乘法公式公式的应用(能力提高试题)
平方差公式专项练习题
A卷：基础题
一、选择题
1．平方差公式（）（a－b）2－b2中字母a，b表示（）
A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式D．以上都可以
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（）（） B．（－）（a－b）
C．（1
3）（b－1
3
a） D．（a2－b）（b2）
3．下列计算中，错误的有（）
①（34）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2）=4a2－b2；
③（3－x）（3）2－9；④（－）·（）=－（x－y）（）=－x2－y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若x2－y2=30，且x－－5，则的值是（）
A．5 B．6 C．－6 D．－5
二、填空题
5．（－2）（－2x－y）．
6．（－3x2+2y2）（）=9x4－4y4．
7．（－1）（a－1）=（）2－（）2．
8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是． 三、计算题
9．利用平方差公式计算：202
3×2113
．
10．计算：（2）（a 2
+4）（a 4
+16）（a －2）．
B 卷：提高题
一、七彩题
1．（多题－思路题）计算：
（1）（2+1）（22
+1）（24
+1）…（22
1）+1（n 是正整数）；
（2）（3+1）（32
+1）（34
+1）…（32008
+1）－
4016
32
．
2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082
．
（1）一变：利用平方差公式计算：22007
200720082006
-?．
（2）二变：利用平方差公式计算：2
2007200820061
?+．
二、知识交叉题
3．（科内交叉题）解方程：x （2）+（21）（2x －1）=5（x 2
+3）．
三、实际应用题
4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
四、经典中考题
5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（）
A．a33=3a6 B．（－a）3·（－a）5=－a8
C．（－2a2b）·4－24a6b3 D．（－1
3a－4b）（1
3
a－4b）=16b2
－1
9
a2
6．（2008，海南，3分）计算：（1）（a－1）．
C卷：课标新型题
1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1）（1－x）=1－x2，（1－x）（12）=1－x3，
（1－x）（?123）=1－x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（12+…）．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）．
②2+22+23+…+2（n为正整数）．
③（x－1）（x999897+…21）．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a－b）（）．
②（a－b）（a22）．
③（a－b）（a3223）．
2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．
3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，?将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2
所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．
完全平方公式变形的应用
完全平方式常见的变形有:
ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+
ab b a b a 4)(22
=--+）（
bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++
1、已知m 22
-61034=0，求的值
2、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
3．已知 2
()16,4,a b ab +==求
22
3
a b +与2()a b -的值。
练一练 A 组：
1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知()2
=60，()2=80，求a 22
及的值
B 组：
5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21
(1)2
x xy --的值。
7．已知16x x -=，求221
x x
+的值。
8、0132=++x x ，求（1）2
21x x +
（2）4
41x x +
9、试说明不论取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
C 组:
10、已知三角形 的三边长分别为且满足等式
22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B 卷)
综合运用题 姓名：
一、请准确填空 1、若a 22
－222=0,则a .
2、一个长方形的长为(23b ),宽为(2a －3b ),则长方形的面积为.
3、5－(a －b )2
的最大值是，当5－(a －b )2
取最大值时，a 与b
的关系是. 4.要使式子0.36x 2
4
12
成为一个完全平方式，则应加上. 5.(41
－6)÷2－1
. 6.29×31×(302
+1). 7.已知x 2
－51=0,则x
2
2
1x . 8.已知(2005－a )(2003－a )=1000,请你猜想(2005－a )2
+(2003－a )2
.
