初中数学乘法公式例题解析
初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)
【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。
八年级数学因式分解——乘法公式经典例题
乘法公式经典例题【例题1】利用乘法公式进行计算计算：)23()49()23()12()12(22)2(122b a b a b a a a ++--+-）（【例题2】完全平方公式开放探究题多项式142+x 加么？【例题3】利用乘法公式进行化简求值；的值。
求）已知（的值；求）已知（的值；求）已知（）（xx b a b a b a y x x x ab xy y x 222222221,313,,4,722121,11)(+=++==++=+-+【例题4】 乘法公式几何中的运用如图所示，长方形ABCD 被分成6个大小不一的正方形，已知中间一个正方行的面积为4，求长方形ABCD 中最大正方形与最小正方形的面积之差。
【例题5】运用完全平方公式的值。
求代数式已知c bc ac b ab a m c m b m a 4442222,321,221,121+--+++=+=+=因式分解专项练习例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -； (2) 76a ab -2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd ---（2）2222428x xy y z ++-3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- (3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)21252x x --；(2)22568x xy y +-例5（拆项法）分解因式3234x x -+。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
八年级数学竞赛例题专题讲解：乘法公式(含答案)
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。
七年级数学-第02讲 整式的乘法(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式优秀教学案例示例
（一）知识与技能
1.学生能够掌握完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.学生能够运用乘法公式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生了解乘法公式的应用范围，熟练运用公式进行计算和证明。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析、归纳、推理等方法发现乘法公式的规律。
2.培养学生运用数学符号表示乘法公式，提高符号表达能力。
4.课堂练习：设计具有梯度的练习题，巩固乘法公式的运用。
5.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，提高解题能力。
6.课后作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学评价
1.学生对乘法公式的掌握程度，包括公式记忆、理解与应用。
2.学生在解决问题时的创新能力，能否灵活运用乘法公式。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
2.学生尝试解答：让学生独立思考，尝试运用已学知识解决问题。
3.教师引导：总结学生解答过程中存在的问题，引出本节课要学习的内容——乘法公式。
（二）讲授新知
1.介绍完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.举例说明：通过具体例题，展示乘法公式的应用。
3.公式总结：引导学生总结乘法公式的特点，明确其适用范围。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
五、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，确保每一位学生都能在数学学习中取得进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：以商场打折促销为背景，引导学生关注乘法公式在实际问题中的应用。如：某商品原价为200元，现进行8折优惠，求优惠后的价格。
乘法公式复习(附答案)
华夏教育 初二数学乘法公式一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2数形结合的数学思想认识乘法公式：假设a 、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。
注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y例2 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例3 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例1 计算：()()()()111124-+++a a a a 解：原式()()()=-++111224a a a ()()=-+=-111448a a a例2 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题(及答案)
中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题(及答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02， 1＝12， 4＝22， 9＝32， 16＝42， 25＝52， 36＝62， 121＝112…. （1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值.（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写出所有符合的正整数.2．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2＝12+n2， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为________.②计算：20192﹣2020×2018.________（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.3．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值4．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.（2）【理解与应用】请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：Ⅰ.2x2+5x-7=________；Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .（3）【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________5．阅读下列材料:对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)请你根据以上材料，解答以下问题:（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ，________ ，________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。
