立方根
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中一个重要的概念，在代数学和数值计算中都有广泛的应用。
它是指一个数的立方等于给定数的运算。
本文将介绍立方根的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、立方根的定义对于一个实数a，如果存在一个实数x，满足x³ = a，那么x被称为a的立方根。
可以表示为x = ∛a。
其中，立方根符号∛可以理解为"立方根"或者"开三次方"。
二、立方根的性质1. 立方根的唯一性：每个正实数都有唯一的正立方根。
负实数的立方根在复数范围内存在多个。
2. 立方根的运算性质：a) 任意实数的立方根是实数或者复数。
b) 立方根运算具有可交换性，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
c) 立方根运算具有可分配性，即∛(a + b) ≠ ∛a + ∛b。
d) 立方根运算具有结合性，即∛(∛a) = ∛(a^(1/3)) = a^(1/9)。
即连续开两次立方根等于开九次方。
3. 立方根的特殊情况：a) 如果一个实数的立方根等于自身，即x³ = x，那么这个实数被称为立方根的不动点。
b) 如果一个实数的立方根等于负数，即x³ = -a，那么这个实数被称为立方根的负不动点。
三、立方根的计算方法计算立方根的方法主要有以下几种：1. 近似计算法：根据牛顿迭代方法，可以通过逐步逼近来计算立方根。
迭代公式为：xₙ₊₁ = (2 * xₙ + a / xₙ²) / 3其中，xₙ代表第n次逼近的结果，a为待开立方根的数值。
通过迭代计算，当xₙ₊₁与xₙ的差值小于某个精度要求时，可以得到一个近似的立方根值。
2. 公式法：对于较小的整数或一些特殊数值，可以利用一些特定的公式来求解。
例如，对于一个正整数n，其立方根可以表示为√(n² *√(n))。
对于一些特殊值如2、3等，也可以通过公式直接求解。
3. 数值计算软件：现代科学计算软件如Matlab、Python的NumPy 库等提供了方便快捷的立方根计算函数。
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中的一个重要概念，它是指一个数的立方等于某个给定数的运算。
简单来说，立方根就是找到一个数，使得该数的立方等于给定的数。
定义在数学中，给定一个实数a，如果存在另一个实数x，使得x³=a，那么x被称为a的立方根。
记作x=∛a或x=a^(1/3)。
立方根的性质1. 正数的立方根是唯一的。
也就是说，对于任何正实数a，它的立方根是唯一确定的。
2. 负数的立方根是复数。
对于负实数a，它的立方根是虚数，无法用实数表示。
3. 零的立方根是零。
∛0 = 0，即0³=0。
4. 如果数a是整数，那么它的立方根可能是有理数或者无理数。
例如，8的立方根等于2，而27的立方根等于3。
计算立方根的方法计算立方根有多种方法，以下是两种常用的方法：1. 迭代法：这是一种通过迭代逼近的方法来求解立方根的方法。
假设我们要求a的立方根，首先猜测一个近似值x₀，然后通过迭代公式x₁=(2x₀+a/(x₀²))/3来不断逼近。
重复这一过程直到精度满足要求。
2. 牛顿法：牛顿法是一种使用切线逼近的方法来求解方程的数值方法。
对于方程x³-a=0，我们可以使用牛顿法来求解。
假设我们要求a的立方根，初始猜测一个近似值x₀，然后通过迭代公式x₁=x₀-(x₀³-a)/(3x₀²)来不断逼近。
重复这一过程直到精度满足要求。
应用领域立方根在数学和科学领域被广泛应用。
以下是一些常见的应用：1. 方程求解：立方根在求解某些方程（如立方方程）时起到重要作用。
2. 几何学：立方根与立方体的边长之间有着密切的联系。
立方根的概念可以应用于计算立方体的体积和表面积。
3. 物理学：立方根在物理学中常常用于求解某些物理量的值，如速度、加速度等。
4. 工程学：立方根可以应用于工程设计中的计算与模型建立。
总结立方根是数学中的重要概念，它可以用于方程求解、几何学、物理学和工程学等领域。
求解立方根有多种方法，其中迭代法和牛顿法是比较常见的方法。
