三阶循环数列的通项公式
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列的通项公式求法 (2)
数列的通项公式求法一、累加法：一阶递推数列，系数相等1.（全国高考）已知数列{}n a 满足a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2) ; 求a n .2.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n =a n-1+)2(,)1(1≥-n n n , 求a n3.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n+1=a n +lg )11(n+求a n4.已知数列{}n a 满足a 1=1, nnn na a a +=+11, 求a n二．累乘法： 形如)(1n f a a n n=+ 1.数列{}n a 中，0)1(,0,121211=-⋅++>=++n n n n n na a a a n a a 且求数列的通项公式a n2.已知数列{}n a 中，a 1=1,n n n a nn a a 求,21+=+3.已知数列{}n a 满足n n n a a n S a 求,,2121⋅==三．构造等比数列：一阶递推数列，系数不相等1.已知数列{}n a 满足a 1=2，231+=+n n a a , 求a n2.已知数列{}n a 满足a 1=1, 1211+-=+n n a a ,求a n3,设二次方程36260112=+-=+-+βαβαβα满足，有两根x a x a n n 试用1+n n a a 表示 (2) 当{}的通项公式。
时，求n a a 671=四、公式法：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n1.已知数列{}n a 满足前n 项和S n =n 2+1,数列{}12+=n n a b ,且前n 项和为T n ,设n n n T T c -=+12.(1)求{}n a 和{}n b 的通顶公式； （2）判断{}n c 的单调性。
2.已知数列{},6921n S n a n n n -=⋅-项和的前则数列{}n a 的通项公式为______________3.（全国高考）已知数列{}n a 满足：n n S a a 31,111==+ (1)求a n ; (2) 求n a a a 242+++4.已知数列{}n a 满足 a n >0,其前n 项和为S n ,2111322,32++=+=n n n a S S a 且满足 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) .49111122242322<++++≥n a a a a n 时，求证：当5.设 数列{}n a 其前n 项和为S n , 且01,)1(，其中-≠-+=λλλn n a S （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设 数列{}n a 的公比为q=f(λ),数列 {}n b 满足)2,)((,2111≥∈==*-n N n b f b b n n , 求{}n b 的通项公式； （3)记{}.),11(1n n nn n T n C b a C 项和的前求数列，-==λ6.已知数列{}n a 满足,25212121221n a a a n n +=+++ 求{}n a 和前n 项和S n.7.（山东高考）数列{}n a 满足)(,333313221*-∈=++++N n na a a a n n (1)求a n ; (2)设{}n nn b a nb 求数列,=的前n 项和S n .五、.构造等差数列、等比数列 1. 数列{}n a 满足：a 1=1,221+=+n nn a a a , 求 a n_2数列 {}n a 中，)2(,2,111≥⋅==-n S S a a n n n , 求a n ;3、数列 {}n a 中，a 1=1,当)21(22-=≥n n n S a S n 时，有(1)求S n 的表达式； (2)设12+=n S b nn , 求数列{}n b 的前n 项和T n .4.已知)0(,3,2)(,≥x x f x 等差数列，又数列 {}n a 中a n >0,a 1=3,前n 项和S n 对的正整数都有1≥∀n )(S 1-=n n S f(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设{}n n n nn n T n b T a a b 项和，求的前为的等比中项，且是1,11+.5、 数列 {}n a 中，a n >0,前n 项和为,,21n nn n S a a S =+且 求a n6、正数数列{}n a 的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有12+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 设11+⋅=n n n a a b ,求{}n b 的前n 项和T n .7、正数数列{}n a 中，前n 项和S n 满足2)2(81+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 若{}项和。
三阶递归序列的性质及其应用
单位代码 01学号 **********分类号 024密级毕业论文三阶递归序列的性质及其应用院(系)名称信息工程学院专业名称信息与计算科学学生姓名**指导教师***2015 年 5 月15 日三阶递归序列的性质及其应用摘要斐波那契序列是一种经典的递推关系序列，由于后来的研究发现使得斐波那契序列有越来越多的性质被人们所发现，越来越多的应用被人们所使用，因而引起了国际上好奇数学家们的极大关注．上个世纪有一本专门研究它的杂志——《Fibonacci Quarterly (斐波那契季刊)》于1963年开始发行，并且在美国还专门设立了斐波那契数委员会，研究和处理有关问题．如今所发现的许多生物和生活现象也都与斐波那契数密切相关，同时其推广和应用几乎渗透到数学的各个分支，并且在物理、生物等自然科学中起着重要作用．后来科学家和研究者们又将二阶的斐波那契序列进行推广，得到了广义的三阶递归序列和三阶斐波那契序列．其中三阶斐波那契序列形式多样，而把三阶斐波那契序列与矩阵法联系起来，一直受到人们的青睐．本文便利用三阶线性递归序列的系数矩阵的若当标准形推出了三阶斐波那契序列的通项表达式以及前n 项和计算公式的性质，并得到了一些与斐波那契数列相似的性质，本文同时也涉及了三阶斐波那契数列的运用问题．