． （2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠ 将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 如图，过底面是矩形四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ；(2)平面DAF ⊥平面BAF .【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形,的∴FG ∥ED . 又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED. (2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF , 又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17. 在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x y C m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<,解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点, 则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18. 如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（13；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】【分析】 （1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行．【详解】（1）由题意24BCD S a =△，2311·33412D ABC A DBC DBC V V S AB a a a --===⨯⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则AC AD ==， 如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴4CF a =，又12CG a =，∴CF CD CG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥， 取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥，又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心， 23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[2-+.【解析】【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM +的最小值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）【解析】【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =结合条件//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 的所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M 点的横坐标为x = 由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==≥，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.的。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中联考数学试题一、填空题1．命题“2,2n x n ∀∈>N ”的否定是_____________.【答案】2,2nx n ∃∈≤N【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,2nx n ∀∈>N ”的否定是2,2n x n ∃∈≤N故答案为2,2nx n ∃∈≤N2．过点P （－1,3）且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是 ． 【答案】2x+y-1=0【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P （－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0．【解析】两条直线的位置关系 3．32a =-是直线1210l x ay +-=：和直线2(1)0l a x ay +-=：平行的______________条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）【答案】充分不必要【解析】若l 1//l 2,则()21a a a ++=0,则a =0或32a =-,经检验都符合题意，所以l 1//l 2充要条件是a =0或32a =-，故32a =-是a =0或32a =-的充分不必要条件故答案为充分不必要条件.4．若圆C 的半径为1,点C 与点()2,0关于点()1,0对称,则圆C 的标准方程为______________. 【答案】221x y +=【解析】因为点C 与点()2,0关于点()1,0对称,所以点C 的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为221x y +=. 故答案为221x y +=5．已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.【答案】π4【详解】连接DC 1, 111,A D AC ,,E F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,所以,E F 分别为111A C A D ，的中点，故DC 1//EF ,则DC 1与CD 所成的角即为EF 和CD 所成的角，大小为π.4故答案为π46．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若12V V ＝3π，则12S S 的值为________.【答案】32【分析】，根据已知的比例式和所求的比例式，可以不妨设V 1＝27，这样可以求出V 2，以及正方体的棱长和表面积，还可以求出圆锥的底面半径以及母线，最后求出圆锥的侧面积，最后求出所求的比例式的值.【详解】不妨设V 1＝27，V 2＝9π，故V 1＝a 3＝27，即a ＝3，所以S 1＝6a 2＝54. 如图所示，又V 2＝13h ×πr 2＝13πr 3＝9π，即r ＝3，所以l ＝2r ， 即S 2＝12l ×2πr ＝2πr 2＝92π，所以12S S ＝92π＝32 故答案为：.32【点睛】本题考查了正方体的体积、表面积公式，考查了圆锥的侧面积公式和体积公式，考查了数学运算能力.8．直线10ax y ++=被圆2220x y ax a +-+=截得的弦长为2，则实数a 的值是______． 【答案】2-【解析】圆()22x a y -+=2a a -,则圆心(a ,0),210)a a a a -><或,因为直线被圆截得的弦长为2,21a a --2211a a ++21a a --则2a =-.故答案为-29．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,),2P 离心率为1,2则椭圆C 的方程为____. 【答案】22143x y +=【分析】由离心率可得2234b a =，将点代入方程即可求出24a =，即求出椭圆方程.【详解】12c e a ==，22214a b a -∴=，则2234b a =， 将点3(1,)2P 代入方程得22914134a a +=，解得24a =，则23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=.10．已知αβ，是两个不同的平面，l m ，是两条不同的直线，l m ，αβ⊥⊂.给出下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//m l αβ⇒⊥；④//l m βα⊥⇒. 