人教a版必修5学案：第1章《解三角形》章末整合(含答案)
高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
人教A版高中数学必修五第一章小结与复习教案Word版含答案【优选整合】
第一章解三角形--小结与复习一、教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关解三角形的基本问题；过程与方法：通过对典型问题的解决，提高知识的综合运用能力，加深对正、余弦定理的理解；情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二．重点难点重点：运用正、余弦定理解决解三角形问题难点：对知识的综合运用能力三、教材与学情分析首先通过对知识的梳理，达到知识的系统化。
其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，引导学生分析问题，提高解题能力。
四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）知识梳理：1：正弦定理和余弦定理（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．2：应用举例①距离问题，②高度问题，③角度问题，④计算问题．（二）典例解析题型一. 利用正、余弦定理解三角形例1.在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．[解] 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B －2B＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10. [规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1](1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝________.(1)A (2)2113[(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a－3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B＝30°.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝bsin B，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.] 题型二. 判断三角形的形状例2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.[规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]题型三. 与三角形面积有关的问题例3.已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[变式训练3] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7题型四. 解三角形应用问题例4. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.1006 [由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．]例5.在海岸A 处，发现北偏东45°方向、距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？[解] 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°. 根据余弦定理，可得BC ＝3－2＋22－3－＝6，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，∴∠ABC ＝45°， 因此BC 与正北方向垂直.于是∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12，∴∠BCD ＝30°，又CD sin 120°＝BCsin 30°，即103t 3＝6，得t ＝610.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时.[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件；(2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．[变式训练4] 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.103 [如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．][变式训练5] 如图，从某电视塔CO 的正东方向的A 处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B 处测得塔顶的仰角为45°，AB 间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．521 可知∠CAO ＝60°，∠AOB ＝150°，∠OBC ＝45°，AB ＝35米． 设OC ＝x 米，则OA ＝33x 米，OB ＝x 米．在△ABO 中，由余弦定理， 得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ，即352＝x 23＋x 2－233x 2·cos 150°，整理得x ＝521，所以此电视塔的高度是521米．][变式训练6] 如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．[解] 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得， BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 六、课堂小结1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 3.解三角形应用题的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．七、课后作业1.课时练与测八、教学反思。
新编【人教A版】高中数学必修五学案设计(含答案)第一章 1.1.1(二)
新编人教版精品教学资料1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识点一 正弦定理及其变形 1.定理内容：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R .2.正弦定理的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .知识点二 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a 、b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，①若b sin A a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度知识点三 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p (p －a )(p －b )(p －c )(其中p ＝a ＋b ＋c2).题型一 三角形解的个数的判断例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答. (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103， ∴a <b sin A ，∴本题无解.(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°， ∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， ∴b sin A <a <b ，∴本题有两解.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0，π)，∴B 1＝60°，B 2＝120°. 当B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝a sin C 1sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝a sin C 2sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴B 1＝60°时，C 1＝90°，c 1＝43；B 2＝120°时，C 2＝30°，c 2＝2 3.反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数.跟踪训练1 (1)满足a ＝4，b ＝3，A ＝45°的三角形ABC 的个数为________. (2)△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若该三角形有两解，则x 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)2<x <2 2解析 (1)因为A ＝45°<90°，a ＝4>3＝b ，所以△ABC 的个数为一个. (2)由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，∴2<x <2 2. 题型二 三角形的面积例2 在△ABC 中，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .解 ∵cos B 2＝255，∴cos B ＝2cos 2B 2－1＝35.∴B ∈(0，π2)，∴sin B ＝45.∵C ＝π4，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210.∵a sin A ＝c sin C ，∴c ＝a sin C sin A ＝27210×22＝107. ∴S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.反思与感悟 求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.(2)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于________. 答案 (1)23 (2)32或34解析 (1)∵cos C ＝13，∴C ∈(0，π2)，∴sin C ＝1－(13)2＝223，又S △ABC ＝12ab sin C ＝12·32·b ·223＝43，∴b ＝2 3.(2)由正弦定理得sin C ＝AB ·sin BAC＝3×121＝32， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝60°或120°，∴A ＝90°或30°， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32或34.题型三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围. 解 由正弦定理得c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ，∵c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋bsin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°.sin(150°－A )＝sin 150°2cos 150°－2A 2＋cos 150°2sin 150°－2A 2，①sin A ＝sin 150°2cos 150°－2A 2－cos 150°2sin 150°－2A 2，②由①②得sin A ＋sin(150°－A )＝2sin 75°cos(75°－A )， ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos (75°－A ). 当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3. ∵A ＋B ＝150°，∴0°<A <150°，－150°<－A <0°. ∴－75°<75°－A <75°， ∴cos(75°－A )∈(6－24，1]，∴a ＋b >(2＋6)2×6－24＝2＋6， ∴2＋6<a ＋b ≤8＋4 3.综上所述，a ＋b ∈(2＋6，8＋4 3 ].反思与感悟 (1)求某个式子的取值范围，可以将其转化为一个角的三角函数，再求范围.