(附加15套模拟试卷)山东省淄博市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷(含答案)
山东省淄博实验中学2020届高三数学下学期第一次(4月)教学诊断考试试卷文(含解析)
淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题数学（文）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位. 若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2. 已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B ，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3. 如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）B. 和A.和C. 和D. 和【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.点睛: 解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义. 本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.4. 已知函数，若，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：解得：.本题选择D选项•5. 函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A, B;取，则，故选D.考点：1. 函数的基本性质；2. 函数的图象.【此处有视频，请去附件查看】6. 我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也” . “幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等. 已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，利用正方体体积，减去半圆柱体积，即可。
2020年山东省淄博市高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|-1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A. [-1，0）B. （0，5]C. [-1，0]D. [0，5]2.若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A. iB. -iC. -1D. 13.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. 不存在x0∈R，-+1≤0B. 存在x0∈R，-+1≤0C. ∃x0∈R，D. 对任意的x∈R，x3-x2+1＞04.化简的结果是（）A. 2cos 2B. 2sin 2C. 4sin 2+2cos2D. 2sin 2+4cos25.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A. 若l∥α，l⊥β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l∥α，l∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 200，20B. 100，20C. 200，10D. 100，107.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为A. B. 9 C. D. 38.已知直线y=kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.9.已知M（-4，0），N（0，4），点P（x，y）的坐标x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. - D. -10.已知f（x）=（sinθ）x，θ∈（0，），设，b=f（log43），c=f（log165），则a，b，c的大小关系是（）A. c＞a＞bB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. c＞b＞a11.已知直线l：y=-2x-m（m＞0）与圆C：x2+y2-2x-2y-23=0，直线l与圆C相交于不同两点M，N．若||，则m的取值范围是（）A. [，5）B. [2，5-3）C. （ 5，5）D. （，2）12.函数f（x）=sin（2x+θ）+cos2x，若f（x）最大值为G（θ），最小值为g（θ），则（）A. ∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）=πB. ∃θ0∈R，使G（θ0）-g（θ0）=πC. ∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|=πD. ∃θ0∈R，使=π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若f（x）=，f（0）=2，f（-1）=4，则f（f（-2））=______．14.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=2，3，4，…）的分数的分解：，，，按此规律，=______（n=2，3，4，…）．15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC=120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为______．16.抛物线x2=4y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥PABCD-中，AB∥CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=2，∠PAD=60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）若直线PA∥平面MBD，求此时三棱锥P-MBD的体积．19.已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是-．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AM方程为x=my-2（m≠0），直线l方程为x=2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D．求△APD面积S（m）关于m 的表达式．20.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x（10≤x≤20，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．（Ⅰ）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580，760]内的概率．21.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥0时，0≤f（x）≤1，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4=4ρcosθ-2ρsinθ．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．23.已知f（x）=|x+1|+|2x+m|．（Ⅰ）当m=-3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|2x-4|的解集为M，且，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题.求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，∴A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（-∞，0]，∵B=[-1，5]，∴（∁U A）∩B=[-1，0]．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：zi=1+2i，∴-i•zi=-i（1+2i），z=-i+2，则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选D．3.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是：存在x0∈R，-+1＞0．故选：C．利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简和求值，判断三角函数的符号以及利用倍角公式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.利用三角函数的倍角公式，去掉根号，结合三角函数的符号进行求解即可．【解答】解：2=2+=2+=2|sin2+cos2|+2|cos2|，∵＜2＜π，∴2是第二象限角，∴cos2＜0，sin2+cos2=sin（2+），∵0＜2+＜π，∴sin2+cos2=sin（2+）＞0∴原式=2（sin2+cos2）-2cos2=2sin2．故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，则α⊥β，得解．【解答】解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β.选项A正确若α⊥β，l⊥α，则lβ或.选项B错误若l∥α，l∥β,与的关系不能确定.故C错误若α⊥β，l∥α，与的关系不能确定.故C错误即选项A正确，故选A.6.【答案】A【解析】解：由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%=10000×2%=200，抽取的高中生人数为2000×2%=40人，则近视人数为40×0.5=20人，故选：A．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为124π，4πr2=124π，可得球的半径r为：棱锥的底面三角形的高为：x，可得（）2+22=31，解得x=．故选：A．求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2，由对称性知△ABF的面积S=2S△OBF=2×h=ch=4a2，即h=，即B点的纵坐标为y=，则由x2+（）2=c2，得x2=c2-（）2=c2-，B在双曲线上，则-=1，即--=1，即-（1+）=1，即-•=1，即-=1，即-1==，得16a4=（c2-a2）2，即4a2=c2-a2，得5a2=c2，得c=a，则离心率e===，故选：D．根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2，根据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．9.【答案】C【解析】解：由点P（x，y）的坐标x，y满足作出可行域如图，则=（x+2）2+（y-2）2-8的几何意义为A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方再减8由d==，可得（x-2）2+（y-2）2-8最小值为：．故选：C．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）=（sinθ）x，θ∈（0，），则0＜sinθ＜1，则函数f（x）=（sinθ）x为减函数，又由log2=log4=log167，log43=log169，则有log165＜log2＜log43，则c＞a＞b，故选：A．根据题意，分析可得f（x）=（sinθ）x为减函数，由对数的运算性质分析可得log165＜log2＜log43，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数f（x）=（sinθ）x，的单调性，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：取MN的中点P，则2|（+）|=2×|2|=4||，∴||≤4||⇒||2≤16||2⇒4|PN|2≤16||2⇒25-||2≤4||2，∴5≤||2＜25，∴5≤（）2＜25，解得2≤m-3．故选：B．取MN的中点P后，将不等式化为5≤||2＜25，然后用点到直线的距离公式求出||代入不等式解得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】D【解析】解：f（x）=sin（2x+θ）+cos2x=cosθ•sin2x+（sin）•cos2x=sin （2x+φ）+，所以G（θ）=，g（θ）=-，①对于选项A，G（θ）+g（θ）=-=1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B，G（θ）-g（θ）=+-=2∈[1，3]，显然不满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ）•g（θ）=（）•（-）=1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D，||=||∈[2，+∞），即∃θ0∈R，使=π，故D正确，故选：D．由三角函数的辅助角公式得：f（x）=sin（2x+θ）+cos2x=cosθ•sin2x+（sin）•cos2x=sin（2x+φ）+，所以G（θ）=，g（θ）=-，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型13.【答案】1【解析】解：∵f（x）=，f（0）=2，f（-1）=4，∴，解得a=，b=1，∴，∴f（-2）=（）-2+1=10，f（f（-2））=f（10）=lg10=1．故答案为：1．由f（0）=2，f（-1）=4，列方程组求出a=，b=1，从而，进而f（-2）=（）-2+1=10，f（f（-2））=f（10），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】+【解析】【分析】本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题．由前面有限项规律可归纳推理出：=+，即可求出.【解答】解：由==+，==+==+，故=+.故答案为：+.15.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以B为原点，BC为x轴，在平面ABC内过B作BC的垂线为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC1与AC所成角的余弦值．【解答】解：平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC=120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2，以B为原点，BC为x轴，在平面ABC内过B作BC的垂线为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（0，2，2），A（-1，，0），C（2，0，0），=（0，2，2），=（3，-，0），设异面直线BC1与AC所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．故答案为．16.【答案】（x）2+（y-1）2=【解析】解：抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），其准线方程为y=-1，据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（0，1）设M（m，-1），则P（m，3），等边三角形边长为4，如图．在直角三角形APF中，PF=4，解得外心Q的坐标为（±，1）．则△FPM的外接圆的半径为，∴则△FPM的外接圆的方程为（x）2+（y-1）2=．故答案为：（x）2+（y-1）2=．利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（m，-1），则P（m，3），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力17.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥DP，∵DP=2，AP=2，∠PAD=60°，由=，得sin∠PDA=，∴∠PDA=30°，∴∠APD=90°，∴DP⊥AP，∵AB∩AP=A，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．解：（Ⅱ）连结AC，与BD交于点N，连结MN，∵PA∥平面MBD，MN为平面PAC与平面MBD的交线，∴PA∥MN，∴，在四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABN∽△CDN，∴===3，=3，PM=，∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，且面APD⊥面ABCD，在平面PAD中，作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，∵V P-MBD=V P-BCD-V M-BCD，∴=，∴CD=3，∴=2，∴三棱锥P-MBD的体积V=．【解析】（Ⅰ）推导出AB⊥DP，DP⊥AP，从而DP⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）连结AC，与BD交于点N，连结MN，推导出△ABN∽△CDN，PM=，由V P-MBD=V P-BCD-V M-BCD，得=，由此能求出三棱锥P-MBD的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．