求数列通项公式累乘和累加法
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）
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专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法
学习目标
1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；
2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；
3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。
________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。
例：已知数},{n a 其中,,
111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。
变题1：把①式改为;11+=+n n a a
变题2：把①式改为;21
n n n a a +=+
小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？
变题3：把①式改为;11n n a n
n
a +=
+
变题4：把①式改为;21
n n a a =+
小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？
挑战高考题：
1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n
n a a a 2,211==+，
)*∈N n （。
（1）求n a
2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n
a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++
你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？
通过本节课的学习你收获了什么？。
求数列通项公式方法归纳(十种方法)
求数列通项公式方法归纳(十种方法)求数列通项公式方法归纳一、公式法【例1】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
，则，故数列{是2222222aan323以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，2222231所以数列{an}的通项公式为。
22解：两边除以，得an二、累加法【例2】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
解：由得则212所以数列{an}的通项公式为。
【例3】在数列{an}中，，求通项公式an.解：原递推式可化为：1111n2,13 1n1314，……，1逐项相加得：1n. 故1n【例4】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
解：由得则所以【例5】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
解：两边除以，得则an3n2313，an3n13，故an3nan323 nn1313 na23 2a13a13313 233313 23311 因此an3 n23nn2n312n，则12.【例6】在数列中，且，求通项an.2【小练】：已知{an}满足1求{an}的通项公式。
*，已知{an}的首项，n（）求通项公式。
an已知{an}中，，，求。
2三、累乘法类型型【例7】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
解：因为，，所以，则ana3a2a2a1，故n212所以数列{an}的通项公式为2【例8】已知数列{an}满足，，求{an}的通项公式。
解：因为所以用②式－①式得则①②故所以ana3a2n!2a2.③由，取得，则，又知，则，代入③得n!2。
3所以，{an}的通项公式为n!2.【例9】在数列中，，，求通项an.解：由条件等式an得，a2a111，得1n.练习：1、已知：13，{a}（）求数列n的通项。
2、已知{an}中，an且求数列通项公式。
四、待定系数法型n【例10】已知数列{an}满足，，求数列的通项公式。
n解：设④将代入④式，得，等式两边消去2an，得代入④式得，两边除以5，得则⑤nnn由及⑤式得，则11nn，则数列{an是以n为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
数列通项公式的求法时累加法累乘法
和a1求出{sn
nan}的通项公式，
然后利用由 sn求an , 最后用累乘法求得）
谢谢大家！
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1、已知数列{an}满足a1
1.an
an-1
n -1 (n n 1
2)求其通项公式。
2、已知数列{an}满足a1
1, an1
2an an 2
, 求其通项公式。
3、已知数列{an}满足a1 1, an an-1 2（n n 2）, 求其通项公式。
4、设数列{an}的前n项和为sn,a1 1｛, sn nan}为常数列， 求其通项公式。
a3 2
an 1
a2
3
a1 n
a4 3
a3
4
an 1
...
1n
an n -1 注意：有n-1个式子
a n -1
n
1 an n
二、累乘法
3、注意事项：
适用题型：已知a1且
an an-1
f (n)(n
2)
或者会写成： an an-1 f (n)
将n=2,3,4...n代入给出得式子列出各式
数列通项公式的求法 第2课时
累加法，累乘法，倒数法
主讲人:张佩
本节课主要内容
一、了解什么题型使用累加法及累加法的具体使用步骤 二、了解什么题型使用累乘法及累乘法的具体使用步骤 三、了解什么题型使用倒数法及倒数法的具体使用步骤 四、总结并区分（灵丹妙药） 五、过关斩将
一、累加法
1、累加法适用题型：已知a1且an - an-1 f (n)(n 2) 2、例题: 已知数列{an}满足an - an-1 3n - （ 2 n 2), a1 1, 求其通项公式。
将各式相乘时要注意哪些项约掉了
求数列通项公式常用的八种方法
求数列通项公式常用八种方法一、 公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步）三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步）四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:------＋常数P㈡、取倒数法：这种方法适用于11c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --==∴123n n a -=七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。
求数列通项公式累乘和累加法
求数列通项公式累乘和累加法数列是指一列按照一定规律排列的数。
数列通项公式是指数列中每一项与该项所在的位置之间的关系式。
数列通项公式有很多种求法，其中比较常用的有累乘法和累加法。
下面将以两种方法分别介绍数列通项公式的求解过程。
一、累乘法：累乘法是指通过乘法运算，逐步求出数列的每一项。
以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。
2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的乘法关系。
3.根据乘法关系推导数列的通项公式。