二、相信你的选择
9.若x 2－x －(x －m )(1)且x ≠0,则m 等于
A.－1
B.0
C.1
D.2
10.()与(5
1)的积不含x 的一次项，猜测q 应是
A.5
B.51
C.－5
1 D.－5
11.下列四个算式:①4x 2y 4
÷4
13
;②16a 6b 4
c ÷8a 3b 2
=2a 2b 2
c ;③9x 8y
2
÷3x 33x 5y ; ④(12m 3+8m 2－4m )÷(－2m )=－6m 2
+42，其中正确的有
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 12.设(
－12
)·(x 5－2)5y 3
,则的值为
A.1
B.－1
C.3
D.－
3
13.计算［(a 2
－b 2
)(a 22
)］2
等于
4
－2a 2b
24 6
+2a 4b
46 6
－2a 4b
46 8
－2a 4b
48
14.已知()2=112,则(a －b )2
的值是
A.11
B.3
C.5
D.19
15.若x 2
－7是一个完全平方式，那么M 是
2
72
2
492
4
492
D.49y 2
16.若互为不等于0的相反数，n 为正整数,你认为正确的是 、一定是互为相反数 B.(x
1)n
、(y
1)n
一定是互为相反数
2n
、y 2n 一定是互为相反数
2n －1
、－y
2n －1
一定相等
三、考查你的基本功
17.计算
(1)(a －23c )2
－(2b －3c )2
;
(2)［(3－b )－2a (b －2
1b 2
)］(－3a 2b 3);
(3)－2100
×0.5100×(－1)2005÷(－1)－5
;
(4)［(2y)(x－2y)+4(x－y)2－6x］÷6x.
18.(6分)解方程
x(9x－5)－(3x－1)(31)=5.
四、生活中的数学
19.(6分)如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 (俗称第二宇宙速度)，则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8×106,请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？
五、探究拓展与应用
20.计算.
(2+1)(22+1)(24+1)
=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)
=(24－1)(24+1)=(28－1).
根据上式的计算方法，请计算
(3+1)(32+1)(34+1)…(3
32
+1)－
2
364
的值.
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考： 1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
2、已知
208
3
-=
x a ，
188
3
-=
x b ，
168
3
-=
x c ，求：代数式
bc ac ab c b a ---++222的值。
3、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值
4、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式
835-++cx bx ax 的值
5、若123456786123456789?=M ，123456787123456788?=N
试比较M 与N 的大小
6、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.
沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题
乘法公式的综合应用 1、平方差公式 符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 要点诠释：平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。 2、完全平方公式 符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。 题型一、完全平方公式 1．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（） A．8 B．±8 C．16 D．±16 2．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．-12 C．±12 D．±24 3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m （）
A．6 B．12 C．±6 D．±12 4．下列多项式中是完全平方式的是（） A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1 C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2 5．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（） A．3 B．6 C．±3 D．±6 6．x2-10x+ =（x-）2． 7．下列各式是完全平方式的是（） A．x2-x+1 4B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2a-1 题型二、 1、若（x+ 1 x）2=9，则（x - 1 x）2的值为． 2．已知x-1 x=1，则x2+= ． 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．4．若a2+b2=5，ab=2，则（a+b）2= ．
乘法公式活用专题训练
乘法公式的活用 一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－ 归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式： ⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z 例 1．已知 a b 2 ， xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1，求 a 2 b 2 的值 例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求 （a b ）2 的值 例 3：计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和 （a-b ） 的值。 22 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。 例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）??（ 22048+1） +1 的个位数字是几？ 例 7．运用公式简便计算 （1）1032 （2） 1982 例 8．计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。 例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982
1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2
18.乘法公式(含答案)-
18.乘法公式 知识纵横 乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,?将多项式乘法的一般法 则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、?又有实用性的具体结论，在复杂 的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应 用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式; 2.根据待求式的特点,模仿套用公式; 3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式; 4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式. 例题求解 【例1】?(?1)?已知两个连续奇数的平方差为?2000,?则这两个连续奇数可以是______. (江苏省竞赛题) (2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________. (2000年重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,?由平方 和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形. 解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则 222000 2 x y x y ?-=± ? -= ? 得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499). (2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a) 【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M
乘法公式的综合运用
