上海市浦东新区2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程为．2．（3分）如果直线ax+y+1＝0与直线3x﹣y﹣2＝0垂直，则系数a＝．3．（3分）双曲线9x2﹣4y2＝﹣36的渐近线方程是．4．（3分）已知复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝．5．（3分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．（3分）设复数z（2﹣i）＝11+7i（i为虚数单位），则z＝．7．（3分）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．（3分）一动点在圆x2+y2＝1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．（3分）若复数z满足|z+3i|＝5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值＝．10．（3分）设F1和F2是双曲线﹣y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是．11．（3分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．（3分）已知圆x2+y2+2x﹣4y+a＝0关于直线y＝2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．（3分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝﹣2，c＝3C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝2，c＝﹣116．（3分）对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y＝2（x+x0）与曲线C（）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．（8分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．（10分）设复数z满足|z|＝1，且（3+4i）•z是纯虚数，则＝．19．（10分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为，求圆C的方程．20．（10分）已知F1，F2为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|＝d．（1）证明：b2＝ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．（14分）已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y＝x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•＝3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程为y＝2．【解答】解：由于抛物线x2＝﹣2py的准线方程为y＝，则有抛物线x2＝﹣8y的准线方程为y＝2．故答案为：y＝2．2．（3分）如果直线ax+y+1＝0与直线3x﹣y﹣2＝0垂直，则系数a＝．【解答】解：由ax+y+1＝0得y＝﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2＝0得到y＝3x﹣2，又直线ax+y+1＝0与直线3x﹣y﹣2＝0垂直，∴﹣a•3＝﹣1，∴a＝，故答案为：3．（3分）双曲线9x2﹣4y2＝﹣36的渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，故答案为：y＝±x4．（3分）已知复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝10．【解答】解：复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝|3+i||3+i|＝＝10．故答案为：10．5．（3分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝29．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．6．（3分）设复数z（2﹣i）＝11+7i（i为虚数单位），则z＝3+5i．【解答】解：因为z（2﹣i）＝11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）＝（11+7i）（2+i），即5z＝15+25i，z＝3+5i．故答案为：3+5i．7．（3分）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a＝3，c＝∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．（3分）一动点在圆x2+y2＝1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2＝0．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2＝1即x2+y2﹣3x+2＝0故答案为：x2+y2﹣3x+2＝09．（3分）若复数z满足|z+3i|＝5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值＝10．【解答】解：由|z+3i|＝5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：＝5．|z+4|的最大值：5+5＝10故答案为：10．10．（3分）设F1和F2是双曲线﹣y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是1．【解答】解：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y＝4，∵∠F1PF2＝90°，∴x2+y2＝20∴2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝4∴xy＝2∴△F1PF2的面积为xy＝1故答案为：1．11．（3分）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2＝ay，由x＝4，y＝﹣2，解得a＝﹣8，当水面上升米后，y＝﹣2+＝﹣，x2＝（﹣8）•（﹣）＝12．解得x＝2，或x＝﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．（3分）已知圆x2+y2+2x﹣4y+a＝0关于直线y＝2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2＝5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y＝2x+b成轴对称，∴2＝﹣2+b，∴b＝4．∴a﹣b＝a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．（3分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|＝2a（a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|＝2a（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．（3分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝﹣2，c＝3C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝2，c＝﹣1【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+2i﹣2+b+bi+c＝0∴，解得b＝﹣2，c＝3故选：B．16．（3分）对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y＝2（x+x0）与曲线C（）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【解答】解：由y2＝4x与y0y＝2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0＝0，∴△＝4y02﹣4×4x0＝4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选：D．三、解答题（共5小题，满分52分）17．