上海市徐汇区2022届新高考高二数学下学期期末预测试题
2022年上海市徐汇、松江、金山区高考数学押题试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷含解析考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值2． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371154．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e5．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-6．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为87．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-8．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜D ．f （2020）＞f （2019）9．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．3810．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16B ．23 C ．53D ．5611．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A B ．23C D ．112．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ）A ．55B ．53C ．255D ．35二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析
2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的(0,)y ∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞C ．2(,]e eD ．(,1]-∞-2．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．[6,)+∞C ．(6,15]D ．(15,)+∞3．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是 A ．B A ⊆B ．A B A ⋃=C ．A B A =ID ．{}2A B ⋂=4．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ）A B ．2C D ．5．已知集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．932 B ．98C ．943D ．9597．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．38．在一组数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，12,,,n x x x L 不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为1-，则所有的样本点()(),1,2,,i i x y i n =L 满足的方程可以是（ ） A ．112y x =-+ B ．1y x =- C ．1y x =+D ．2y x =-9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记12a f ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，31log 2b f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()()20222x x x x f x x x e⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6 个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．311,4e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．311,00,4e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．31,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D ．31,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭11．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v在CD uuu v方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．52C ．5D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 的前n 项和公式为22n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式为_________． 14．已知函数，若，则实数的取值范围是__________．15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 16．设函数21()ln(2)2f x x b x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知命题2:7100,:(1)(1)0p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a > ）. （1）若2a = ，命题“p 或q ”为假，求实数x 的取值范围； （2）已知p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 在1C 上，点N 在2C 上，求MN 的最小值及此时M 的直角坐标. 19．（6分）在直角坐标平面内，直线l 过点P(1，1)，且倾斜角α＝4π.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．20．（6分）已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且()319f a +≤，求a 的取值范围.21．（6分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AP CP = ，O 是AC 的中点，1PO =，2OB =，5PB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若AC BC ⊥，3BC = ，D 是AB 的中点，求二面角P CD B --的余弦值． 22．（8分）（1）求函数()ln xf x x=的最大值； （2）若函数()xg x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】()ln g x x x =,()1ln g x x ='+,故函数在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,()ln 1y f y y =+,()21ln y f y y -'=,故函数在()0,e 上递减.所以()()11e e 11g f g f ⎧⎛⎫⎛⎫<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪>⎩,解得0a ≤,故选B. 2．A 【解析】 分析：首先，由()()11f p f q p q+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，从而得到()211af x x x =->+'在()1,2内恒成立，分离参数后，转化成2231a x x >++在()1,2内恒成立，从而求解得到a 的取值范围.详解：Q()()11f p f q p q+-+-的几何意义为：表示点()()1,1p f p ++与点()()1,1q f q ++连线的斜率，Q 实数p ，q 在区间()0,1，故1p +和1q +在区间()1,2内，不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，∴函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在()1,2内恒成立， 由函数的定义域知1x >-，()211af x x x ∴=->+'在()1,2内恒成立， 即2231a x x >++在()1,2内恒成立，由于二次函数2231y x x =++在()1,2上是单调增函数，故2x =时，2231y x x =++在()1,2上取最大值为15，15a ∴≥.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题. 3．D 【解析】由已知得{}1234A =，，，，{}22B =-，，则{}2A B ⋂=，故选D. 4．B 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．圆22(2)2x y +-=的圆心坐标为(0,2)，则圆心到渐近线的距离1d ==，∴1=，解得2ce a==． 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题． 5．B 【解析】 【分析】利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】由于集合M 满足{}1,2M ⊆n {}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能. 故选：B 【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题. 6．A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望 7．A 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率． 【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选A ． 【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-. 8．A 【解析】 【分析】根据相关系数的概念即可作出判断. 