双曲函数表
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
双曲函数
（6）1 th x
2
1
2
ch x 在这里仅证公式（1） 。
。
shxchy chxshy
e x e x e y e y e x e x e y e y 2 2 2 2
e x y e y x e x y e ( x y ) e x y e y x e x y e ( x y ) 4 4
2． y chx 的定义域是(, ) ，值域是[1, ) ，
(0, ) 内 它是偶函数，在(, 0) 内单调减少，在
单调增加。
3． y thx 的定义域是(, ) ，值域是(1, 1 ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（三）双曲函数的图象
双 曲 函 数 （见教材P272）
（一）双曲函数的定义
e x e x （1）双曲正弦函数： shx ， 2
e x e x （2）双曲余弦函数： chx ， 2
shx e x e x x x 。 （3）双曲正切函数：thx chx e e
（二）双曲函数的性质
1． y shx 的定义域是(, ) ，值域是(, ) ， 它是奇函数，在(, ) 内单调增加。
（六）反双曲函数的图象
y
y
y arshx
o x o
1
y archx
x
y
y 2uy 1 0 ， u y y 2 1 ，
∵ u e x 0 ，∴ u y y 2 1 ，
即 e x y y 2 1 ， x ln( y y 2 1 ) ，
故 y shx 的反函数为 y ln( x x 2 1 ) ， x (, ).
高等数学第六节 双曲函数
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
三角函数和双曲函数公式表
三角函数的定义直角坐标系中定义直角三角形定义a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。
单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：级数定义只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。
这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。
它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。
在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。
双曲函数知识点总结
双曲函数知识点总结双曲函数的定义域是实数集，而值域是实数，它们的定义如下：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))双曲函数和普通的三角函数在函数定义和性质上有一些类似，但也有很多不同之处。
接下来我们将重点介绍双曲函数的性质、导数和积分等知识点。
一、双曲函数的性质1. 双曲函数的奇偶性双曲正弦函数sinh(x)是奇函数，即sinh(-x) = -sinh(x)双曲余弦函数cosh(x)是偶函数，即cosh(-x) = cosh(x)2. 双曲函数的增减性双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)都是增函数3. 双曲函数的双曲恒等式双曲恒等式是指双曲函数之间的一些关系式，例如：cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))二、双曲函数的导数双曲函数的导数也是双曲函数，具体如下：sinh'(x) = cosh(x)cosh'(x) = sinh(x)tanh'(x) = 1 / cosh^2(x)三、双曲函数的积分双曲函数的积分也是双曲函数，具体如下：∫cosh(x)dx = sinh(x) + C∫sinh(x)dx = cosh(x) + C∫tanh(x)dx = ln|cosh(x)| + C在实际的数学问题中，双曲函数的应用非常广泛，特别是在微积分中的积分计算和微分方程的求解中起到重要作用。
同时，双曲函数也在工程、物理、经济学等应用领域中发挥着重要的作用。
总之，双曲函数在数学中起着重要的作用，它们的定义和性质与普通函数有一些相似之处，但也有很多不同之处。
双曲函数和差公式
双曲函数和差公式
双曲函数是一类与三角函数类似的数学函数，它们在数学、物理学和工程学中有广泛的应用。
双曲函数包括双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）等。
差公式是指双曲函数的一种重要性质，它可以用来计算双曲函数的和、差等运算。
双曲函数的差公式可用以下公式表示：cosh(x + y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
sinh(x + y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x) *
tanh(y))
双曲函数的差公式在计算中起到了重要的作用，特别是在处理双曲函数的和、差等运算时，能够简化计算过程，并且可以降低计算误差。
除了差公式，双曲函数还有很多其他的数学性质和公式，例如导
数公式、积分公式等。
双曲函数还与指数函数、对数函数、幂函数等
有一些特殊的关系，可以通过这些关系进行更深入的数学研究和应用。
双曲函数在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在电磁学中描
述电场和磁场的分布、在振动学中描述弹性体的振动等。
双曲函数还
与概率论、统计学、信号处理等有密切的联系。
总之，双曲函数和差公式是数学中重要的概念和工具，通过它们
可以描述和计算多种数学问题，具有广泛的应用价值。
双曲函数
探究双曲函数PB07210142,梁海波双曲函数是我们在大学时期微积分课程中新接触的东东，但仿佛仅在《高等数学导论》第一章有所提及，貌似与后来知识没有关系。
本人在做题时发现，双曲函数与后来的微积分，特别是积分求解有许多联系。
首先，我们先认识下双曲函数。