由题意得：k AM•k BM=•=-（x≠±2），化简，得点M的轨迹的方程为+=1，（x≠±2）．（Ⅱ）直线AM的方程为x=my-2，（m≠0），直线直线l方程为x=2，联立可得点P（2，），∴Q（2，-），由消x可得（3m2+4）y2-12my=0，解得y=0或y=，由题设可得点M（，），可得直线MQ的方程为（+）（x-2）-（-2）（y+）=0，令y=0，可得x=，故D（，0），∴|AD|=2+=，∴△APD面积S（m）=××=，（m≠0）【解析】（Ⅰ）设M（x，y），由题意得k AM•k BM=•=-（x≠±2），由此能求出点M的轨迹的方程．（Ⅱ）先求出点Q的坐标，再求出点M的坐标，求出直线MQ的方程，即可求出点D 的坐标，可得|AD|，即可表示出面积．本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为：y=，化简，得：．（Ⅱ）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10，12）的频率是2×0.08=0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是2×0.12=0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是2×0.15=0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是2×0.10=0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是2×0.05=0.10，∴这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：（11×60-14×10）×0.16+（13×60-14×10）×0.24+（15×30+20×14）×0.30+（17×30+20×14）×0.2+（19×30+20×14）×0.10=698.8（元）．②∵当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，y=580=60x-140，得x=12，y=760=30x+280，得x=16，∴日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，∴日利润在区间[580，760]内的概率为P=0.24+0.30=0.54．【解析】（Ⅰ）由题意能求出商店的日利润y关于需求量x的函数表达式．（Ⅱ）①由频率分布直方图得海鲜需求量在区间[10，12）的频率是0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是0.10，由此能求出这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数．②当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，推导出日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，由此能求出日利润在区间[580，760]内的概率．本题考查函数表达式、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-，①当a＞0时，f′（x）=-，令f′（x）=0，解得：x1=-，x2=2，且x1＜x2，当x∈（-∞，-）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-，2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-，2）递增，在（-∞，-），（2，+∞）递减，②当a=0时，f′（x）=-，故f（x）在（-∞，2）递增，在（2，+∞）递减，③当-＜a＜0时，令f′（x）=0，解得：x1=2，x2=-且x1＜x2，故f（x）在（-∞，2），（-，+∞）递增，在（2，-）递减，④当a=-时，f′（x）=≥0，故f（x）在R递增，⑤当a＜-时，x1=-，x2=2且x1＜x2，故f（x）在（-∞，-），（2，+∞）递增，在（-，2）递减；（Ⅱ）由f（0）=0及（Ⅰ）知：①a≥0时，f（2）=+1＞1，不合题意，②-＜a＜0时，a需满足条件：，由（i）得a≤-，由（iii）知，当x＞-时，ax2+x-1≤0，a≤-，故a≤-，故-＜a≤-，③a=-时，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）≥f（0）=0，f（x）=-+1＜1，故a=-，④a＜-时，f（x）极大值=f（-）=1-＜1，f（x）极小值=f（2）=+1≥0，且当x＞2时f(x)≤1，解得-≤a＜-，综上，a的范围是[-，-]．【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的极值，确定a的范围即可．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2-4=4ρcosθ-2ρsinθ．转换为直角坐标方程为：（x-2）2+（y+1）2=9．（Ⅱ）把直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．代入（x-2）2+（y+1）2=9，得到：t2-4t cosα+2t sinα-4=0，（t1和t2为A、B对应的参数）故：t1+t2=4cosα-2sinα，t1•t2=-4，所以：|AB|=|t1-t2|==2，解得：3cos2α=4sinαcosα，所以：，故直线的方程为：x=0或y=x．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的关系式，进一步求出直线的方程．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）当m=-3时，f（x）=|x+1|+|2x-3|，原不等式等价于|x+1|+|2x-3|≤6，故或或，解得：-≤x≤-1或-1＜x＜或≤x≤，综上，原不等式的解集是{x|-≤x≤}；（2）由题意知f（x）≤|2x-4|在[-1，]上恒成立，故x+1+|2x+m|≤4-2x，即|2x+m|≤3-3x在[-1，]上恒成立，故3x-3≤2x+m≤3-3x，则x-3≤m≤3-5x在[-1，]上恒成立，由于-4≤x-3≤-，≤3-5x≤8，故-≤m≤，即m的范围是[-，]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．（Ⅰ）代入m的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为x-3≤m≤3-5x在[-1，]上恒成立，结合x的范围，求出m的范围即可．。
2020年山东省淄博市高考数学一模试卷
2020年山东省淄博市高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--=，{|||2}B x Z x =∈„，则(A B =I ) A ．{1，2}B ．{1，2}-C ．{1-，2}D ．{1-，2}-2．（5分）复数()(2)a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚数单位，则实数(a = ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-3．（5分）设m R ∈，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m „，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根D ．存在0m „，使方程20x x m +-=有实根 4．（5分）25)mx+的展开式中5x 的系数是10-，则实数(m = )A ．2B ．1C ．1-D ．2-5．（5分）函数()sin()f x x θ=+在[0，]π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2πC ．πD ．32π6．（5分）若圆锥轴截面面积为60︒，则体积为( )A B C D 7．（5分）2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种8．（5分）在ABC ∆中，0,2,||||OA OB OC AE EB AB AC λ++===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u u u r r ，若9AB AC AO EC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则实数(λ= )A ．3 B ．3 C ．6 D ．6 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是( ) A ．2B ．6C ．4D ．810．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则下列说法正确的是( ) A ．1//BC 平面AQPB ．平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C ．1AD ⊥平面AQPD ．异面直线QP 与11A C 所成的角为60︒11．（5分）居民消费价格指数(,)ConsumerPriceIndex CPI ，是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是( ) （注：同比CPI CPI =本月去年同月，同比涨跌幅100\%CPI CPICPI-=⨯本月去年同月去年同月，环比CPI CPI =本月上月，环比涨跌幅100%)CPI CPI CPI-=⨯本月上月上月A ．2019年12月与2018年12月CPI 相等B ．2020年3月比2019年3月CPI 上涨4.3%C ．2019年7月至2019年11月CPI 持续增长D ．2020年1月至2020年3月CPI 持续下降12．（5分）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()f x f x f +=+（2）成立，当[0x ∈，2)时，()21x f x =-，给出下列结论，其中正确的是( ) A ．f （2）0=B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6-，2]-上单调递增D ．函数()y f x =在[6-，6]上有3个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）曲线11()f x ln xx=+在点(1，f （1）)处的切线方程是 ． 14．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12nn S a =-，则7S = ． 15．（5分）如图，1A ，2A 分别是双曲线22:1(0)y C x a a-=>的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线2MA 交另一条渐近线于点N ，若1//MA NO u u u u r u u u r，则a = ，若2F 为双曲线右焦点，则△2MF O 的周长为 ．16．（5分）某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分分组 [50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)合计高一 1 3 6 6 4 20 高二2655220根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 评分70<分 70„评分90<评分90…分 满意度等级不满意满意非常满意。
山东省淄博市2020届高三第一次模拟考试(4月)数学试题 Word版含答案
高三数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合U A B =I ð A ．{3} B ．{1,4,6} C ．{2,5} D ．{2,3,5} 2. 命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．(0,),ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=-3．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．D ．14．二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．7B ．6C ．5D ．45．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．58-B ．18C ．14D ．1186．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．7．已知函数0()ln 0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别,PA PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为 A ．66πB ．46πC ．26πD ．6π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是 A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值11.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F E 、，直线x m =）（11<<-m 与椭圆相交于点A 、B ，则A. 当0=m 时，FAB ∆的面积为3B. 不存在m 使FAB ∆为直角三角形C. 存在m 使四边形FBEA 面积最大D. 存在m ，使FAB ∆的周长最大12. 函数()f x 在[,]a b 上有定义，若对任意12,[,]x x a b ∈，有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+则称()f x 在[,]a b 上具有性质P 。
【2020年数学高考】山东省淄博市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文).doc
淄博市2017-2020学年度高三模拟考试试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|28,0,1,2,3,4x A x N B =∈≤=，则AB =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3,4 2.在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.若0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则 （ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.一段“三段论”推理是这样的：对于函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点．因为函数()3f x x =满足()00f '=，所以0x =是函数()3f x x =的极值点.以上推理中（ ）A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确 5. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．52 B ．72 C. 73 D ．746. 已知{}n a 是等比数列，若1631,8a a a ==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则5T =（ ） A.3116 B.31 C. 158D.7 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为56，则输入的n 值为（ ）A ． 3B ． 4 C. 5 D ．68. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =现有周长为ABC ∆的面积为（ ）A．4 B．2C. 4 D．29. 已知点()2,0Q ，点(),P x y 的坐标满足条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨+≥⎪⎪⎩，则PQ 的最小值是（ ）A ．12B ．2 C. 1 D10. 已知()[][]1,0,13,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∉⎪⎩，则使()()1f f x =成立的x 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[]{}3,47 C. [][]0,13,4 D ．[][]{}0,13,4711. 已知直线()()()1110a x a y a a R -++--=∈过定点A ，线段BC 是圆D ：()()22231x y -+-=的直径，则AB AC =（ ）A ． 5B ．6 C. 7 D ．812.已知函数()ln 1x xf x x =-+在0x x =处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①()00f x x <；②()00f x x =；③()00f x x >；④()012f x <；⑤()012f x > （ ）A ． ①④B ．②④ C. ②⑤ D ．③⑤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若525S =，则3a = ．14.某校高三年级3个学部共有600名学生，编号为：001，002，…，600，从001到300在第一学部，从301到495在第二学部，496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为003，则第二学部被抽取的人数为 ．