关键词：递归序列，三阶斐波那契序列，若当标准型，矩阵法Third-order Recursion Sequence’s Properties and its ApplicationsAuthor: Zou KeTutor: Tang FengjunAbstractThe Fibonacci sequence is a kind of classic sequence of recursive relations. Due to later studies had found that the Fibonacci sequence had more and more natures to be found, and that had more and more applies to be used by people, thus it had caused the mathematicians being curious in the world. In the last century the specializes of a magazine——《Fibonacci Quarterly》was launched in 1963.In the United States it also set up a special committee of Fibonacci number to study and deal with related issues. Now in many biological and life phenomenon are closely related to the Fibonacci Numbers. At the same time its popularization and application of pervades virtually were a branch of mathematics, and in the natural sciences such as physic, biology also played an important role.Later scientists and researchers had popularized the second order of the Fibonacci sequence, so that had obtained the generalized third-order recursion sequence and the third-order Fibonacci sequence. The three-order of the Fibonacci sequence had varied forms. As we all known, the third-order the Fibonacci sequence was linked with matrix method, also had been under the favor of people. In this paper, by using the third-order of the coefficient matrix of the linear recursion sequence when standard form being launched the third order item expressions of the Fibonacci sequence and the nature of the calculation formula of the first n items. People also got some properties which were similar to the Fibonacci sequence. This paper also involves the use of the three-order about the Fibonacci sequence problems. Keywords: Recursion sequence, the third order of the Fibonacci sequence, Jordan Standard, Matrix method目录1 绪论 (1)1.1 斐波那契序列简介 (1)1.2 矩阵方法的背景简介 (2)2 几种初级递推序列的介绍 (3)2.1 二阶斐波那契序列 (3)2.2 卢卡斯序列 (3)3 三阶线性递归序列 (5)3.1 三阶线性递归序列的定义 (5)3.2 三阶线性递归序列特征值与通项表达式 (5)3.2.1 若序列特征根两两不同 (5)3.2.2 若序列特征根两个相等 (6)3.2.3 若序列特征根全相等 (7)4 三阶线性递推序列通项及前n项和计算公式 (10)4.1 三阶线性递推序列通项及前n项和 (10)4.2 一类特殊的3 阶线性递推序列 (12)5 三阶斐波那契数列 (15)5.1 三阶斐波那契数列和矩阵的定义 (15)5.2 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法及Cassini公式 (16)5.2.1 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法 (16)5.2.2 三阶斐波那契数列的通项公式的Cassini公式 (16)5.3 三阶斐波那契数列通项表示的行列式形式 (17)5.4 r阶斐波那契数列及性质 (18)6 三阶线性递归序列的应用 (19)7 结论 (21)致谢 .......................................................................................................... 错误!未定义书签。
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
数列三阶递推公式求法
对于一个三阶数列，其一般形式为$a_n = b_1 a_{n-1} + b_2 a_{n-2} + b_3 a_{n-3} + c$，其中$b_1, b_2, b_3$ 和$c$ 是常数，$a_n$ 表示数列的第$n$ 项。
求解这样的数列的递推公式可以采用以下步骤：
假设数列的递推公式为$a_n = r^n$，其中$r$ 是待求的常数。
将递推公式代入原始数列的通项公式，得到$r^n = b_1 r^{n-1} + b_2 r^{n-2} + b_3 r^{n-3} + c$。
移项并整理得到$r^3 - b_1 r^2 - b_2 r - b_3 = 0$，这就是数列的特征方程。