【详解】∵这组样本数据的相关系数为1-，∴这一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y 线性相关，且是负相关， ∴ 可排除D ，B ，C ， 故选A 【点睛】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题． 9．A 【解析】分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x）为奇函数即可得出()b f =，然后比较1()32，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，c 的大小关系． 详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ； ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；1122b f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f ；12＜＜，10(12＜；∴10()32＜＜；∴()()1(32f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ； 即c ＞b ＞a ． 故选A ．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 10．D 【解析】 【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点等价于当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 即可即m=f （x ）有3个不同的解，求出在每一段上的f （x ）的值域，即可求出m 的范围． 【详解】函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 则当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 令F （x ）=f （x ）﹣m=0， 即m=f （x ），①当0<x ＜2时，f （x ）=x ﹣x 2=﹣（x ﹣12）2+14， 当x=12时有最大值，即为f （12）=14， 且f （x ）＞f （2）=2﹣4=﹣2， 故f （x ）在[0，2）上的值域为（﹣2，14]， ②当x ≥2时，f （x ）=2x xe-＜0，且当x→+∞，f （x ）→0， ∵f′（x ）=3x x e -， 令f′（x ）=3x x e-=0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增，∴f （x ）min =f （3）=﹣31e， 故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣31e ，0）， ∵﹣31e ＞﹣2， ∴当﹣31e ＜m ＜0时，当x >0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，故当﹣31e＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D. 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法. 11．A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r ，故选A ． 12．C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a ，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求． 【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，直线210x y ++=的斜率为12-，由题意有112b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2b a =，c ==，故离心率ce a==故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．43n a n =-【解析】 【分析】由1n n n a S S -=-，可得当2n ≥时的数列{}n a 的通项公式，验证1n =时是否符合即可. 【详解】当1n =时，2112111a S ==⨯-=,当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()222211n n n n =---+-43n =-，经验证当1n =时，上式也适合，故此数列的通项公式为43n a n =-，故答案为43n a n =- . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况. 14．【解析】 因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．15．96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．(,1]-∞- 【解析】分析：函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数等价于()()'022bf x x b x x x =-≥⇒≤++，从而可得结果. 详解：因为函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数，所以()()'022bf x x b x x x =-≥⇒≤++ ()211x =+-恒成立，因为()2111x +-≥-1b ∴≤-，实数b 的取值范围是故答案为(],1-∞-.点睛：本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）(,1)(5,)-∞-⋃+∞ (2 ) 4a ≥ 【解析】分析：（1）分别求出p q ，的等价命题，2513p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，，再求出它们的交集；（2）2511p x q a x a ⇔≤≤⇔-≤≤+，，因为p 是q 的充分不必要条件，所以[25][11]a a ⊆-+，，，解不等式组可得．详解：：（1）2710025p x x x -+≤⇔≤≤：，若211013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤，：（）（） ，命题“p 或q ”为假，则命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[23]x ∈， ； （2）27100x x -+≤，解得2511011x q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+＜＜，：（）（）， 若p 是q 的充分不必要条件，则[25][11]a a ⊆-+，， ，则 1214514a aa a a⎧-≤-≤⎧⇒⇒≤⎨⎨≤+≤⎩⎩ .点睛：本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1）1C 的普通方程为：2215x y +=，2C 的直角坐标方程为：160x -=（2）MN 的最小值为8，此时M 的直角坐标为4⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）最小值为点到直线的距离，()d α=再根据三角函数求最值.【详解】（1）1C ：()()2222cos s 1in y αα=++=，化简：2215x y +=. 2C ： cos cos sin sin 833ππρθρθ-=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，化简可得：160x -=.所以1C 的普通方程为：2215x y +=，2C 的直角坐标方程为：160x -=；（2）由题意，可设点M 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线， 所以MN 的最小值，即为M 到2C 的距离()d α的最小值，利用三角函数性质求得最小值.()d α=()088αααα⎫=--=+-⎪⎪⎭，其中0cos 4α=，0sin 4α=，当且仅当cos 4α=，sin 4α=-时，()d α取得最小值，最小值为8，此时M 的直角坐标为,4⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用三角函数求最小值可以简化运算.19．（1）x 2＋y 2－4y ＝0.（2）2【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程（2）设直线参数方程，与圆方程联立，根据参数几何意义以及韦达定理得|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2.试题解析：(1)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)由题意，得直线l 的参数方程为(t 为参数)．将该方程代入圆C 的方程x 2＋y 2－4y ＝0， 得＋－4＝0， 即t 2＝2，∴t 1＝，t 2＝－. 即|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2. 20． (1) 偶函数.(2)见解析.(3) [0,2].【解析】【分析】(1)利用赋值法得到()()f x f x -=，即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出()339f =，再解不等式()()13f a f +≤.【详解】（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数.（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数. （3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()33393,39,19,13f f f a f a f ⎡⎤==+≤∴+≤⎣⎦Q ∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.【点睛】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明，考查函数的图像和性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.21． (1)证明见解析；(2) 3010- 【解析】 【分析】 （1）利用PO ⊥AC ，OP 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥OB ．可证明PO ⊥面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ； （2）由（1）得PO ⊥面ABC ，过O 作OM ⊥CD 于M ，连接PM ，则∠PMO 就是二面角P ﹣CD ﹣B 的补角．