（8分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，分别令x＝0，解得y＝﹣；y＝0，x＝﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴＝24，解得m＝±24．∴直线l的方程为3x+4y±24＝0．18．（10分）设复数z满足|z|＝1，且（3+4i）•z是纯虚数，则＝．．【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），由|z|＝1得；（3+4i）•z＝（3+4i）（a+bi）＝3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b＝0，，19．（10分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为，求圆C的方程．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2＝r2﹣d2，即9t2﹣2t2＝7，解得：t＝±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9或（x+3）2+（y+1）2＝9．20．（10分）已知F1，F2为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|＝d．（1）证明：b2＝ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【解答】（1）证明：把x＝c代入椭圆方程：+＝1，得，则d＝|y|＝，∴d×a＝b2，即b2＝ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c＝，则，解得b2＝2，a2＝4．故椭圆的方程为．21．（14分）已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y＝x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•＝3时，求实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝﹣2x由，可得x＝m，y＝2m，∴A（m，2m）由，可得x＝﹣m，y＝m，∴B（﹣m，m）∴∵∴m2＝3∴。
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期末数学试卷(a卷)(解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有种．9．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．【解答】解：∵直径为2，∴半径为1，∴＝3，故答案为：3：1．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是[]【解答】解：∵一条直线P A与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4【解答】解：二项式（x3+）n的展开式的通项为＝．令3n﹣5r＝7，可得n＝，当r＝1时，n有最小值为4．故答案为：4．4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝（2，5）或（﹣2，5）【解答】解：若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则（1+|a|）n＝243，∴a＝±2，n＝5，故a，n的可能值是（a，n）＝（2，5），或（﹣2，5），故答案为：（2，5）或（﹣2，5）．5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝±【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【解答】解：计算这组数据的平均数为a＝×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，求出中位数为b＝15，众数为c＝17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．【解答】解：掷三个般子，基本事件总数n＝63＝216，出现的三个点数的乘积为偶数，包含的基本事件个数＝m＝63﹣33＝189，∴出现的三个点数的乘积为偶数的概率是p＝＝＝．故答案为：．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有20种．【解答】解：根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C63＝20种排法，第二步：将另外三人按从高到低的顺序排列，有1种情况，则不同的排法有20×1＝20种，故答案为：209．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．【解答】解：由于4条体对角线都经过正方体的中心，所选的两条对角线必定包含一条画对角线①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面，考虑重复选取，∴＝30（种）；②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12x2＝24 （种）∴这两条对角线所在的直线为异面直线的概率p＝＝．故答案为：．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素12！后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．【解答】解：1！×2！×3！…×23!×24!＝（1×1×2）（3×3×4）×…×（23×23×24）＝（1×2×...×23）2×（2×4×6 (24)＝（1×2×…×23）2×212×12＝（1×2×…×23×26）2×12，所以删除元素为12！．故答案为：12！．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”，则A＝B，反之A＝B，则A∩B⊇A∪B成立，即“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的充要条件，故选：C．12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半【解答】解：在A中，数据3，3，4，5，4，6的众数是3和4，故A错误；在B中，一组数据的标准差是这组数据的方差的开方，故B错误；在C中，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故C错误；在D中，数据1，2，3，4的平均数为：＝，方差为：[（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2]＝，标准差为，是数据2，4，6，8的平均数为：＝5，方差为：[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝5，标准差为：，∴数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半，故D正确．故选：D．13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）由排列与组合数的计算公式可知：＝（0≤k≤n），正确．（2）由组合数的性质可得：＝（0≤k≤n），正确．（3）左边＝＝＝（1≤k≤n）正确．（4）由组合数的性质可得：＝+（1≤k≤n），正确．因此正确公式的个数是4．故选：A．14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：设SO1＝h1，内接圆柱O1O的半径为r，（0＜r＜1），由题意得h1＝rh，OO1＝h﹣rh，∴＝πr2（h﹣rh）＝πhr2（1﹣r），∵≤•[]3＝，∴＝πhr2（1﹣r）≤，解得h＝1．＝πr2（1﹣r）＝，∴8r3﹣8r2﹣1＝0，∵0＜r＜1，∴方程有两个解符合题意．故选：B．三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．【解答】解：（1）①当a＝1时，不等式不成立当a＝﹣1时，解当﹣1＜a＜1时集为空集；②当a＝﹣1时，不等式恒成立，解集为R；③当﹣1＜a＜1时，x＜，不等式解集为（﹣∞，）；④当a＜﹣1或a＞1时，x＞，不等式的解集为（，+∞）（2）根据组合数公式得：＞，化简得：1≤k＜n+≤n，故不等式的解集为{k|1≤k≤n，n∈N*，k∈N*}16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结SO，∵SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0，四边形是平面四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，且O是BD的中点，∴SO⊥AC，SO⊥BD，∴SO⊥平面ABCD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴棱锥的底面四边形ABCD是矩形．