其中正确的命题是_______.【答案】①④【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;由,l ααβ⊥⊥可得//l β或l β⊂,又m β⊂,则m,l 的位置关系是平行相交或异面,故②错误;由,//l m l m 得αα⊥⊥,又m β⊂,由线面垂直的判定定理可知,l β与的位置关系可能不垂直,故③错误;由,//l l αβαβ⊥⊥得,又m β⊂,所以//m α,故④正确. 故答案为①④11．已知实数x y ，满足方程y yx的取值范围是_______.【答案】0⎡⎣【分析】方程y()()22230x y y -+=≥,表示的图形是一个半圆,令y k x =,即y =kx ,如图所示,当直线与半圆相切时,k 所以yx的取值范围是.⎡⎣故答案为3⎡⎣【详解】12．已知圆1C ：22()(2)4x a y -++=与圆2C ：22()(2)1x b y +++=相外切，则ab 的最大值为_______. 【答案】94【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab 的最大值． 【详解】由已知，圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4的圆心为C 1（a ，-2），半径r 1=2． 圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1的圆心为C 2（-b ，-2），半径r 2=1． ∵圆C 1：（x-a ）2+（y+2）2=4与圆C 2：（x+b ）2+（y+2）2=1相外切， ∴|C 1C 2()22()(22)a b a b ++---=+=r 1+r 2=3要使ab 取得最大值，则a ，b 同号，不妨取a ＞0，b ＞0，则a+b=3，由基本不等式，得2924a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭． 故答案为94． 【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题． 13．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,又圆的半径为2当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为≥,所以切线长的最小值为=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.14．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O的直线:l y =kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 【答案】12【解析】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y 可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a kma kb -+所以0y =2222b m a k b +,由题意可得2222020222··b my a k b k k a km x a k b+=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12.故答案为12点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.二、解答题15．（1）求过点(1,3)A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程； （2）求经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程.【答案】（1）43130x y +-=（2）210x y ++=或250x y += 【分析】（1）斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线斜率()14433k =-⨯=-．利用点斜式可得．（2）直线经过原点时满足条件：可得直线方程为：25y x =-．直线不经过原点时，设直线方程为：()102x ya a a+=≠，把点A （-5，2）代入解得a 即可得出． 【详解】解：（1）所设求直线的斜率为k ，依题意()14433k =-⨯=-直线经过点()1,3A∴所求直线方程为()4313y x -=--，即43130x y +-=. （2）1当直线不过原点时，设所求直线方程为()102x ya a a+=≠将（-5,2）代入所设方程，解得12a =，所求直线方程为210x y ++=；2当直线过原点时，设所求直线方程为y kx =，将（-5,2）代入所设方程，解得25k =-， 所求直线方程为25y x =-，即250x y +=； 综上：所求直线方程为210x y ++=或250x y +=.【点睛】本题考查了直直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．如图，过底面是矩形的四棱锥F －ABCD 的顶点F 作EF AB ∥，使AB ＝2EF ，若平面ABFE ⊥平面ABCD ，点G 在CD 上且满足DG ＝GC .求证：(1)FG ∥平面AED ； (2)平面DAF ⊥平面BAF . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】(1)证明:(1)DG ＝GC ,AB ＝CD ＝2EF ,AB ∥EF ∥CD ,∴EF ∥DG ,EF ＝DG .∴四边形DEFG 为平行四边形, ∴FG ∥ED .又ED ⊂平面AED ,∴FG ∥平面AED .(2)平面ABFE ⊥平面ABCD ,平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ,AD ⊥AB ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面BAF ,又AD ⊂平面DAF ,∴平面DAF ⊥平面BAF .17．在平面直角坐标系xOy 中,设命题p :椭圆22:18x yC m m+=-的焦点在x 轴上;命题q :直线:0l x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点.若命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,求实数m 的取值范围.【答案】实数m的取值范围是()⎡⎤-⋃⎣⎦【解析】试题分析：命题p 为真:由题可知,08m m <-<;命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,3≤,又知命题p 与q 一真一假,讨论求解即可.试题解析：若命题p 为真:由题可知,08m m <-<, 解得48,m <<若命题q 为真:0x y m -+=与圆22:9O x y +=有公共点,则圆心O 到直线l 的距离:d3≤,解得m -≤命题p q ∧为假命题,且命题p q ∨为真命题,∴若p 真q 假,则48m m m <<⎧⎪⎨-⎪⎩8,m <<若q 真p 假,则48m m m ≤≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或4,m -<<综上:实数m的取值范围是().⎡⎤-⋃⎣⎦18．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积； （2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 【答案】（1）3312a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意23BCD S =△，231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥， ∵3AF FC =，∴24CF a =，又12CG a =，∴CF CDCG CA=，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥， 又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ， ∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.