15.已知正四棱锥，其底面边长为2，则该四棱锥外接球的表面积是 ．16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>分别交于O A B 、、三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB ∆，则p = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知()222AB AC a b c =-+． （1）求角A 的大小；（2）若6,a b ==，求ABC ∆的面积．18.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060,BAD PA PD ∠==，O 为AD 边的中点．（1）证明：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若AB PA PB ===P ABCD -的体积．19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计数据表明，样本中所有人每天用于阅读的时间（简称阅读用时）都不超过3小时，其频数分布表如下：（用时单位：小时）（1）用样本估计总体，求该市市民每天阅读用时的平均值；（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书经验交流会，从这200人中筛选出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜欢古典文学．现从这6名代表中任选2名男代表和2名女代表参加交流会，求参加交流会的4名代表中，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率．20.已知椭圆22:15x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆C 的动弦AB 过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点M ． （1）证明：点M 在定直线上；（2）当OMF ∠最大时，求MAB ∆的面积．21. 设函数()()212x k f x x e x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0k ≤时，讨论函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是4x =，曲线C的参数方程是11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 与曲线C 的极坐标方程； （2）若射线0,04πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭与曲线C 交于点,A O ，与直线l 交于点B ，求OA OB的取值范围．23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()221f x x x =--+．（1）解不等式()2f x ≤；（2）若b R ∃∈，不等式()a b a b f x +--≥对x R ∀∈恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:ABDBC 6-10: ACABD 11、12：CB二、填空题13. 5 14. 17 15. 9π 16.2三、解答题17.解：（1）由已知()222AB AC a b c =-+，得()222cos bc A a b c =-+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得4cos 2bc A bc =-，所以1cos 2A =-，又0A π<<，故23A π=；（2）由（1）知1cos ,sin 22A A =-=，由正弦定理，得sin 12sin 62b AB a===，所以6B π=或56π（舍去） 从而6C π=，所以ABC ∆的面积为111sin 6222S ab C ==⨯⨯= 18.证明：（1）证明：连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，所以ABD ∆是正三角形， 所以AD BO ⊥，因为O 为AD 的中点，PA PD =， 所以AD PO ⊥，且PO BO O =，所以AD ⊥平面POB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面POB ⊥平面PAD ； （2）因为AB ABD =∆是正三角形，所以3OB =， 在Rt PAO ∆中，PA AO ==2PO =，又PB =222OB PO PB +=， 所以090POB ∠=，即PO OB ⊥， 又AD PO ⊥，且OBAD O =，所以PO ⊥平面ABCD ，因为(2012sin 602ABCD S =⨯⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为123V =⨯=19.解：（1）根据阅读用时频数分布列表可求00.5100.51201 1.550 1.52602 2.540 2.53201.65220022002200220022002200++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；故该市市民每天阅读用时的平均值为1.65小时；（2）设参加交流会的男代表为12,,A A a ，其中12,A A 喜欢古典文学， 则男代表参加交流会的方式有：1212,,A A A a A a ，共3种； 设选出的女代表为：12,,B b b ，其中B 喜欢古典文学， 则女代表参加市交流会的方式有：1212,,Bb Bb b b ，共3种， 所以参加市交流会代表的组成方式有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}112111221221221212121122,,,,,,,,,,,,,,,,,Bb A A Bb Aa Bb A a Bb A A Bb Aa Bb A a bb A A bb Aa bb A a 共9种，其中喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的是：{}{}{}{}{}1122121212121122,,,,,,,,,Bb A A Bb A A bb A A bb Aa bb A a 共5种，所以，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率是59P =． 20．解证：（1）显然椭圆22:15x C y +=的右焦点F 的坐标为()2,0， 设AB 所在直线为：()()20y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y ．联立方程组：()22215y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()()222251202050k x k x k +-+-=；其中2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，点N 的坐标为222102,,5151k k ON k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所在直线方程为：15y x k =-． FM 所在的直线方程为：()12y x k=--， 联立方程组：()1215y x ky xk ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得52M x =，故点M 在定直线52x =上； （2）由（1）得：由52M x =得点M 的坐标为51,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()2,0F ，则1151,,,2222MF MO k k ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22251cos 12514MF MO OMF MF MOk k k +∠===+ 5=≥215k =不等式取等号），若cos OMF ∠取得最小值时，OMF ∠最大，此时121212,2x x x x +==-；125AB x =-==；FM ===1210MAB S AB MF ∆=⨯⨯=．21.解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-， ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >，所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是[)0,+∞，②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >，所以()f x 在(),ln k -∞和()0,+∞上单调递增，在[]ln ,0k 上单调递减， ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在(),-∞∞上单调递增，④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在(),0-∞和()ln ,k +∞上单调递增，在[]0,ln k 上单调递减； （2）()01f =-， ①当0k <时，()102kf =->，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以函数()f x 在[)0,+∞上只有一个零点，在区间(),0-∞中，因为()()221122x k kf x x e x x x =-->--， 取21x k=-，于是22221111022k k f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->----=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(),0-∞上单调递减，故()f x 在(),0-∞上也只有一个零点， 所以，函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有两个零点；②当0k =时，()()1xf x x e =-在单调递增区间[)0,+∞内，只有()10f =．而在区间(),0-∞内()0f x <，即()f x 在此区间内无零点． 所以，函数()f x 在定义域(),-∞+∞上只有唯一的零点． 22.解：（1）由cos x ρθ=，得直线l 极坐标方程：cos 4ρθ=，曲线C的参数方程为11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式得22cos 2sin ρρθρθ=+， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+； （2）设()()12,,,A B ραρα，则1242cos 2sin ,cos ρααρα=+=，所以 ()()2122cos 2sin cos sin cos cos 11sin cos 22424444OAOB αααραααπαααρ++⎛⎫====2++=++ ⎪⎝⎭，因为04πα<<，所以32444πππα<+<，所以sin 2124πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以111sin 224444πα⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，故OA OB的取值范围是11,24⎛+ ⎝⎦．23.解：（1）()13,2113,223,2x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，原不等式等价于：1232x x ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩或122132x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或232x x ≥⎧⎨--≤⎩， 解得：1x ≤-，或123x -≤<，或2x ≥， 综上所述，不等式解集是：1|13x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或；（2）(),b R a b a b f x ∃∈+--≥恒成立等价于()()max max a b a b f x +--≥． 因为()()2a b a b a b a b a +--≤++-=，所以a b a b +--的最大值为2a ；12x ≤-时，()52f x ≤；122x -<<时，()552f x -<<；2x ≥时，()5f x ≤-， 所以()max 52f x =，所以由原不等式恒成立，得：522a ≥，解得：54a ≥或54a ≤-．。
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题.docx
淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题文科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是A. 2a ≥B. 2a >C. 1a ≥D. 1a > 3.下列选项错误的是 A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=” D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A. 3π B. 23π C. 43π D. 53π5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B. 3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A. 31-或 B. 91或 C. 3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为A. 55y x =±B. 255y x =±C. 52y x =±D. 5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A. 211B. 42C. 38D. 1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.任取[]1,1k ∈-，直线:3l y kx =+与圆()()22:234C x y -+-=相交于M,N 两点，则23MN ≥的概率为A. 32B. 33C. 23D. 12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________. 12.某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数记为x ，那么x 的值为________.13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数(),f n n N *∈，且()f n N *∈，若()()()()1f n f n f f n +++=()31,11n f +≠，则()6f =______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈u r r .（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 17. （本题满分12分）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如图表所示（人数）：已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%（注：合格人数中不包含优秀人数）.（I ）求a 、b 的值；（II ）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人.若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.18. （本题满分12分）四棱锥P ABCD PD -⊥中，平面,22//ABCD AD AB BC a AD BC ===，，3,60PD a DAB =∠=o ，Q 是PB 的中点.（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求证：DQ PC ⊥.19. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n a S =-，数列{}n b 为等差数列，且5715,21b b ==. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的第1b 项，第2b 项，第3b 项，…，第n b 项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2016项和.20. （本题满分13分）如图所示的封闭曲线C由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b +=>>≥和曲线2:C ()2220x y r y +=<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点. （I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值；（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，与x 轴交于点N ，直线OM 与直线433x =交于点P ，求证：以MF//PN.21. （本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围；（III ）若()f x 无极值，求a 的值.。
2020年山东省淄博市高考数学一模试卷
