数列通项公式 累乘和累加法 学案
数列通项公式之累加法与累乘法
数列通项公式之累加法与累乘法数列是一种非常常见的数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列中每一个数被称为该数列的项，数列中相邻的两项之间的差或比被称为公差或公比。
数列通项公式即指的是能够表示数列中第n项与n的关系的公式。
在数列通项公式中，最常见的两种形式分别是累加法和累乘法。
1.累加法：累加法指的是通过将数列中每一项与前面所有项的和相加来求得数列的通项。
累加法适用于具备递推关系的数列，即每一项可以通过前面的项得到。
例如，我们考虑一个最简单的等差数列：1，2，3，4，5，...。
这个数列的通项可以通过累加法来求得。
观察数列的规律，我们可以发现第n 项为n。
因此，这个等差数列的通项公式就是An=n，其中n为项数。
再例如，我们考虑一个等差数列：4，7，10，13，16，...。
这个数列的通项也可以通过累加法来求得。
观察数列的规律，我们可以发现每一项与前一项的差都是3，即公差为3、因此，我们可以得到公式An=4+(n-1)*3，其中n为项数。
2.累乘法：累乘法指的是通过将数列中每一项与前面所有项的积相乘来求得数列的通项。
累乘法适用于具备递推关系的数列，即每一项可以通过前面的项得到。
例如，我们考虑一个最简单的等比数列：2，4，8，16，32，...。
这个数列的通项可以通过累乘法来求得。
观察数列的规律，我们可以发现第n项为2的幂次方，即An=2^n，其中n为项数。
再例如，我们考虑一个等比数列：1，-2，4，-8，16，...。
这个数列的通项也可以通过累乘法来求得。
观察数列的规律，我们可以发现每一项与前一项的比都是-2，即公比为-2、因此，我们可以得到公式An=(-2)^(n-1)，其中n为项数。
总结来说，数列通项公式之累加法和累乘法都是通过观察数列的规律，并通过对前面的数进行累加或累乘来得到通项公式。
这些公式的求得可以帮助我们更好地理解数列的性质，进而解决与数列有关的问题。
数列通项公式的求法——累加累乘
数列通项公式的求法之累加累乘概述：一般地，数列的通项公式需要根据递推关系确定，将递推关系式变形转化为等差数列或等比数列，但有时数列的递推关系还需要进一步探索出来。
1、递推公式满足：a n d = an g n型或a n j f (n) ( n_2)型思路：利用累加法，将a n-a n」=g( n-1)，a n」. - a n/=g( n-2)，，a2-a!=g(1)，各式相加，正负抵消，得a.，即a n - a i ' (a2 一印)(a3 - a2)…(a n - a n」)；n n用求和符号可以表示为：an=a^v (a -@_1)= ai八f(i)(n—2)0i =2 i=2例1:在数列ta n冲，a1= 0且a n彳=a n■ 2n -1，求数列、a n匚的通项公式。
■ 1例2:在数列”Gn :中，a1 = 3，a n d= a n - ，求数列：aj的通项公式n(n +1)例3:已知数列①:满足a n^a n 2 3n1，a^3，求数列①？的通项公式。
补充练习：1、已知数列ta n｝满足a1=1, a n Hr = a n+ n ( n亡N+)，则数列ia n｝的通项公式为 ____________ 02、已知数列◎ ｝满足內=1, a n+ = an+3n)(n ^N+),则数列l a j的通项公式为 _________ 03、已知数列£n ｝满足印=丄，a^=an+ —1 -------------------------- ( n EN+)，则数列^a j的通2 n2+3n + 2项公式为an 二 ________________________________________________________ 。
4、已知数列「aj 满足a n ^a n 8(工卫 2 , a —8，贝擞列 玄沖勺通项公式(2n +1)2(2 n+3)29 为 a n = _______________________________________________________________ 。
高中数学必修5《累加法的应用》教学设计
数列通项公式的求法之累加法与累乘法【教学目标】一、 知识目标通过学习让学生掌握和理解累加法和累乘法求数列通项公式的技巧。
二、能力目标在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入累加法和累乘法求数列通项公式，培养学生类比思维能力。
通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。
三、 情感目标通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊，体现“归纳—推理”的思想方法。
【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握累加法和累乘法求通项公式的求法，并能解决实际问题。
【教学难点】：【课前准备】:1．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)或a n ＝f (a n －1，a n －2)，那么这个式子叫做数列{a n }的 ．【思考探究】已知数列{}n a 满足11=a ，21+=+n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。
【小组合作】变式1：如果上题改成n a a n n +=+1呢？变式2：如果继续改成n n n a a 21+=+呢？变式3：你可以解决121++=+n a a n n 吗？【考点自测】已知数列{}n a 满足11=a ，12331++=+n n n a a ,求数列{}n a 的通项公式。
【方法与技巧总结】【累加法】（型如)(1n f a a n n +=+的递推关系）简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得【探索迁移】已知数列{n a }中，1a =23，11n n n a a n +=+，确定数列{n a }的通项公式。
求数列通项公式的方法(教案例题习题)
求数列的通项公式的方法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练一练：已知数列 ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；②数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a ；3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
数列通项公式的求法时累加法累乘法
和a1求出{sn
nan}的通项公式，
然后利用由 sn求an , 最后用累乘法求得）
谢谢大家！
有问题随时欢迎大家提问
1、已知数列{an}满足a1
1.an
an-1
n -1 (n n 1
2)求其通项公式。
2、已知数列{an}满足a1
1, an1
2an an 2
, 求其通项公式。
3、已知数列{an}满足a1 1, an an-1 2（n n 2）, 求其通项公式。
4、设数列{an}的前n项和为sn,a1 1｛, sn nan}为常数列， 求其通项公式。
a3 2
an 1
a2
3
a1 n
a4 3
a3
4
an 1
...