第三课时（乘法公式的综合运用） 一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。 二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。 三、学导难点：灵活运用乘法公式 四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例 3.（注意书上的解题方法。） 3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题： 5.计算： （1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1） （3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b） 五、学导流程： （一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。
（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。 （三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。 五、测评提升： 1.先化简，再求值： (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程： （1）(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式： 2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5） 4.计算 （1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算： （1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y
辅导讲义：乘法公式的灵活应用
(3)()； (4) -(a z 0, m > n) ； ⑸(b) ■令(旳? 常用的乘法公式: 22 (1)()() 22 2 ⑵()+2 22 2 ⑶()-2 (4) ()(a 22)33 ⑸()(a 22)3- b 3 (6) (严+222. (7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕 222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「 +()〕 (9) ()33+3a 2323; (10) ()33-3a 2323; 课题 乘法公式的灵活应用 教学内容 正整数指数幂的运算法则: ⑴? ； (2)()；
一、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式: ① 位置变化， x y _y ? x i=x 2 _y 2 ② 符号变化，(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2 ③ 指数变化，x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a —bHa 2_b 2 ⑤ 换式变化，，z mU- z m] 2 2 ’ 2；Z m =x y - z m z m 2 2 V 2 山 2 * =X y - z 亠亠亠m 2 2 2 c 2 =x y -z -2-m 二x -一 y -z 2^22 二x -2 y -z 连用公式变化，x y x-y x 2 y 2 2 2 2 2 -x -y x y 4 4 二x -y 逆用公式变化，（X —y+z$_（x*y-z ） i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4 例1已知a ? b =2， ab =1，求a 2 b 2的值 例 2?已知 a ? b = 8， ab = 2，求(a - b)2 的值。 2 例 3 :计算 1999 -2000 X 1998 例4:已知2，1，求a 22和()2的值。 例5:已知2, 2,14。求x 22的值。 例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几? x_y z x-y-z 2 2 -x-y -z 2 -x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】
专题一乘法公式及应用完整版
专题一乘法公式及应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
专题一乘法公式的复习一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，xyyxx2y2 ②符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 ⑦连用公式变化，xyxyx2y2 x2y2x2y2 x4y4
⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2 xyzxyzxyzxyz 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （1）a 4b 3ca 4b 3c （2）3xy 23xy 2 例9．解下列各式 （1）已知a 2b 213，ab 6，求ab 2，ab 2的值。 （2）已知ab 27，ab 24，求a 2b 2，ab 的值。 （3）已知aa 1a 2b 2，求222 a b ab +-的值。
2.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用 1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 2．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13 ，则a ＋b 的值为________； (2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________． 3．计算： (1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2； (2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)． ◆类型二 连续应用 4．计算： (1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)； (2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)． ◆类型三 利用乘法公式进行简便运算 5．计算2672－266×268的结果是( )
A ．2008 B ．1 C ．2006 D ．－1 6．利用完全平方公式计算： (1)792; (2)????30132 . 7．利用平方差公式计算： (1)802×798; (2)3913×4023 . ◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题 8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求： (1)x 2－xy ＋y 2的值； (2)(x －y )2的值． 9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值． 参考答案与解析 1．B 2.(1)12 (2)±30
3．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3. (2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2. 4．解：(1)原式＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 4－b 4)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)＝(a 8－b 8)(a 8＋b 8)＝a 16－b 16. (2)原式＝ 115(42－1)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(44－1)(1＋44)(1＋48)(1＋416)＝115(48－1)(1＋48)(1＋416)＝115(416－1)(1＋416)＝432－115 . 5．B 6．解：(1)原式＝(80－1)2＝802－2×80×1＋12＝6241； (2)原式＝????30＋132＝302＋2×30×13＋????132＝92019 . 7．解：(1)原式＝(800＋2)(800－2)＝8002－22＝640000－4＝639996； (2)原式＝????40－23????40＋23＝402－????232＝1600－49＝159959 . 8．解：(1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝9＋21＝30. (2)(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝9＋28＝37. 9．解：∵(n －46)2＋(45－n )2＝2，∴[(n －46)＋(45－n )]2－2(n －46)(45－n )＝2，整理得 1－2(n －46)(45－n )＝2，则(n －46)(45－n )＝－12 .