高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设全集 U =R ，集合 A ={x |2 ＞1}，B ={x |-1≤x ≤5}，则（∁ A ）∩B 等于（ ） A. [-1，0） B. （0，5] C. [-1，0] D. [0，5]2. 若复数 z 满足 zi =1+2i ，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）A. iB. -iC. -1D. 13.命题“∀x ∈R ，x -x +1≤0”的否定是（ ）A.不存在 x ∈R ， - +1≤0 0B.存在 x ∈R ， - +1≤0C.∃x∈R ，D.对任意的 x ∈R ，x -x +1＞04.化简的结果是（ ）A. 2cos 2B. 2sin 2C. 4sin 2+2cos2D. 2sin 2+4cos25.已知直线 l 和两个不同的平面 α，β，则下列结论正确的是（）A. C. 若 l ∥α，l ⊥β，则 α⊥β 若 l ∥α，l ∥β，则 α∥βB. D. 若 α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥β 若 α⊥β，l ∥α，则 l ⊥β6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示．为了解该地区中小学 生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽 取的高中生近视人数分别为( )A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱 的外接球的表面积为 ，则侧视图中的 的值为x U3 2 03 2A.B.9C.D.38.已知直线 y =kx （k ≠0）与双曲线交于 A ，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ， △若ABF 的面积为 4a 2，则双曲线的离心率为（ ）A.B. C.2D.9.已知 M （-4，0），N （0，4），点 P （x ，y ）的坐标 x ，y 满足，则的最小值为（ ）A.B. C.-D.-10. 已知 f （x ）=（sin θ） ，θ∈（0， ），设则 a ，b ，c 的大小关系是（ ），b =f （log 3），c =f （log 5），416A. c ＞a ＞bB. a ＞c ＞bC. b ＞a ＞cD. c ＞b ＞a11. 已知直线 l ：y =-2x -m （m ＞0）与圆 C ：x +y -2x -2y -23=0，直线 l两点 M ，N ．若||，则 m 的取值范围是（）与圆 C 相交于不同A. [，5）B.[2，5 -3）C.（ 5，5 ）D.（ ，2）12. 函数 f （x ）=sin （2x +θ）+cos x ，若 f （x ）最大值为 G （θ），最小值为 g （θ），则（ ）A. B. C. ∃θ ∈R ，使 G （θ ）+g （θ ）=π ∃θ ∈R ，使 G （θ ）-g （θ ）=π ∃θ ∈R ，使|G （θ ）•g （θ ）|=πD. ∃θ ∈R ，使=π二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 若 f （x ）=，f （0）=2，f （-1）=4，则 f （f （-2））=______．14. 古代埃及数学中发现有一个独特现象：除 用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人，如果每人 ，不够，每人 ，余 ，再将这 分成 5 份，每人得 ，x 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0这样每人分得+．形如（n=2，3，4，…）的分数的分解：，，，按此规律，=______（n=2，3，4，…）．15. 如图所示，平面BCC B⊥平面ABC，∠ABC=120°，11四边形BCC B为正方形，且AB=BC=2，则异面直线11BC与AC所成角的余弦值为______．1216. 抛物线x=4y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，△则FPM的外接圆的方程为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知在等比数列{a }中，a=2，且a ，a，a-2成等差数列．n1123（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b }满足：，求数列{b }的前n项和S．n n n18. 如图，在四棱锥PABCD-中，AB∥CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=2，∠PAD=60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）若直线PA∥平面MBD，求此时三棱锥P-MBD的体积．19. 已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．三角形ABM的两条边AM，BM所在直线的斜率之积是- ．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AM方程为x=my-2（m≠0），直线l方程为x=2，直线AM交l于P，点P，Q关于x轴对称，直线MQ与x轴相交于点D．△求APD面积S（m）关于m的表达式．20. 某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x（10≤x≤20，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．（Ⅰ）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580，760]内的概率．21. 已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x≥0时，0≤f（x）≤1，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-4=4ρcosθ-2ρsinθ．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．23. 已知f（x）=|x+1|+|2x+m|．（Ⅰ）当m=-3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|2x-4|的解集为M，且取值范围．，求实数m的2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础 题.求出 A 中不等式的解集确定出 A ，根据全集 U =R 求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的交 集即可．【解答】解：由 A 中的不等式变形得：2 ＞1=2 ，得到 x ＞0， ∴A=（0，+∞）， ∵全集 U =R ，∴∁ UA =（-∞，0]，∵B =[-1，5]， ∴（∁ U A ）∩B =[-1，0]．故选 C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【解答】解：zi =1+2i ，∴-i •zi =-i （1+2i ），z =-i +2，则 z 的共轭复数 =2+i的虚部为 1．故选 D ．3.【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的 x ∈R ，x -x +1≤0”的否定是：存在 x ∈R ， - +1＞0．故选：C ．利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查． 4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简和求值，判断三角函数的符号以及利用倍角公式进行转化 是解决本题的关键，属于中档题.利用三角函数的倍角公式，去掉根号，结合三角函数的符号进行求解即可． 【解答】x 0 3 2 0解：2 =2 +=2+=2|sin2+cos2|+2|cos2|，∵ ＜2＜π，∴2 是第二象限角，∴cos2＜0，sin2+cos2= sin （2+ ），∵0＜2+ ＜π，∴sin2+cos2=sin （2+ ）＞0∴原式=2（sin2+cos2）-2cos2=2sin2． 故选 B ．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设 m ⊂α，且 m ∥l ，由 l ⊥β，则 m ⊥β，则 α⊥β，得解． 【解答】解：设 m ⊂α，且 m ∥l ，由 l ⊥β，则 m ⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β.选项 A 正确若 α⊥β，l ⊥α，则 l β 或 . 选项 B 错误 若 l ∥α，l ∥β, 与 的关系不能确定.故 C 错误 若 α⊥β，l ∥α， 与 的关系不能确定. 故 C 错误 即选项 A 正确， 故选 A .6.【答案】A【解析】解：由图 1 得样本容量为（3500+2000+4500）×2%=10000×2%=200， 抽取的高中生人数为 2000×2%=40 人，则近视人数为 40×0.5=20 人， 故选：A ．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键． 7.【答案】A【解析】解：一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接 球的表面积为 124π，4πr =124π，可得球的半径 r 为： 棱锥的底面三角形的高为：x ，可得（ ） +2 =31，解得 x =．故选：A ．求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即可．本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解题的关键．2 2 28.【答案】D【解析】解：∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，∴以AB为直径的圆的方程为x+y=c，由对称性△知ABF的面积S=2S=2×h=ch=4a，即h=，即B点的纵坐标为y=，则由x+（）=c，得x=c -（）=c - ，B在双曲线上，则-=1，即-即-即--（1+•=1，）=1，=1，即-即-1==1，=，得16a=（c-a），即4a=c-a，得5a=c，得c=a，则离心率e= = =，故选：D．根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x +y =c，根据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出B的坐标，代入双曲线方程是解决本题的关键．考查学生的运算能力，运算量较大．9.【答案】C【解析】解：由点P（x，y）的坐标x，y满足作出可行域如图，则=（x+2）+（y-2）-8的几何意义为A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方再减8由d=值为：．故选：C．=，可得（x-2）+（y-2）-8最小2222△OBF22222224222222222222222由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即A（-2，2）到直线3x+4y-12=0的距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）=（sinθ），θ∈（0，），则0＜sinθ＜1，则函数f（x）=（sinθ）为减函数，又由log2=log4=log7，log3=log9，则有log5＜log16416162＜log3，4则c＞a＞b，故选：A．根据题意，分析可得（f x）=（sinθ）为减函数，由对数的运算性质分析可得log5＜log162＜log3，结合函数的单调性分析可得答案．4本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数（f x）=（sinθ）x，的单调性，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：取MN的中点P，则2|（|=2×|2|=4||，+）∴||≤4||⇒||≤16||⇒4|PN|≤16||⇒25-||≤4||，∴5≤||＜25，∴5≤（）＜25，解得2≤m-3．故选：B．取MN的中点P后，将不等式化为5≤||＜25，然后用点到直线的距离公式求出||代入不等式解得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】D【解析】解：f（x）=sin（2x+θ）+cos x=cosθ•sin2x+（sin（2x+φ）+，）•cos2x=sin 所以G（θ）=，g（θ）=-，①对于选项A，G（θ）+g（θ）=错误，-=1，显然不满足题意，即A xxx22222 22222②对于选项B，G（θ）-g（θ）=满足题意，即B错误，③对于选项C，G（θ）•g（θ）=（+-=2）•（-∈[1，3]，显然不）=1+sinθ∈[0，2]，显然不满足题意，即C错误，④对于选项D，||=||∈[2，+∞），=π，故D正确，即∃θ∈R，使故选：D．由三角函数的辅助角公式得：f（x）=sin（2x+θ）+cos x=cosθ•sin2x+（sin •cos2x=sin（2x+φ）+，所以G（θ）=，g（θ）=-由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型13.【答案】1，f（0）=2，f（-1）=4，【解析】解：∵f（x）=，∴解得a=，b=1，，∴∴f（-2）=（）+1=10，f（f（-2））=f（10）=lg10=1．故答案为：1．），由f（0）=2，f（-1）=4，列方程组求出a=，b=1，从而，进而f（-2）=（）+1=10，f（f（-2））=f（10），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】+【解析】【分析】本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题．由前面有限项规律可归纳推理出：【解答】=+，即可求出.2-2-2解：由== + ，====++，故=+.故答案为：+ .15.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以B 为原点，BC 为 x 轴，在平面 ABC 内 过 B 作 BC 的垂线为 y 轴，以 BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异 1面直线 BC 与 AC 所成角的余弦值． 1 【解答】解：平面 BCC B ⊥平面 ABC ，∠ABC =120°，四边形1 1BCC B 为正方形，且 AB=BC =2，1 1以 B 为原点，BC 为 x 轴，在平面 ABC 内过 B 作 BC 的垂线为 y 轴，以 BB 为 z 轴，建立空间直角坐标1系，则 B （0，0，0），C （0，2，2），A （-1， ，0），1C （2，0，0），=（0，2，2）， =（3，-，0），设异面直线 BC 与 AC 所成角为 θ，1则 cosθ=∴异面直线 BC 1故答案为 ．== ．与 AC 所成角的余弦值为 ．16.【答案】（x）+（y -1） =【解析】解：抛物线 x =4y 的焦点为 F （0， 1），其准线方程为 y =-1， 据题意知 △，PMF 为等边三角形，PF =PM ， ∴PM ⊥抛物线的准线，F （0，1）设 M （m ，-1），则 P （m ，3），等边三角2 2 2形边长为 4， 如图．在直角三角形 APF 中，PF =4，解得外心 Q 的坐标为（±，1）． △则FPM 的外接圆的半径为，∴则△FPM 的外接圆的方程为（x） +（y -1） =．故答案为：（x） +（y -1） =．利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线，设 M （m ，-1），则 P （m ，3），求 △出PMF 的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q 的坐标 △，FPM 的外接圆的半径，从 而求出其方程．本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所 学知识和基本的运算能力17.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a }的公比设为 q ，a =2，n 1a ，a ，a -2 成等差数列，可得 2a =a +a -2，1 2 3 2 1 3即为 4q =2+2q -2，解得 q =2， 则 a =a q =2 ，n ∈N *；（Ⅱ）= +2log 2 -1= +2n -1，2则数列{b }的前 n 项和 S =（ + +…+ ）+（1+3+…+2n-1） nn=+ n （1+2n -1）=1- +n ．【解析】（Ⅰ）等比数列{a }的公比设为 q ，由等差数列中项性质和等比数列的通项公 n式，解方程可得 q ，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得= +2log 2 -1= +2n-1，由数列的分组求和和等差数列、 2等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求 和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面 PAD ，∴AB ⊥DP ，∵DP =2 ，AP =2，∠PAD =60°，由=，得 sin ∠PDA = ，∴∠PDA =30°，∴∠APD =90°，∴DP ⊥AP ，∵AB ∩AP=A ，∴DP ⊥平面 PAB ，∵DP ⊂平面 PCD ，∴平面 PAB ⊥平面 PCD ．