考点11 菱形
11菱形的性质与判定(教案)
-举例：在复杂图形中，判断一个四边形是否为菱形，并给出证明过程。
c.菱形面积计算在实际问题中的应用：将菱形面积计算应用于实际问题，如土地测量、建筑设计等。
-举例：给出实际场景，让学生运用菱形面积计算方法解决问题。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，通过讲解、举例、练习等多种方式，帮助学生深入理解并掌握菱形的性质与判定方法，提高学生解决实际问题的能力。同时，关注学生的学习情况，针对不同学生的掌握程度，给予个别指导，确保学生理解透彻。
5.培养学生的团队合作意识：在课堂讨论与探究活动中，培养学生与他人合作、交流的能力，提高学生的团队协作素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.菱形的定义及其基本性质：理解菱形的定义，掌握菱形四边相等、对角线互相垂直平分等基本性质。
-举例：通过实际图形，让学生观察并总结菱形的特征。
b.菱形的判定方法：熟练掌握三种判定方法，并能灵活运用。
五、教学反思
在上完《11菱形的性质与判定》这一课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们在理解菱形的性质和判定方法上存在一定的难度。尤其是在对角线互相垂直平分的性质和判定方法的应用上，部分学生掌握不够熟练。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生对这些知识点的掌握情况，通过增加实例分析和练习题，帮助他们更好地理解和运用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是四条边相等的四边形，它在几何图形中具有重要的地位。菱形不仅在艺术设计中广泛应用，还在建筑和工程领域有着重要的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析菱形在实际中的应用，如钻石形状的设计，了解菱形如何帮助我们解决问题。
菱形的判定ppt11 人教版
C
5 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∴∠AOB=90° 。 ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形.
2、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E， DF∥AB交AC于F． 求证：四边形AEDF是菱形． A 证明：∵DE∥AC , DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形, ∠2=∠3 B ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 思考
除了用定义法判定一个四边形是不是菱形，我 们还能不能从菱形特有的性质出发，找到其它的判 定方法呢? 例如: 菱形的两条对角线互相垂直。 对角线互相垂直的四边形是菱形？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ？ 例如: 菱形的四条边相等。 四条边相等的四边形是菱形?
∴四边形EFGH是菱形
4、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形 E A 证明： ∵EF垂直平分AC ∴AO=CO, ∠AOE=90° ∴∠FOC=∠AOE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∴AE∥FC ∴∠AEO=∠CFO ∴△AEO≌△CFO O B F C
(3)两条邻边相等，且一条对角线平分一
组对角的四边形是菱形．
(4)一条对角线平分一个内角的平行四边形
是菱形. （√ ）
(5)两条对角线分别平分每一组内角的四边形
是菱形. （ √）
练习二
1、如图， □ABCD中，AB=5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC=4 , OB=OD=3 A D 4 O3 B
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》说课稿
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》说课稿一. 教材分析《菱形的性质》是人教版数学八年级下册第18.2.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握菱形的性质，并能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
在教材中，菱形的性质是作为一个新的概念引入的，它与之前学习的矩形、正方形等四边形有着密切的联系，但又有着自己独特的性质。
在本节课中，学生将通过观察、操作、猜想、验证等过程，掌握菱形的性质，并培养自己的观察能力、操作能力以及逻辑思维能力。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了矩形、正方形等四边形的性质，对这些性质有一定的了解。
然而，对于菱形这个新的概念，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、操作、猜想、验证等方法，逐步掌握菱形的性质。
此外，八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，能够进行一些简单的推理和证明。
因此，在教学过程中，我还可以适当引导他们进行一些证明和推理，提高他们的逻辑思维能力。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握菱形的性质，并能够运用菱形的性质解决一些简单的问题。
具体来说，学生需要能够：1.说出菱形的定义和性质；2.能够运用菱形的性质解决一些简单的问题；3.培养观察能力、操作能力以及逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是菱形的性质以及如何运用菱形的性质解决一些简单的问题。
在教学过程中，我需要引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，逐步掌握菱形的性质。
同时，我还需要给出一些具体的例子，让学生学会如何运用菱形的性质解决一些简单的问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.引导法：通过引导学生观察、操作、猜想、验证等方法，让学生主动探索菱形的性质，培养他们的观察能力、操作能力以及逻辑思维能力；2.举例法：通过给出一些具体的例子，让学生学会如何运用菱形的性质解决一些简单的问题；3.小组合作学习：学生进行小组合作学习，让学生在小组内进行讨论、交流，培养他们的合作意识以及口头表达能力。
初中数学复习几何模型专题讲解11---构造平行四边形
初中数学复习几何模型专题讲解专题11 构造平行四边形一、单选题1．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线24AC=，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=（）A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．【详解】连接BD，交AC于点O，由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，又∵AB//CD，EF//BD∴DE//BG，BD//EG在四边形BDEG中，∵DE//BG，BD//EG∴四边形BDEG是平行四边形∴BD=EG在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12∴OD=OB=5∴BD=EG=10故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．2．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（）A．2 B．3 C．6 D．2或6【答案】D分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【详解】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC-BF=6-2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF-BC=2t-6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．3．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，证明见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，由矩形的判定可证四边形ADCE 为矩形；（2）利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC＝DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE＝BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；（3）由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，即可证四边形ADCE是正方形．