解：（2）此棱锥的全面积：S＝2S △SAB+2S△SBC+S＝+2×+2a×a＝a2，此棱锥的体积V＝＝×2a2＝a3．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa ≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，9}，39∉A，且93∉A，∴A是“坏集”，∵B＝{1，，，}，∈B，（）∈B，∴B是“好集”．证明：（2）∵a是S中小于1的元素中的最小元素，b是S中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性得：a b＜a1＝a，1＜b a＜b1＝b，∴a b∉S，且b a∉S，∴集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【解答】解：（1）由题意得：，．（2）①p1＞p3且p1＞p4，∴0＜p ＜；②p3＞p1且p3＞p4，；③p4＞p1且p4＞p3，无解．综上，0＜p ＜时，恰做一道及格概率最大；p ＝时，p1＝p3；时，恰做三道及格概率最大．第11页（共11页）。
上海市浦东新区2015_2016学年高二数学上学期期末质量抽测试题(扫描版)
上海市浦东新区2015-2016学年高二数学上学期期末质量抽测试题（扫描版）浦东新区2015学年度第一学期期末质量抽测高二数学答案（2016年1月） 一、填空题（每题3分，满分36分）1．5； 2．12x y =-⎧⎨=⎩； 3．1-； 4．(45，35)； 5．6； 6．31-； 7．3-； 8．1320； 9．32==x x 或； 10．(0,3)(3,6)； 11．[0,1]； 12．1)2(-n ．二、选择题（每题3分，共12分）13．C ； 14．D ； 15．B ； 16．C ．三、解答题（满分52分）17．（本题满分8分）解：（1）2,2,4-=-=-=m D D m D y x (3分)（2）当4=m ，方程组无解 (5分) （3）当4≠m 方程组有唯一解⎪⎩⎪⎨⎧--=--=4242m m y m x (8分) 18. (本题满分8分）解：（1）当 11,,lim lim lim 11n n n n n n n S n q S n T S n →∞→∞→∞+=====+. （3分） （2）当11111,,lim lim lim 11n nn n n n n n n n S q q q S T q S q+→∞→∞→∞+--≠===-- （5分） 11101,lim lim lim 11nn n n n n n n S q q T S q +→∞→∞→∞+-<<===- （7分） 综上得lim 1n n T →∞= （8分） 19.（本题满分10分）解：（1）设),2(k k OP =，则)1,25(),7,21(k k PB k k PA --=--= （2分）817)25)(7()1)(21(//=⇒--=--∴k k k k k (4分） ），（817417=∴ （5分） （2）8)2(512205)1)(7()25)(21(22--=+-=--+--=⋅k k k k k k k （7分）82min -=⋅=∴k ，此时)1,1(),5,3(-=-= （9分） 171742348cos -=⋅-=∠∴APB （10分） 20.（本题满分12分）解：（1）410n n a -= ，n a n -=4lg ， （3分）27243)lg lg (lg 121n n a a a n b n n -=-+=+++= ； （6分） （2）设数列{}n b 的前n 项之和为n T ，则4132n n T n +-=， （10分） 当76或=n 时，n T 取得最大值221. （12分） 21．（本题满分14分） 解：（1）由题意，得⎩⎨⎧+=+=q pS S q pa S 2312， （2分） 即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221q p ． （4分）（2）由（1）知，2211+=+n n S S ① 当2≥n 时，2211+=-n n S S ② ①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又1221a a =， （7分） 所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列． （8分） 所以}{n a 的通项公式为221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a （*N ∈n ）． （9分） （3）由212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114， （10分） 得1121212n n n n n λ--≥=，令()21n f n n -=， 因为()()1211()0(1)n n f n f n n n -++-=>+，所以()f n 为递增数列， （12分） 且3715(1)1,(2),(3),(4)234f f f f ====，所以(3)(4)f f λ≤<即可，（13分） 即 715,34λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. （14分）。
2015-2016学年上海市金山中学高二(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市金山中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）的倾斜角的大小是．2．（4分）（1+2x）5的展开式中含x2项的系数是．（用数字作答）3．（4分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为．4．（4分）若双曲线＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为．5．（4分）已知圆C：x2+y2＝4，则过圆上点的切线方程是．6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为（结果用反三角函数表示）．7．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的周长．8．（4分）已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，则x+y最小值为．9．（4分）在北纬60°的纬度圈上，有甲、乙两地，两地间纬度圈上的弧长等于（R为地球半径），则这两地的球面距离是．10．（4分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n（m，n＝1，2，…，6），则直线与圆（x﹣3）2+y2＝1相交的概率是．11．（4分）已知x，y满足约束条件，且z＝2x+4y最小值为﹣6，则常数k＝．12．（4分）当n为正奇数时，除以9的余数是．13．（4分）P为双曲线上位于第一象限内一点，且，令∠POx＝θ，则θ的取值范围是．14．（4分）已知k∁n k＝nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：∁n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k＝（n+1）∁n k﹣1，…，进一步能得到：1∁n1+2∁n2•21+…+n∁n n•2n﹣1＝nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1＝n（1+2）n﹣1＝n•3n ﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：∁n0×+∁n1×（）2+∁n2×（）3+…+∁n×（）n+1＝．n二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l（）A．相交B．平行C．垂直D．异面16．（5分）设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则A，B之间的关系一定为（）A．互斥事件B．两个任意事件C．非互斥事件D．对立事件17．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD＝60°的菱形，且P A＝PC，PB＝BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面P AC平行）可能是（）A．B．C．D．18．（5分）方程的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x不存在零点；③y＝f（|x|）的最大值为3；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y＝g（x）由方程确定．