注意不要因为忽略相应自变量的取值范围而导致错误.(2)三角形的内角和等于180°，这一特殊性质为三角变换在三角形中的应用提供了一些特殊的式子，如sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos (B ＋C )等，解题中应注意应用.跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C .试确定△ABC 的形状. 解 由正弦定理a ＋b a ＝sin B sin B －sin A ＝bb －a，∴b 2－a 2＝ab ，①∵cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，∴cos(A －B )－cos(A ＋B )＝1－(1－2sin 2C )，∴(cos A cos B ＋sin A sin B )－(cos A cos B －sin A sin B )＝1－1＋2sin 2C ， ∴2sin A sin B ＝2sin 2C ， ∴c 2＝ab .②①②结合得b 2－a 2＝c 2，∴△ABC 是以B 为直角的直角三角形.三角形解的个数的判断中考虑不全面致误例4 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝π4，a ＝2，则b ＝__________.错解 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，∴B ＝5π12，∴b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.答案3＋1错因分析 求得sin C ＝32之后，去求角C 的值时，认为C 为锐角，而忽略了C ＝23π的情况，导致漏解.正解 因为6sin π4<2<6，所以本题有两解.因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1.答案3＋1或3－1误区警示 已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角，该角可能有两解、一解、无解三种情况，故解题时应注意讨论，防止漏解.1.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C 等于( )A.π4或3π4B.3π4 C.π4 D.π6答案 C解析 由正弦定理BC sin A ＝ABsin C 得sin C ＝AB ·sin ABC ＝6×323＝22， ∴C ＝π4或3π4.又∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.2.已知△ABC 中，b ＝43，c ＝2，C ＝30°，那么此三角形( ) A.有一解 B.有两解C.无解D.解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理和已知条件得43sin B ＝2sin 30°，∴sin B ＝3>1，∴此三角形无解.3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.a ＝18，b ＝20，A ＝60°，有一解 C.a ＝5，b ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D解析 对A.a ＝b sin A ，故有一解； 对B.b sin A <a <b ，故有两解； 对C.a >b sin A ，故有一解； 对D.A 为钝角，且a >b ，故有一解.4.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理b sin B ＝c sin C 得1sin B ＝3sin C .∵sin C ＝sin2π3＝32，∴sin B ＝12. ∵C ＝2π3，∴B 为锐角，∴B ＝π6，A ＝π6，故a ＝b ＝1.故填1.5.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________. 答案 直角三角形解析 ∵lg(sin A ＋sin C )＝lg sin 2B sin C －sin A ，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ， 结合正弦定理得c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形.6.在△ABC 中，AB ＝3，D 为BC 的中点，AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积S △ABC ＝________. 答案32解析 ∵AB ＝3，AD ＝1，∠BAD ＝30°， ∴S △ABD ＝12·3·1·sin 30°＝34，又D 是BC 边中点， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝32.1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.一、选择题1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 D解析 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵B ∈(0，π2)，sin B ≠0，∴sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3.2.在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，由此得三角形最短边的长度为( ) A.63B.62C.12 D.32答案 A解析 B ＝45°，C ＝60°，A ＝75°，故最短边为b ， 由正弦定理得b ＝c sin B sin C ＝132×22＝63.3.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB 的取值范围是( )A.[33，6]B.(2,43)C.(33，4 3 ]D.(3,6]答案 D解析 ∵A ＝π3，∴B ＋C ＝23π.∴AC ＋AB ＝BCsin A(sin B ＋sin C )＝332[sin B ＋sin(23π－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6sin(B ＋π6)，∴B ∈(0，23π)，∴B ＋π6∈(π6，56π)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ∈(3,6].4.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定答案 C解析 由正弦定理得6sin 60°＝4sin B .∴sin B ＝2>1，∴角B 不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6 D.π3，π3 答案 C解析 ∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，即sin C ＝1， ∴C ＝π2，B ＝π6.6.已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且A ，B 为△ABC 的两内角，a ，b 为角A ，B 的对边，则此三角形为( ) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案 C解析设x1，x2是方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根，则x1＋x2＝b cos A，x1·x2＝a cos B. 由条件知a cos B＝b cos A.由a∶b＝sin A∶sin B得sin A cos B＝sin B cos A，∴sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形.7.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.5答案 A解析设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴12×3×6×32＝12×3x×32＋12×6x×32，解得x＝2.二、填空题8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B ＝________.答案 1解析∵a cos A＝b sin B，∴sin A cos A＝sin2B，∴sin A cos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.9.在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________.答案(1， 2 ]解析 ∵a ＋b ＝cx ，∴x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4). ∵A ∈(0，π2)，∴A ＋π4∈(π4，34π)， ∴sin(A ＋π4)∈(22，1]，∴x ∈(1， 2 ]. 10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________. 答案 2解析 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 三、解答题11.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若tan A ＝3，cos C ＝55， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积.解 (1)∵cos C ＝55，∴C ∈(0，π2)， ∴sin C ＝255，tan C ＝2. 又∵tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－3＋21－3×2＝1，且0<B <π，∴B ＝π4. (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C，得 b ＝c sin B sin C ＝4×22255＝10，由sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(π4＋C )得sin A ＝31010， ∴△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝6. 12.在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 证明 ∵左边＝sin 2A －sin 2B sin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B 2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝cos[(B ＋A )＋(B －A )]－cos[(B ＋A )－(B －A )]2sin 2C＝－2sin (B ＋A )·sin (B －A )2sin 2C＝2sin C sin (A －B )2sin 2C＝sin (A －B )sin C＝右边， ∴原等式成立.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，p ＝(2a,1)，q ＝(2b －c ，cos C )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围. 解 (1)∵p ∥q ，∴2a cos C ＝2b －c .根据正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，∴2sin A cos C ＝2sin(A ＋C )－sin C ，∴sin C ＝2cos A sin C ，∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3，sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4). ∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π， ∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， ∴三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围是(－1， 2 ].。
新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)