解：（Ⅱ）连结 AC ，与 BD 交于点 N ，连结 MN ， ∵PA ∥平面 MBD ，MN 为平面 PAC 与平面 MBD 的交线， ∴PA ∥MN ，∴，在四边形 ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴△ABN △∽CDN ，∴ = = =3， =3，PM =，2 2 2 2 2 n -1 n n 1n 2 n∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，且面APD⊥面ABCD，在平面PAD中，作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，∵V=V-V，P-MBD P-B CD M-BCD∴=，∴CD=3，∴=2，∴三棱锥P-MBD的体积V=．【解析】（Ⅰ）推导出AB⊥DP，DP⊥AP，从而DP⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）连结AC，与BD交于点N，连结MN，推导△出ABN△∽CDN，PM=，由V=V-V，得P-MBD P-BCD M-B CD=，由此能求出三棱锥P-MBD的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．由题意得：k•k=AM BM•=-（x≠±2），化简，得点M的轨迹的方程为+ =1，（x≠±2）．（Ⅱ）直线AM的方程为x=my-2，（m≠0），直线直线l），方程为x=2，联立可得点P（2，∴Q（2，-由），消x可得（3m+4）y-12my=0，解得y=0或y=，由题设可得点M（，），可得直线MQ的方程为（，令y=0，可得x=故D（，0），+）（x-2）-（-2）（y+）=0，∴|AD|=2+=，∴△APD面积S（m）=××=，（m≠0）22•=-（x≠±2），由此能求出点【解析】（Ⅰ）设M（x，y），由题意得k•k=AM BMM的轨迹的方程．（Ⅱ）先求出点Q的坐标，再求出点M的坐标，求出直线MQ的方程，即可求出点D的坐标，可得|AD|，即可表示出面积．本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为：y=，化简，得：．（Ⅱ）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10，12）的频率是2×0.08=0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是2×0.12=0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是2×0.15=0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是2×0.10=0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是2×0.05=0.10，∴这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：（11×60-14×10）×0.16+（13×60-14×10）×0.24+（15×30+20×14）×0.30+（17×30+20×14）×0.2+（19×30+20×14）×0.10=698.8（元）．②∵当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，y=580=60x-140，得x=12，y=760=30x+280，得x=16，∴日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，∴日利润在区间[580，760]内的概率为P=0.24+0.30=0.54．【解析】（Ⅰ）由题意能求出商店的日利润y关于需求量x的函数表达式．（Ⅱ）①由频率分布直方图得海鲜需求量在区间[10，12）的频率是0.16，海鲜需求量在区间[12，14）的频率是0.24，海鲜需求量在区间[14，16）的频率是0.30，海鲜需求量在区间[16，18）的频率是0.20，海鲜需求量在区间[18，20）的频率是0.10，由此能求出这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数．②当x=14时，30×14+280=60×14-140=700，函数在区间[10，20]上单调递增，推导出日利润在区间[580，760]内的概率即求海鲜需求量在[12，16]的频率，由此能求出日利润在区间[580，760]内的概率．本题考查函数表达式、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-，①当a＞0时，f′（x）=-，令f′（x）=0，解得：x=-，x=2，且x＜x，1212当x∈（-∞，-）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-，2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-，2）递增，在（-∞，-），（2，+∞）递减，②当a=0时，f′（x）=-，故f（x）在（-∞，2）递增，在（2，+∞）递减，③当-＜a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=2，x=-且x＜x，1212故f（x）在（-∞，2），（-④当a=-时，f′（x）=故f（x）在R递增，，+∞）递增，在（2，-≥0，）递减，⑤当a＜-时，x=-，x=2且x＜x，1212故f（x）在（-∞，-），（2，+∞）递增，在（-，2）递减；（Ⅱ）由f（0）=0及（Ⅰ）知：①a≥0时，f（2）=+1＞1，不合题意，②-＜a＜0时，a需满足条件：，由（i）得a≤- ，，由（iii）知，当x＞-故a≤-，故-＜a≤-时，ax+x-1≤0，a≤-，③a=-时，f（x）在[0，+∞）递增，f（x）≥f（0）=0，f（x）=-故a=-，+1＜1，④a＜-时，f（x）=f（-极大值）=1-＜1，f（x）=f（2）=极小值+1≥0，2且当 x ＞2 时 f (x )≤1，解得-≤a ＜- ，综上，a 的范围是[-，- ]．【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是 一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性求出函数的极值，确定 a 的范围即可． 22.【答案】解：（Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程为ρ -4=4ρcosθ-2ρsin θ． 转换为直角坐标方程为：（x -2） +（y +1） =9． （Ⅱ）把直线 l的参数方程为 （t为参数，0≤α＜π）．代入（x -2） +（y +1） =9， 得到：t -4t cos α+2t sin α-4=0，（t 和 t 为 A 、B 对应的参数） 1 2 =4cos α-2sin α，t •t =-4，故：t +t1 21 2所以：|AB |=|t -t |=1 2=2，解得：3cos α=4sin αcosα，所以：，故直线的方程为：x =0 或 y = x ．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函 数的关系式，进一步求出直线的方程．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程 根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考 查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）当 m =-3 时，f （x ）=|x +1|+|2x -3|，原不等式等价于|x +1|+|2x -3|≤6，故或或 ，解得：- ≤x ≤-1 或-1＜x ＜ 或 ≤x ≤ ，综上，原不等式的解集是{x |- ≤x ≤ }；（2）由题意知 f （x ）≤|2x -4|在[-1， ]上恒成立， 故 x +1+|2x +m |≤4-2x ，即|2x +m |≤3-3x 在[-1， ]上恒成立，故 3x -3≤2x +m ≤3-3x ，则 x -3≤m ≤3-5x 在[-1， ]上恒成立，2 2 2 2 2 2 2由于-4≤x-3≤-，≤3-5x≤8，故-≤m≤，即m的范围是[-，]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题．（Ⅰ）代入m的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为x-3≤m≤3-5x在[-1，]上恒成立，结合x的范围，求出m的范围即可．。
(附加15套模拟试卷)山东省淄博市2020届高三3月第一次模拟考试数学(文)试题及答案
山东省淄博市2020届高三3月第一次模拟考试数学（文）试题及答案本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在学优网试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数31ii +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.集合{{}2,log ,0A x y B y y x x A B ====>⋂，则等于A.RB. ∅C. [)0+∞，D. ()0+∞，A 、7B 、8C 、9 10、C 4、已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f （2）＝1，则f （－2）＝ A 、－1 B 、1 C 、－5D 、5 5. 将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π=D. 12x π=-6. 已知命题:12p a b ≠≠或，命题:3q a b +≠，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 函数1sin y x x=-学优网的图象大致是8、曲线2()1xf x e x x =+++上的点到直线23x y -=的距离的最小值为B.C.9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.16B.12C.34D.5610.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 A. b a MO MT -=- B. b a MO MT ->- C. b a MO MT -<-D. b a MO MT -=+第II 卷学优网（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x 的个数共有_____个.12. 在约束条件2430,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩下，目标函数32z x y =+的最大值是＿＿＿＿13、若直线3y kx =+与圆22x y +＝1相切，则k ＝＿＿＿＿＿14. 已知向量,a b r r满足2,3,2a b a b ==+=r r r r a b 与r r 的夹角为_________.15.对于函数()f x ，若存在区间[](){},,A m n y y f x x A A ==∈=，使得，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①()cos2f x x π=；②()21f x x =-；③()21f x x =-；④()f x =log ()21x -.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________（请写出所有正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知函数()()21sin cos 022f x x x x πωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，其图象两相邻对称轴间的距离为2π.（I ）求ω的值；（II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且()0c f C ==，若向量()1,sin m A =u r与向量()3,sin n B =r共线，求a ，b 的值.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC//AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F 是线段EB 的中点. （I ）证明：CF//平面ADE ； （II ）证明：BD AE ⊥；18. （本小题满分12分）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B 的考生有20人。
山东省淄博市数学高三下学期文数第一次模拟考试试卷
山东省淄博市数学高三下学期文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A . {x|0＜x＜1}B . {x|0＜x＜3}C . {x|1＜x＜3}D . ￠2. （2分）若复数z满足方程，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·水富期中) “ ”是“ ”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知向量= (1,2 ), = (2,-3 )，若向量满足(+)//,⊥(+),则=（）A . (,)B . (-,-)C . (,)D . (-,-)5. （2分） (2017高一下·河北期末) 已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B点，且|AB|=6，则圆C的方程为（）A . x2+（y+1）2=18B . （x+1）2+y2=9C . （x+1）2+y2=18D . x2+（y+1）2=96. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·湖南期中) 如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）．A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·三台期中) 设变量x，y满足约束条件，则z=6x﹣y的最小值为（）A . ﹣8B . 0C . ﹣2D . ﹣710. （2分）已知sinα+cosα=，α∈（0，π），则=（）A .B . -C .D . -11. （2分）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设函数f（x）=2017x+sin2017x，g（x）=log2017x+2017x ，则（）A . 对于任意正实数x恒有f（x）≥g（x）B . 存在实数x0 ，当x＞x0时，恒有f（x）＞g（x）C . 对于任意正实数x恒有f（x）≤g（x）D . 存在实数x0 ，当x＞x0时，恒有f（x）＜g（x）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·深圳月考) 曲线在点处的切线的倾斜角为________14. （1分）(2019·肇庆模拟) 在平面凸四边形中，（为常数），若满足上述条件的平面凸四边形有且只有个，则的取值范围是________．15. （1分） (2018高二上·无锡期末) 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为________．16. （1分）(2018·杨浦模拟) 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，， .若为钝角，，则的面积为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·会宁月考) 已知等差数列满足且，数列的前项和记为，且 .（1）分别求出的通项公式；（2）记，求的前项和 .18. （10分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， AB=BC=CA，D，D1分别是BC，B1C1的中点，四边形ADD1A1是菱形，且平面ADD1A1⊥平面CBB1C1 ．（Ⅰ）求证：四边形CBB1C1为矩形；（Ⅱ）若，且A﹣BB1C1C体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．19. （10分）(2013·江西理) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 ， A7 ， A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．20. （10分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH 所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．21. （10分） (2016高一上·绍兴期中) 已知函数（1）当a＜0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）当a=﹣4时，对任意的实数x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围；（3）当，，y=|F（x）|在（0，1）上单调递减，求a的取值范围．22. （10分）(2018高二下·海安月考) 己知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为( 为参数)以轴为极轴，为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆是以点为圆心,且过点的圆心.（1）求圆及圆在平而直角坐标系下的直角坐标方程；（2）求圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值.23. （10分） (2019高一上·盘山期中) 已知函数（且）.（1）若为偶函数，求的值；（2）若，且在区间的最大值比最小值大，求的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年山东省淄博市高考数学一模试卷 (Word 含解析)