示例1：已知数列的前三项分别为1、2、4，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：2=1*2，4=2*2、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*2、再通过f(1)=1确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)*2=2f(3)=f(2)*2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2^(n-1)。
示例2：已知数列的前三项分别为2、6、24，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：6=2*3，24=6*4、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*n。
再通过f(1)=2确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=2f(2)=f(1)*2=4f(3)=f(2)*3=12通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2*3*4*...*n。
二、累加法：累加法是指通过加法运算，逐步求出数列的每一项。
以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。
2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的加法关系。
3.根据加法关系推导数列的通项公式。
示例1：已知数列的前三项分别为1、3、6，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到加法关系：3=1+2，6=3+3、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)+n-1、再通过f(1)=1确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)+1=2f(3)=f(2)+2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2示例2：已知数列的前三项分别为2、5、9，求数列的通项公式。
累加法与累乘法
求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2112221n n a a n --=++++-【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1n f a a n n =-+或例2：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：【变式训练】：变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式.变式2、在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
变式3、已知数列{}n a 满足1=a变式4、在数列{}n a 中，1=a变式5、已知数列{}n a 满足1321+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。
累 乘 法1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n nna n a +=+所以n n a a nn 11+=+ 则11-=-n na a n n (1) . （2） . . . .1212=a a (n-1)将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得,1n a a n=（n 》2） 所以na n 2= （n 》2）当n=1时满足上式，所以na n 2=总结：满足n1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式3：已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。
数列通项公式之累加法与累乘法
数列通项公式之累加法与累乘法数列是数学中常见的一种数的排列形式，其中通项公式是指能够表示该数列中任意一项的数学公式。
有时候，我们需要计算数列的累加和或累乘积，这时候累加法和累乘法是非常有用的工具。
一、累加法：累加法是指计算数列项的和的方法。
我们可以使用累加法来计算一个数列的累加和。
具体的步骤如下：1.确定数列的通项公式。
数列的通项公式用来表示数列中任意一项的公式。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，其通项公式为an = 1 + 3(n-1)，其中n为项数。
2.确定累加的上限。
累加的上限是指要计算数列的前多少项的和。
通常我们用n来表示累加的上限值。
3.将通项公式中的n替换成累加的上限。
通过将通项公式中的n替换成累加的上限值，我们可以得到每一项的具体数值。
4.将每一项相加得到累加和。
将每一项的具体数值相加，即可得到数列的累加和。
举例说明：1. 确定通项公式：an = 1 + 3(n-1)2.确定累加的上限：n=103.将通项公式中的n替换成累加的上限：a10=1+3(10-1)=284.将每一项相加得到累加和：1+4+7+10+13+...+25+28=190因此，等差数列1，4，7，10，13，...的前10项的和为190。
二、累乘法：累乘法是指计算数列项的积的方法。
我们可以使用累乘法来计算一个数列的累乘积。
具体的步骤如下：1.确定数列的通项公式。
与累加法类似，数列的通项公式用来表示数列中任意一项的公式。
2.确定累乘的上限。
累乘的上限是指要计算数列的前多少项的积。
通常我们用n来表示累乘的上限值。
3.将通项公式中的n替换成累乘的上限。
通过将通项公式中的n替换成累乘的上限值，我们可以得到每一项的具体数值。
4.将每一项相乘得到累乘积。
将每一项的具体数值相乘，即可得到数列的累乘积。
举例说明：1. 确定通项公式：an = 2^n2.确定累乘的上限：n=53.将通项公式中的n替换成累乘的上限：a5=2^5=32总结：累加法和累乘法是计算数列累加和和累乘积的常用方法。
累加累乘法求通项
=
2
.
(+1)
11.设数列{an }是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n∈N*)，
1
则它的通项公式是 an＝________．
n
an＋1
n
解析 原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＋1＋an>0，∴
＝
.
an n＋1
9.已知数列{an}满足 a2=6,
解析∵a2=6,
+1-
由累乘法得 an=
+
-
=n(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
=n(n∈N*),∴a1=3
2
· ·…· ·a1=
-1
-1
-2
1
-1
2
-2
1
=
· ·…· ·a1=na1=3n(n≥2).
-1
又 a1=3 满足上式,∴an=3n(n∈N*).
an n－1
a2 1 a3 2 a4 3
a 1
则 ＝ ， ＝ ， ＝ ，…，
＝
(n≥2)，逐项相乘，得 n＝ ，又 a1＝1，
a1 2 a2 3 a3 4
a1 n
an－1
n
1
1
故 an＝ . a1＝1 也符合上式，故 an＝ .
n
n
12.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,首项 a1=1,且满足 3Sn =(n+2)an ,则
- =4n,所以当 n≥2 时,
+
1
-
1
-1
+…+
-2
1-4
数列累加_累乘
当d<0时，Sn有最大值；
最小值？
当d>0时,Sn有最小值.