第一章 解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形， 其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1， 即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理， 得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。
最新【人教A版】高中数学必修五学案设计(含答案)第一章 1.1.1(一)
最新人教版数学精品教学资料1.1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3.正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝bc，∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin_B ＝b sin_A ， ∴a sin A ＝b sin B， 同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则 BD ＝a sin(π－C )＝a sin_C ， BD ＝c sin_A ，故有a sin C ＝c sin_A ， ∴a sin A ＝c sin C， 同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确. 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误. 根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角，故D 正确. 反思与感悟 如果a b ＝cd ，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)；可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n .跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A D.a ≥b sin A答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B ≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin Aa ＝6×sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法.如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，由正弦定理可计算出三角形的另两边. (2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法.首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边. 跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状. 解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A .∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin Asin B等.跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状. 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形.1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin B D.a sin C ＝c sin A答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.直角三角形，且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°.同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形.5.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，则△ABC 的形状是________. 答案 等腰或直角三角形解析 由b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B b ＝150×12503＝32，又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴△ABC 为等腰或直角三角形.6.在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________.答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0). 2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.一、选择题1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53B.35 C.37D.57 答案 A 解析sin A sin B ＝a b ＝53. 2.在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A >sin B B.cos A <cos B C.sin 2A >sin 2B D.cos 2A <cos 2B答案 C解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A <cos B ，B 正确. cos 2α＝1－2sin 2α.∵sin A >sin B >0，∴sin 2A >sin 2B ， ∴cos 2A <cos 2B ，D 正确.3.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1， ∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 4.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案 B解析 ∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin Asin B ，∴sin B ＝1，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2，即△ABC 为直角三角形.5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝43×124＝32，又∵B ∈(0°，180°)，且b >a ，B >A ， ∴B ＝60°或120°.6.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2833D.2 3 答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝332＝2 3.7.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90° D.115°答案 B解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin (120°－A )＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B.8.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.56π 答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈(0，π2)，∴B 必为锐角，∴B ＝π6.二、填空题9.已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________.答案 2解析 ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∴a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝2.10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝______.答案 π4解析 由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22.因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π4. 11.在△ABC 中，BC ＝a ＝15，AC ＝b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.答案 63解析 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝1015·sin 60°＝33， 又b <a ，∴0°<B <60°，∴cos B >0，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63. 三、解答题12.(1)在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形；(2)在△ABC 中，BC ＝a ＝4，AC ＝b ，AB ＝c ＝26，A ＝45°，求b ，B 和C .解 (1)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得a ＝sin A sin C·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2). 所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2).(2)由正弦定理a sin A ＝c sin C得 sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°，∴sin B ＝6＋24或6－24， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝422×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.13.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.解方法一根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝2 2.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.方法二根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.。
人教A版必修5数学 精品导学案：第1章 解三角形(复习)
第一章 解三角形（复习）班级 姓名 学号 学习目标学习过程一、课前准备（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．练习：在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为例2. 【2014高考山东文第17题】△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a =3，A cos =36,2π+=A B , （1）求b 得值；（2）求△ABC 的面积.练习：在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．练习：在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .例4.在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =，b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
人教A版高中数学必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案