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD＝CD＝BD，又∵四边形ADCE是矩形，∴四边形ADCE是正方形．【点睛】本题考查平行四边形、矩形和正方形的判定方法，掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=【答案】（1）∠DEF=∠B，理由见解析；（2）32【分析】（1）延长EF交BC于G，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；（2）根据三角形一边的中线平分三角形的面积，即可得到结论．【详解】（1）∠DEF=∠B，理由如下：延长EF交BC于G，∵∠BDC=∠EFD，∴EF∥BD，∵∠AED=∠ACB，∴DE∥BC，∴四边形DEGB是平行四边形，∴∠DEF=∠B ；（2）∵F 是CD 边上的中点，S △DEF =4，∴S △DEC =2S △DEF =8，∵E 是AC 边上的中点，∴S △ADC =2S △DEC =16，∵D 是AB 边上的中点，∴S △ABC =2S △ACD =32．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．5．已知，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，E 、P 分别是边BC 和CD 上的点，且60EAP ∠=︒．（1）求证：BC EC CP =+（2）如图2，F 在CA 延长线上，且FE FB =，求证：AF EC =（3）如图3，在（2）的条件下，6AF =，10BE =，O 是FB 的中点，求OA 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7【分析】（1）连接AC ，如图1，根据菱形的性质得AB=BC ，而∠B=60°，则可判定△ABC 为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB ，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF ，然后利用ASA 可证明△AEB ≌△AFC ，即可解答；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，利用平行线的性质求得△FHC 是等边三角形，得到CF=CH=FH ，然后利用AAS 定理求得△HBF ≌△CEF ，从而问题得解； （3）过点B 作BK ∥FC ，交HF 于点K ，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF 是平行四边形，从而求得12OA AK =，FK=16，过点A 作AM ⊥FH ，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=132AF =,AM ==从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）连接AC ，如图1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC ，∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB ，∴∠BAE+∠EAC=60°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACP=60°，∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°， ∴∠BAE=∠CAP ，在△AEB 和△APC 中，BAE CAP AB ACB ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEB ≌△APC ，∴BE=CF∴BC EC BE EC CP =+=+；（2）过点F 作FH ∥AB ，交CB 的延长线于点H∵FH∥AB∴∠H=∠CGH=60°∴△FHC是等边三角形∴CF=CH=FH又∵△ABC是等边三角形∴CA=CB∴AF=BH又∵FB=FE∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC在△HBF和△CEF中FBH FECFHB FCE FH FC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△HBF≌△CEF∴BH=EC∴AF=EC（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，∵BK ∥FC ，FH ∥AB∴四边形KBAF 是平行四边形∴KB=AF=EC=6，12OA AK = ∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16过点A 作AM ⊥FH由（2）可知，∠CFH=60°∴在Rt △AMF 中，∠MAF=30°∴MF=132AF =,AM == ∴KM=16-3=13在Rt △AKM 中，14AK ===∴AO=7．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．6．如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）过点A （3，4），直线AC 与x 轴交于点C （6，0），过点C 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B ，（1）求反比例函数和直线AC 的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有D点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为：y＝12x；直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）3；（3）符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y＝kx求得k的值，然后将A，C坐标代入直线解析式解答即可；（2）把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；（3）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D 的坐标即可．【详解】解：（1）把点A（3，4）代入y＝kx（x＞0），得k＝xy＝3×4＝12，故该反比例函数解析式为：y＝12x，把A（3，4），C（6，0）代入y＝mx+n中，可得：34 60 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：438mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线AC的解析式为：y＝﹣43x+8；（2）∵点C（6，0），BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝12x，得y＝126＝2，则B（6，2），所以△ABC的面积＝1(63)232⨯-⨯=；（3）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD＝BC．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y A﹣y D＝y B﹣y C即4﹣y D＝2﹣0，故y D＝2．所以D（3，2）．②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′＝CB．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴点D的横坐标为3，y D′﹣y A＝y B﹣y C即y D﹣4＝2﹣0，故y D′＝6．所以D′（3，6）．③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且AC∥BD″．∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），∴x D″﹣x B＝x C﹣x A即x D″﹣6＝6﹣3，故x D″＝9．y D″﹣y B＝y C﹣y A即y D″﹣2＝0﹣4，故y D″＝﹣2．所以D″（9，﹣2）．综上所述，符合条件的点D 的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，﹣2）．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（3）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想． 7．如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【答案】见解析【分析】延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，构造平行四边形，利用条件证明△ABF ≌△CAD ，可得出∠BAF ＝∠ACD ，再结合条件可得到∠ANC ＝90°，可证得结论．