23
四、一般数列求和法
①倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③拆项法求和， 如an=2n+3n ④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n
24
......
......
an1 an2 (n 2) 2n2
n1
an an1 (n 1) 2n1
累加得 an a1 1 2 2 22 ... (n 1) 2n1
错位相减法得到通项公式为an （n - 2） 2n 163
累加法
a4 a3 2 3
an1 an2 2 n 2
有n 1个等式
an an1 2 n 1
n 1个等式相加：an a1
2 2n 1
(n 1) 2
an n2 n 1
6
例2、已知数列{an}的首项a1=1，且 an1 2n
1 n(n 1)
，
求数列的通项公式。
解：由递推公式
a2
a1
1
1 2
an1 an
1 n(n 1)
1 1 n n1
得
11
a3 a2 2 3
......
......
11
n 1
an1 an2 n 2 n 1
11
an an1
累加得
n
an
an1 an2 2n2 2(n 2)
n1
求数列通项公式累乘和累加法
求数列通项公式累乘和累加法数列通项公式是指能够描述数列中每一项与其位置之间的关系的公式。
本文将介绍数列通项公式的两种求解方法：累乘法和累加法。
一、累乘法累乘法是指通过逐项将数列中的各项相乘来得到通项公式的求解方法。
这种方法常用于数列中每一项与前一项之间存在乘法关系的情况。
例如，考虑以下数列：1，2，4，8，16，32，64......我们可以观察到，这个数列中的每一项都是前一项的两倍。
因此，我们可以使用累乘法来求取通项公式。
首先，我们设数列的第n项为aₙ，第n-1项为aₙ₋₁。
根据数列的定义，我们有aₙ=2*aₙ₋₁。
然后，我们观察到数列的第一项是1，即a₁=1利用递推关系aₙ=2*aₙ₋₁和初始条件a₁=1，我们可以开始求解通项公式。
根据递推关系，我们可以得到a₂=2*a₁=2，a₃=2*a₂=4，以此类推。
我们可以得到一个结论：第n项的值是2的n-1次方，即aₙ=2^(n-1)。
通过累乘法，我们成功地求解了数列的通项公式。
二、累加法累加法是指通过逐项将数列中的各项相加来得到通项公式的求解方法。
这种方法常用于数列中每一项与前一项之间存在加法关系的情况。
例如，考虑以下数列：1，3，6，10，15，21，28......我们可以观察到，这个数列中的每一项都是前一项加上一个特定的常数。
因此，我们可以使用累加法来求取通项公式。
首先，我们设数列的第n项为aₙ，第n-1项为aₙ₋₁。
根据数列的定义，我们有aₙ=aₙ₋₁+n。
然后，我们观察到数列的第一项是1，即a₁=1利用递推关系aₙ=aₙ₋₁+n和初始条件a₁=1，我们可以开始求解通项公式。
根据递推关系，我们可以得到a₂=a₁+2=1+2=3，a₃=a₂+3=3+3=6，以此类推。
我们可以得到一个结论：第n项的值可以通过前n个自然数的累加来得到，即aₙ=1+2+3+⋯+n=n*(n+1)/2通过累加法，我们成功地求解了数列的通项公式。
综上所述，通过累乘法和累加法，我们可以求解数列的通项公式。
求一般数列通项公式的四种常用方法（基础篇）
求一般数列通项公式的四种常用方法（基础篇）
对于等差数列与等比数列，我们可以通过求出基本量：首项与公差（或公比），然后代入对应的通项公式，求出其通项公式.
而对于一般数列求通项公式，常用的方法有：an与Sn关系式法、累加法、累乘法与构造法.
一、an与Sn关系式法
an=Sn-Sn-1适用的条件是n≥2，利用此公式求得an后，一定要验证n=1时是否满足所求出的an，若不满足，则应用分段形式来表示.
二、累加法
累加法是根据递推公式，依次将n换为1，2，…，n-1，然后将n-1个式子相加.
其等价形式是an=(an-an-1) (an-1-an-2) …(a3-a2) (a2-a1) a1=f(n-1) f(n-2) … f(2) f(1) a1.
三、累乘法
累乘法是根据递推公式，依次将n换为1，2，…，n-1，然后将n-1个式子相乘.
四、构造法。