其中所有正确的命题序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；（2）当k＝2时，求点A到直线BC的距离．21．（14分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．22．（16分）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线P A，PB分别交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）当直线P A经过点（1，）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）＝0，若存在非负实数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y），m≤|OP|≤M恒成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为有界曲线，且称M 的最小值M0为曲线C的外确界，m的最大值m0为曲线C的内确界．（1）写出曲线x+y＝1（0＜x＜4）的外确界M0与内确界m0；（2）曲线y2＝4x与曲线（x﹣1）2+y2＝4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．2015-2016学年上海市金山中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）的倾斜角的大小是120°．【解答】解：∵直线的斜率为﹣，设直线的倾斜角为α，∴tanα＝﹣，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°．故答案为：120°2．（4分）（1+2x）5的展开式中含x2项的系数是40．（用数字作答）【解答】解：由二项式定理的通项公式T r+1＝∁n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1＝C5r15﹣r（2x）r＝2r C5r x r，可知r＝2，所以系数为22C52＝40所以答案应填403．（4分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36＝84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×＝12人，故答案为：12．4．（4分）若双曲线＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为y＝x．【解答】解：因为双曲线＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），∴c＝3∴4+b2＝32即b2＝5∴双曲线为＝1，令＝0，即y＝x故答案为：y＝x5．（4分）已知圆C：x2+y2＝4，则过圆上点的切线方程是．【解答】解：因为（1，）是圆x2+y2＝4上的点，所以它的切线方程为：x+y＝4，即．故答案为．6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．【解答】解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC＝60°，即有tan60°＝，即b＝a，在△BA1C1中，BC1＝BA1＝＝2a，A1C1＝a，cos∠BC1A1＝＝．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．7．（4分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的周长24．【解答】解：双曲线x2﹣＝1的a＝1，c＝＝5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．8．（4分）已知x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，又知﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，则x+y最小值为．【解答】解：∵x是1、2、x、4、5这五个数据的中位数，∴x∈[2，4]，∵﹣1、5、、y这四个数据的平均数为3，∴﹣1+5+y＝12，∴y＝+8∵x+y＝x++8在x∈[2，4]是一个增函数，x+y最小值为2++8＝故答案为：9．（4分）在北纬60°的纬度圈上，有甲、乙两地，两地间纬度圈上的弧长等于（R为地球半径），则这两地的球面距离是R．【解答】解：地球的半径为R，则地球北纬60°的纬线圈的半径为：r＝R，设纬线圈上的弧长对应的圆心角为α，∴Rα＝，∴α＝，根据勾股定理得出：纬线圈上的弦长为R，设球半径的夹角为β，∴cosβ＝＝，∴β＝arccos，∴甲乙两地的球面距离为：R．故答案为R．10．（4分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n（m，n＝1，2，…，6），则直线与圆（x﹣3）2+y2＝1相交的概率是．【解答】解：直线与圆（x﹣3）2+y2＝1相交时，直线的斜率小于，考虑到m、n为正整数，应使直线的斜率小于或等于，当m＝1时，n＝3，4，5，6，当m＝2时，n＝6，共有5种情况，其概率为，故答案为．11．（4分）已知x，y满足约束条件，且z＝2x+4y最小值为﹣6，则常数k＝0．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z＝2x+4y经过点B时，z最小，由得：代入直线x+y+k＝0得，k＝0故答案为：0．12．（4分）当n为正奇数时，除以9的余数是7．【解答】解：由组合数的性质知：＝8n﹣1＝（9﹣1）n﹣1＝9n+++…+﹣2按照二项式定理展开，前边的项都能被9整除，最后一项为﹣2，当n为正奇数时，除以9的余数是7．故答案为：7．13．（4分）P为双曲线上位于第一象限内一点，且，令∠POx＝θ，则θ的取值范围是（0，]．【解答】解：设∠POx＝θ，则θ为锐角且P（2cosθ，2sinθ），所以﹣＝1，即有﹣＝1，化简得，cos2θ＝[（a2﹣2）+]≥•2＝，当且仅当a2﹣2＝，即a2＝2（+1）时取等号，所以2θ≤，即有0＜θ≤．故答案为：（0，]．14．（4分）已知k∁n k＝nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：∁n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k＝（n+1）∁n k﹣1，…，进一步能得到：1∁n1+2∁n2•21+…+n∁n n•2n﹣1＝nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1＝n（1+2）n﹣1＝n•3n ﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：∁n0×+∁n1×（）2+∁n2×（）3+…+∁n×（）n+1＝．n【解答】解：由，得，，∴＝＝．故案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l（）A．相交B．平行C．垂直D．异面【解答】解：当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，∴无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．故选：C．16．（5分）设事件A，B，已知P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则A，B之间的关系一定为（）A．互斥事件B．两个任意事件C．非互斥事件D．对立事件【解答】解：∵P（A）＝，P（B）＝，∴P（A）+P（B）＝＝又P（A∪B）＝∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）∴A．B为互相斥事件故选：A．17．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD＝60°的菱形，且P A＝PC，PB＝BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面P AC平行）可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的几何体P﹣ABCD为四棱锥故其正视图的外边框为三角形又∵四棱锥P﹣ABCD的底面是∠BAD＝60°的菱形，∴PD棱在正视图中看不到，故应该画为虚线，PB棱在正视图中可能看到，故应该画为实线．故选：B．18．（5分）方程的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）+3x不存在零点；③y＝f（|x|）的最大值为3；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y＝g（x）由方程确定．