2020年高考数学一模试卷一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＝0}，B ＝{x ∈Z||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，﹣2}C ．{﹣1，2}D ．{﹣1，﹣2}2．复数（a ﹣i ）（2﹣i ）的实部与虚部相等，其中i 为虚数单位，则实数a ＝（ ） A ．3B ．−13C ．−12D ．﹣13．设m ∈R ，命题“存在m ＞0，使方程x 2+x ﹣m ＝0有实根”的否定是（ ） A ．任意m ＞0，使方程x 2+x ﹣m ＝0无实根 B ．任意m ≤0，使方程x 2+x ﹣m ＝0有实根 C ．存在m ＞0，使方程x 2+x ﹣m ＝0无实根D ．存在m ≤0，使方程x 2+x ﹣m ＝0有实根 4．(√x+mx 2)5的展开式中x 5的系数是﹣10，则实数m ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣25．函数f （x ）＝sin （x +θ）在[0，π]上为增函数，则θ的值可以是（ ） A ．0B ．π2C ．πD ．3π26．若圆锥轴截面面积为2√3，母线与底面所成角为60°，则体积为（ ） A ．√33πB ．√63πC ．2√33πD ．2√63π7．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（ ） A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种8．在△ABC 中，OA →+OB →+OC →=0→，AE →=2EB →，|AB|→=λ|AC|→，若AB →⋅AC →=9AO →⋅EC →，则实数λ＝（ ） A ．√33B ．√32C ．√63D ．√62二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2，则p 的值可以是（）A．2B．6C．4D．810．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°11．居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（）（注：同比=本月CPI去年同月CPI，同比涨跌幅=本月CPI−去年同月CPI去年同月CPI×100%，环比=本月CPI上月CPI，环比涨跌幅=本月CPI−上月CPI上月CPI×100%）A．2019年12月与2018年12月CPI相等B．2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%C．2019年7月至2019年11月CPI持续增长D．2020年1月至2020年3月CPI持续下降12．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f（x+4）＝f（x）+f（2）成立，当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣1，给出下列结论，其中正确的是（）A ．f （2）＝0B ．点（4，0）是函数y ＝f （x ）的图象的一个对称中心C ．函数y ＝f （x ）在[﹣6，﹣2]上单调递增D ．函数y ＝f （x ）在[﹣6，6]上有3个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线f （x ）=1x +ln 1x在点（1，f （1））处的切线方程是 ． 14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n =S n2−1，则S 7＝ ． 15．如图，A 1，A 2分别是双曲线C ：x 2−y 2a =1(a ＞0)的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线MA 2交另一条渐近线于点N ，若MA 1→∥NO →，则a ＝ ，若F 2为双曲线右焦点，则△MF 2O 的周长为 ．16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分分组 [50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）合计高一 1 3 6 6 4 20 高二2655220根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90评分≥90分 满意度等级不满意满意非常满意假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}(n∈N∗)中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{a n}的通项公式；（2）记（1）中您选择的{a n}的前n项和为S n，判断是否存在正整数k，使得a1，a k，S k+2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．18．如图，在△ACB中，∠ACB=π2，∠CAB=π3，AC＝2，点M在线段AB上．（1）若sin∠CMA=√33，求CM的长；（2）点N是线段CB上一点，MN=√7，且S△BMN=12S△ACB，求BM+BN的值．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥AB，PA＝6，AB＝8，PD＝10，N为PC的中点，F为棱BC上的一点．（1）证明：面PAF⊥面ABCD；（2）当F为BC中点时，求二面角A﹣NF﹣C余弦值．20．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升．将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中z i＝lny i（i＝1，2，3，4，5），z =15∑ 5i=1z i ．tyz∑ 5i=1（t i −t ）2 ∑ 5i=1（t i −t ）（y i −y ）∑ 5i=1（t i −t ）（z i −z ） 326.4741.90310 209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断y ^=bt +a 与y ^=ce dt （其中e ＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量．线性回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．参考数据：n 4 5 6 7 8 e n 的近似值551484031097298121．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为2√3，左右焦点分别为F 1，F 2，点B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当BF 2→⋅F 1F 2→=0时，|BF 2|→=32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交C 于另一点M ，交y 轴于点N ． （i ）求△ODN 面积最大值；（ii ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值． 22．已知函数f(x)=lnx +λ(1x−x)(λ∈R)．（1）当x ＞1时，不等式f （x ）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n=1n(n∈N∗)，其前n项和为S n，证明：S2n−S n+a n4＞ln2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x∈Z||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，﹣2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，﹣2}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x∈Z||x|≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故选：C．2．复数（a﹣i）（2﹣i）的实部与虚部相等，其中i为虚数单位，则实数a＝（）A．3B．−13C．−12D．﹣1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．解：∵（a﹣i）（2﹣i）＝（2a﹣1）﹣（a+2）i的实部与虚部相等，∴2a﹣1＝﹣a﹣2，解得a=−1 3．故选：B．3．设m∈R，命题“存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0有实根”的否定是（）A．任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根B．任意m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根C．存在m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根D．存在m≤0，使方程x2+x﹣m＝0有实根【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】】解：命题是特称命题，则命题的否定是：任意m＞0，使方程x2+x﹣m＝0无实根．故选：A．4．(1√x+mx2)5的展开式中x5的系数是﹣10，则实数m＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据写出展开式中含x5项，构造方程即可．解：由题意得T k+1=C 5k (√x )5−k(mx 2)k =m k C 5k x5(k−1)2．令5(k−1)2=5得，k ＝3．∴m 3C 53=−10，∴m ＝﹣1． 故选：C ．5．函数f （x ）＝sin （x +θ）在[0，π]上为增函数，则θ的值可以是（ ） A ．0B ．π2C ．πD ．3π2【分析】求出角的范围，结合函数的单调性进行求解即可． 解：当0≤x ≤π时，θ≤x +θ≤π+θ，要使f （x ）为增函数，则满足{2kπ+π2≥π+θ2kπ−π2≤θ， 当k ＝1时，{θ≤3π2θ≥3π2，得θ=3π2， 故选：D ．6．若圆锥轴截面面积为2√3，母线与底面所成角为60°，则体积为（ ） A ．√33πB ．√63πC ．2√33πD ．2√63π【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，与高，然后求解体积即可．解：圆锥轴截面面积为2√3，母线与底面所成角为60°，则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r ，可得√34×(2r)2=2√3，解得r =√2，圆锥的高为：√6，所以圆锥的体积为：13×πr 2×√6=2√63π．故选：D ．7．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（ ） A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种【分析】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都分到A 医院，②甲分配到医院A ，乙分配到医院B ，③甲和一名医生一起分到A 医院，乙在B 医院，④甲单独分到A 医院，乙和一名医生一起分到B 医院，由加法原理计算可得答案． 解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都分到A 医院，剩下3人全排列，分配到其三个医院，有A 33＝6种分派方案； ②甲分配到医院A ，乙分配到医院B ，剩下3人分成2组，安排到C 、D 医院，有C 32A 22＝6种分派方案；③甲和一名医生一起分到A 医院，乙在B 医院，剩下2人全排列，安排到C 、D 医院，有C 21A 22＝4种分派方案；④甲单独分到A 医院，乙和一名医生一起分到B 医院，剩下2人全排列，安排到C 、D 医院，有C 21A 22＝4种分派方案； 则一共有6+6+4+4＝20种分配方案； 故选：B ．8．在△ABC 中，OA →+OB →+OC →=0→，AE →=2EB →，|AB|→=λ|AC|→，若AB →⋅AC →=9AO →⋅EC →，则实数λ＝（ ） A ．√33B ．√32C ．√63D ．√62【分析】由于OA →+OB →+OC →=0→，所以点O 为△ABC 的重心，于是可用AB →和AC →表示出AO →，根据向量的减法运算和数乘运算可用AB →和AC →表示出EC →，再将其均代入AB →⋅AC →=9AO →⋅EC →，化简整理后可得2AB →2=3AC →2，从而得解． 解：∵OA →+OB →+OC →=0→，∴点O 为△ABC 的重心，∴AO →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →)，∵AE →=2EB →，∴AE →=23AB →，∴EC →=AC →−AE →=AC →−23AB →，∵AB →⋅AC →=9AO →⋅EC →，∴AB →⋅AC →=9×13(AB →+AC →)⋅(AC →−23AB →)=AB →⋅AC →−2AB →2+3AC →2， ∴2AB →2=3AC →2即|AB →|=√62|AC →|．∴λ=√62． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2，则p 的值可以是（）A．2B．6C．4D．8【分析】设P的坐标，由P在抛物线上，代入抛物线的方程可得横纵坐标直径的关系，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离及P到坐标轴的距离可得p的值．解：设P点（x0，y0），由P在抛物线上，所以y02＝2px0，由抛物线的方程可得准线的方程为x=−p 2，由题意可得x0+p2=3，|y0|=√2px0=2√2，解得：p＝2或4，故选：AC．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的判定的应用，共面的判定的应用求出结果．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：①对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ∥BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1∥平面APQ，故选项A正确．②对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1∥PQ，D1Q＝AP，所以：平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．③对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP，错误．④对于选项D：PQ∥BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°．故正确．故选：ABD．11．居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（）（注：同比=本月CPI去年同月CPI，同比涨跌幅=本月CPI−去年同月CPI去年同月CPI×100%，环比=本月CPI上月CPI，环比涨跌幅=本月CPI−上月CPI上月CPI×100%）A．2019年12月与2018年12月CPI相等B．2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%C．2019年7月至2019年11月CPI持续增长D．2020年1月至2020年3月CPI持续下降【分析】根据题意并观察图象上的数据即可判断出B，C都正确，A，D错误．解：在A中，2019年12月与2018年12月CPI不相等，故A不正确；在B中，2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3%，故B正确；在C中，2019年7月至2019年11月CPI持续增长，故C正确；在D中，2020年1月至2020年3月CPI跌幅持续下降，故D不正确．故选：BC．12．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f（x+4）＝f（x）+f（2）成立，当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣1，给出下列结论，其中正确的是（）A．f（2）＝0B．点（4，0）是函数y＝f（x）的图象的一个对称中心C．函数y＝f（x）在[﹣6，﹣2]上单调递增D．函数y＝f（x）在[﹣6，6]上有3个零点【分析】在等式中令x＝﹣2及奇函数性质可求得f（2）＝0，进而可推得函数的周期，运用周期性及当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣1，可得答案．解：令x＝﹣2，则f（﹣2+4）＝f（﹣2）+f（2），即f（2）＝f（﹣2）+f（2），又f（x）为奇函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2），则f（2）＝0，∴f（x+4）＝f（x），故4为f（x）的周期，则A正确；对于B，可得f（x）是以4为周期的函数，又由函数y＝f（x）是R上奇函数，即f（x）的一一个中心为（0，0），即x＝0，则点（4，0）是函数y＝f（x）的图象的一个对称中心，B正确；对于C，当x∈[0，2）时，f（x）＝2x﹣1单调递增，由奇函数可得当x∈[﹣2，0）时，f （x）单调递增．函数y＝f（x）在[﹣6，﹣2]上单调递增，故C正确．对于D，可得f（2）＝f（﹣2）＝0，又由f（x）是以4为周期的函数，则f（﹣6）＝f（﹣2）＝0，f（4）＝f（2）＝0，即函数y＝f（x）在区间[﹣6，6]上有四个零点，故D错；故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f（x）=1x+ln1x在点（1，f（1））处的切线方程是2x+y﹣3＝0．