求解特征方程得到其三个根$r_1, r_2, r_3$。
利用初始条件求解数列的系数，通常需要给出数列的前三项$a_1, a_2, a_3$。
将数列的通项公式表示为$a_n = A r_1^n + B r_2^n + C r_3^n$，其中$A, B, C$ 是待求的常数。
利用初始条件求解常数$A, B, C$。
得到数列的递推公式为$a_n = A r_1^n + B r_2^n + C r_3^n$。
需要注意的是，当特征方程的三个根都是实数时，数列的通项公式中会出现指数函数；当特征方程的根有一对共轭复数时，数列的通项公式中会出现正弦函数和余弦函数。
三类数列通项公式问题的解法
解题宝典数列通项公式问题的命题形式有很多种,这一问题的综合性较强.当遇到一些陌生的、复杂的递推式时,很多同学常常会束手无策.为解决这一问题，帮助同学们提高解题的效率，笔者对下列三类数列通项公式问题及其解法进行了总结.一、a n +1=pa n +q 型问题对于形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)的数列通项公式问题，一般地，可将其转化为a n +1+λ=p (a n +λ)的形式，构造出等比数列{}a n +λ，然后通过对比系数建立关系式，求得λ=qp -1,便可根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例1.若数列{}a n 的前n 项和为S n ,且S n =n -5a n-85,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：由S n =n -5a n -85,n ∈N *,①可得a 1=S 1=1-5a 1-85，即a 1=-14.而S n +1=()n +1-5a n +1-85,②将②-①可得a n +1=1-5()a n +1-a n ，设a n +1+x =56()a n -x ,则x =-1,即a n +1-1=56()a n -1,n ∈N *，所以{}a n -1是首项为a n -1=-15、公比为56的等比数列，则其通项公式为a n -1=-15×æèöø56n -1，则a n =-15×æèöø56n -1+1.我们首先由数列的通项公式与前n 项的和公式之间的关系：a n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,求得a n 的表达式.而该表达式形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)，于是引入参数x ，构造出等比数列{}a n -1，根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.二、a n =pa n -1+f ()n 型问题当遇到a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题时，通常可根据题意寻找关于n 的函数g (n ),以此为切入点构造新的递推关系式：a n +g ()n =p [a n -1+g (n -1)],如此便可得到一个等比数列{}a n +g ()n ，继而根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=2a n -n 2+3n ,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：若{}a n +λn 2+μn 为等比数列，则存在q ≠0，使得a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，将a n +1=2a n -n 2+3n ，代入a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 中，可得()q -2a n +()λq -λ+1n 2+()μq -2λ-μ-3n -λ-μ，而a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，所以ìíîïïïïq -2=0,λq -λ+1=0,μq -2λ-μ-3=0,-λ-μ=0,解得ìíîïïq =2,λ=-1,μ=1.即当λ=-1，μ=1时，数列{}a n +λn 2+μn 是公比为2的等比数列，其通项公式为a n =2n -1+n 2-n .a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题较为复杂.在解题时，我们需以关于n 的函数g (n )为切入点，构造出新等比数列，从而使问题获解.三、a n +1=pa n +q ∙r n 型问题对于形如a n +1=pa n +q ∙r n型的数列通项公式问题，我们一般可采用如下两种思路来求解.一是在递推式的两边同时除以r n ，二是在递推式两边同时乘以λ∙r n +1.然后将所得的关系式进行整理，将问题转化为求a n +1=pa n +q 型的数列通项公式问题进行求解.例3.已知a 0为常数，且a n =3n -1-2a n -1,n ∈N *.证明对于任意n ≥1,都有a n =15[]3n+(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2na 0.证明：∵a n =3n -1-2a n -1()n ∈N *，∴a n 3n =13-23∙a n -13n -1设b n =a n3n ,∴b n =-23∙a n -13n-1+13，∴b n -15=-23æèöøb n -1-15，∴{}b n -15是以b 1-15=23æèöø15-a 0为首项，-23为公比的等比数列，∴b n -15=æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n，∴a n 3n =b n =æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n+15，∴a n =15[]3n +(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2n a 0.这里在递推式的两边同时除以3n ，通过代换，将问题转化为a n +1=pa n +q 型问题，构造出等比数列，然后根据等比数列的通项公式来求得结果，证明结论.虽然数列通项公式问题具有一定的难度，但是我们只要学会将一些陌生的、非常规的数列问题转化为熟悉的、常规的数列问题，就可以将复杂的问题简单化，从而提高解答数列通项公式问题的效率.(作者单位:重庆市开州区陈家中学)熊启英43。