立方根口诀表初中
立方根口诀表初中立方根，初中数学中的一个重要概念，是数学中的一个基础知识点。
立方根口诀表可以帮助初中生更好地记忆立方根的计算规则。
下面就来总结一下立方根口诀表。
1. 1-10的立方根口诀为了方便记忆，我们可以使用1至10的立方根口诀表，如下所示：•\(1^3\)等于1•\(2^3\)等于8•\(3^3\)等于27•\(4^3\)等于64•\(5^3\)等于125•\(6^3\)等于216•\(7^3\)等于343•\(8^3\)等于512•\(9^3\)等于729•\(10^3\)等于10002. 特殊的立方根口诀除了1至10的立方根口诀外，还有一些特殊的立方根口诀需要记忆，如下所示：•\(11^3\)等于1331•\(12^3\)等于1728•\(13^3\)等于21973. 简单计算立方根的小窍门在计算立方根时，有一个小窍门可以帮助我们快速计算，即将给定的数进行分解，如下所示：•对于一个二位数，我们可以将它分解为十位数和个位数，再进行计算。
•对于一个三位数，我们可以将它分解为百位数、十位数和个位数，再进行计算。
4. 立方根的性质在进一步学习立方根的过程中，我们还需要了解一些立方根的性质，如下所示：•对于正数a和b，\( \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \times b} \)•对于任意的正整数n，都存在一个整数m，使得\(m^3 \leq n < (m+1)^3\)。
通过以上的立方根口诀表和小窍门，相信初中生们可以更好地掌握立方根的计算方法，提高数学能力。
希望这些内容对你有所帮助！。
立方根ppt课件
。
“开立方”运算
“立方”运算
立方
8
2
开立方
小试牛刀
例1 根据立方根的意义填空：
1.因为（3 ）3 = 27,
3
所以： 27 =
3；
3
所以： 0.064 = 0.4；
3
所以： 0 = 0 ；
3
所以： −27 = −3 ;
3
所以： −0.064 = −0.4 ；
2.因为（0.4 ）3 = 0.064,
探究1
求下列各式的值:
3
3
23
3
= 2
(−2)3 =
−2
3
43
= 4
(−3)3 = -3
3
发现：对于任何数, 3 = .
3
03 = 0
练习
分别求下列各数的值:
3
3
−64， − −27 ，
3
3
3
7 ，（
3
解： −64=−4
3
− −27=3
3
3
73 =7
（ 16）3 = 16
16）3
探究2
43 = 2x ∙ x ∙ x
4
64 = 2x 3
32 = x 3
3
x = 32
x ≈ 3.2
长方体的长：2x ≈ 2 × 3.2 ≈ 6.4
答：那么捏成的长方体橡皮泥的长大约6.4厘米。
注意变形前后方程的
定义域之间的差异。
2
作业
必做题：P114:T2、T3
选做题：P115:T7
谢谢！
开立方
性质
2.立方根的正负性与被开方数相同
立方根号的运算法则公式
立方根号的运算法则公式
立方根计算公式：立方根计算公式是将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组,求得最高位数,用第一组数减去最高位数的平方,在其差右边写上第二组数;用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.
设x=a^(1/2),即x^2-a=0 设曲线f(x)=x^2-a f'(x)=2x 从x=a 开始迭代,记为点(x1,x1^2-a),过此点作切线的斜率为2x1,
立方根的计算方法：
1、计算器
2、分解质因数,例如8=2*2*2,那么立方根就是2
计算立方根的公式
如何快速计算立方根. ：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a 的立方根,也称为三次方根.也就是说,如果x³=a,那么x叫做a的立方根. 注意:在平方根中的根指数2可省略不写,但立方根中的根指数3不能省略不写.
如何计算一个数的立方根 - ：将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商.再用最高位数的20倍与...
