概统48学时10级试题

10级概率统计B （48学时）试卷(2012,1,9) 一 填空题（4分×10题）
1某市有50%的住户订阅日报，65%的住户订阅晚报，85%的住户至少订阅这两种报纸中的一种，则同时订阅这两种报纸的住户所占的百分比为30% 。

2一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随机抽取一件，发现不是三等品，则取到一等品的概率为
.3
2 3设随机变量X ～).2(E c 是X 的可能取值，则==}{c X P 0 。

4。

设随机变量X ～),,2(p B 则=)(2
X
E ).1(2p p +
5设随机变量X 与Y 独立同分布，且.2
1
}1{}1{===-=X P X
P 则
=-)(Y X D 2.
6设随机变量X 与Y 的联合密度为⎩
⎨⎧<<=其它。

,0,
1,0,1),(y x y x f 则X ～
).1,0(U
7设4321,,,X X X X 是取自正态总体)1,0(N 的样本，则
24
2
3
21X
X X X ++～
).2(t
8 F 分布的分位数
),(21n n F α与),(121n n F α-之间的关系是
.)
,(1
),(12121n n F n n F αα-=
9设事件A 发生的概率是,p n p
ˆ是n 次重复独立试验中A 发生的频率，若用
n p
ˆ作为p 的估计，则n p ˆ是p 的一致，有效（或无偏）估计，（均对）。

10 设n x x x ,,,21 是取自正态总体),(2
σ
μN 的样本值，x 与2s 分别是样
本均值与样本方差，其中2
,σμ均未知，若置信水平为α-1，则μ的置信区间为).1(2
-±
n t n s
x α
二 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤≤-+-≤=.,
1,,arcsin 2
1,,
0)(a x a x a a x A a x x F
求（1）常数A ，（2）);2
(a
X
P <（3）密度函数).(x f 。

解：法1 1）
)()(lim a F x F a
x =+→得.1
π
=
A
2）.3
1)2()2()2(=--=<a F a F a X
P 3）⎪⎩
⎪⎨⎧
<<--='=其它。

,0,,1)()(22a x a x a x F x f π
法2 1）⎪⎩
⎪⎨⎧
<<--='=其它。

,0,,)()(22a x a x a A x F x f ，因为1)(=⎰+∞∞
-dx x f ，
所以.1
π
=
A
2）31
)(}22{)2(22
==<<-=<⎰-dx x f a X a P a X P a
a
3）⎪⎩
⎪⎨⎧
<<--=其它。

,0,,1)(22a x a x a x f π
三 在电源电压不超过200,V 200—240,V ，超过240V 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为,1.0,
001.0;2.0假设电压X ～),25,220(2N
试求电子元件损坏的概率（).7881
.0)8.0(≈Φ 解：用321,,A A A 分别表,200≤X
,240200≤<X ,240>X 则有
}25
220
20025220{
}200{)(1-≤-=≤=X P X P A P
.212.0)8.0(1)8.0(≈-=-=ΦΦ }25
220
2402522025220200{
}240200{)(2-≤-<-=≤<=X P X P A P .576.0)8.0()8.0(≈--=ΦΦ
.212.0576.0212.01)()(1)(213=--≈--=A P A P A P
用B 表示元件损坏，则
)
()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=.0642.0≈
四 设10只同种元件中有2只次品，从中任取一只，若是次品，则扔掉重取一只。

若仍是次品，则扔掉再取一只。

试求在取到正品前，取出的次品数X 的分布律及方差).(X D
解：X 的可能取值为0，1，2.用i A 表示第i 次取到正品，则有
.5
4
)()0(1===A P X P
.45
8)()()()1(12121=
===A A P A P A A P X P .45
1)()()()()3(213121321====A A A P A A P A P A A A P X P .92
45124581540)(=⋅+⋅+⋅=X E
.4512
45124581540)(2222=⋅+⋅+⋅=X E
405
88
)()()(2
2
=-=X E X E X D
求X 与Y 的联合分布律及)},{min(Y X E 。

解：由
.1=∑∑i
j
ij P 得1101311=+
P ，故.10
311=P
X Y 由表一可得如下表二
.10
11011103010301030)},{min(=⋅+⋅+⋅+⋅
=Y X E
六设随机变量X 与Y 的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧<+=其
它。

,0,
1,1),(2
2y x y x f π
试判定X 与Y 是否独立。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<-=
=⎰---其它。

,0,1,12
1)(21122x x dy x f x x X π
π ⎪⎩
⎪⎨⎧<-==⎰---其它。

,0,1,12
1)(21122
y y dx y f y y Y π
π
由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立
七 设n X X X ,,,21 是取自总体)(λP 的样本，试证明：样本方差2
S 是未知参数λ的无偏估计量。

证明：因为)(λP 的期望为λ，方差也为λ，所以：
)}(11{})(11{)(21
22
12
X n X n E X X n E S E n i i
n i i --=--=∑∑== })()({1121
2X nE X E n n
i i --=∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-=∑=)()(])()([11212X nE X nD X E X D n n i i i .1][11212λλλλλ=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-⋅-+-=∑=n n n n n i 八
设
总
体
X
的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-=其它。

,0,,1
),,(211221θθθθθθx x f n x x x ,,,21 是样本值，试求未知
参数21,θθ的最大似然估计。

解：因为
,21θθ≤≤i x n
i ,,2,1 =。

故似然函数
.)
(1
),(1221n
L θθθθ-=
由于),(21θθL 关于1θ单增，关于2θ单简，故),(21θθL 在1θ取}{min 1i n
i x ≤≤，2θ取}{max 1i n
i x ≤≤时最大，即21,θθ的最大似然估计为}{min ˆ11
i n
i x ≤≤=θ，}{max ˆ12i
n
i x ≤≤=θ。