【分析】先对曲线f（x）求导，然后分别求出f（1）、f′（1），再利用点斜式写出方程即可．解：f′(x)=−1x2−1x，故f（1）＝1，f′（1）＝﹣2，所以切线为：y ﹣1＝﹣2（x ﹣1）， 即2x +y ﹣3＝0． 故答案为：2x +y ﹣3＝0．14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n =S n2−1，则S 7＝ ﹣254 ． 【分析】根据数列的递推关系，整理得到{s n ﹣2}是以﹣4为首项，2为公比的等比数列，进而求得结论．解：因为S n 为数列{a n }的前n 项和， ∴a n =S n2−1， ∴a 1＝﹣2； 且2a n ＝s n ﹣2；故2（s n ﹣s n ﹣1）＝s n ﹣2⇒s n ＝2s n ﹣1﹣2⇒s n ﹣2＝2（s n ﹣1﹣2）； ∵s 1﹣2＝﹣4，∴{s n ﹣2}是以﹣4为首项，2为公比的等比数列；∴s 7﹣2＝（﹣4）×27﹣1⇒s 7＝﹣4×26+2＝﹣254．故答案为：﹣254．15．如图，A 1，A 2分别是双曲线C ：x 2−y 2a=1(a ＞0)的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线MA 2交另一条渐近线于点N ，若MA 1→∥NO →，则a ＝ 3 ，若F 2为双曲线右焦点，则△MF 2O 的周长为 3+√7 ．【分析】利用已知条件推出渐近线的斜率，求解a ，求出M 的坐标，然后求解△MF 2O 的周长．解：，A 1，A 2分别是双曲线C ：x 2−y 2a =1(a ＞0)的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线MA 2交另一条渐近线于点N ，若MA 1→∥NO →，所以△MA 1O是正三角形，所以√a =√3，可得a ＝3； 则M （−12，√32），则△MF 2O 的周长为：1+2+(−12−2)2+(32)2=3+√7．故答案为：3；3+√7．16．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分分组 [50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）合计高一 1 3 6 6 4 20 高二2655220根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 评分＜70分 70≤评分＜90评分≥90分 满意度等级不满意满意非常满意假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件A ：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，则事件A 发生的概率为 0.42 ．【分析】由频数分布表得：高一学生家长不满意的人数为：1+3＝4，满意的人数为6+6＝12，非常满意的人数为4，高二学生家长不满意的人数为：2+6＝8，满意的人数为5+5＝10，非常满意的人数为2，记事件A ：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，由此能求出事件A 发生的概率． 解：由频数分布表得：从高一、高二年级各随机抽取1名家长，高一学生家长不满意的人数为：1+3＝4，满意的人数为6+6＝12，非常满意的人数为4，高二学生家长不满意的人数为：2+6＝8，满意的人数为5+5＝10，非常满意的人数为2，记事件A：“高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级”，则事件A发生的概率为P（A）=8×12+8×4+10×420×20=0.42．故答案为：0.42四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}(n∈N∗)中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{a n}的通项公式；（2）记（1）中您选择的{a n}的前n项和为S n，判断是否存在正整数k，使得a1，a k，S k+2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由题意利用等差数列的定义和性质，写出它的通项公式．（2）由题意利用等比数列的定义和性质，求出k的值，从而得出结论．解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此时等差数列{a n}，a1＝8，d＝4，所以其通项公式为a n＝8+（n﹣1）4＝4n+4．②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此时等差数列{a n}，a1＝2，d＝2，所以其通项公式为a n＝2n．（2）若选择①，S n=n(8+4n+4)2=2n2+6n．则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20．若a1，a k，S k+2成等比数列，则a k2=a1⋅S k+2，即（4k+4）2＝8（2k2+14k+20），整理，得5k＝﹣9，此方程无正整数解，故不存在正整数k，使a1，a k，S k+2成等比数列．若选择②，S n=n(2+2n)2=n2+n，则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6，若a1，a k，S k+2成等比数列，则a k2=a1⋅S k+2，即（2k）2＝2（k2+5k+6），整理得k2﹣5k﹣6＝0，因为k为正整数，所以，k＝6．故存在正整数k＝6，使a1，a k，S k+2成等比数列．18．如图，在△ACB中，∠ACB=π2，∠CAB=π3，AC＝2，点M在线段AB上．（1）若sin∠CMA=√33，求CM的长；（2）点N是线段CB上一点，MN=√7，且S△BMN=12S△ACB，求BM+BN的值．【分析】（1）在△CAM中利用正弦定理求得CM的值；（2）利用三角形的面积和余弦定理，即可求得BM+BN的值．解：（1）在△CAM中，已知∠CAM=π3，sin∠CMA=√33，AC=2，由正弦定理，得CMsin∠CAM =ACsin∠CMA；于是，解得CM=AC⋅sinπ3sin∠CMA=√32⋅√33=3．（2）因为S△BMN=12S△ACB，所以12⋅BM⋅BN⋅sinπ6=12×12×2×2√3，解得BM⋅BN=4√3；在△BMN中，由余弦定理得，MN2=BM2+BN2−2BM⋅BNcosπ6=(BM+BN)2−2BM⋅BN⋅(1+√32)，即(√7)2=（BM+BN）2﹣2×4√3×（1+√32），所以(BM+BN)2=19+8√3=(4+√3)2，即BM+BN=4+√3．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥AB，PA＝6，AB＝8，PD＝10，N为PC的中点，F为棱BC上的一点．（1）证明：面PAF⊥面ABCD；（2）当F为BC中点时，求二面角A﹣NF﹣C余弦值．【分析】（1）由勾股定理可得PA⊥AD，又PA⊥AB，进而得到PA⊥面ABCD，由此得证面PAF⊥面ABCD；（2）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ANF及平面NFC的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．【解答】证明：（1）因为底面ABCD为正方形，所以AD＝AB＝8，又因为PA＝6，PD＝10，满足PA2+AD2＝PD2，所以PA⊥AD，又PA⊥AB，AD⊂面ABCD，AB⊂面ABCD，AB∩AD＝A，所以PA⊥面ABCD，又因为PA⊂面PAF，所以面PAF⊥面ABCD；（2）由（1）知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建系如图所示，则A（0，0，0），P（0，0，6），B（8，0，0），C（8，8，0），D（0，8，0）则N （4，4，3），F（8，4，0），所以AF→=(8，4，0)，AN→=(4，4，3)，BC→=(0，8，0)，PC→=(8，8，−6)，设面ANF法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则由{n 1→⋅AF →=0n 1→⋅AN →=0得{8x 1+4y 1=04x 1+4y 1+3z 1=0， 令z 1=1得x 1=34，y 1=−32，即n 1→=(34，−32，1)，同理可得，面PBC 的法向量为n 2→=(3，0，4)，所以cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2|→→=34×3+0+1×4√(34)+(−32)+12×√32+42=5√6161，又二面角A ﹣NF ﹣C 的平面角为钝角，故二面角A ﹣NF ﹣C 余弦值为−5√6161．20．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP 总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升．将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ；y 表示全国GDP 总量，表中z i ＝lny i （i ＝1，2，3，4，5），z =15∑ 5i=1z i ．tyz∑ 5i=1（t i −t ）2 ∑ 5i=1（t i −t ）（y i −y ）∑ 5i=1（t i −t ）（z i −z ） 326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断y ^=bt +a 与y ^=ce dt （其中e ＝2.718…为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量．线性回归方程y ^=b ^x +a ^中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．参考数据：n 4 5 6 7 8 e n 的近似值5514840310972981【分析】（1）根据数据及图表可以判断，y ＝ce dt 更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程，对y ＝ce dt 两边取自然对数得lny ＝lnc +dt ，令z ＝lny ，a ＝lnc ，b ＝d ，得z ＝a +bt ．利用已知条件求出a ，b ，得到回归直线方程，求出回归方程即可． （2）将t ＝5.2代入y ^=e 1.405t−2.312，即可求解2020年的全国GDP 总量．解：（1）根据数据及图表可以判断，y ＝ce dt 更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程，对y ＝ce dt 两边取自然对数得lny ＝lnc +dt ，令z ＝lny ，a ＝lnc ，b ＝d ， 得z ＝a +bt ． 因为b ^=∑ 5i=1(t i −t)(z i−z )∑ 5i=1(t i −t)2=14.0510=1.405，所以a =z −b ^t =1.903−1.405×3=−2.312， 所以z 关于t 的线性回归方程为z ^=1.405t −2.312， 所以y 关于t 的回归方程为y ^=e 1.405t−2.312=(e −2.312)e 1.405t ．（2）将t ＝5.2代入y ^=e 1.405t−2.312，其中1.405×5.2﹣2.312＝4.994，于是2020年的全国GDP 总量约为：y ^=e 4.994≈e 5=148万亿元．21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为2√3，左右焦点分别为F 1，F 2，点B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当BF 2→⋅F 1F 2→=0时，|BF 2|→=32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，连接AD 并延长交C 于另一点M ，交y 轴于点N ． （i ）求△ODN 面积最大值；（ii ）证明：直线AB 与BM 斜率之积为定值．【分析】（1）根据BF 2→⋅F 1F 2→=0将x ＝c 代入x 2a +y 2b =1，进而可得|BF 2|=b 2a =32，则可求出a 的值；（2）（i ）易知ON 为△ABD 的中位线，所以N(0，−y 12)，又x 124+y 123=1≥2⋅x 12⋅1√3=11√3，则有x 1y 1≤√3，故S △ODN =14x 1y 1≤√34；（ii ）记直线AB 斜率为k =y1x 1(k ＞0)，则直线AD 斜率为y 12x 1=y 12x 1=k2，所以直线AD方程为y =k2(x −x 1)．与抛物线方程联立，则可得(3+k 2)x 2−2k 2x 1x +k 2x 12−12=0，结合根与系数关系可得y 2=k 3x 13+k2，则可得到MB 斜率为−32k，与AB 斜率相乘即可． 解：（1）设F 2（c ，0），由BF 2→⋅F 1F 2→=0，得BF 2⊥F 1F 2． 将x ＝c 代入x 2a +y 2b =1，得y =b 2a ，即|BF 2|→=b 2a =32， 由b =√3，解得a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）设B （x 1，y 1），M （x 2，y 2），则A （﹣x 1，﹣y 1），D （x 1，0） （i ）易知ON 为△ABD 的中位线，所以N(0，−y 12)， 所以S △ODN =12|x 1|⋅|−y12|=14|x 1|⋅|y 1|=14x 1y 1，又B （x 1，y 1）满足x 24+y 23=1，所以x 124+y 123=1≥2⋅x 12⋅1√3=11√3，得x 1y 1≤√3，故S △ODN=14x 1y 1≤√34，当且仅当x 12=1√3，即x 1=√2，y 1=√62时取等号， 所以△ODN 面积最大值为√34． （ii ）记直线AB 斜率为k =y 1x 1(k ＞0)，则直线AD 斜率为y 12x 1=y 12x 1=k2，所以直线AD方程为y =k2(x −x 1)．由{y =k2(x −x 1)x 24+y23=1，得(3+k 2)x 2−2k 2x 1x +k 2x 12−12=0， 由韦达定理得(−x 1)+x 2=2k 2x 13+k2，所以x 2=2k 2x 13+k2+x 1=(3k 2+3)x 13+k2，代入直线AD 方程，得y 2=k 3x 13+k2，于是，直线BM 斜率k BM =y 2−y 1x 2−x 1=k 3x 13+k 2−kx 1(3k 2+3)x 13+k 2−x 1=−32k ， 所以直线AB 与BM 斜率之积为定值−32．22．已知函数f(x)=lnx +λ(1x−x)(λ∈R)． （1）当x ＞1时，不等式f （x ）＜0恒成立，求λ的最小值；（2）设数列a n =1n (n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，证明：S 2n −S n +an 4＞ln2． 【分析】（1）求导可得f′(x)=−λx 2+x−λx 2，分λ≥12，0＜λ＜12及λ≤0三种情况讨论，结合f （x ）＜0恒成立，得出λ的最小值；（2）利用（1）可得ln(n +1)−lnn ＜12n +12(n+1)成立，进而得到ln(n +2)−ln(n +1)＜12(n+1)+12(n+2)，再类推，累加即可得证．解：（1）由f(x)=lnx +λ(1x−x)(λ∈R)，得f′(x)=−λx 2+x−λx 2， ①当λ≥12时，方程﹣λx 2+x ﹣λ＝0的△＝1﹣4λ2≤0，因式﹣λx 2+x ﹣λ在区间（1，+∞）上恒为负数，所以x ＞1时，f '（x ）＜0，函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递减， 又f （1）＝0，所以函数f （x ）＜0在区间（1，+∞）上恒成立； ②当0＜λ＜12时，方程﹣λx 2+x ﹣λ＝0有两个不等实根，且满足x 1=1−√1−4λ22λ＜1＜x 2=1+√1−4λ22λ， 所以函数f （x ）的导函数f '（x ）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上大于零，函数f （x ）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上单增， 又f （1）＝0，所以函数f （x ）在区间(1，1+√1−4λ22λ)上恒大于零，不满足题意； ③当λ≤0时，在区间(1，+∞)上f(x)=lnx +λ(1x−x)≥lnx ，函数y ＝lnx 在区间（1，+∞）上恒为正数，所以在区间（1，+∞）上f （x ）恒为正数，不满足题意；综上可知：若x ＞1时，不等式f （x ）＜0恒成立，λ的最小值为12．（2）由第（1）知：若x＞1时，lnx＜−12(1x−x)=(x+1)(x−1)2x，若n∈一、选择题*，则ln(1+1n)＜[(1+1n)+1]⋅[(1+1n)−1]2(1+1n)=2n+12n(n+1)，即ln(n+1)−lnn＜1 2n +12(n+1)成立，将n换成n+1，得ln[(1+n)+1]−ln(n+1)＜12(n+1)+12[(n+1)+1]成立，即ln(n+2)−ln(n+1)＜12(n+1)+12(n+2)，以此类推，得ln(n+3)−ln(n+2)＜12(n+2)+12(n+3)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ln2n−ln(2n−1)＜12(2n−1)+14n，上述各式相加，得ln2n−lnn=ln2＜12n+1n+1+1n+2+⋯+12n−1+14n，又S2n−S n=1n+1+1n+2+⋯+12n−1+12n，所以S2n−S n+a n4＞ln2．。