专题22正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b .解得b ＝1.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.高频考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 【感悟提升】(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.高频考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，故2sin C cos C ＝sin C . 由C ∈(0，π)知sin C ≠0， 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13， 从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若三边a ，b ，c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】21133.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠=o ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析 在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C.答案 C【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】【解析】因为0A π<<，所以sin 4A ==，又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）AB 的取值范围为（62-，6+2）.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值 【答案】（17（243【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）29,]28. 【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA bB ==，∴sin cos B A =，即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=； （2）由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28.（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．【解析】(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2013·北京卷）在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解析】(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B) ＝sin AcosB ＋cos Asin B ＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.（2013·全国卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac. (1)求B ； (2)若sin Asin C ＝3－14，求C.＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. （2013·浙江卷）已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 【答案】C【解析】由(sin α＋2cos α)2＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝52，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α2，所以tan2α＝－34，选择C.（2013·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1 【答案】C1.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30° B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1， 由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C. 法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asin A＝bsin B可得，sin B＝basin A＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案 D3.在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件.答案 C5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________． 答案π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝______.答案 2108．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD 、AC 的长．在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；精品文档. (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。
最新【人教A版】高中数学必修五学案设计(含答案)第一章 1.1.2(二)
最新人教版数学精品教学资料1.1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一 正弦定理及其变形 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 余弦定理及其推论1.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角. 知识点三 正弦、余弦定理解决的问题 思考 以下问题不能用余弦定理求解的是.(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角； (2)已知两角和一边，求其他角和边；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形. 答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，其中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案 A解析 方法一 在△ABC 中，由已知得 1＋cos B 2＝12＋a2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形.方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C ，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝90°， 即△ABC 为直角三角形.反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 答案 B解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac，∴a 2＋c 2－2ac ＝0， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形. 题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2得，ca cos B ＝2， 又cos B ＝13.所以ca ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，B ∈(0，π)， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理得，sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息. (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用. 跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理， 得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3.题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin (A －B )sin C ，故等式成立.反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化. 跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b .解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.忽略三角形中任意两边之和大于第三边例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围. 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(1，5) B.(13，5)C.(5，13)D.(1，5)∪(13，5)答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x 22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5).1.在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形答案 B解析 由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2.在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sin C sin B ，则A 等于( )A.60°B.45°C.120°D.30° 答案 C解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ， 结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍).∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的范围是( ) A.(8,10) B.(22，10) C.(22，10) D.(10，8)答案 B解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可.故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22·1·3>012＋a 2－322·1·a>01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝.答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍).6.已知△ABC 的三边长分别为2,3,4，则此三角形是三角形. 答案 钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形.1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系.2.解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理.(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯.一、选择题1.在△ABC 中，有下列结论①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 结合余弦定理可知：①中A 为钝角，正确；②中A ＝120°；③中C 为锐角，但另两个角未必是锐角；④中A 、B 、C 分别为30°、60°、90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1，故正确的结论为①.2.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 22a＝a ＝2.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34C.32D.78 答案 D解析 设顶角为α，底边长为a ，周长为5a ，故腰长为2a ，由余弦定理可得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22(2a )(2a )＝78. 4.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( ) A.10 B.9 C.8 D.5 答案 D解析 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0 ∴cos A ＝±15，∵A 为锐角，∴cos A ＝15，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2·b ·6×15，∴b ＝5或b ＝－135(舍).5.