其中所有正确的命题序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②【解答】解：①当x≥0且y≥0时，原方程化为+＝﹣1，不成立；当x＜0且y＜0时，原方程化为+＝1；当x≥0且y＜0时，原方程化为﹣＝﹣1；当x＜0且y≥0时，原方程化为﹣+＝﹣1；作出函数的图象如下，故①正确；②由F（x）＝4f（x）+3x＝0得，f（x）＝﹣x；由上图知方程无解，故②正确；③根据①所作的图象可知，函数y＝f（|x|）的最大值为﹣3，故错误；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则用﹣x，﹣y分别代替x，y；可得g（x）＝﹣f（﹣x），则函数y＝g（x）的图象是方程＝1确定的曲线，故不正确．故选：D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1＝60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC 1中，BC＝1，∠CBC1＝60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）＝…（8分）＝＝…（10分）＝．…（12分）20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；（2）当k＝2时，求点A到直线BC的距离．【解答】解：（1）由题设知，a＝2，b＝，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点的坐标为（﹣1，﹣）．…（3分）由于直线AB平分线段MN，故直线AB过线段MN的中点，又直线AB过坐标原点，所以k＝．…（6分）（2）当k＝2时，直线AB的方程为y＝2x，由解得x＝，…（8分）从而A点的坐标是（），B点的坐标为（），…（10分）于是C点的坐标为（，0）．…（11分）所以直线BC的方程为x﹣y﹣＝0．…（12分）所以点A到直线BC的距离为d＝＝．…（14分）21．（14分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．【解答】解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H＝×8＝，底面半径为r＝×4＝；V＝πr2H＝π×（）2×＝π≈39.71；V÷0.02≈1986（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒．（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，V＝π×42×H′＝π；H′＝≈2.4；锥形沙堆的高度约为2.4cm．22．（16分）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线P A，PB分别交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）当直线P A经过点（1，）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（I）由椭圆可得c＝，∴两焦点分别为，．设P（（x，y），由题意可得，解得，∴P．（II）∵，两条直线P A，PB倾斜角互补，∴k P A+k PB＝0，解得k PB＝1．因此直线P A，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得（舍去），，即A．同理解得B．∴k AB＝＝，∴直线AB的方程为，化为．（III）S设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线P A的方程为：，则直线PB的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB＝＝．即直线AB的斜率为定值．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）＝0，若存在非负实数M和m，使得曲线C上任意一点P（x，y），m≤|OP|≤M恒成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为有界曲线，且称M的最小值M0为曲线C的外确界，m的最大值m0为曲线C的内确界．（1）写出曲线x+y＝1（0＜x＜4）的外确界M0与内确界m0；（2）曲线y2＝4x与曲线（x﹣1）2+y2＝4是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【解答】解．（1）曲线x+y＝1（0＜x＜4）的外确界M0＝5与内确界．（2）对于曲线y2＝4x，设P（x，y）为曲线上任意一点，∴|OP|∈[0，+∞），∴曲线y2＝4x不是有界曲线．对于曲线（x﹣1）2+y2＝4，∴|OP|∈[1，3]，∴曲线（x﹣1）2+y2＝4是有界曲线，外确界M0＝3与内确界m0＝1．（3）由已知得：，∴（x2+y2+1）2﹣4x2＝a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，∵若0＜a＜1，则，外确界，内确界若a≥1，0≤x2≤a+1，则，外确界，内确界综合得：外确界，内确界．。
上海市浦东新区2015-2016学年高二下学期学业水平模拟化学试卷 含解析
2015—2016学年上海市浦东新区高二(下)学业水平模拟试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案．每题2分,共80分）1．通常用于衡量一个国家石油化工发展水平的标志是（）A．石油的产量 B．乙烯的产量C．天然气的产量D．汽油的产量2．P可以用于脑恶性肿瘤的放射治疗．下列关于P的叙述中正确的是( ）A．P的原子核中含有15个中子B．P的相对原子质量为32C．P原子的质量数是17D．P原子中含有的电子数和质子数都是15 3．相同质量的水在固态、液态和气态时所具有的能量从高到低的顺序是（)A．固态＞液态＞气态B．液态＞固态＞气态C．气态＞液态＞固态D．气态＞固态＞液态4．贮存粮食、水果的仓库内可用的保护气是（）A．O2B．N2C．CO2 D．H25．下列对化学反应的认识,错误的是（）A．会引起化学键的变化B．会产生新物质C．必然引起物质状态的变化 D．必然伴随着能量的变化6．能清楚地反映甲烷分子里碳、氢原子的大小和相对空间位置的是（)A．结构式B．电子式C．球棍模型 D．分子式7．飘尘是物质燃烧时产生的粒状漂浮物，颗粒很小，不易沉降．它与空气中的SO2和O2接触时,SO2会部分转化为SO3,使空气的酸度增加，环境污染更为严重．其中飘尘所起的作用可能是（)A．氧化剂B．还原剂C．催化剂D．载体8．在下列变化中,不属于化学变化的是( ）A．SO2使品红溶液褪色B．氯水使有色布条褪色C．活性炭使红墨水褪色D．O3使某些染料褪色9．不属于氮的固定的变化是（)A．豆科植物的根瘤菌把空气中的氮气转化为氨B．氮气和氢气在适宜条件下合成氨C．氮气和氧气在放电条件下生成NOD．工业上用氨和二氧化碳合成尿素10．下列物质中，长期露置在空气中，不会变质的是（）A．AgI B．漂白粉C．食盐D．次氯酸钙溶液11．下列物质属于纯净物的是（)A．碱石灰B．正丁烷C．合金D．铝热剂12．将HCl和NaCl分别溶于水．下列说法正确的是（）A．HCl的离子键被破坏B．NaCl的共价键被破坏C．HCl和NaCl的化学键均遭破坏D．HCl和NaCl的化学键均未遭破坏13．将四氯化碳加入浓碘水中，碘水的颜色变浅，这是由于发生了( )A．化学反应 B．取代反应 C．加成反应 D．萃取过程14．结构简式是的有机物应命名为（）A．2﹣甲基﹣2﹣乙基丁烷B．3，3﹣二甲基戊烷C．2﹣甲基﹣3﹣乙基己烷D．2，2﹣二甲基戊烷15．某学生要提纯混有泥沙的食盐，他设计的主要操作有：溶解、过滤、蒸发．在这些操作中都需要使用的仪器是（）A．烧杯B．漏斗C．玻璃棒D．酒精灯16．在海水浓缩过程中，析出盐的种类和质量见下表，（单位g/L）海水密度CaSO4NaCl MgCl2Mg NaBr（g/mL）SO41。
2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
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2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）
1．数1与9的等差中项是______．
2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______． 3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______． 5．等差数列{a n }中，a 1=﹣1，a 3=3，a n =9，则n=______．