【详解】证明：延长AM 到F ，使MF ＝AM ，交CD 于点N ，∵BM ＝EM ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＋∠BAE＝180°，∴∠ABF＝∠CAD，∵BF＝AE，AD＝AE，∴BF＝AD，在△ABF和△CAD中，BF ADABF CADAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CAD（SAS），∴∠BAF＝∠ACD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAF＝90°，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AM⊥CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF ＝∠ACD 是解题的关键．8．如图所示，CD 是ABC ∆的中线，12∠=∠，求证：AE BC =.【答案】见解析【解析】【分析】要证AE BC =，可设法将AE 、BC 集中到一个图形中，由已知CD 是ABC ∆的中线，故倍长中线可得到平行四边形AFBC .【详解】证明：延长CD 至F ，使DF CD =，连AF ，BF ，又∵DA DB =，∴四边形AFBC 为平行四边形，21AFC ∴∠=∠=∠，AE AF BC ∴==.【点睛】中线倍长，利用平行四边形的判定定理对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此达到转移线段或角的目的.9．如图所示，ABCD 中，E 是BC 的中点，9AE =，12BD =，10AD =.求证：AE BD ⊥.【答案】见解析【解析】【分析】过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，得四边形AEFD 为平行四边形，由已知可得△BDF 三边长，再由勾股定理可知∠BDF =90°，即可证明结论.【详解】证明：过D 作DF AE ∥交BC 的延长线于F ，AE DF ∴∥，又AD EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，10EF AD ∴==，9DF AE ==，15BF ∴=.22222129225BD DF BF +=+==，90BDF ∴∠=︒，∴AE BD ⊥.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，关键是平移AE 构造△DBF ，证出△BDF 是直角三角形．10．如图所示，ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为BC ，AC 上一点，BD CE =，AE BC =，求证：AD .【答案】见解析【解析】【分析】过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则ADBG 为平行四边形．再证明AEG CBE ∆∆≌，则GE =BE ，得△ADF 为等腰直角三角形即可证明结论【详解】证明：过A 作AG BD ，且AG BD =，连BG ，EG ，则四边形ADBG 为平行四边形，∵∠C =90°，∴∠GAE =∠C =90°，在△AEG 和△CBE 中，AG=CE AE=CB GAE C ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，AEG CBE ∆∆≌，∴GE =BE ，∠GEA =∠EBC ，∴∠GEB =90°. BEG ∴为等腰直角三角形，∴AD BG ==【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．如图所示，四边形ACED 中，CE AD ∥，以DC ，DE 为边作平行四边形DCFE ，EC 的延长线交AF 于B ，求证：AB FB =.【答案】见解析【解析】【分析】延长FC 交AD 于点G ，可证明四边形CEDG 为平行四边形，可得FC =DE =CG ，可知BC 为△F AG 的中位线，可证明AB =FB ．【详解】证明：如图，延长FC 交AD 于点G ，∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CF ∥DE ，CF =DE ，又∵CE ∥AD ，∴四边形CEDG 为平行四边形，∴CG =DE ，∴CF =CG ，且BC ∥AG ，∴BC 是△F AG 的中位线，∴B 为AF 的中点，即AB =FB ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边分别平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形．12．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CE BG =.【答案】见解析【解析】【分析】要证CE BG∥，故过F作=，可设法将CE、BG集中到一个图形中，由已知FG ABFM BC，从而得到平行四边形FMBG.【详解】证明：过F作FM BC交AB于M，又FG AB∥，∴四边形FMBG是平行四边形，B BAC ACD BAC∠+∠=︒=∠+∠，∴=，由90BG FM∴∠=∠=∠，又AE平分CABB ACD AMF∠，∴=，又CEF B BAE ACD CAE CFE∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴∆≅∆，CF MFACF AMF∴=，CE CF∴=.CE BG【点睛】此题主要考查平行四边形性质和判断理解及运用．利用平行四边形的判定定理作平行线，可构造平行四边形来达到转移线段或角的目的. 正确作出辅助线是解答本题的关键．13．如图所示，四边形ACED中，CE AD∥，以DC，DE为边作平行四边形DCFE，EC的延长线交AF于B，求证：2.AF BF【答案】见解析【解析】【分析】∥交CB的延长线于M，连结FM，先证明四边形AMED是平行四边形，过A作AM DE再证明四边形AMFC为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证.【详解】∥交CB的延长线于M，连结FM，证明：过A作AM DE∥，∵CE AD∴四边形AMED是平行四边形，∴AM=ED，∵四边形DCFE是平行四边形，∴DE∥CF,DE=CF,∴AM平行且等于CF，∴四边形AMFC为平行四边形，∴AB FB=，∴2=.AF BF【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形.=.14．如图所示，在三角形ABC中，AD是中线及角平分线，求证：AB AC【答案】见解析【解析】【分析】=，连结BE，CE，证四边形ABEC是平行四边形，得到BE=AC，延长AD至E，使DE ADBE∥AC，再证明△ABE是等腰三角形即可.【详解】证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，∵ BC、AE，相互平分，∴ ABEC是平行四边形，∴BE=AC，BE∥AC，∴∠BAD=∠DAC=∠BED，∴ AB=BE ，∴ AB=AC.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．如图所示，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分CAB ∠交BC 于E ，交CD 于F ，FG AB ∥交BC 于G .求证：CG BE =.【答案】见解析【解析】【分析】过F 作FM BC 交AB 于M ，可证四边形BMFG 为平行四边形，从而FM BG =，再证明AFM AFC ∆≅∆，可证CF FM =，再证明CE=CF ，即可得出结论.【详解】证明：过F 作FM BC 交AB 于M ，∵FG AB∥，∴四边形BMFG为平行四边形，∴FM BG=，∵∠ACD+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，∴∠B=∠ACD，∵FM BC，∴AMF B∠=∠.∠=∠=∠.∴AMF B ACD∵AE平分CAB∠，∴∠CAF=∠BAF，∆≅∆.∴AFM AFC=.∴CF FM∠=∠+∠+∠=∠，又CEF B ACF CAE CFE∴CE=CF，∴CE CF BG==，∴CG BE=.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及等腰三角形的的判定，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．如图，已知AD 为△ABC 的中线，点E 为AC 上一点，连接BE 交AD 于点F ，且AE ＝FE.求证：BF ＝AC ．【答案】证明见解析【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，再根据AE ＝FE ，得到角的关系，从而证明BGF CHA ∆≅∆，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连接BG ，CG ，∵DG ＝AD ，BD ＝DC ，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴AC//BG ，∠CAD ＝∠BGD ，又∵AE ＝FE ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∴∠BGD ＝∠AFE ＝∠BFG ，∴BG ＝BF ，∵BG ＝A C ，∴BF ＝AC方法二：如图，分别过点B 、C 作BG AD ⊥，CH AD ⊥，垂足为G 、H ，则90BGD CHD ∠=∠=︒.BD CD =，BDG CDH ∠=∠，BDG CDH ∴∆≅∆，BG CH ∴=.AE FE =，EAF EFA ∴∠=∠，BFG EFA ∠=∠，BFG CAH ∴∠=∠，又90BGF CHA ∠=∠=︒，BGF CHA ∴∆≅∆，BF AC ∴=.