乘法公式经典题型及拓展
乘法公式 一、复习: (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] =(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) =(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) =(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4 ⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 =[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版) 一、基本公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 例：计算19992-2000×1998 2.完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 例: 运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 3.完全平方公式 (1)完全平方公式变用1：利用已知的两项求第三项 a+b(或a-b)、ab 、a 2+b 2这三者任意知道两项就可以求出第三项 （a+b)2、(a-b)2、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ①22b a +=ab b a 2)(2-+ 22b a +=（a-b)2+2ab ②（a-b)2=(a+b)2-4ab （a+b)2=(a-b)2+4ab (2) 完全平方公式变用2：两个完全平方公式之和的整合 （a+b)2+ (a-b)2=2（a 2+b 2) 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 例3.已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。 例4 .已知m +n =7，mn =－18，求m 2－mn + n 2的值． 例5 (3)已知：x +2y =7，xy =6，求(x -2y )2的值． 例6.已知a +a 1=5，求（1）a 2+21 a ，（2）（a －a 1 ）2 的值． 例7.已知1 3x x -=，求441 x x +的值。
例8．解下列各式 （1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 （2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。 （3）已知a (a -1)-(a 2 -b )=2，求22 2a b ab +-的值。 (3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广 几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。 (a +b +c )2=a 2+b 2+c 2 +2ab +2bc +2ac 公式的证明： (a +b +c )2 =[(a +b )+c ]2 =(a +b )2+2(a +b )?c +c 2 =a 2+2ab +b 2+2ac +2bc +c 2 =a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 例．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2 4.立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a 3-b 3 ＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 ＝a 3+b 3 ＝a 3-b 3 二、公式的灵活运用 1.对公式的基本变用 (1）位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2 (2）符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 2.整体思想的应用 (1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”． 例1 计算(-a 2+4b )2 分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，____就是公式中的a ，____就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则____是公式中的a ，而____就是公式中的b ．（解略） 练习1. 计算：()()53532222x y x y +- 练习2. 计算：(x -y +z )(x -y -z ) 练习3. 计算：( [xy +(z +m )][xy -(z +m )] 练习4. 计算：()()x y z x y z +-++26 (2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2x 2-5)(2x 2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而____是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而____则是公式中的b ． 解：原式= (3）应用整体思想，要善于分组加括号 根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项
专题一 乘法公式及应用
专题一乘法公式的复习 一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ①位置变化，x y y x x2y2 ②符号变化，x y x y x2y2 x2y2 ③指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④系数变化，2a b2a b4a2b2 ⑤换式变化，xy z m xy z m xy2z m2 x2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 ⑥增项变化，x y z x y z x y2z2 x y x y z2 x2xy xy y2z2 x22xy y2z2 ⑦连用公式变化，x y x y x2y2 x2y2x2y2 x4y4
⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=?- 例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?- 例3：计算19992-2000×1998 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。 例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 例8．计算 （1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2 例9．解下列各式
乘法公式的综合应用(无答案)
乘法公式的综合应用 题型一、直接应用 1、(工+yT 讥一上-y)G(x + y) 2、(a - /J )° -r (b - a)4 H- (a - /?)3 I 1、 计算：(1)S-點)5+咖; (2) 2、计算：(1) (/十J -你2 -(3u + l)(3d - 1) 题型二、变位应用 3、计算:(1)(-3y-2)(3y-2) (2)(4-u)(-u-4) ； ( 3))( 2x + 5y)2 题型三、整体思想应用 4、计算:(1)(l-2x±y)(l + 2x -y) (2)' . - sym 易错题