6．已知向量=（1，2），=（1+x ，x ），且⊥，则x 的值为______． 7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______． 8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．
9．关于x 的方程=0的解为______．
10．若无穷等比数列{a n }的各项和为3，则首项a 1的取值范围为______． 11．已知正方形ABCD 的边长为1，M 是正方形ABCD 四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．
12．定义=（n ∈N *）为向量=（x n ，y n ）到向量=（x n+1，
y n+1）的一个矩阵变换，设向量
=（cosα，sinα），O 为坐标原点，则|
|=______．。
期末资料-上海市浦东新区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
【精品期末资料】Jack2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是______．3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=______．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为______．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为______．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为______．9．关于x的方程=0的解为______．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为______．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是______．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=______．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．114．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+ 16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【考点】三阶矩阵．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【考点】程序框图．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【考点】三阶矩阵．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x 的值．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【考点】数列的极限．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=（）n ﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+a n D．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【考点】数列的极限．【分析】对于A，可举a n=n，b n=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a n=n，b n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a n=（）n﹣1，S n=，求出极限即可判断；对于D，可举a n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B 错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A． +=+B． +=+C． +=+D． +=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【考点】数列的极限．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；（2）把（1）中求得的p，q值代入S n+1=pS n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{a n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．2016年9月26日。
2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=．6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为．9．（3分）关于x的方程=0的解为．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则+1||=．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．114．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a 1+a2+…+a nD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+ 16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是5．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．9．（3分）关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（co sα，sinα），O为坐标原点，则||=（x n+1（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．1【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．14．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0或b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a 1+a2+…+a nD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C 错；对于D，若无穷数列{a n}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D正确．故选：D．15．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2 （3分）（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（5分）（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．。
2015-2016学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=．6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为．9．（3分）关于x的方程=0的解为．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．114．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0且b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+ anD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+115．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+ 16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．（3分）数1与9的等差中项是5．【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差中项的定义和求法，属基础题．2．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．3．（3分）行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案．【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义及行列式的运算，考察计算能力，属于基础题．4．