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山东省淄博市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|28,0,1,2,3,4x A x N B =∈≤=，则AB =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3,4 2.在复平面内，复数z 满足()112z i i +=-，则z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.若0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则 （ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.一段“三段论”推理是这样的：对于函数()f x ，如果()00f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点．因为函数()3f x x =满足()00f '=，所以0x =是函数()3f x x =的极值点.以上推理中（ ）A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确 5. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．52 B ．72 C. 73 D ．746. 已知{}n a 是等比数列，若1631,8a a a ==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则5T =（ ） A.3116 B.31 C. 158D.7 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为56，则输入的n 值为（ ）A ． 3B ． 4 C. 5 D ．68. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有周长为ABC ∆的面积为（ ）A．4 B．2C. 4 D．29. 已知点()2,0Q ，点(),P x y 的坐标满足条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨+≥⎪⎪⎩，则PQ 的最小值是（ ）A ．12BC. 1 D10. 已知()[][]1,0,13,0,1x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∉⎪⎩，则使()()1f f x =成立的x 的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．[]{}3,47 C. [][]0,13,4 D ．[][]{}0,13,4711. 已知直线()()()1110a x a y a a R -++--=∈过定点A ，线段BC 是圆D ：()()22231x y -+-=的直径，则AB AC =（ ）A ． 5B ．6 C. 7 D ．8 12.已知函数()ln 1x xf x x =-+在0x x =处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①()00f x x <；②()00f x x =；③()00f x x >；④()012f x <；⑤()012f x > （ ）A ． ①④B ．②④ C. ②⑤ D ．③⑤第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若525S =，则3a = ．15.已知正四棱锥，其底面边长为2，则该四棱锥外接球的表面积是 ．16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>分别交于O A B 、、三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB ∆，则p = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知()222AB AC a b c =-+． （1）求角A 的大小；（2）若6,a b ==，求ABC ∆的面积．18.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060,BAD PA PD ∠==，O 为AD 边的中点． （1）证明：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若AB PA PB ===P ABCD -的体积．19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计数据表明，样本中所有人每天用于阅读的时间（简称阅读用时）都不超过3小时，其频数分布表如下：（用时单位：小时）（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书经验交流会，从这200人中筛选出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜欢古典文学．现从这6名代表中任选2名男代表和2名女代表参加交流会，求参加交流会的4名代表中，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率．20.已知椭圆22:15x C y +=的右焦点为F ，原点为O ，椭圆C 的动弦AB 过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点M ． （1）证明：点M 在定直线上；（2）当OMF ∠最大时，求MAB ∆的面积．21. 设函数()()212x k f x x e x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0k ≤时，讨论函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是4x =，曲线C的参数方程是11x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 与曲线C 的极坐标方程； （2）若射线0,04πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭与曲线C 交于点,A O ，与直线l 交于点B ，求OA OB的取值范围．23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()221f x x x =--+．（1）解不等式()2f x ≤；（2）若b R ∃∈，不等式()a b a b f x +--≥对x R ∀∈恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5ABDBC 6-10 ACABD 11、12：CB 二、填空题13. 5 14. 17 15. 9π 16.三、解答题17.解：（1）由已知()222AB AC a b c =-+，得()222cos bc A a b c =-+， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得4cos 2bc A bc =-， 所以1cos 2A =-，又0A π<<，故23A π=； （2）由（1）知1cos ,sin 2A A =-=由正弦定理，得sin 12sin 62b AB a===，所以6B π=或56π（舍去） 从而6C π=，所以ABC ∆的面积为111sin 6222S ab C ==⨯⨯= 18.证明：（1）证明：连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，所以ABD ∆是正三角形， 所以AD BO ⊥，因为O 为AD 的中点，PA PD =， 所以AD PO ⊥，且PO BO O =，所以AD ⊥平面POB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面POB ⊥平面PAD ； （2）因为AB ABD =∆是正三角形，所以3OB =， 在Rt PAO ∆中，PA AO ==2PO =，又PB =222OB PO PB +=，所以090POB ∠=，即PO OB ⊥， 又AD PO ⊥，且OB AD O =，所以PO ⊥平面ABCD ，因为(2012sin 602ABCDS=⨯⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为123V =⨯= 19.解：（1）根据阅读用时频数分布列表可求00.5100.51201 1.550 1.52602 2.540 2.53201.65220022002200220022002200++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 故该市市民每天阅读用时的平均值为1.65小时；（2）设参加交流会的男代表为12,,A A a ，其中12,A A 喜欢古典文学， 则男代表参加交流会的方式有：1212,,A A A a A a ，共3种； 设选出的女代表为：12,,B b b ，其中B 喜欢古典文学， 则女代表参加市交流会的方式有：1212,,Bb Bb b b ，共3种， 所以参加市交流会代表的组成方式有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}112111221221221212121122,,,,,,,,,,,,,,,,,Bb A A Bb Aa Bb A a Bb A A Bb Aa Bb A a bb A A bb Aa bb A a 共9种，其中喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的是：{}{}{}{}{}1122121212121122,,,,,,,,,Bb A A Bb A A bb A A bb Aa bb A a 共5种，所以，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率是59P =． 20．解证：（1）显然椭圆22:15x C y +=的右焦点F 的坐标为()2,0， 设AB 所在直线为：()()20y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y ．联立方程组：()22215y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()()222251202050k x k x k +-+-=；其中2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 点N 的坐标为222102,,5151k k ON k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所在直线方程为：15y x k =-． FM 所在的直线方程为：()12y x k=--， 联立方程组：()1215y x ky xk ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得52M x =，故点M 在定直线52x =上； （2）由（1）得：由52M x =得点M 的坐标为51,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()2,0F ，则1151,,,2222MF MO k k ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22251cos 12514MF MO OMF MF MOk k k +∠===+ 513=≥215k =不等式取等号），若cos OMF ∠取得最小值时，OMF ∠最大，此时121212,2x x x x +==-；12AB x =-=；2FM ===；1210MAB S AB MF ∆=⨯⨯=．21.解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-， ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >，所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是[)0,+∞， ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >，所以()f x 在(),ln k -∞和()0,+∞上单调递增，在[]ln ,0k 上单调递减， ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在(),-∞∞上单调递增，④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在(),0-∞和()ln ,k +∞上单调递增，在[]0,ln k 上单调递减；（2）()01f =-， ①当0k <时，()102kf =->，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以函数()f x 在[)0,+∞上只有一个零点，在区间(),0-∞中，因为()()221122x k kf x x e x x x =-->--， 取21x k=-，于是22221111022k k f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->----=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(),0-∞上单调递减，故()f x 在(),0-∞上也只有一个零点， 所以，函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有两个零点；②当0k =时，()()1xf x x e =-在单调递增区间[)0,+∞内，只有()10f =．而在区间(),0-∞内()0f x <，即()f x 在此区间内无零点． 所以，函数()f x 在定义域(),-∞+∞上只有唯一的零点． 22.解：（1）由cos x ρθ=，得直线l 极坐标方程：cos 4ρθ=，曲线C的参数方程为11x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式得22cos 2sin ρρθρθ=+， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+； （2）设()()12,,,A B ραρα，则1242cos 2sin ,cos ρααρα=+=，所以 ()()2122cos 2sin cos sin cos cos 111sin cos 224244444OAOB αααραααπαααρ++⎛⎫====2++=++ ⎪⎝⎭，因为04πα<<，所以32444πππα<+<，所以sin 2124πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以111224444πα⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，故OA OB的取值范围是11,24⎛+ ⎝⎦．23.解：（1）()13,2113,223,2x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，原不等式等价于：1232x x ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩或122132x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或232x x ≥⎧⎨--≤⎩， 解得：1x ≤-，或123x -≤<，或2x ≥， 综上所述，不等式解集是：1|13x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或；（2）(),b R a b a b f x ∃∈+--≥恒成立等价于()()max maxa b a bf x +--≥．因为()()2a b a b a b a b a +--≤++-=，所以a b a b +--的最大值为2a ；12x ≤-时，()52f x ≤；122x -<<时，()552f x -<<；2x ≥时，()5f x ≤-，所以()max 52f x =，所以由原不等式恒成立，得：522a ≥，解得：54a ≥或54a ≤-．高考模拟数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2 ．设A,B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点,则||AB =（ ）A ．1B C D ．23．函数121()()2xf x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =5 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ） A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n - 6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 7．若函数[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=( ).A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π 8.已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ). （A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++= 9.如果不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<， 那么函数()y f x =-的大致图象是（ ）10.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( ).A ．2 B C ．12 D ．1311.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( ).A. －12B. －2C. 0D. 412．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。