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.17．如图，D 为ABC 的AB 边上一点，E 为AC 延长线上的一点，且CE=BD ． （1）当AB=AC 时，求证：DE>BC（2）当AB≠AC 时，DE 与BC 有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；（2）当AB AC时，我们要分AB>AC和AB<AC两种情况来讨论，其中：①当AB>AC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；③当AB>AC，且AB<AE时，如图4，延长AB到F，使AF=AE，在AE上截取AN=AD，连接NF，易证△AFN≌△AED，可得∠F=∠AED，由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；④当AB<AC<AE时，如图5，延长AB至F，使AF=AE，在AC上截取AN=AD；过点D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接ME；同上可证：DE>BC.试题解析：（１）作DF∥BC，CF∥BD（如图1），得□BCFD，从而∠DFC＝∠B，DF＝BC，CF＝BD．又BD＝CE，∴CF＝CE，∴∠1＝∠2．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．而∠DFE＝∠DFC＋∠1＝∠B＋∠1＝∠ACB＋∠2＞∠AED＋∠2＝∠DEF，即在△DEF中，∵∠DFE＞∠DEF，∴DE＞DF，即DE＞BC．（２）当AB≠AC时，DE与BC的大小关系如下：当AB＞AC但AB＝AE时，DE＝BC；当AB＞AC且AB＞AE时，DE＜BC；当AB＞AC但AB＜AE时，DE＞BC；当AB＜AC时，DE＞BC．证明如下：①当AB＞AC但AB＝AE时（如图2），∵BD＝CE，∴AB－BD＝AE－CE，即AD＝AC．在△ABC和△AED中，∵AB＝AE，∠A＝∠A，AC＝AD，∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝ED；②当AB＞AC且AB＞AE时，延长AE到F，使AF＝AB，在AB上截取AN＝AC（如图3），连结NF．在△ABC和△AFN中，∵AB＝AF，∠A＝∠A，AC＝AN，∴△ABC≌△AFN（SAS），∴∠B＝∠F．∵∠AED＞∠F，∴∠AED＞∠B．过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠B，CM＝BD，DM=BC，∵BD=CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠B＜∠AED，∴∠CME＋∠DMC＜∠AED＋∠CEM，即∠DME＜∠DEM，∴DE＜DM，∴DE＜BC；③当AB＞AC但AB＜AE时，延长AB到F，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图4），连结NF,在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠A，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D点作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连接EM，则四边形DBCM为平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM，∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CME＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴ DE＞DM，∴ DE＞BC；④当AB＜AC时，此时，AB必小于AE，即AB＜AE延长AB到Ｆ，使AF＝AE，在AE上截取AN＝AD（如图5）．连结NF．在△AFN和△AED中，∵AF＝AE，∠A＝∠，AN＝AD，∴△AFN≌△AED（SAS），∴∠F＝∠AED，即∠F＝∠4．∵∠ABC＞∠F，∴∠ABC＞∠AED，过D作DM∥BC，过点C作CM∥AB，连结CM，则四边形DBCM平行四边形，∴∠DMC＝∠ABC，CM＝BD，DM=BC，∵BD＝CE，∴CM＝CE，∴∠CME＝∠CEM．∵∠DMC＝∠ABC＞∠AED，∴∠DMC＋∠CDE＞∠AED＋∠CEM，即∠DME＞∠DEM，∴DE＞DM，∴DE＞BC.点睛：本题这种由一个“基本情形”（特殊情形）推广到“一般情形”的探究型问题，首要的是要弄清基本问题的解题思路（本题就是把线段BC通过平移到DM的位置，从而使两条分散的线段集中到一个△DME中，再利用“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”来解决问题的）；而在推广到“一般情形”时，就是通过作辅助线把“一般情形”转化为“基本情形”来解（本题中第二问就是按这样的思路来寻找到解题方法的）.三、填空题18．如图，在梯形ABCD 中，AB CD AD BC =，∥ ，对角线AC BD ⊥，且AC =则梯形ABCD 的中位线的长为_________.【答案】5【解析】【详解】解：过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E ，∵AB ∥CD ，CE ∥BD ，∴四边形DBEC 是平行四边形，∴CE=BD ，BE=CD∵等腰梯形ABCD 中，AC=BD ∴CE=AC∵AC ⊥BD ，CE ∥BD ，∴CE ⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC=∴AC=10，∴AB+CD =AB+BE=10，∴梯形的中位线=12AE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．。
第十一节-菱形
菱形【知识要点】1. 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质：具有平行四边形的性质,四条边都相等,两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
3. 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【典型例题】例1（1）菱形的面积是12cm 2，两条对角线的长度是2﹕3，则它的两条对角线长分别为 、 .（2）在菱形ABCD 中，∠A=120°，周长为14.4cm ，则较长的对角线的长分别为 cm.（3）菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 .例2 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16㎝，BD=12㎝，求菱形的高DH.例3 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=10，求:（1）∠ABC 的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积.A例4 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，E 、F 为垂足，FG ⊥AC ，EH ⊥AB ， 且交于Q ，其中G 、H 为垂足，求证：四边形DEQF 为菱形.例5 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，求∠FPC 的度数.例6 如图，在△ABC 中，∠CAB、∠ABC 的平分线交于点D ，DE∥AC 交BC 于点E ，DF∥BC 交AC 于点F ．求证:四边形DECF 为菱形．CDB【大展身手】1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OED ．OB=OE2．如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ） A ．四边形ABCD 是平行四边形 B ．AC ⊥BD C ．△ABD 是等边三角形D ．∠CAB ＝∠CAD3．菱形的面积为24cm 2，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为 cm ，边长为 cm ，高为 cm.4．一个菱形的一条较长的对角线长是2cm ，它的一个内角是120°，则它的边长是 . 5．一个菱形的两条对角线长分别是30cm 和40cm ，则它的边长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高为8cm ，则菱形的周长为 ，对角线的长一条是另一条的2倍，它们的长分别是 ， .7．已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 是垂足，AF ⊥CD ，F 是垂足，若E 、F 分别是BC 和CD 的中点， 则∠EAF= 度.8．