相似三角形一对一辅导讲义
预科相似三角形的性质一对一辅导讲义
重点：相似三角形的性质与运用． 难点： 相似三角形性质的灵活运用， 及对 “相似三角形面积的比等于相似比的平方” 性质的理解， 特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
一.知识链接 1．问题：已知： ∆ABC∽∆A’B’C’ ，根据相 似的定义，我们有哪些结论？ （从对应边上看； 从对应角上看： ）
中小学个性化教育辅导专家
一对一个性化辅导讲义
学科： 姓名 学 习 目 标 难 点 重 点 任课教师： 授课时间： 20 14 年级 九 性 别 年月 日(星期 ) 相似三角形的 学习内容 上课次数 性质和应用
1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 2、 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 3、 能用三角形的性质解决简单的问题．
10.如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD， AB / /CD, AB 2, CD 6m ， 点 P 到 CD 的距离是 2.7m，则 AB 与 CD 间的距离是______m。 C A B D
11.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为
S AE AE 2 （1）若 的值； ② 求 ADE 的值； ，① 求 S ABC AC EC 3 ③ 若 S ABC 5 ，求△ADE 的面积； AE 2 （2）若 S ABC S ， ，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，求□BFED 的面积； EC 3 AE （3）若 k ， S ABC 5 ，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，求□BFED 的面积． EC
EF．已知 AB＝AC＝6，BC＝8，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
捷成教育一对一辅导相似三角形
个性化教学辅导教案学科数学学生姓名年级九任课老师授课时间教学目标教学内容：相似三角形考点1、掌握相似三角形的定义，预备定理及三个判定定理2、能熟练运用判定定理找到并证明两个相似的三角形能力与方法：概念：如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。
（相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
）课本原话：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
注意：“∽”注意对应顶点字母的位置；判定定理：预备定理-----平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线（或其他两边的延长线），截得的三角形与原三角形相似。
AA-----两角对应相等，两个三角形相似。
SAS------两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
SSS------三边对应成比例，两个三角形相似。
HL------斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:作业认真，知识点运用不够熟练。
过程一．课前交流，了解学生上次课的复习情况三．典型例题：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴.又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽.∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例 3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.2、全等与相似的类比：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.四．巩固练习：一、选择题1.（2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对考点：相似三角形的判定．2. （2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ：OC=0B ：OD ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①与②相似B ．①与③相似C ．①与④相似D ．②与③相似考点：相似三角形的判定。
相似三角形知识点讲义
相似三角形知识点讲义知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，或者说是相似形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点2 比例线段的相关概念两条线段长度的比叫做这两条线段的比。
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm ba =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad cb =．例题⒈若AB =1m ，CD =25cm ，则AB ∶CD = ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= . ⒉若MN ∶PQ =4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ， PQ= MN 。
知识点3 比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::； (2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 例1若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a =5㎝，b =7㎝，c =4㎝，则,d = ． 例2若a·b=c·d 则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 例3已知4x －5y =0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．例4若x ∶y ∶z =2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ； 例5设x 3 =y 5 =z 7 ，则x+y y =__ _，y+3z 3y-2z =__ __.；其中032≠+-f d b ．例6若kba c ca b cb a =+=+=+，求k 的值。
学生 第1讲 相似三角形培优课件讲义1!.doc
第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA B C D F G E AB C DE F O123E 图2目标训练 一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．2、 如图2，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD= ．233、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4. △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm4、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 345、 如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、 （本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别ABCDE P为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。
相似三角形知识讲义终极版
相似三角形知识讲义（第一课时）一： 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.二：相似变换 由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。
图形相似变换的性质 1.图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；2.图形相似变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫相似比。
三：相似三角形成比例线段一： 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． (3) 比例内项、比例外项、比例中项相关概念练习.下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm二: 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．《比例的性质》练习题一、填空题1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。
期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义
期末复习之相似三角形及解直角三角形一对一辅导讲义————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：教学目标 1、复习相似三角形的性质； 2、复习解直角三角形的性质。
重点、难点相似三角形及解直角三角形的几何证明考点及考试要求 1、相似三角形2、解直角三角形3、相似三角形及解直角三角形的几何证明教 学 内 容第一课时 相似三角形及解直角三角形知识梳理1.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。
2.若b a b +＝53，那么ba＝ 3．在的长为，则，，中，BC AB B C ABC Rt 73590=︒=∠︒=∠∆ 。
4.计算：.60cos 43)258(sin )21()1(032010o o -+-+⨯--π5.如图，的长求线段的角平分线，若是，，中，AD AC ABC AD B C ABC .33090=∆︒=∠︒=∠∆。
DCAB课前检测一、相似三角形相关知识点1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。
如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。
（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作相似于。
（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1. 2.相似三角形的引理及判定 （1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
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教学目标 1、相似三角形的判定定理
2、利用相似三角形的性质及判定解题 重点、难点 1、相似三角形的判定定理 2、平行线分线段成比例定理 考点及考试要求
1、相似三角形的性质及判定
2、利用相似三角形的性质及判定解题
教 学 内 容
第一课时 相似三角形知识梳理
⒈若AB=1m ，CD=25cm ，则AB ∶CD= ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= .
⒉若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ，PQ= MN 。
3.已知4x －5y=0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．
4.若x ∶y ∶z=2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；
5.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC,则AC ∶AB= .
1预备定理
一
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二
课前检测
知识梳理
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,
那么这两个三角形相似。
四
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六
两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七
两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八
由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
九（易失误）
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
2一定相似
1.两个全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1
2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形
两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
3.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)
4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形
3判定定理
基本判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
直角三角形判定
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成
比例，那么这两个直角三角形相似。
性质定理
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
4定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)
直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
第二课时相似三角形典型例题
类型一、相似三角形的概念
例1．判断对错：
(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？
(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？
(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？
思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形
B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形
D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
类型二、相似三角形的判定
例2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
典型例题
思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；
当△CDF∽△AED时，相似比.
例3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.
解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.
由勾股定理得.
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.
由勾股定理，得.
在△ABC和△EDF中，，，，
∴，
∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).
例4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，
要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.
条件一：∠1=∠B.
条件二：∠2=∠ACB.
条件三：，即.
【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，
所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
【变式2】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．
求证：△DFE∽△ABC．
思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．
师生小结
1.本节课我们学习了：
2.你学到了什么？
第三课时相似三角形课堂检测
课堂检测
1．(2010年广西桂林)如图X6－4－1，已知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，则△ADE与△ABC的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
2．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16
3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )
A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,3
4．(2011年湖南怀化)如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为( ) A．9 B．6 C．3 D．4
5．若△ABC∽△DEF，它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是( ) A．3AB＝4DE B．4AC＝3DE
C．3∠A＝4∠D D．4(AB＋BC＋AC)＝3(DE＋EF＋DF) 图1 6．如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．3∶5
7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．
8．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm，那么较小三角形的周长为________cm. 9．如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线
MN交AC于点O.
(1)求证：△COM∽△CBA；
图2
(2)求线段OM的长度．
10．如图3，已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：△MEF∽△MBA；
(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.
图3
11．已知如图4，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD与AE相交于点G.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)CF·AE＝BF·GE.
图4 12．如图5，已知在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.。