解三角形POM 即可．【详解】（1）∵AP ＝CP ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∵PO ＝1，OB ＝2，5PB =．∴OP 2+OB 2＝PB 2，即PO ⊥OB ．∵AC∩OB ＝O ，∴PO ⊥面ABC ，∵PO ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ；（2）由（1）得PO ⊥面ABC ，过O 作OM ⊥CD 于M ，连接PM ，则∠PMO 就是二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的补角．∵OC 22OB CB =-=1，∴AC ＝2，AB 347=+=，∴CD 1722AB ==． ∴S △COD 111323442ABC S ==⨯⨯⨯=V ∴132CD OM ⋅=，∴OM 37=．PM 22107OM OP =+=． ∴310OM cos PMO PM ∠== ∴二面角P ﹣CD ﹣B 的余弦值为3010-．【点睛】本题考查了空间面面垂直的证明，空间二面角的求解，作出二面角的平面角是解题的关键，属于中档题． 22． (1)1e (2) a e > 【解析】【分析】（1）求出()21ln 'x f x x-=．利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值；（2）分情况：①在0a =时，②在0a <时，③在0a >时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．【详解】（1）对()ln x f x x =求导数，()21ln 'x f x x -=． 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数，∴()()1f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e． （2）①在0a =时，()x g x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点．②在0a <时，()x g x e ax =-在R 上单增，又()010g =>，1110a g e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在R 上只有一个零点．③在0a >时，由()'0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-． 若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点，若a e =，()0g x 极小=，()g x 只有一个零点，若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而()010g =>．由（1）可知，()ln x f x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20a g a e a =->．∴()g x 在()0,ln a 与()ln ,a +∞上各有一个零点．综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数，另一个是含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．。
2023-2024学年上海市徐汇区高三下册高考数学模拟试题(三模)附答案
2023-2024学年上海市徐汇区高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则______．{}1,2,6M ={}2,3N =M N = 2．已知，则______．()()2log ,02,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩()1f -=3．已知复数z 满足，则的最小值为______．z i -=z4．已知向量，，则在上的投影向量的模为______．(a = ()b = ab 5．已知，则的最大值为______．2x y +=()y x y -6．已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为______．2π3π7．在中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ．若，且，则ABC △(222a b =+⋅b c =______．A =8．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为______．9．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是2nx ⎛- ⎝314______．10．已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为______．11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1ax by +=x y +二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．设，则“”是“”的（ ）x R ∈0x <()ln 10x +<A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）()ln 2y x =ln y x =A ．每一点的横坐标变为原米的2倍B ．每一点的纵坐标变为原来的2倍C ．向左平移ln2个单位D ．向上平移ln2个单位15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．316．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知向量，，其中，若，且函数()2sin ,cos 2m x x =ωω ),1n x =ω0ω>()f x m n =⋅的最小正周期为π．()y f x =（1）求的单调增区间；()y f x =（2）在中，若，，求的值．ABC △()2f B =-BC =sin B A =BA BC ⋅18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．在四面体中，，．D ABC -2AB BC BD AC ====AD DC ==（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°．若存在求出的值，若不存在说明理由．BEED19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？附：，其中，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -χ=++++n a b c d =+++()2 3.8410.05P χ≥≈（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出2313如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X ，求X 的分布及数学期望E[X]．20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x 21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =答案一、填空题1.;2.;;4.;5.;6.;7.; 8.; {}1,2,3,601-012356π169.; 10.； 11.45166616-11．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面ABCD 是正方形，且，．1111ABCD A B C D -3AB =11AA =店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A 中的方向捆1111H E E F F G G H H --------扎包装盒会比按照图B 中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）．则图A 比图B 最多节省的彩绳长度为______．【正确答案】16-对于图（A ），沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为对于图（B ），彩绳长度的最小值为16，因为A 比图B 最多节省的彩绳长度．16>16-12．正实数x ，y 满足：存在和，使得，，[]0,a x ∈[]0,b y ∈222a y +=221b x +=，则的最大值为______．1axby +=x y +构造，(,),(,)OP a y OQ x b ==， ，|||1,1OP OQ OP OQ ==⋅= 4POQ π∠=问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动，OPQ O 因为，所以点位于点的左上方，[0,],[0,]a x b y ∈∈P Q 设，则，QOM θ∠=4POM πθ∠=+所以，||cos ,||4xQN y PM πθθ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭所以cos sin 2cos 4x y πθθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭)θϕ=+≤所以x y +二、选择题13.B14.D15.C16.D14.D15.C16.D 15.C 16.D15．在一个有限样本空间中，假设，且A 与B 相互独立，A 与C ()()()13P A P B P C ===互斥，以下说法中，正确的个数是（ ）① ② ③若，则B 与C 互斥()23P A B = ()()2P C A P A C =()()12P C B P C B +=A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C 对于①, 且与相互独立, 则()()1,3P A P B ==A B ,①错误;()()()()13P A B P A P B P AB ⋃=+-=11153339+-⨯=对于②,()()()(),|3P CAP C A PCA P A ==()()()()()3|1213P CAP CA P A C P CA P C ===-故, 故②正确;()()2|P CA P A C =对于③,则,()()1,||2P C B P C B +=()()()|P CB P C B P B =()()()|,P C B P C B P B=故, 即 (1),()()112233P C B P CB +=()()631P CB P C B +=若互斥,则, 满足(1)式,BC ()()()10,3P BC P C B P C ===故, 即与互斥, 故③正确.