（3分）若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量=（，）或（﹣，﹣）．【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量的单位向量==±=±（，）．故答案为：（，）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查向量的单位向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算公式的合理运用．5．（3分）等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，a n=9，则n=6．【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣1，a3=3，∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，∵a n=9=﹣1+（n﹣1）×2，解得n=6，故答案为6．【点评】本题考查学生掌握等差数列的通项公式，是一道综合题6．（3分）已知向量=（1，2），=（1+x，x），且⊥，则x的值为．【分析】由⊥，可得•=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（3分）已知=﹣，若实数λ满足=λ，则λ的值为﹣3．【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．【解答】解：∵=﹣，∴P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，∴=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，作出图形可快速找到答案．8．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320．【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=s×i，i=i﹣1，不满足则跳出循环输出s的值．【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1．判断12≥10成立，执行s=1×12=12，i=12﹣1=11；判断11≥10成立，执行s=12×11=132，i=11﹣1=10判断10≥10成立，执行s=132×10=1320，i=10﹣1=9；判断9≥10不成立，跳出循环，输出s的值为1320．故答案为：1320．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（3分）关于x的方程=0的解为x=2或x=3．【分析】将行列式展开，整理得=x2﹣5x+6，由x2﹣5x+6=0，即可求得x的值．【解答】解：=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6，∴x2﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=3．【点评】本题考查三阶矩阵的展开，考查一元二次方程的解，考查计算能力，属于基础题．10．（3分）若无穷等比数列{a n}的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）∪（3，6）．【分析】依题意知|q|＜1且q≠0，由S n==3⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴S n==3，可得q=1﹣∈（﹣1，1），即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．故答案为：（0，3）∪（3，6）．【点评】本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则•的取值范围是[0，1] ．【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值；当点M位于边BC时，•取得最大值．即可得出．【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时，•取得最小值0；当点M位于边BC时，•取得最大值：1．∴•的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、分类讨论方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12．（3分）定义=（n∈N*）为向量=（x n，y n）到向量=（x n+1，y n+1）的一个矩阵变换，设向量=（cosα，sinα），O为坐标原点，则||=（）n﹣1．【分析】由题意可知，分别求得||，代入求得=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），及||，进而求得，，，及||，||，||，即可求得||=（）n﹣1．【解答】解：由=，∴，当n=1，=（cosα，sinα），||=cos2α+sin2α=1=（）0，∴，=（cosx﹣sinx，cosx+sinx），||===（），=2（﹣sinx，cosx），||==2=（）2，=2（﹣sinx﹣cosx，sinx﹣cosx），||=2=2=（）3，=4（﹣sinx，﹣cosx），||=4=4=（）4，…∴||=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．【点评】本题考查矩阵的坐标变换，考查数列的递推公式，同角三角函数基本关系，向量模长公式，考查推理运算能力，属于中档题．二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13．（3分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+a D．1【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：A．【点评】本题考查了数学归纳法中的归纳奠基步骤，本题较简单，容易解决．不要把n=1与只取一项混同．14．（3分）下列命题正确的是（）A．若（a n•b n）=a≠0，则a n≠0且b n≠0B．若（a n•b n）=0，则a n=0且b n=0C．若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，则=a1+a2+…+ anD．若无穷数列{a n}有极限，则a n=a n+1【分析】对于A，可举a n=n，b n=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举a n=n，b n=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举a n=（）n﹣1，S n=，求出极限即可判断；对于D，可举a n=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断．【解答】解：对于A，若（a n•b n）=a≠0，可举a n=n，b n=，即有a n不存在，=0，故A错；对于B，若（a n•b n）=0，可举a n=n，b n=，则a n不存在，b n=0，故B错；对于C，若无穷数列{a n}有极限，且它的前n项和为S n，可举a n=（）n﹣1，S n=，即有a n=0，S n=2，显然=a1+a2+…+a n不成立，故C 错；}有极限，可举a n=，=0，显然=0，故D对于D，若无穷数列{a正确．故选：D．【点评】本题考查数列极限的运算性质的运用，考查命题正确与否的判断方法：列举法，考查推理能力，属于基础题和易错题．15．（3分）如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A．+=+B．+=+C．+=+D．+=+【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证．【解答】解：∵=，，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的加减法及其几何意义，属于基础题．16．（3分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）①S7是所有S n（n∈N*）中的最大值；②a7是所有a n（n∈N*）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵a7＞0，a8＜0，∴S7最大，故①正确；∵d＜0，∴a1最大，故②错误；由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0∴a8﹣a7=d＜0，故③正确；S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．三、解答题17．（8分）已知，x，y的方程组．