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乘法公式例题解析新课指南1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.教材解读精华要义数学与生活如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？思考讨论由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢？知识详解知识点1 平方差公式及其导出平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.知识规律小结（1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.(2)在51×49中，a=24951+=50，b=24951-=1，∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.知识点2 完全平方公式及其推导探究交流计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ； (2)(m+2)2= ；(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ； (4)(m-2)2= .点拨两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.一般地，我们有：(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9，(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2.同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.知识点3 添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.【说明】添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6，(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.【注意】注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.典例剖析师生互动基本知识应用题本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab.例1 运用平方差公式计算.(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).(分析) (1)中，把3x 看作a ，2看作b ；(2)中，2 a 看作a ，b 看作b ；(3)中，-x 看作 a ，2y 看作b.解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a )2-b 2=4a 2-b 2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x )2-(2y)2=x 2-4y 2例2 运用完全平方公式计算.(1)(4m+n )2； (2)(y-21)2. (分析) 主要是正确地应用公式.解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m ·n +n 2=16m 2+8mn+n 2. (2)(y-21)2=y 2-2y ·21+(21)2=y 2-y+41. 【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2和(a±b)2=a 2±2ab+b 2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a ，哪一个是公式中的b.例3 运用乘法公式计算.(1)102×98； (2)1022； (3)992.(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，992=(100-1)2，然后利用公式计算即可.解：(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.(3)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.例4 计算.(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用.解：(1)(m-5)(m+3)=m2+[(-5)+3]m+(-5)·3=m2-2m-15.(2)(2x-3)(2x-4)=(2x)2+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)=4x2-14x+12.综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.例5 计算.(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c)2；(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.例6 计算.(1)(b-2)(b 2+4)(b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.解：(1)(b-2)(b 2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b 2+4)=(b 2-4)(b 2+4)=b 4-16.(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a 2-b 2)-(9a 2-4b 2)=4a 2-b 2-9a 2+4b 2=-5a 2+3b 2.学生做一做 计算. (1)(21-x)(41+x 2)(x+21)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2). 老师评一评 (1)原式=161-x 4； (2)原式=6x+13. 例7 解方程 2(x-2)+x 2=(x+1)(x-1)+x(分析) 熟练应用整式的乘法公式.解：2x-4+x 2=x 2-1+x ，2x+x 2-x 2-x=-1+4，∴x=3.例8 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7).(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.解：x 2-3x ＞x 2-49，x 2-3x-x 2＞-49，-3x ＞-49，∴x ＜349. 探索与创新题主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.例9 计算19982-1997×1999.(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，1997×1999=(1998-1)(1998+1).解：19982-1997×1999=19982-(1998-1)(1998+1)=19982-(19982-1)=19982-19982+1=1.学生做一做 计算20022004200320032⨯-. 老师评一评 原式=)12003)(12003(200320032-+- =)12003(2003200322-- =120032003200322+- =12003 =2003.例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1).(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.解：原式=12)12()12)(12)(12)(12(242-++++-n Λ =(22-1)(22+1)(24+1)…(22n +1)=(24-1)(24+1)…(22n +1)=(22n )2-1=24n -1.学生做一做 计算.(1)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1；(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12； (3)(1-221)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-2101). 老师评一评 (1)由例10可以得到提示.(22+1)(24+1)…(232+1) =12)12()12)(12)(12(232422-+++-Λ =[(232)2-1]·31 =31(264-1). ∴原式=3·31(264-1)+1=264-1+1=264. (2)由平方差公式和等差数列公式S n =2)1(+n n 可知， 原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1 =2)1100(100+ =5050.(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，原式=(1+21)(1-21)(1+31)(1-31)(1+41)(1-41)…(1+91)·(1-91)(1+101)(1-101) =23×21×34×32×45×43×…×910×98×1011×109=21·1011 =2011. 