通常用迭代公式算,收敛很快,只需几步即可.公式
为:X1=2xo/3+A/(3xo^2), A为要求立方根的数.比如求10的立方
根,A=10, 取初值xo=2 x1=2.166666667 x2=2.154503616
x3=2.154434692 而准确值为:2.154434690031880 ..因此迭代3步已经达到小数点后8位的精度了.。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
1到10的立方根口诀表
1到10的立方根口诀表
1到10的立方根口诀表
立方根口诀表是一个口头算术的数学知识表格，用来帮助记忆1到10的立方根。
下面就给大家介绍1到10的立方根口诀表是什么样子的以及它的重要性。
1到10的立方根口诀表如下：
1的立方根是1；
2的立方根是1.26；
3的立方根是1.44；
4的立方根是1.58；
5的立方根是1.70；
6的立方根是1.81；
7的立方根是1.91；
8的立方根是2.00；
9的立方根是2.08；
10的立方根是2.16。
由此可见，立方根口诀表是用来记忆1到10的立方根的一种非常有效的方法。
这样，读者可以轻松记忆下1到10的立方根，而不必费心去计算它们。
此外，立方根口诀表也能帮助人们更容易地理解更高级的立方根的概念。
比如，在计算更复杂的数学运算时，只要有1到10的立方根口诀表，必要的计算就可以
得出最终的结果。
总之，立方根口诀表就是一个非常重要的数学语言，它可以帮助我们在计算立
方根时节省许多时间。
当然，这个口诀表也可以作为一种数学应用解决更复杂的立方根问题。
无论如何，1到10的立方根口诀表对很多人来说都非常有用，它可以
为我们提供解决立方根问题的解决方案。
立方根
27 3
3
1 1 即 27 3
(4) -0.064
解∵
(0.4) 0.064
3
3
∴-0.064的立方根是-0.4 即 0.064 0.4
(5) 0
解 ∵0 =0 ∴0的立方根是0
3
从上面你发 现了什么?
即 0 0
3
探究练习：
8 =______，－ 3 －2 1、
3
x a
3
其中a是被开方数，３是 ３ 根指数，符号“ ” 读做“三次根号”．
到现在我们 学了几种运 算?
+,-,x,÷,乘方, 开平方,开立方
其中a是被开方数，３是 ３ 根指数，符号“ ” 读做“三次根号”．
根指数
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax
被开方数 立方根
注：1. 这里的3表示根指数. 2. 平方根是省写根指数的, 但两次以上的 根指数不能省写.
125 5
⑵一个数的立方根为4,
8 这个数的算术平方根____.
⑶一个数的立方根是它本身, 0 、1 、-1 这个数是_________.
1、平方根与立方根: 如果x2=a, 就称x是a的平方根. 记作: x= ± √a (a≥0) 如果x3=a , 就称x是a的立方根. 3 记作: x=√a 2、区别:
3
求下列各数的立方根 1 (1) 27 (2)-27 (3) (4)-0.064 (5) 0 27 (1)∵ 33 27 解： 即 3 27 3 ∴27的立方根是3
(2)∵ (3) 27
3
例１
∴-27的立方根是－３ 即 3
1 3 1 (3)∵ ( ) 3 27
∴
1 1 的立方根是 27 3
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（ ） （4）立方根等于它本身的数是 0 和 1（ ） 拓展新知： (1)学生独立研究课本第 170 页的探究题， 并不妨请同学再举几
1 1 是－ 的立方根 6 2 3 （3） 27 3 27
个例子，探索从上面的计算结果中可以得到什么结论？ 学生自己总结出两个互为相反数的立方根的关系：
3
a 3 a , 请同学再试试看 3 27, 3
1 可以怎样 1000
解？ （2）小组学习：课本第 173 页的第 9 题，探索从上面计算结果 中可以得到什么结论？ 小结与作业 课堂小结 布置作业 1.立方根和开立方的定义． 2.正数、0、负数的立方根的特征． 3.立方根与平方根的异同． 课本第 172 页习题 10.2 第 1、3、5、6 题； 本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想） 本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，在教学方法上突出体现了创设 情境-提出问题-建立模型-解决问题的思路，在实际教学中采用了学生自主学习的教学 方式． 1、在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中 感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣． 2、在例题中做了适当的处理，把课本上的一个习题作为导入新课的引例．这个实际问题中的数量关系 的分析对于学生来说是不成问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题， “什么数的立方会等于 31.84？” ，这对学生来说是一个挑战，是一个学生只有“跳一跳”才能解决的问题， 所以在此处铺设了一个台阶，再设置了一个学生容易解决的问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为 立方运算的思路引导，让学生对立方运算与开立方运算之间的互逆关系有初步认识，为进一步探究新知做 好准备． 3、本章前两节的内容“平方根” “立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比 方法，让学生通过类比旧知识学习新知识．教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区 别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握．