故选:C.()0P BC =B C 16．设无穷正数数列，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得{}n a ，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数123m n a a a a a =++++ {}n a n b m ={}n b {}n a 列，则（ ）A ．若为等差数列，则为内和数列{}n a {}n aB ．若为等比数列，则为内和数列{}n a {}n a C ．若内和数列的伴随数列为严格增数列，则为严格增数列{}n a {}n b {}n a D ．若内和数列为严格增数列，则其伴随数列为严格增数列{}n a {}n b 【正确答案】D对于选项: 例如, 可知即为等差数列, 也为等比数列,AB 1n a ={}n a 则, 但不存在, 使得所以不为内和数列, 故错误;122a a +=*m N ∈2,m a ={}n a AB 对于选项C: 例如：数列：显然是所有正整数的排列, 可知为内和数列, 2,1,3,4,5,⋯{}n a {}n a 且的伴随数列为递增数列,但不是递增数列, 故C 错误.{}n a {}n a 对于选项D: 因为,对任意, 可知存在,0n a >*1212,,n n N n n ∈<*12,m m N ∈使得,,11123m n a a a a a =+++⋯+22123m n a a a a a =+++⋯+则即,21112120m m n n n a a a a a ++-=++⋯+>21m m a a >所以其伴随数列为递增数列, 故D 正确;故选D.{}n b三．解答题17.（1）（2）,,36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦32-18.（1）证明略（2）BEED=19.（1）否（2），分布列如下()6527E X =20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．已知椭圆：的左、右焦点分别为、．Γ()222210x y a b a b+=>>1F 2F （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点B ，求椭圆的离心率；2F 1F Γ（2）已知，，设点P 是椭圆上一点，且位于x 轴的上方，若是等腰三5a =4b =Γ12PF F △角形，求点P 的坐标；（3）已知，且倾斜角为的直线与椭圆在x 轴上方的交点记作，2a =b =2F 2πΓA 若动直线l 也过点且与椭圆交于M 、N 两点（均不同于A ），是否存在定直线：2F Γ0l ，使得动直线l 与的交点C 满足直线AM 、AC 、AN 的斜率总是成等差数列？若存0x x =0l 在，求常数的值．若不存在，请说明理由．0x【正确答案】（1）（2）（3）存在，12e =()504,3,⎛± ⎝04x =（1）由题意可得：,.2c a ==12c e a ∴==（2）,椭圆的方程为:5,4a b ==Γ2212516x y += 3.c ==点是椭圆上一点, 且位于轴的上方,若, 则.P Γx 12PF PF =()04P ,若, 设,212F F PF =()P x,y,,226,12516x y =+=()()55,04x ,y ,∈-∈联立解得,.53x =-53y P ⎛=∴- ⎝若, 设, 根据对称性可得.211F F PF =()P x,y 53P ⎛ ⎝综上可得点的坐标为.P ()504,3,⎛± ⎝(3), 椭圆的方程为,2,a b ==Γ221,143x y c +===()210,F ,∴把代入椭圆方程可得, 解得.1x =211,043y y +=>33,122y A ,⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭设直线的方程为:,, 设,l ()(01,y k x C x =-())01k x -()()1122,M x ,y N x ,y 联立, 化为()221122y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()22223484120,k x k x k +-+-=0,Δ>假设存在定直线, 使得动直线与的交点221212228412,,3434k k x x x x k k -∴+==++00:l x x =l 0l 满足直线的斜率总是成等差数列,则,C ,,AM AC AN 2AC AM AN k k k =+,,()01201233312222111k x y y x x x ----∴⨯=+---()()11221,1y k x y k x =-=-代入化为:而012211111x x x =+---()12121212211111x x x x x x x x +-+=---++, 解得.22220228222234313412813434k k x k k k k -+==∴=---+++04x =因此存在定直线, 使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成0:4l x =l 0l C ,,AM AC AN 等差数列.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满8分．设函数的定义域为D ，对于区间，当且仅当函数满足以()y f x =[](),I a b I D =⊆()y f x =下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I 是的一个“美好区间”．()y f x =性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．0x I ∈()0f x I ∈0x I ∈()0f x I ∉（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数()22f x x x =-+x R ∈[]0,2[]1,3的“美好区间”，并说明理由；()y f x =（2）已知且，若区间是函数的一个()()3213123f x x x x x R =--+∈0m >[]0,m ()y f x =“美好区间”，求实数m 的取值范围；（3）已知函数的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，()y f x =a b <都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不()()f a f b b a ->-()y f x =0x R ∈0x 属于函数的任意一个“美好区间”．()y f x =【正确答案】（1）是（2） （3）见解析03m <≤（1） 函数，当时，，3y x =-[1,2]x ∈[1,2]y ∈因此区间是函数的一个“美好区间”．[1,2]3y x =-（2），2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-由得，所以或()f m m =2(3)(12)0m m --=3m =m =当时，在上严格减，所以，满足题意；03m <≤()f x [0,]m ()[(),12]f x f m ∈当时，，所以且，无解；3m >min ()(3)3f x f ==12m ≥()f m m ≤所以，；03m <≤(3)证明：对于任意区间,[],()I a b a b =< 记由已知得在上单调递减, 故(){}|,S f x x I =∈()f x I ()(),S f b ,f a ⎡⎤=⎣⎦因为, 即的长度大于的长度, 故不满足性质①,()()f a f b b a ->-S I 所以若为的 “美好区间”, 必满足性质②), I ()f x 这只需,即只需或,S I ⋂=∅()f a a <()f b b >由显然不恒成立, 所以存在常数使得,()f x x =c ()f c c ≠如, 取，区间满足性质②；()f c c <a c =[],()I a b a b =<综上，函数一定存在 “美好区间”；()f x 记, 则图象连续不断, 下证明有零点:()()g x f x x =-()g x ()g x因为在上是减函数，所以在上是减函数, 记,()f x R ()g x R ()0f t =若, 则是的零点,0t =00x =()g x 若, 则, 即,,0t >()()0f t f t <=()00g >()0g t <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x ,t ∈()00g x =若, 则, 即,,0t <()()0f t f t >=()0g t >()00g <由零点存在性定理, 可知存在, 使得,()00x t ,∈()00g x =综上,有零点, 即,()g x 0x ()00f x x =因为的所有 “美好区间”都满足性质②, 故,（否则, 与性质②()f x I 0x I ∉()00f x x I =∈不符),即不属于的任意一个“美好区间”, 证毕.0x ()f x。
2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题含解析
2022届下海市徐汇区高二第二学期数学期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，则4a 等于（ ） A ．9 B ．10C ．27D ．81【答案】C 【解析】 【分析】利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，在数列{}n a 中，111,3n n a a a +==，即111,3n na a a +== 可得数列{}n a 表示首项11a =，公比3q =的等比数列，所以33411327a a q ==⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．3．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ）A ．eB ．﹣eC ．﹣2eD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ． 【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ， 可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ， 则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题． 4．已知函数1()2(0)2xf x x =-<与2()log ()g x x a =+的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,22)-∞ C ．(,2)-∞ D ．