若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则该菱形的两个相邻内角的度数分别是 和 .9．菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为 . 10．如图，如果要使□ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么 你添加的条件是 ．11．如图，DE 是□ABCD 中∠ADC 的平分线，EF ∥AD 交DC 于F. 求证:（1）四边形AEFD 是菱形；（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD 的面积.ABCDO12．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ﹕BD=1AB=12，求菱形ABCD 的面积.13．如图，已知□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线交BC 、AD 于点E 、F ，求证:四边形AECF 是菱形.14．将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证:△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．15．如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ，求证:∠AFD=∠CBE.BBBCDEF。
菱形知识讲解
菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，AH=，AG=．，2【思路点拨】由菱形的定形DECF是平行四【答案与解析】解：四边形DECF∵DE∥AC，∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵ AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴ AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE 平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD 的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；【答案】证明：(1) ABCD中，∵E、F分别为4中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．第11页共11页。
11菱形的性质与判定(2)作业
小组________________ 姓名______________
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形；（）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形；（）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（）
(4).对角线相等的四边形是菱形；（）
2.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，
重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，
∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于_______；
3.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．
3.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
A
E
D
B C。
专题：菱形的性质与判定
专题：菱形的性质与判定菱形的性质11、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD 和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。
9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是_____菱形的性质2一、选择题1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图1）则∠E AF 等于（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°图1 图24．已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24，且AE =6，则菱形的边长为（ ） A ．12B ．8C ．4D ．25．菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是2 cm ，则另一条对角线的长约是（ ） A ．4cmB ．1cmC ．3.4cmD ．2cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“×”） 1．两组邻边分别相等的四边形是菱形．（ ） 2．一角为60°的平行四边形是菱形．（ ） 3．对角线互相垂直的四边形是菱形．（ ） 4．菱形的对角线互相垂直平分．（ ） 三、填空题1．如图3，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =21A D ，则四个内角为________．图3 图42．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，如图4，其他三边长为________；周长为________．3．菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________．4．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，则它的一组对边的距离等于_________cm ，它的面积等于________cm 2．5．菱形ABCD 中，如图5，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ，BD =________cm．图5 图6四、解答题∠如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：（1）BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长.菱形的性质3一．选择题（共4小题）1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2B．C．1D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1B．4：1C．5：1D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15B．C．7.5D．二．填空题（共15小题）5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，则∠BDE的周长为_________．9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C ﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE∠AB于点E，PF∠AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∠BC交AB于E，PF∠CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∠AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE∠AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE∠AD、BF∠CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，∠ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形的判定11、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？EOBCF DA3、 如图，AD 是△ABC 的角平分线。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）若BC=6，tanB=43，求四边形ADCE的周长．2．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE△CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB△△CFD；（2）连接AF，CE，若△AFE=△CFE，求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当△B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．4．如图，在ΔABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE//BC交AB于点E，作DF//AB交BC于点F.