3、(x-y)3 x (y~x)6 x {y-x) 的值。 5、计算: 题型四、连续思想应用 5、计算（1）匸：声一J —（2）99x 101X 10001 题型五、逆向思维应用 6、计算：（1）伽』(2) 472-94 X 27+272
7、已知(4x- 3y)2 = (3x-2y)\并且xy 0,求亍的值。题型六、变形应用 10、已知a^b = 7t ab=Y2.：,求下列各式的值: 1 11、已知八齐"Ci - :，求〉J的值 8用乘法公式计算：(1) 70；(2)；982 - 101 X 99 9、计算:(1) 5(x-(a - 2)*( 口+ 2}'(u2 + 4) ⑴於+ '；(2) [Ca-W2(3)『-ab + b l
12、计算:，"宀L'窖:巧冥1：：1 题型七、配方法的应用 13、__________________________________________________________ 若9, - M.即+久&才是一个完全平方式，则M的值为。 14、__________________________________________________________ （1）已知= %a-Z）=-3，求a2 + 3ab + b2的值为； Z 4-丄 （2）若/ -加+丄二0,则"+』的值为 _________________ 。 15、（1）已知+ ________________________ 4?+ 6^+ 13 = 0,则『的值是； 2 1 （2）已知込2叶/ *川+ 1 = 4血，则"+I的值是__________________ ； （3）已知代数式+ - 2a + 62> + 13,则b =_______ ，b =_____ 时，代数式有最______ 值是 __________ （^- 2016）（2017 -x）= - 2,求（x-2016）?+ （2017-X）2的值。 16、已知 17、已知M=2X2￥3X^4./V = x\5x + 2，试判断M、N 的大小。
专题六 乘法公式③——综合应用（苏宇1完）
专题六 乘法公式③——综合应用 1．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其分成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）那么通过计算两个阴影部分的面积，可以验证成立的公式为 b a 乙甲 A ．()2 22a b a b -=- B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b -=-+ D ．()()22a b a b a b -=+- 【选择】D 【解答】左边阴影的面积等于大正方形的面积减去边长为b 的小正方形的面积，即为22a b -, 右边平行四边形的底为a b +,高为a b -,即面积为()()a b a b +-， 由两面积相等，即()()22a b a b a b -=+-. 2．已知13x x -=，则441x x +的值是__________． 【答案】119 【解答】：2 221129211x x x x ??+=-+=+= ??? 2 42242112112119x x x x ??+=+-=-= ???. 3．已知2x y -=，2y z -=，14x z +=，则22x z -的值为__________． 【答案】56
【解答】：()()y z 224x z x y -=-+-=+=. ()()2214456.x z x z x z -=+-=?= 4．已知：6a b +=，4ab =，则22223a b a b ab ++的值为__________． 【答案】72 【解答】：原式()3ab a b ab =++, 6a b +=,4ab =, ∴原式()463472=?+?=. 5．已知：()()2211M a a a a =++-+，()()223131N a a a a =++-+，那么M 、N 的大小关系为__________． 【答案】M N > 【解答】：()()2243232242111+1M a a a a a a a a a a a a a a =++-+=-++-++-+=+. ()() 22432322423+13+1=33933171N a a a a a a a a a a a a a a =+--++-++-+=-+. 424221717M N a a a a a -=++-+-=0>, M N ∴>. 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，若0a b c ++=，则ab bc ca ++的值是__________． 【答案】12 - 【解答】： ()2 2222220 22201 1 2a b c a b c a b c ab ac bc a b c ab bc ca ++=∴++=∴+++++=++=∴++=- 7．运用乘法公式简便计算： （1）2198 （2）2201420152013-? 【答案】39204 1 【解答】：()1:()2 2198200240000480039204=-=+-=. ()2:()()2222 201420152013201420141201412014201411-?=-+-=-+=. 8．观察下列算式：
2020七年级数学下册试题 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 ◆类型一 整体应用 1．(2017·淄博中考)若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 2．(1)若a 2－b 2＝16，a －b ＝13 ，则a ＋b 的值为________； (2)若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝899，则a ＋b 的值为________． 3．计算： (1)(m 2＋mn ＋n 2)2－(m 2－mn ＋n 2)2； (2)(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)－(x 2＋x ＋1)(x 2－x ＋1)． ◆类型二 连续应用 4．计算： (1)(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)(a 8＋b 8)； (2)(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416)． ◆类型三 利用乘法公式进行简便运算 5．计算2672－266×268的结果是( ) A ．2008 B ．1
C ．2006 D ．－1 6．利用完全平方公式计算： (1)792; (2)????30132 . 7．利用平方差公式计算： (1)802×798; (2)3913×4023 . ◆类型四 利用乘法公式的灵活变形解决问题 8．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求： (1)x 2－xy ＋y 2的值； (2)(x －y )2的值． 9．★若实数n 满足(n －46)2＋(45－n )2＝2，求代数式(n －46)(45－n )的值． 参考答案与解析 1．B 2.(1)12 (2)±30 3．解：(1)原式＝(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)＋m 2n 2－(m 2＋n 2)2＋2mn (m 2＋n 2)－m 2n 2＝4mn (m 2＋n 2)＝4m 3n ＋4mn 3. (2)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]－[(x 2＋1)＋x ][(x 2＋1)－x ]＝(x 2＋1)2－4x 2－(x 2＋1)2＋x 2＝－3x 2.