2(22,)2- 【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2x y x -=->，则它与2()log ()g x x a =+在0x >有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到2a >.【详解】函数()f x 关于y 轴对称的解析式为12(0)2xy x -=->， 函数2()log ()g x x a =+(0)x >，两个函数的图象如图所示：若2()log ()g x x a =+过点1(0,)2时，得2a =y 轴上，所以要保证在x 轴的正半轴，两函数图象有交点，则()g x 的图象向右平移均存在交点，所以a < C.【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量. 5．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数. 【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为35⎛ ⎝⎭，由于2432915525⎛⎫⎛⎫+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,55⎛-- ⎝⎭，由于243291525⎛⎛⎫-+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题. 6．函数f(x)＝e x －3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，知f(0)＝0，且f′(x)＝e x －3，当x ∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D.7．函数()ln ||(ln ||1)f x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析函数f （x ）的奇偶性以及在区间（0，1e）上，有f （x ）＞0，据此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝ln|x|（ln|x|+1），有f （﹣x ）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数，排除C 、D ， 当x ＞0时，f （x ）＝lnx （lnx+1）， 在区间（0，1e）上，lnx ＜﹣1，则有lnx+1＜0，则f （x ）＝lnx （lnx+1）＞0，排除B ； 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题． 8．某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A ．990B ．1320C ．1430D ．1560【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值。
下海市徐汇区2022届数学高二第二学期期末预测试题含解析
下海市徐汇区2022届数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果211mi i=++（m R ∈，i 表示虚数单位），那么m =( ) A ．1 B ．1-C ．2D ．0【答案】B 【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为()a bi a b R +∈，的形式，利用复数相等求出m 即可 详解：211mi i=++ ()()()21111i mi i i -=++-2222i mi -=+解得1m =- 故选B点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．2．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B B ．(0.5,5)X B C ．(2,0.5)XBD ．(5,0.5)XB【答案】D 【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，） ，由此能求出正面向上的次数X 的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，）. 故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．256625【答案】B【解析】 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．4．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案. 5．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题. 6．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<【答案】A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小. 详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项. 【详解】2221()()410,()()24141x x x x x e e x e e x x f x f x x x ------≠∴≠±-===∴--()f x 为偶函数，舍去A; 当102x <<时()0f x >,舍去C ； 当12x >时()0f x <,舍去D ； 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.8．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【答案】C 【解析】 【分析】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是1男2女，一类是2男1女. 【详解】由于选出的3名学生男女生都有，所以可分成两类：（1）3人中是1男2女，共有12434312C C =⨯=； （2）3人中是2男1女，共有21436318C C =⨯=；所以男女生都有的选法种数是121830+=. 【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题. 9．曲线4sin y x x =+在43x π=处的切线的斜率为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为'14cos y x =+，所以434|14cos 14133x y cos πππ=='=+-=-. 故选B.10．从1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．96 B ．54 C ．108 D ．78【答案】A 【解析】 【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案. 【详解】选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯=选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=故共有96个偶数 答案选A 【点睛】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.11．54212x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210C ．120D ．252【答案】D 【解析】 【分析】先化简3255242(1)[12]x x x x x ⎛⎫++ ⎪+=⎝⎭，再由二项式通项1k n k k n n T C a b -+=，可得5x 项的系数．510422112x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()102203110101C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当=5r 时，555610C 252T x x ==.故选D. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数． 12．若定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且当01x 时，()1f x x =-，则函数()()x g x f x e =在[2,2]-上的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．2eD ．－1e【答案】A 【解析】 【分析】根据已知的偶函数以及f （2﹣x ）＝﹣f （x ）可以求得函数f （x ）在[﹣2，2]上的解析式，进而得到g （x ）在[﹣2，2]上的解析式，对g （x ）进行求导可知g （x ）的增减性，通过增减性求得最大值 【详解】根据(2)()f x f x -=-,得函数()f x 关于点(1,0)对称,且当01x 时, ()1f x x =-, 则12x <≤时，()1f x x =-，所以当[02]x ∈，时，()1f x x =-;又函数()f x 为偶函数, 所以当[2,0)x ∈-时，()1f x x ，=+(1)e [0,2]()(1)e ,[2,0)x xx x g x x x ⎧-⋅∈∴=⎨+∈-⎩ 则e ,[0,2]()(2)e ,[2,0)x xx x g x x x ⎧-∈=⎨+∈-'⎩, 可知当[2,0)x ∈-，()'0g x >故()g x 在[-2，0)上单调递增, [02]x ∈，时()'0g x <，()g x 在[0,2]上单调递减,故max ()(0)1g x g ==. 故选：A 【点睛】本题考查函数的基本性质：对称性，奇偶性，周期性．同时利用导函数的性质研究了函数在给定区间内的最值问题，是中档题 二、填空题：本题共4小题13．若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________．【解析】分析：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，代入即可. 详解：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有解得a ＝2.故答案为：2.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用. 14．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________. 【答案】（2），（4） 【解析】 【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确； 对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z =()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确． ∴正确的命题是（2）（4）． 