高中数学必修二讲义 专题3.2 直线的方程

一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义

已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 .

当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是

00y y -=,或0y y =.

当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.

深度剖析

（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.

（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.

2．直线的点斜式方程的推导

如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得

y y

k

x x

-

=

-

(1),即

00

()

y y k x x

-=-(2).

注意方程(1)

与方程(2)的差异：点

P的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点

P不在方程(1)表

示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程.

上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为

坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点

P,斜率为k的直线l的方程.

二、直线的斜截式方程

1．直线的斜截式方程的定义

我们把直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的.

如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为(0)

y b k x

-=-，即叫做直线的，简称.

当b=0时，y kx

=表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，y b

=表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，0

y=表示与x轴重合的直线.

深度剖析

（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时.

（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.

2．直线的斜截式方程的推导

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及

直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)

y b k x

-=-,

即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义

已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为

.这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导

已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.

当12x x ≠时，所求直线的斜率21

21

y y k x x -=

-.

任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得21

1121

()y y y y x x x x --=

--,

当12y y ≠时，可写为11

2121

y y x x y y x x --=--.

四、直线的截距式方程

1．直线的截距式方程的定义

已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为 ___________.

我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是 ___________.

这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导

已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.

将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=

--,即1x y

a b

+=. 五、中点坐标公式

若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则__________

__________

x y =⎧⎨=⎩.

此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程

当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程.

由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程

在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系. 七、直线的一般式方程 1．直线的一般式方程

在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表：

一般式

斜截式

截距式

0(,Ax By C A B ++=不同时为0) (0)A C y x B B B

=--≠ 1(,,x y

A B C C C

A B

+=--都不为0)

直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如