乘法公式的综合应用
乘法公式的综合运用 1．下列运算正确的是( ) A ．3a ＋2a ＝5a 2 B ．(2a )3＝6a 3 C ．(x ＋1)2＝x 2＋1 D ．(x ＋2)(x －2)＝x 2－4 2．化简(xy －1)2－(xy －1)(xy ＋1)的结果为( ) A ．2xy －2 B ．－2xy ＋2 C ．2 D ．－2 3．将????x －142????x ＋142 展开整理后，所得的多项式的项数为( ) A ．9 B ．6 C ．3 D ．2 4．下列计算错误的有( ) ①(2x ＋y )2＝4x 2＋y 2； ②(3b －a )2＝9b 2－a 2； ③????x －122 ＝x 2－2x ＋14； ④(－x －y )2＝x 2－2xy ＋y 2； ⑤(－3b －a )(a －3b )＝a 2－9b 2. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 5．已知x ＋y ＝7，xy ＝－8，下列各式计算结果不一定正确的是( ) A ．(x ＋y )2＝49 B ．x 2＋y 2＝65 C ．(x －y )2＝81 D ．x 2－y 2＝63 6．计算：5002－501×499＝________． 7．2017·睢宁期中已知(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，则ab ＝________． 8．计算： (1)(a －b )2(a ＋b )2； (2)(2a ＋3b )2(2a －3b )2； (3)(a －3)(a 2＋9)(a ＋3)；
(4)(x ＋y ＋z )(x －y －z )． 9．化简：(a ＋b )2＋(a －b )(a ＋b )－2ab . 10．2018·邵阳先化简，再求值：(a －2b )(a ＋2b )－(a －2b )2＋8b 2，其中a ＝－2，b ＝12 . 11．已知(a ＋b )2＝11，ab ＝2，则(a －b )2的值是( ) A ．11 B ．3 C ．5 D ．19 12．已知(x －2017)2＋(x －2019)2＝34，则(x －2018)2的值是( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 13．2017·滨海县期中若x 2－4x －4＝0，则2(x －1)2－(x ＋1)(x －1)的值为________． 14．已知a ＋b ＝5，ab ＝－6，求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 2－ab ＋b 2.