双曲正弦:2xx e e shx --=双曲余弦: 2xx e e chx -+=双曲正切: x x xx e e e e thx --+-= 双曲函数与三角函数有很多相似的性质,在求解积分的过程中,三角函数与双曲函数地位相当,下面对其相似之处进行比较,由于三角函数性质在以前接触较多,这里不在赘述.chx shx thx =chxshy shxchy y x sh ±=±)(shxshy chxchy y x ch ±=±)(122=-x sh x chx ch x sh x ch 222=+shx x sh -=-)(chx x ch =-)(shxchx x sh 22=下面说反双曲函数。
以下记法与书上不同，这样写便于与反三角函数想对比。
)1ln(2-+±=x x arcchx)1ln(2++=x x arcshx)11ln(21xx arcthx -+= 求解积分的问题中，有很多式子含有12-x ，12+x 以及它的倒数与根式形。
书后的简明积分表也给出了相关的公式，但这些公式复杂难记，没能把握住其与双曲函数的内在关系。
我们在解这类问题时往往会采用换元法，令x=sint 或x=sht 等。
其实这样设的目的就是利用了反三角函数，反双曲函数的微分，下面对这些公式作一定的改写。
（１）dx x ⎰+211＝c x +arctanc arcthx dx x +=-⎰211 （２）||112arcchx dx x =-⎰c x dx x +=-⎰arcsin 112 c x dx x +=--⎰arccos 112 c arcshx dx x +=+⎰112 （３）2212arcsin 211x x x dx x -+=-⎰ 2212211x x arcshx dx x ++=+⎰ 12||21122-+-=-⎰x x arcchx dx x从形式上简化，实质是从思想上的简化，这样去理解公式不仅便于记忆，更加深了我们对双曲函数的理解。
角函数与双曲函数基本公式对照表
圆函数（三角函数）1.基本性质：sin tan cos x x x =,cos cot sin xx x = 1sec cos x x =,1csc sin x x =tan cot 1x x =sin csc 1x x = sec cos 1x x =22sin cos 1x x +=221tan sec x x +=,221cot csc x x +=2.奇偶性：sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=-3.两角和差公式sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±=m tan tan tan()1tan tan x yx y x y±±=m4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x =2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x xx x=-=-=-22tan tan 21tan xx x=-双曲函数1.基本性质：sh th ch x x x =,ch cth sh xx x= 1sech ch x x =,1csch sh x x =th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x =22ch sh 1x x -=221th sech x x -=,221cth csch x x -=-2.奇偶性：sh()sh x x -=- ch()ch x x -= th()th x x -=-3.两角和差公式sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x yx y x y±±=±4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x =2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x xx x==-=+ 22th th 21th xx x=+5.半角公式 21cos sin 22x x -=,21cos cos 22x x += sin 1cos tan 21cos sin x x xx x-==+ 21cos 2sin 2x x -=,21cos 2cos 2x x +=6.万能公式22tan2sin 1tan 2xx x=+,221tan 2cos 1tan 2x x x -=+ 22tan2tan 1tan 2x x x=-7.三倍角公式3sin33sin 4sin x x x =-3cos34cos 3cos x x x =-8.积化和差公式()()1sin cos sin sin 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2x y x y x y =-+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sin sin 2sin cos 22x y x yx y +-+=sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 5.半角公式2ch 1sh 22x x -=,2ch 1ch 22x x +=sh ch 1th 2ch 1sh x x x x x-==+2ch 12sh 2x x -=,2ch 12ch 2x x +=6.万能公式22th2sh 1th 2xx x =-,221th 2cos 1th 2x x x +=- 22th2th 1th 2x x x =+7.三倍角公式3sh 33sh 4sh x x x =+ 3ch34ch 3ch x x x =-8.积化和差公式()()1sh ch sh sh 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1ch sh sh sh 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1ch ch ch ch 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sh sh ch ch 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sh sh 2shch 22x y x yx y +-+=sh sh 2ch sh22x y x yx y +--=ch ch 2ch ch22x y x yx y +-+=ch ch 2sh sh22x y x yx y +--=。