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( ) A.(0，π3]B.[π3，π) C.(0，π6]D.[π6，π) 答案 A解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵B ∈(0，π)，∴B ∈(0，π3].6.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.8－4 3 B.1 C.43 D.23 答案 C解析 ∵C ＝60°，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab . 又(a ＋b )2－c 2＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4， 故－ab ＝2ab －4，∴ab ＝43.7.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69D.154解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋MC 2－2AM ·MC ·cos ∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ，②①＋②，得72＋62＝42＋42＋12a 2，解得a ＝106.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →等于( )A.－212B.－83C.－75D.－27答案 B解析 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得BC ＝7，又cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ，解得AD ＝133， 又AD →，BC →的夹角大小为∠ADB ， cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD＝(73)2＋(133)2－222×73×133＝－891，所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos ∠ADB ＝－83.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a,2sin B ＝3sin C ，则cos答案 34解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ， 由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.10.△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是. 答案 (1，7)∪(5,7)解析 ①若x >4，则x 所对的角为钝角， ∴32＋42－x 22·3·4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7.②若x <4，则4对的角为钝角， ∴32＋x 2－422·3·x <0且3＋x >4，∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7). 11.在△ABC 中，C ＝3B ，则cb 的范围是.答案 (1,3)解析 由正弦定理可得c b ＝sin C sin B ＝sin 3Bsin B＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1. ∵A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， ∴0°<B <45°， ∴22<cos B <1， ∴1<4cos 2B －1<3， ∴1<c b <3.三、解答题12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值.解 (1)由cos B ＝34，B ＝(0，π2)，得 sin B ＝1－(34)2＝74， 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2， 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证： cos C cos B ＝b －c cos A c －b cos A证明 左边＝a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝c (a 2＋b 2－c 2)b (a 2＋c 2－b 2)， 右边＝b －c ·b 2＋c 2－a 22bc c －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c (a 2＋b 2－c 2)b (a 2＋c 2－b 2)＝左边， 得证.。
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章末整合知识概览对点讲练知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题例1在△ABC中，(1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c；(2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．知识点二 正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求角A 的大小；(2)求b sin Bc的值．回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求角A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．知识点三 正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在相关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关的测量问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定．2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.课时作业一、选择题1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对2．在△ABC中，已知cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 5．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 为______．三、解答题9．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．章末整合对点讲练例1 解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a>b ，∴A>B ＝45°，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.变式训练1 解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ＝53，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21， ∴c ＝21； 当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61.例2 解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ， ∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb .∴sin B ＝b sin A a ＝c sin Ab，∴b sin Bc ＝sin A ＝sin 60°＝32. 方法二 在△ABC 中，由面积公式得： 12bc sin A ＝12ac sin B ∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ， ∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.变式训练2 解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A 2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A)－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝12，又0°<A<180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3. 又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 例3解 如图所示，过C 、B 、P 分别作CM ⊥l ，BN ⊥l ，PQ ⊥l ，垂足分别为M 、N 、Q. 设BN ＝x ，则PQ ＝x ， PA ＝2x.∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2x. 在△PAC 中，由余弦定理得AC 2＝PA 2＋PC 2－2PA·PC·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13，过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长为塔到直路的距离．在△PAC 中，由于12AC·PD ＝12PA·PC·sin 75°，得PD ＝PA·PC·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13·6＋24＝7＋5313(km )．答 塔到直路的距离为7＋5313km .变式训练3 解 在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°＝202＋102－2×20×10×⎝⎛⎭⎫－12＝700.∴BC ＝107. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝20107·sin 120°＝217.∴cos ∠ACB ＝277.∴sin θ＝sin (∠ACB ＋30°)＝sin ∠ACB·cos 30°＋cos ∠ACB·sin 30°＝217×32＋277×12＝5714. 课时作业1．C [∵sin B ＝b·sin A a ＝22，且b<a ，∴B ＝45°.]2．C [∵cos A cos B>sin A sin B ，∴cos (A ＋B)>0， ∴A ＋B<90°，∴C>90°，C 为钝角．]3．D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B<π，∴角B 的值为π3或2π3.]4．D [S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55. ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×55×16×12＝2 401，∴BC ＝49.]5．A [①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．]6．6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7.2393.解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．20 2 km解析 如图所示，BC sin 45°＝ACsin 30°∴BC ＝ACsin 30°×sin 45°＝2012×22＝20 2 (km )． 9．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B<π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.10．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x.在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，整理得，3x 2＋4x －7＝0，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos B ＝283，即AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.。