故答案为（2），（4）． 【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．15． 设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan α＝________. 【答案】－ 【解析】 【分析】先根据已知和三角函数的坐标定义得到cos α＝x ＝，解方程解答x 的值，再利用三角函数的坐标定义求tan α的值. 【详解】因为α是第二象限角， 所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x ＝，解得x ＝－3，所以tan α＝＝－. 故答案为－ 【点睛】（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点p(x,y)是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r 代表点到原点的距离，22r x y =+sin α=yrcos α=x r ,tan α=yx. 16．已知函数()cos()5f x x π=-的对称轴方程为__________．【答案】ππ,5x k k z =+∈【解析】 分析：令=,5x k k z ππ-∈，解出即可.详解：函数()cos 5f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为=,5x k k z ππ-∈，,5x k k z ππ=+∈故答案为：ππ,5x k k z =+∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
下海市徐汇区2022届数学高二下期末预测试题含解析
下海市徐汇区2022届数学高二下期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合2{|20}A x x x =-≥，22|log 1{()}B x y x ==-，则UBA=（ ）A ．[1,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．(,1)[0,2]-∞-【答案】B 【解析】 【分析】求得0,{|}2A x x x =≤≥或，即可求得{}UA=02x x <<，再求得1{}1|,x B x x <->=或，利用交集运算得解. 【详解】由220x x -≥得：0x ≤或2x ≥， 所以0,{|}2A x x x =≤≥或，所以{}UA=02x x <<由210x->可得：1x<-或1x>所以1{}1|,x B x x<->=或所以()U B A=1,2⋂故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.2．设X ～N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539【答案】B 【解析】分析：求出()10110.682610.34130.65872P x <≤=-⨯=-=，即可得出结论. 详解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X ＜3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，σ＝1， ∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.341 3， 故估计的个数为10000×(1－0.3413)＝6587， 故选：B.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性.3．已知(2,3)a =，(,1)b m m =-，(,3)c m =，若//a b ，则b c ⋅=（） A ．-5 B ．5C ．1D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】通过平行可得m 得值，再通过数量积运算可得结果. 【详解】由于//a b ，故()21=3m m -，解得2m =-，于是(2,3)b =--，(2,3)c =-， 所以495b c ⋅=-=-.故选A. 【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.4．已知点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24,4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）上，则||PF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】分析：欲求PF ，根据抛物线的定义，即求()3,P m 到准线1x =-的距离，从而求得PF 即可. 详解：抛物线24y x =，准线1x =-，∴PF 为()3,P m 到准线1x =-的距离，即为4，故选：D.点睛：抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化． 5．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a ；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b ．若,P Q 分别为()()•ijk r s t a aa b b b ++++的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t ，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ） A ．00P Q ＜，＜ B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余数量积均小于等于0，从而得到结论． 【详解】由题意，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ， 以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,b b b b b ，则利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余数量积均小于等于0， 又因为,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++⋅++的最小值、最大值， 所以0,0P Q <<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．6．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种 B ．15种 C ．10种 D ．4种【答案】B 【解析】若4本中有3 本语文和1 本数学参考，则有4种方法，若4本中有1本语文和3本参考，则有4种方法，若4本中有2 语文和2 本参考，则有246C =种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有有446115+++= ，故选B.7．已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，若123a f log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2log (sin )7b f π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()0.30.2c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质()()f x f x -=-，将a 转化成()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用单调性比较函数值大小，先比较自变量的大小，再根据增函数，即可比较函数值的大小关系. 【详解】根据题意，()f x 为奇函数，则()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由0.322log (sin)00.21log 37π<<<<，又由()f x 在(,)-∞+∞上是增函数， 则有b c a <<， 故选：D. 【点睛】比较指数值或对数值时可以跟1或0进行比较再排列出大小顺序. 8．设函数()34sin f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()()f x f x -=-可知函数为奇函数，根据奇函数性质，排除,C D ；根据x →+∞时，()f x 的符号可排除B ，从而得到结果. 【详解】()()34sin f x x x x f x -=-++=-，()f x ∴为R 上的奇函数，()f x ∴图象关于原点对称，且()00f =，可排除C ，D ；又[]4sin 4,4x ∈-，当x →+∞时，()321x x x x -=-→+∞，∴当x →+∞时，()f x →+∞，可排除B ，知A 正确.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法来进行求解，排除依据通常为：奇偶性、特殊值符号和单调性.9．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班 A ．8种 B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 10．ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（）A ．2B ．14C D ．12【答案】D 【解析】 【分析】边化角，再利用三角形内角和等于180°，全部换成B 角，解出即可 【详解】sinsin sin sin sin sin sin sin 222A C A C Ba b A A B A B π++-=⇔=⇒= 1cos(12sin )0sin 2222B B B =⇒=⇒- （cos 02B ≠） 21cos 12sin 22B B =-= 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题．11．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18 B ．24 C ．28 D ．36【答案】D 【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。
精品解析：上海市徐汇区高二下学期期末数学试题解析版
【解析】
【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.