（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BED=150°，∠C=45°，CD=3√2，求菱形BEDF的周长.5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E 是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①AE=cm时，四边形CEDF是矩形.②AE=cm时，四边形CEDF是菱形.6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF△AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？7．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF△BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．8．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求EC的长．9．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−6，8)．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是CD 边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点 F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N 分别是线段AG，DG 上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设DN＝x．①求证四边形AFGD 为菱形；②是否存在这样的点N，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．11．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．12．综合与探究如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴的另一交点为( −√33，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=√33x+43与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13．在平面直角坐标系中，直线y=−3x−52交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=−34x+3交x轴于点C，交y轴于点D.（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y=−34x+3上存在点E，使得∠ABE=45°，求点E的坐标；（3）如图3，在(2)的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标.14．定义：如图（1），E，F，G，H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为菱形，我们称菱形EFGH为四边形ABCD的内接菱形.（1）动手操作：如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由36个小正方形组成一个大正方形ABCD，点E、F在格点上，请在图（2）中画出四边形ABCD的内接菱形EFGH；（2）特例探索：如图3，矩形ABCD，AB=5，点E在线段AB上且EB=2，四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度；（3）拓展应用：如图4，平行四边形ABCD，AB=5，∠B=60°，点E在线段AB上且EB=2，①请你在图4中画出平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；②在①的条件下，当BF的长最短时，BC的长为.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的△O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D 作DF△AC于F.（1）求证：DF与△O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为.②当△CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：.16．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD△y轴，且BD△AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）解：在RtΔABC中，BC=6，tanB=ACBC=43，∴AC=43BC=43×6=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴CD=12AB=5，∵四边形ADCE为菱形，∴CD=DA=AE=EC=5，∴菱形ADCE的周长为：5×4=20．2．【答案】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB△DC，AB=DC，∴△1=△2，∵AE△CF，∴△3=△4，在△AEB和△CFD中，{∠3=∠4∠1=∠2 AB=CD，∴△AEB△△CFD（AAS）（2）证明：∵△AEB△△CFD，∴AE=CF，∵AE△CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∵△5=△4，△3=△4，∴△5=△3．∴AF=AE．∴四边形AFCE是菱形3．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED△BC，又∵AC△BC，∴ED△AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD△AC．∴CE是是△ABC斜边上的中线∴CE＝12AB，∵CE＝AE＝AF．∴△F＝△5＝△1＝△2．∴△FAE＝△AEC．∴AF△EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形（2）解：当△B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵△ACB＝90°，△B＝30°，∴AC＝12AB，由（1）知CE＝12AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形．4．【答案】（1）证明：∵DE//BC，DF//AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=BE，∴∠DFB=∠BED=150°，∴∠DFH=180°−∠DFB=30°，∵DH⊥BC，∴∠DHF=∠DHC=90°，∴DH=12DF，∵∠C=45°，∴ΔCDH是等腰直角三角形，∴DH=CH=√22CD=√22×3√2=3，∴DF=2DH=6，∴菱形BEDF的周长=4DF=24.5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BF，∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，∵G是CD的中点，∴GD=GC，∴△GED△ △GFC，∴DE=CF，而DE//CF，∴四边形CEDF是平行四边形（2）4；26．【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE△BC.又∵EF△AB，∴四边形DBFE是平行四边形（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= 12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE= 12BC.∵AB=BC，∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形7．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF△BC，∴△AFE＝△DBE，在△AEF和△DEB中，{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEBAE=DE，∴△AEF△△DEB（AAS），∴AF＝DB，又∵AF△BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝12BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形.（2）解：∵D是BC的中点，∴S△ACD＝S△ABD＝12S△ABC，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF＝2S△ACD=S△ABC=12AC·AB＝12×3×4＝6．8．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC ∴∠DAC=∠BCA．由题意得：∠BCA=∠B′CA∴∠DAC=∠B′CA，∴EA=EC∵AD//BC，AF//CE，∴四边形AFCE为平行四边形∵EA=EC∴四边形AFCE是菱形．