（1）求D，D x，D y；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；（3）由当≠0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解．【解答】解：（1）=，D=m﹣4，D x=﹣2，D y=m﹣2 （3分）（2）由A=，当丨A丨=0，即=m﹣4=0，解得：m=4，∴当m=4，方程组无解（5分）（3）当≠0，解得：m≠4，方程组有唯一解，由，①﹣4×②解得：y=，代入求得x=，∴方程的解集为：．【点评】本题考查方程组解得存在性，考查方程组的解与丨A丨的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于基础题．18．（8分）已知等比数列{a n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S n，且T n=，求T n的值．【分析】对q讨论，分q=1，0＜q＜1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）当；（2）当，由．综上得．【点评】本题考查数列的极限的求法，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．19．（10分）已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．（1）若∥，求的坐标；（2）当•取最小值时，求cos∠APB的值．【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点．可设=（2x，x）．利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出．（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出．【解答】解：（1）∵点P是直线OC上的一个动点．∴可设=（2x，x），==（1﹣2x，7﹣x），=﹣=（5﹣2x，1﹣x），∵∥，∴（1﹣2x）（1﹣x）﹣（7﹣x）（5﹣2x）=0，解得x=．∴=．（2），∴k=2时，•取的最小值﹣8，此时，∴．【点评】本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，、数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知无穷等数列{a n}中，首项a1=1000，公比q=，数列{b n}满足b n=（lga1+lga2+…+lga n）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和的最大值．【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得a n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a n=1000×=104﹣n，=，∴lga n=4﹣n，∴．（2）设数列{b n}的前n项之和为T n，则=﹣+，当n=6，7时，T n取得最大值．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=pS n+q（n∈N*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥，n∈N*}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由题意列关于p，q的方程组，求解方程组得p，q的值；=pS n+q，取n=n﹣1得另一递推式，作差（2）把（1）中求得的p，q值代入S n+1后可得数列{a n}是等比数列，进一步得到通项公式；（3）求出数列{a n}的前n项和，代入λ≥，构造函数，利用作差法判断函数单调性，由单调性求得实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得，即，解得；（2）由（1）知，，①当n≥2时，，②①﹣②，得（n≥2），又，∴数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．∴{a n}的通项公式为（n∈N*）；（3）由，得，得，令，∵，∴f（n）为递增数列，且，∴f（3）≤λ＜f（4）即可，即．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．。
上海市闵行区2015-2016学年高二下学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b 的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6,则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线(t为参数)与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4,则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足｜z｜=3,则｜z+4|+|z﹣4｜的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y)|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2,y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1;③y2=2x；④｜x｜﹣｜y｜=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1｜+｜y﹣2｜)=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α"的一个( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（)A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是( ）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R,则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C,z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1,则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动,二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点,则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：(1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；(2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点,O为坐标原点，求:（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2)若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i,β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β｜＜2｜｜,求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根,求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．(1）求证：CD⊥PD;（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）;(3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β,求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1)求轨迹C的方程;（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y ﹣0.5）2=r2(r＞0)上运动，且总有｜MN｜≥0。
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2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C （1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i ﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴2016年7月7日11 / 11。