【详解】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是 的，共有 个，分别为 ；
②含有两个相同数字的，共有 个，分别为 ；
③不含0且没有相同数字的，共有 个，分别为 ,
从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率 .
2020学年第二学期徐汇区高二年级数学区统考
一、填空题
1.双曲线 的焦距为____________
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的方程求出 ，再求焦距 的值.
【详解】因为双曲线方程为 ，所以 ， .
双曲线 的焦距为 .
故答案为： .
2.若一个球的表面积为 ，则该球的半径为____________
6.直线 与圆 交于A、B两点，则 ____________
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心 到直线的距离，即得解.
【详解】圆 的圆心为原点，半径为2.
由题得圆心 到直线的距离为 ，
所以 .
故答案为：
7.设实数 满足 ，则 的最大值为____________
【答案】4
【解析】
【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】二项式 的展开式通项为 ，
令 ，解得 ，
因此，展开式中的常数项为 .
故答案为： .
9.圆锥的高为1，底面半径为 ，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________
【答案】2
【解析】
【分析】求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值．
【详解】如图， 是圆锥轴截面， 是一条母线，
上海徐匯職業高級中學2022年高二数学文下学期期末试卷含解析
上海徐匯職業高級中學2022年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，根据概率公式计算即可．【解答】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．2. 若变量x，y满足约束条件且a∈（﹣6，3），则z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的动点P（x，y）到定点D（a，0）的斜率，由图象知当﹣2＜a＜﹣1时，DA的斜率最大，此时满足条件故则z=仅在点A（﹣1，）处取得最大值的概率=，故选：A3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. B. 2 C. 3 D. 4参考答案：A略5. 用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A． 48 B．36 C．28 D．12参考答案：C略6. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A B C D参考答案：A略7. 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的（）、充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件参考答案：C8. 关于直线与平面，有以下四个命题：①若，则②若③若④若其中真命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B9. 如右图，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：B如图，此三视图还原为一个三棱锥。
2019-2020学年上海市徐汇区新高考高二数学下学期期末预测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．变量y 与x 的回归模型中，它们对应的相关系数r 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） 模型1 2 3 4 r0.48 0.15 0.96 0.30A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型42．若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -4．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．118B ．19C ．16D ．135．在ABC 中，90CAB ∠=︒，1AC =，3AB =.将ABC 绕BC 旋转至另一位置P （点A 转到点P ），如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点.若32AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是（ ）A ．38B ．3 C ．3 D ．36．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}7．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，118．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（ ） A ．sinα+cosα＞1B ．sinα+cosα=1C ．sinα+cosα＜1D ．不能确定9．()32233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A ．2-B ．2C ．3-D ．3 10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>2，抛物线()220y px p =>的准线与双曲线C 的渐近线交于,A B 点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．216y x =12．已知0c b a ≥≥>，且21a b c ++=，则a 的取值范围为（ ） A ．9a >B ．8a >C ．7a >D ．07a <≤二、填空题：本题共4小题13．设某弹簧的弹力F 与伸长量x 间的关系为100F x =，将该弹簧由平衡位置拉长0.1m ,则弹力F 所做的功为_______焦.14．已知等比数列{}n a 是递减数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若12,a a 是方程22310x x -+=的两个根，则5S =__________．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，12AB AC AA ===，点G ，E ，D 分别是棱11A B ，1CC ，AC 的中点，点F 是棱AB 上的点．若GD EF 1⋅=-，则线段DF 的长度为______．16．若定义在[)1,-+∞上的函数()221,1143,1x x f x x x x ⎧⎪--≤≤=⎨-+>⎪⎩，则()31f x dx -=⎰________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022年上海市徐汇职业高级中学高二数学理期末试题含解析
2022年上海市徐汇职业高级中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切参考答案：D解：圆为，圆为，两圆心分别为和，圆心距为，即两圆相交．故选．2. 已知方程x2+－=0有两个不等实根a和b，那么过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．随θ值的变化而变化参考答案：解析: a+b=－,ab=－, l AB:y=(b+a)(x－)+.圆心O(0,0)到其距离为d===1.故相切. 答案:B3. 设，若，则A. B. C. D.参考答案：B略4. 设z = 1 – i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是（）A、1B、－1 C．i D、－i参考答案：A略5. 直线x+y+3=0的倾斜角为（）A．0°B．﹣30°C．350°D．120°参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x+y+3=0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，解出即可得出．【解答】解：设直线x+y+3=0的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，∴θ=120°．故选：D．6. 过点的直线l与圆有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是A、 B、 C、 D、参考答案：D7. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．8. 椭圆上一点M到焦点的距离为2，是的中点，则等于（）A．2 B． C． D．参考答案：B略9. 设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解： =，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．【点评】本题考查了有理化因式和不等式的性质，属于基础题．10. 观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（）A．a为正相关，b为负相关，c为不相关B．a为负相关，b为不相关，c为正相关C．a为负相关，b为正相关，c为不相关D．a为正相关，b为不相关，c为负相关参考答案：D【考点】BH：两个变量的线性相关．【分析】根据散点图中点的分布特征，结合相关性的定义，即可得出结论．【解答】解：根据散点图，由相关性可知：图a各点散布在从左下角到右上角的区域里，是正相关；图b中各点分布不成带状，相关性不明确，所以不相关；图c中各点分布在从左上方到右下方的区域里，是负相关．故选：D．【点评】本题考查了散点图中点的分布特征以及相关性定义的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对不同的且,函数必过一个定点A,则点A的坐标是_____. 参考答案：(2,4)【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标．