（2）解：如图所示，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C′=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4设AE=CE=x，则EB′=(8−x)．在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，即42+(8−x)2=x2，∴x=5．∴EC=5．9．【答案】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(−6，8)．∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，∴BO=√OC2+BC2=10；由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，∴OE=BO−BE=10−6=4，∠OED=90°，设D(0，a)，则OD=a，DE=AD=OA−OD=8−a，在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即(8−a)2+42=a2，解得：a=5，∴D(0，5)；（2）解：存在，①OM，OE都为边时，OM=OE=4，∴M的坐标为(4，0)，（-4，0）②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1则OG= 12OE=2，∵B(−6，8)，∴OB的解析式为：y=−43x，设E(x，−43x)，M(a，0)，∴x2+(43x)2=16， ∴x =−125，x =125 （舍去）， ∴E(−125，165)，由 OM =EM 可得： (a +125)2+(165)2=a 2，解得： a =−103∴M （ −103，0） ③OM 为对角线，OE 为边，如图2由②得：M （ −245，0） 综上所述：点M 的坐标为 (4，0) 或 (−4，0) 或 (−103，0) 或 (−245，0) ； 10．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝8， ∴△B ＝△BCD ＝90°，由翻折可知：AD ＝AF ＝10．DE ＝EF ，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8−x ． 在Rt△ABF 中，BF ＝ √AF 2−AB 2=6 ， ∴CF ＝BC−BF ＝10−6＝4，在Rt△EFC 中，则有：(8−x)2＝x 2＋42， ∴x ＝3， ∴CE ＝3．（2）解：①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD△BC ∴△ADE△△GCE ，∴ADGC=DECE，∵AD=10，CE=3，DE=5，∴10GC=53，∴GC=6，由（1）可得：CF=4，∴GF=6+4=10，∴四边形AFGD是平行四边形，又∵AD=AF，∴平行四边形AFGD是菱形．②∵△DMN=△DAM，∴若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，当△MDN=90°时，∵AD=GD，∴△DAG=△DGA又∵△ADE=△GDM=90°，∴△ADE△△GDM（ASA）∴DM=DE=5，又∵△DMN=△DAM，△ADE=△MDN=90°，∴△ADE△△MDN∴ADMD=DEDN，即105=5x，∴x=5 2；当△DNM=90°时，则△MDN+△DMN=90°，又∵△DMN=△DAM，△DAG=△DGA，∴△DMN=△DGA，∴△MDN+△DGA=90°，∴△DMG=90°，∵sin△DAE= DEAE=DMAD，∵AE=√AD2+DE2=5√5，∴5√5=DM10，∴DM= 2√5，∵△DMN=△DAM∴sin△DMN=sin△DAM∴DEAE=DNDM，即5√5=2√5解得：x=2，综上所述：x=52或2．11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD△BC，∴△AEF=△EFC，由折叠的性质，可得：△AEF=△CEF，AE=CE，AF=CF，∴△EFC=△CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴△D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c212．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( −√33，0)，∴{c=01 3−√33b+c=0，解得：{b=√3 3c=0；∴y=x2+√33x.（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵{y=x2+√33xy=√33x+43，解得：{x1=2√33y1=2,{x2=−2√33y2=23，∴A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，过点A分别作AC△ x轴，AD△A′B，垂足分别为C，D，∴AC= 23，OC=2√33，在RtΔAOC中OA= √AC2+OC2=43，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( 2√33,−23)，AA′= 83，∵B( 2√33,2)，∴A′B=2-(- 23)=83，又∵A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，∴AD= 4√33，BD= 43，在RtΔABD中AB= √AD2+BD2=83，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P ，且以点A 、B 、A′、P 为顶点的菱形分三种情况； 设点P 的坐标为：（x ，y ）．①当A′B 为对角线时，有 {x −2√33=2√33×2y =23， 解得： {x =2√3y =23， ∴点P 为： (2√3,23) ；②当AB 为对角线时，有 {x =−2√33y −23=23+2， 解得： {x =−2√33y =103， ∴点P 为： (−2√33,103) ；③当AA′为对角线时，有 {x =−2√33y +2=23−23 ， 解得： {x =−2√33y =−2， ∴点P 为： (−2√33,−2) ；综合上述， P 1(−2√33,103) , P 2(−2√33,−2) , P 3(2√3,23)13．【答案】解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点 D(0,3) 、 (4,0) ，则 BD =3+52=112，CC =4 ， ΔBCD 的面积 =12×BD ×OC =12×112×4=11 ； (2) 如图2，在直线 y =−34x +3 上存在点E ，使得 ∠ABE =45° ，求点E 的坐标；解：过点E 作 BE 的垂线交 AB 于点R ，过点E 作y 轴的平行线交过点R 与x 轴的平行线于点G ，交过点B 与x 轴的平行线于点H ，设点 E(m,−34m +3) ，点 R(n,−3n −52) ，∵∠ABE =45° ，故 ER =EB ，∵∠REG +∠BEH =90° ， ∠BEH +∠EBH =90° ， ∴∠REG =∠EBH ，∵∠EHB =∠RGE =90° ， EB =ER ， ∴ΔEHB ≅ΔRGE(AAS) ， ∴RG =EH ， BH =GE ，即 m =−3n −52+34m −3 ， −34m +3+52=m −n ，解得 {m =2n =−2，故点 E(2,32) ；(3) 如图3，在 (2) 的条件下，连接 OE ，过点 E 作 CD 的垂线交y 轴于点F ，点P 在直线 EF 上，在平面中存在一点Q ，使得以 OE 为一边， O ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q 的坐标.(6,173) 或 (625 ， −15175) 或 (32 ， 2) 或(−32 ， −2) （1）解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点D(0,3)、(4,0)，则BD=3+52=112，CC=4，ΔBCD的面积=12×BD×OC=12×112×4=11；（2）解：过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，设点E(m,−34m+3)，点R(n,−3n−52)，∵∠ABE=45°，故ER=EB，∵∠REG+∠BEH=90°，∠BEH+∠EBH=90°，∴∠REG=∠EBH，∵∠EHB=∠RGE=90°，EB=ER，∴ΔEHB≅ΔRGE(AAS)，∴RG=EH，BH=GE，即m=−3n−52+34m−3，−34m+3+52=m−n，解得{m=2n=−2，故点E(2,3 2)；（3）(6,173)或(625，−15175)或(32，2)或(−32，−2)14．【答案】（1）解：如图2所示，菱形EFGH即为所求；（2）解：如图3，连接HF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD//BC，AB=CD=5，∴∠DHF=∠HFB，∵四边形EFGH是菱形，∴GH=EF，GH//EF，∴∠GHF=∠HFE，∴∠DHF−∠GHF=∠BFH−∠HFE，即∠DHG=∠BFE，∴ΔDHG≅ΔBFE(AAS)∴DG=BE=2，∴CG=CD−DG=5−2=3；（3）解：①如图4所示，由（2）知：ΔDHG≅ΔBFE，∴DG=BE=2，作法：作DG= 2，连接EG，再作EG的垂直平分线，交AD、BC于H、F，得四边形EFGH即为所求作的内接菱形EFGH；②1+√615．