例11 已知(a+b )2=7，(a-b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值.(分析)由已知(a+b )2=7，(a-b)2=4，就目前的知识水平，具体求出a 和b 的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：a 2+2ab+b 2=7，①a 2-2ab+b 2=4，②由①+②可以求出a 2+b 2，由①-②可以求出ab.解：由题意可知，a 2+2ab+b 2=7，①a 2-2ab+b 2=4，②①+②得2(a 2+b 2)=11，∴a 2+b 2=211. ①-②得4ab=3.∴ab=43. 小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.(2)由平方差公式，也可以进行变形.例如：已知a 2-b 2=14，a+b=7，那么a-b=2. 例12 观察下列各式：(x-1)(x+1)=x 2-1(x-1)(x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1根据前面各式的规律可得：(x-1)(x n +x n-1+x n-2+…+x+1)= .(其中n 为正整数)(分析)由已知各式可以发现：(x-1)(x n+x n-1+x n-2+…+x+1)=x n+1-1.小结与上例类似地有：由(a-b)(a+b)=a2-b2(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4……可以得出(a-b)(a n+a n-1b+a n-2b2+…+b n)=a n+1-b n+1学生做一做观察下列各式：1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示) 老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2，推导如下：∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.(2)当n=2000时，(n2+3n+1)2=(20002+3×2000+1)2=40060012，∴2000·2001·2002·2003+1=40060012.易错与疑难题例13 计算.(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b).错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]=4x2-(y-z+10)2.(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b)=[(a+b)(a-b)]2-[(a2)2-(b2)2]=(a2-b2)2-(a4-b4)=(a4-b4)-(a4-b4)=0.(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-z与z都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.第(2)小题中，(a+b)2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a2+b2)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]=(2x+10)2-(y-z)2=4x2-y2-z2+10x+2yz+100.(2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b)=[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3)=(a2-b2)2-a3-a b2+a2b+b3=a4-a3-2a2b2+a2b-a b2+b3+b4.小结 错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用a 4-b 4代替(a 2-b 2)2，其实这二者并不相等；二是计算(a 2+b 2)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.中考展望 点击中考中考命题总结与展望本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.中考试题预测例1 若a 的值使得x 2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a 的值为( )A.5B.4C.3D.2(分析)因为x 2+4x+a=(x+2)2-1，所以x 2+4x+a=x 2+4x+3，因此，a=3，故正确答案为C 项.例2 已知x+y=1，那么21x 2+xy+21y 2的值为 . (分析) 由21x 2+xy+21y 2得21x 2+xy+21y 2=21(x 2+2xy+y 2)= 21(x+y)2. 又由于x+y=1，所以21x 2+xy+21y 2=21(x+y)2=21×12=21. 答案：21 例3 若5-+y x +(xy-6)2=0，则x 2+y 2的值为( )A.13B.26C.28D.37(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得⎩⎨⎧=-=-+,06,05xy y x ∴⎩⎨⎧==+.6,5xy y x ∴x 2+y 2=(x+y )2-2xy=52-2×6=13.因此，正确答案为A 项.例4 如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )A.x+y=7B.x-y=2C.4xy+4=49D.x 2+y 2=25(分析)由图示可以发现：(x+y )2=4xy+(x-y)2，并且(x+y)2=49，(x-y )2=4.所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，而x 2+y 2=21[(x+y)2+(x-y)2]=21(49+4)=21×53≠25.故关系式不正确的是D.答案：D例5 方程组⎩⎨⎧=+=-5,1522y xy x 的解为 .(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.因为x 2-y 2=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.所以原方程组可以化为⎩⎨⎧=-=+,3,5y x y x 所以⎩⎨⎧==.1,4y x∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,4y x 课堂小结 本节归纳1.本节主要学习了：(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2；(2)整式乘法的完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab+b 2.2.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵活地运用乘法公式的程度.习题选解 课本习题人教版课本第184～185页习题15.31.(1)原式=94x 2-y 2； (2)原式=x 2y 2-1； (3)原式=4a 2-9b 2； (4)原式=25-4b 2； (5)原式=3999999； (6)原式=999996. 2.(1)原式=4a 2+20ab+25b 2； (2)原式=16x 2-24xy+9y 2；(3)原式=4m 2+4m+1；(4)原式=49a 2-2ab+94b 2； (5)原式=3969；(6)原式=9604. 3.(1)原式=5x 2-58x-24； (2)原式=x 2+2xy+y 2-1；(3)原式=4x 2+y 2+9-4xy-12x+6y ；(4)原式=x 4-8x 2+16. 4.原式=12xy+10y 2，当x=31，y=-21时，原式=21.5.解：设原正方形的边长为xcm ，由题意可知，(x+3)2=x 2+39，∴x=5.答：原正方形的边长为5cm.6.解：剩下钢板的面积为π[21(a+b)]2-π·(21a)2-π·(21b)2=21πab. 答：剩下钢板的面积为21πab. 7.解：将公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2变形为a 2+b 2=(a+b)2-2ab ，∵a+b=5，ab=3，∴a 2+b 2=(a+b )2-2ab=52-2×3=19. 8.x ＜778 9.