1n
an n -1 注意：有n-1个式子
a n -1
n
1 an n
二、累乘法
3、注意事项：
适用题型：已知a1且
an an-1
f (n)(n
2)
或者会写成： an an-1 f (n)
将n=2,3,4...n代入给出得式子列出各式
数列通项公式的求法 第2课时
累加法，累乘法，倒数法
主讲人:张佩
本节课主要内容
一、了解什么题型使用累加法及累加法的具体使用步骤 二、了解什么题型使用累乘法及累乘法的具体使用步骤 三、了解什么题型使用倒数法及倒数法的具体使用步骤 四、总结并区分（灵丹妙药） 五、过关斩将
一、累加法
1、累加法适用题型：已知a1且an - an-1 f (n)(n 2) 2、例题: 已知数列{an}满足an - an-1 3n - （ 2 n 2), a1 1, 求其通项公式。
将各式相乘时要注意哪些项约掉了
高中数学 第二章 数列 数列求通项、求和 求数列通项公式累乘和累加法学案(无答案)新人教A版必修5
专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。
________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。
例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。
变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。
（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。
求数列通项公式累乘和累加法
求数列通项公式累乘和累加法数列是指一列按照一定规律排列的数。
数列通项公式是指数列中每一项与该项所在的位置之间的关系式。
数列通项公式有很多种求法，其中比较常用的有累乘法和累加法。
下面将以两种方法分别介绍数列通项公式的求解过程。
一、累乘法：累乘法是指通过乘法运算，逐步求出数列的每一项。
以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。
2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的乘法关系。
3.根据乘法关系推导数列的通项公式。
示例1：已知数列的前三项分别为1、2、4，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：2=1*2，4=2*2、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*2、再通过f(1)=1确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)*2=2f(3)=f(2)*2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2^(n-1)。
示例2：已知数列的前三项分别为2、6、24，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：6=2*3，24=6*4、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*n。
再通过f(1)=2确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=2f(2)=f(1)*2=4f(3)=f(2)*3=12通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2*3*4*...*n。
二、累加法：累加法是指通过加法运算，逐步求出数列的每一项。
以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。
2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的加法关系。
3.根据加法关系推导数列的通项公式。
示例1：已知数列的前三项分别为1、3、6，求数列的通项公式。
解：根据数列的前三项，可以得到加法关系：3=1+2，6=3+3、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)+n-1、再通过f(1)=1确定通项公式。
根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)+1=2f(3)=f(2)+2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2示例2：已知数列的前三项分别为2、5、9，求数列的通项公式。
累加法与累乘法
求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2112221n n a a n --=++++-【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1n f a a n n =-+或例2：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：【变式训练】：变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式.变式2、在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
变式3、已知数列{}n a 满足1=a变式4、在数列{}n a 中，1=a变式5、已知数列{}n a 满足1321+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。
累 乘 法1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n nna n a +=+所以n n a a nn 11+=+ 则11-=-n na a n n (1) . （2） . . . .1212=a a (n-1)将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得,1n a a n=（n 》2） 所以na n 2= （n 》2）当n=1时满足上式，所以na n 2=总结：满足n1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式3：已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。
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名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解）
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专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法
学习目标
1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；
2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；
3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。
________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。
例：已知数},{n a 其中,,
111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。
变题1：把①式改为;11+=+n n a a
变题2：把①式改为;21
n n n a a +=+
小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？
变题3：把①式改为;11n n a n
n
a +=
+
变题4：把①式改为;21
n n a a =+
小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？
挑战高考题：
1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。
（1）求n a
2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n
a a a n n ++==+，则=n a （ ）.
A.n ln 2+
B.n ln 1-n 2）（+
C.n n ln 2+
D.n n ln 1++
你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？
通过本节课的学习你收获了什么？。