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴△ABC＝△C，连接OD，∵OB ＝OD ，∴△ABC ＝△ODB ，∴△ODB ＝△C ，∴OD ∥AC ，∵DF△AC ，∴OD△DF ，∴DF 与△O 相切；（2）6；30；菱形16．【答案】（1）①当x=4时， y =4x=1 ∴点B 的坐标是（4，1）当y=2时，由得 y =4x得x=2 ∴点A 的坐标是（2，2）设直线AB 的函数表达式为 y =kx +b∴{2k +b =24k +b =1 解得 {k =−12b =3∴直线AB 的函数表达式为 y =−12x +3 ②四边形ABCD 为菱形，理由如下：如图，由①得点B （4，1），点D （4，5）∵点P 为线段BD 的中点∴点P 的坐标为（4，3）当y=3时，由 y =4x 得 x =43 ，由 y =20x 得 x =203， ∴PA= 4−43=83，PC= 203−4=83 ∴PA=PC而PB=PD ∴四边形ABCD 为平行四边形又∵BD△AC∴四边形ABCD 是菱形（2）四边形ABCD 能成为正方形当四边形ABCD 时正方形时，PA=PB=PC=PD （设为t ，t≠0），当x=4时， y =m x =m 4∴点B 的坐标是（4， m 4 ）则点A 的坐标是（4-t ， m 4+t ）∴(4−t)(m 4+t)=m ，化简得t= 4−m 4∴点D 的纵坐标为 m 4+2t =m 4+2(4−m 4)=8−m 4则点D 的坐标为（4， 8−m 4 ）所以 4×(8−m 4)=n ，整理得m+n=32。
菱形的性质与判定之八大考点(解析版)--初中数学专题训练 (2)
菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。
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考点11 菱形一．选择题（共4小题）1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等 B．对角线一定相等C．是轴对称图形 D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．2．（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A．B．2 C．5 D．10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故选：C．3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．4．（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【解答】解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC，∴BC=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24．故选：A．二．填空题（共6小题）5．（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC=，则BE的长为3或5 ．【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=，∵tan∠EAC==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=，∵tan∠EAC==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=5，故答案为：3或5；6．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 2 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC==，∴OB=1，∴BD=2．故答案为2．7．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．8．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（﹣5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB=5，∴AD=5，∴由勾股定理知：OD===4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．9．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为（，﹣）．【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以△OBH 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴OH=B′H=OB′=，∴点B′的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．10．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法即可判断．【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB=BC或AC⊥BD．三．解答题（共10小题）11．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．14．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）延长OA到E，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，又∠BOE=∠ABO+∠BAO，∴∠BOE=2∠BAO，同理∠DOE=2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）即∠BOD=2∠BAD，又∠C=2∠BAD，∴∠BOD=∠C；（2）连接OC，∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，又∠BOD=∠BCD，∴∠BOC=∠BCO，∴BO=BC，又OB=OD，BC=CD，∴OB=BC=CD=DO，∴四边形OBCD是菱形．15．（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明．（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．16．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．17．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF 是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．【解答】解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．18．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD∴AB=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，∵AB=5，AO=3，∴BO===4，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．19．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD 可得结论；（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF=∠EBF，∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，∴△AFD≌△BFE，∴AD=EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵BD=AD，∴四边形AEBD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCB，∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，∴tan∠ABE==3，∵BF=，∴EF=，∴DE=3，∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．20．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC=90°，E是BC的中点，∴AE=CE=BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=，∵，∴AH=，∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，∴CD=CE=5，∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，∴EF=AH=．。