【详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x ＝0，x ＝2，∴f （2）＝+3＝4，∴点A 的坐标是（2，4）． 故答案为：（2，4）．【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题．12. 若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 ▲参考答案：13. 一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．参考答案：2【考点】极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计．【分析】由已知条件先求出x 的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差． 【解答】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3，∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， ∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．14. 已知f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，则f ′(1)＝________.参考答案：-1 略15. 曲线y=cosx 在点处的切线斜率等于_______参考答案：略16. 已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______. 参考答案：17. 函数y =单调递增区间为参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位2．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（） A ．{|23}x x ≤< B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<3．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．44．函数1y x x=+的极值情况是（ ）． A ．有极大值2-，极小值2 B ．有极大值1，极小值1- C ．无极大值，但有极小值2-D ．有极大值2，无极小值5．设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 6．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知非空集合,A B ，全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃则（ ）A ．MN M = B ．M N ⋂=∅C ．M ND ．M N ⊆8．若在曲线0(),f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线0(),f x y =的“自公切线”.下列方程：①221;x y -=②2y x x =-；③3sin 4cos y x x =+④214x y +=-对应的曲线中存在的“自公切线”的是（ ） A ．①③B ．②③C ．②③④D ．①②④9．已知函数f （x ）＝2x－1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦10．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．在(1,2)上()f x 是增函数D ．在4x =时，()f x 取极大值 11．已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（ ）A ．49041001C C -B ．0413109010904100C C C C C + C ．1104100C CD ．1310904100C C C 二、填空题：本题共4小题13．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.14．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得1x =1x =.用类似的方法可得=_____________.15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________ 16．极坐标方程2cos 21ρθ=为所表示的曲线的离心率是______ ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数()ln(24)x f x e x b =-+-，b 为实数. （1）当0b =时，求函数()f x 在点(1,)a -处的切线方程； （2）当b Z ∈，且()0f x ≥恒成立时，求b 的最大值.18．某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 2013—2018 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：注：=年库存积压件数年库存积压率年生产件数（1）从公司 2013—2018 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为9.909.30y x ∧=-.现公司计划 2019 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2019 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2019 年的数据与 2013—2018 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2019 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2019 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.19．（6分）已知函数()322x f x x +=--的定义域是A ，关于x 的不等式()2330x a x a -++<的解集为B ．（1）求集合B ；（2）已知:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件，试求实数a 的取值范围． 20．（6分）已知二项式()22nx x --．（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1:8，求二项展开式的系数之和． （2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．21．（6分）如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点．()1设圆往的高为4，异面直线AD 与BC 所成角为2arccos，求圆锥的体积； ()2当圆锥的高和底面半径是()1中的值时，求二面角B AD C --的大小．22．（8分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表： 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女12m（1）求m ，n ；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 【解析】试题分析：根据题意，对于回归方程为2 2.5ˆyx =-，当x 增加一个单位时，则y 的平均变化为()()2.51 2.5 2.5y x y x -+--=-，故可知y 平均减少2.5个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用. 2．C 【解析】 【分析】解出集合M 中的不等式即可 【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥ 所以M N ⋃={|1}x x > 故选：C 【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题. 3．A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++-()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4．A 【解析】 【分析】求导分析函数导数的零点,进而求得原函数的单调性再判断即可. 【详解】由题,函数定义域为{}|0x x ≠,21'1y x=-,令'0y =有1x =±. 故1y x x=+在(),1-∞-上单调递增,在()1,0-上单调递减. 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增. 且当1x =-时, 2y =-；当1x =时, 2y =故1y x x=+有极大值2-,极小值2. 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数极值的求解,需要求导分析单调性.同时注意函数在()1,0-和()0,1上分别单调递减.属于基础题. 5．D【分析】要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列． 【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n nC n n +=+ 选D 【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n =1,只有一种放法，排除AB ，令n =2有6中放法，选D 6．B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D. 【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B. 【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题. 7．B 【解析】分析：根据题意画出图形，找出M 与 N 的并集，交集，判断M 与 N 的关系即可 详解：全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()UU N B A =⋃M N U ∴⋃=，M N ⋂=∅，M N ≠故选B点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。