【答案】(1)22(6)(1)1x y -+-=；(2)2x −y +5=0或2x −y −15=0.(3)[221,2221]-+.【详解】试题分析：（1）根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.试题解析：解：圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5，.（1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，则圆心M 到直线l 的距离 2675.55mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以……① 因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()2255463755,t -≤+-+-≤+⎡⎤⎣⎦解得22212221t -≤≤+. 因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡-+⎣.【解析】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM+的最小值. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在定点Q ，点Q 的坐标为(3,0)-；（3）22【分析】（1）由题意可得4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=，带入即可得解； （2）由直线l 的方程为(4)y k x =+，和2211612x y +=联立可得 22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，即可求得D 点坐标，结合条件即可得解；（3）根据题意，OM 的方程可设为y kx =，和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =//OM l ，即可得解.【详解】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率1,2e =左顶点为A (-4，0)， 所以4a =，又12e =，所以2c =，可得22212b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=； （2）直线l 的方程为(4)y k x =+， 由2211612(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(4)(43)16120x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以14x =-，222161243k x k -+=+， 当 22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为2221612,4343()k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(4)y k x =+，另0x =，得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，即30m n =-⎧⎨=⎩， 所以定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 和2211612x y +=联立可得M点的横坐标为x =由//OM l 可得：2D A E A D A M Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即k =时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了存在性问题和基本不等式求 最值，同时考查了等式的恒成立问题，计算量要求较高，属于较难题.解决此类问题的关键有：（1）联立方程，直线和圆锥曲线问题绝大多数要联立方程，若和曲线上的交点其中一个已知，则可以直接求另一交点坐标，否则可用韦达定理来描述两点的关系；（2）求最值，求最值得方法有函数法和基本不等式法两种方法，在解析几何中较为常见.。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式的解集是()A. B.C. D.2.已知{a n}是以q为公比的等比数列，a n>0且q≠1，则()A. a1+a6>a3+a4B. a1+a6≥a3+a4C. a1+a6=a3+a4D. a1+a6与a3+a4的大小不确定3.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(−，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()．A. B. C. D.4.已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的()A. 充分且必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=15，a3=5，则公比q的值为()A. −12B. 1 C. −12或1 D. 12或16.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.已知f(x)=log2(x−2)，若实数m，n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()A. 5B. 7C. 8D. 98.已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=−1，则a4等于()A. 2B. 0C. −1D. −29.√x(8−x)的最大值是()A. 4B. 2√2C. 4√2D. 1610. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制123456789101112131415例如，用十六进制表示：E +D =1B ，则A ×B =( )A. 6EB. 72C. 5FD. B 011. 下列表达式中，可以作为某个等比数列的前n 项和的是( )A. S n =3n −1B. S n =3nC. S n =3n +1D. S n =3n +212. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n =S n +14，则a n =( )A. 2n−1 B. (12)n+1 C. 2n−3D. (14)n二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 给出下列命题：①函数y =sinx 在第一象限是增函数； ②函数y =cos(ωx +φ)的最小正周期T =2πω；③函数y =sin(23x +72π)是偶函数；④函数y =cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到y =sin(2x +π4)的图象． 其中正确的命题是______ ．14. 在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q = ______ ．15. 在△ABC 中，BC =2，sinB +sinC =3sinA ，则中线AD 的取值范围是______． 16. 设，若恒成立，则实数的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a >0且满足不等式22a+1>25a−2． (1)求实数a 的取值范围．(2)求不等式log a (2x −1)<log a (7−5x)．(3)若函数y =log a (2x −1)在区间[1,3]有最小值为−2，求实数a 值．18. 已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n −2,b n =n 2(n ∈N +)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n 4,n 为偶数，令T n 为的前n 项和{c n }，求T 2n ．19. 已知关于x 的不等式ax 2+bx −1≥0． (1)若此不等式的解集为[3,4]，求a +b 的值； (2)若a =−1，解此不等式．20. 在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。