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==61,23y x自我评价 知识巩固1.下列各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2B.(x+6)(x-6)=x 2-6C.(x+y )2=x 2+y 2D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.下列运算正确的是( )A.x 2+x 2=2x 4B.a 2·a 3= a 5C.(-2x 2)4=16x 6D.(x+3y)(x-3y)=x 2-3y 23.下列计算正确的是( )A.(-4x)·(2x 2+3x-1)=-8x 3-12x 2-4xB.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a 2D.(x-2y )2=x 2-2xy+4y 24.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )A.x4+16B.-x4-16C.x4-16D.16-x45.19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-26.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.27.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b28.99×101=( )( )= .9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2.10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )，a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ .12.计算.(1)(a+b)2-(a-b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655；(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值.14.已知a+a 1=4，求a 2+21a 和a 4+41a的值.15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值.16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc 的值.18.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b 的值.19.已知(a+b )2=60，(a-b )2=80，求a 2+b 2及ab 的值.20.化简(x+y)+(2x+21⨯y )+(3x+32⨯y )+…+(9x+98⨯y )，并求当x=2，y=9时的值.21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求2003)2003()2()1(f f f +++Λ的值.22.观察下面各式：12+(1×2)2+22=(1×2+1)222+(2×2)2+32=(2×3+1)232+(3×4)2+42=(3×4+1)2……(1)写出第2005个式子；(2)写出第n 个式子，并说明你的结论.参考答案1.A2.B3.C4.C5.A6.C7.1-5a 2x+3 -2a 2+5b 8.100-1 100+1 99999.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab 21 - 2ab 2ab 12.(1)原式=4ab ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2+99y 2； (4)提示：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4.(5)原式=-xy-3y 2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.∵m 2+n 2-6m+10n+34=0，∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0，即(m-3)2+(n+5)2=0，由平方的非负性可知， ⎩⎨⎧=+=-,05,03n m ∴⎩⎨⎧-==.5,3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.∵a+a 1=4,∴(a+a1)2=42. ∴a 2+2a ·a 1+21a =16，即a 2+21a+2=16. ∴a 2+21a =14.同理a 4+41a =194. 15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t 2+116t)看作一个整体. ∵(t+58)2=654481，∴t 2+116t+582=654481.∴t 2+116t=654481-582.∴(t+48)(t+68)=(t 2+116t)+48×68=654481-582+48×68=654481-582+(58-10)(58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.16.x ＜23 17.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.∴a 2+b 2+c 2-ab-ac-be =21(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac) =21[(a 2-2ab+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2ac+a 2)] =21[(a-b 2)+(b-c)2+(c-a)2] =21[(-1)2+(-1)2+22] =21(1+1+4) =3.18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，∴(2a+2b )2-1=63，∴(2a+2b)2=64，∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，∴a+b 的值为4或一4.19.a 2+b 2=70，ab=-5.20.提示：去括号后合并同类项，然后应用S n =2)1(+n n 与111)1(1+-=+n n n n 解决问题.原式=x+y+2x+21⨯y +3x+32⨯y +…+9x+98⨯y =(x+2x+3x+…+9x)+(y+21⨯y +32⨯y +…+98⨯y ) =(1+2+3+…+9)x+(1+21⨯y +32⨯y +…+98⨯y )y =2)19(9+·x+(1+1-21+21-31+…+71-81+81-91)y =45x+(1-91)y =45x+917y. 当x=2，y=9时，原式=45×2+917×9=107. 21.∵f(x)=2x-1，∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1) =(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003=2(1+2+3+…+2003)-2003=2×2)12003(2003+⨯-2003 =20032+2003-2003=20032∴原式=200320032=2003. 22.解：(1)当n=1时，12+(1×2)2+22=(1×2+1)2；当n=2时，22+(2×3)2+32=(2×3+1)2；当n=3时，32+(3×4)2+42=(3×4+1)2；……第2005个式子即当n=2005时，有20052+(2005×2006)2+20062=(2005×2006+1)2.(2)第n个式子为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.证明如下：∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=n2+n2(n+1)2+(n2+2n+1)=n2+n2(n2+2n+1)+(n2+2n+1)=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，且[n(n+1)+1]2=[n(n+1)2]+2[n(n+1)]·1+12=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，∴n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.。