乘法公式综合练习
12.3 乘法公式 一、基础训练 1．下列运算中，正确的是（） A．（a+3）（a－3）=a2－3 B．（3b+2）（3b－2）=3b2－4 C．（3m－2n）（－2n－3m）=4n2－9m2 D．（x+2）（x－3）=x2－6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（x+1）（1+x）B．（1 2 a+b）（b－ 1 2 a） C．（－a+b）（a－b）D．（x2－y）（x+y2） 3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n－1）－（3－n）（3+n）的整数是（） A．3 B．6 C．10 D．9 4．若（x－5）2=x2+kx+25，则k=（） A．5 B．－5 C．10 D．－10 5．9.8×10.2=________; 6．a2+b2=（a+b）2+______=（a－b）2+________． 7．（x－y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______． 9．（1 2 x+3）2－（ 1 2 x－3）2=________． 10．（1）（2a－3b）（2a+3b）；（2）（－p2+q）（－p2－q）； （3）（x－2y）2；（4）（－2x－1 2 y）2．
11．（1）（2a－b）（2a+b）（4a2+b2）； （2）（x+y－z）（x－y+z）－（x+y+z）（x－y－z）． 12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？ 二、能力训练 13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．－2 D．±2 14．已知a+1 a =3，则a2+ 2 1 a ，则a+的值是（） A．1 B．7 C．9 D．11 15．若a－b=2，a－c=1，则（2a－b－c）2+（c－a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．1 16．│5x－2y│·│2y－5x│的结果是（） A．25x2－4y2B．25x2－20xy+4y2
14 专题 乘法公式的综合应用
专题 乘法公式的综合应用 1． 计算: (1) (3)(3)x y x y -+=____________________; (2) ()()x y x y +-+=____________________． (3) 2(1)(1)(1)x x x +-+=_________________; (4) 2()x y +=__________________． (5) 21()2 x y --=__________________; (6) 2(2)m n -=____________________． 2． 若226,3,x y x y -=+= 则4()x y -=_____________________． 3． 若22294(32),x y x y M +=++ 则M =____________________． 4． 2221____________(_____________)4 a b ++= 5． 22()()(_____________)a b c a b c a +--+=- 6． 计算: (1) (32)(32)a b a b --- (2) 21()2 m - (3) 22(2)(2)(4)a b a b a b +-+ (4) 22(3)(3)x x +-- (5) 2()a b c -+ (6) (2)(2)a b c a b c -++- 7． 已知: 2225,7,x y x y +=+=求x y -的值． 8． 已知: 22()12,()8,x y x y +=-=求xy 的值． 9． 已知: 13,x x - =求21()x x +的值．
整式的乘除法综合运用
教师 姓名 学生姓名学管师 学科数学年级七上课时间月日：00--- ：00 课题整式的乘法综合运用 教学 目标 运算法则及乘法公式的综合应用 教学 重难 点 乘法公式及应用 教学过程一、知识点 1、平方差公式：2 2 ) )( (b a b a b a- = - +完全平方公式：2 2 22 ) (b ab a b a+ ± = ± 一次二项式乘法公式：2 ()()() x a x b x a b x ab ++=+++ bd x bc ad acx d cx b ax+ + + = + +) ( ) )( (2 2、应用乘法公式可以得到以下变形： （1）ab b a b a2 ) (2 2 2- + = +（2）ab b a b a2 ) (2 2 2+ - = + （3）] ) ( ) [( 2 1 2 2 2 2b a b a b a- + + = +（4）ab b a b a4 ) ( ) (2 2= - - + 题组一：公式变式 1、已知223 a b +=，1 ab=，求①2 () a b +；②2 () a b - 2、已知3 a b +=，1 ab=，求①2 () a b +；②22 a b +；③2 () a b - 3、已知4 a b -=，1 ab=，求①2 () a b -；②22 a b +；③2 () a b +
4、已知5x y +=，2215x y +=，求xy 的值 5、已知16)(2=+y x ，4)(2=-y x ，求xy 的值. 6、已知5-=+b a ，7=ab ， 求b a ab b a --+22的值. 题组二：配方填项 公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=- 1、26x x ++ =2()????????? 2、24x x -+ =2()????????? 3、216x +???????+=2()????????? 4、2412m mn -+ =2()????????? 5、24914m m ++ =2 ()????????? 题组三：分式变式 1、已知15a a +=，求2 2 1a a + 的值； 2、已知17a a - =，求2 2 1a a + 的值； 3、已知2 2 114a a +=，求①1a a + ；②2 1()a a - 4、已知31=+ a a ，求 1 72 ++a a a 的值