通过独立思考， 小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算 与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径． 4、在“深入探究”环节中讨论数的立方根的特征，以填空的方式让学生计算正数,0,负数的立方根，寻 找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出“正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的 立方根是负数”的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程．教学中注意为 学生提供一定的探索和合作交流的空间，在探究活动的过程中发展学生的思维能力，有效改变学生的学习 方式． 5、在“拓展新知”环节中，让学生探讨了一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此可以将 求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题，让学生体会转化的思想．
3
深入探究
通过学生自己动手计算， 让学生 感受任何一个 数 都有立方根，以及一个数 的立方根的惟一性。
(3)尝试用符号给出数 a 的立方根的表示方法． （ 3 a 并问 a 可以取什么数？） 例 1 （1）求下列各数的平方根： （2）求下列各数的立方根。
9 ；1；0 25
8 3 ,3 ，1，0，－1，－343，－0.7入
试一试
联系与区别。 (1)请学生完成课本第 172 页习题 10.2 的第 2 题． (2)请学生口头回答以下问题： 根据立方根的意义，求下列各数的立方根：
125 1 ，－64， ，1，－1 8 27
练一练
体会开 立方与立方互 为 逆运算，因此求一个数的 立方根 可以通过立方 运 算来求。
完成课本第 169 页的探究题： (1)对于 2 8 ，可以进一步追问学生， 除了 2 以外是否有 其他的数，它的立方也等于 8 呢？对于下面几个问题可以类似 设问． (2)思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一 个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是 什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质）
3
让学生 进一步体会立 方 根与平 方根的联系与 区 别． 例题着眼于弄清立 方根的概念，因此不仅用 立方的方法求 立方根，且在书写上采用 了语言 叙述和符号表 示 相互补充的方 式，让学生学会从立方根 与立方 是互逆运算中 寻 找解题途径．
学生讨论，自己体会平方 根与立方根的区别。
64 = 4 （ ）
解：略 例2 求下列各式的值
（1） 3 64 ； （2） 27 ； （3） 3 2 （4） 3
10 27
巩固新知
1 ； （5） 64 ； （6） 64 1000 3 （7） 3 512 81 3 1 3 2 64
请学生思考数的平方根与数的立方根有什么区别与联系呢？ （学生小组讨论后，请学生相互补充． ） 例 3 判断题： （1）64 的立方根是 （2）
课题： 13.2 立方根（1）
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根； 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根； 3、让学生体会一个数的立方根的惟一性； 4、分清一个数的立方根与平方根的区别； 5、使学生理解“两个互为相反数的立方根的关系，即 3 a 3 a . 6、渗透特殊一般-特殊的思想方法。 教学难点 知识重点 立方根与平方根的区别。 立方根的概念和求法。 教学过程（师生活动） （出示电热水器图片） 问题(1)：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像 一般家庭常用的是容积 50 L 的．如果要生产这种容积为 50L 的 圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的 2 倍，这种容器的底 面直径应取多少？ （学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演． ） 解：设容积的底面直径为 xdm,则 设计理念 从学生生活实际中常 常见到 的热水器引入 课 题，让学生从 实际问 题情境中感受 立 方根的 计算在生活中 有 着广泛的应用． 空间图形都是三维的，有 关空间 图形的计算常 常 2 x 涉及开立方． · ·2x=50 2 这个实际问题中的 100 数量关 系的分析对于 学 3 31.84 可得， x 生来说是不成 问题是什么数的立方会等于 31.84 呢？学生百思不得其解， 问题的，但在解决问题的 教师可在此处设置一个台阶，再设问：要制作一种容积为 27 m3 过程中引入了新问题，这 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 对学生来说是一个挑战， 在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程： 从而激 发学生学习的 兴 趣． 3 设这种包装箱的边长为 x m,则 x =27 “什么数的立方会等 这就是求一个数，使它的立方等于 27. 于 31.84?” 这个问题对于 学生来说 3 因为 3 =27， 是难解决的，但该问题设 所以 x=3. 置的目 的是激发学生 学 即这种包装箱的边长应为 3 m. 习的兴趣． 体会开立方与立方 互为逆运算． （1）学生回忆平方根的概念，并联系上面的问题，请学生 归纳得出立方根的概念。 （2）学生联系开平方的概念，给出开立方的概念。 联系平方根的概念，让学 生根据 上述问题类比 地 给出立方根的概念，初步 体会立 方根与平方根 的