专题3 动能 动能定理

专题3 动能动能定理知识目标一、动能如果一个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能． E k ＝½mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。

二、动能定理做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量． W1＋W2＋W3＋……＝½mv t2－½mv021．反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。

2．“增量”是末动能减初动能．ΔE K＞0表示动能增加，ΔE K＜0表示动能减小．3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物．三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v0变为v t，则：根据牛顿第二定律F=ma……①根据运动学公式2as=v t2一v02……②由①②得：FS=½mv t2－½mv02四．应用动能定理可解决的问题恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……①由动能定理得：W=½mv2……②由①②得：W=½μmgR，所以在这一过程摩擦力做功为½μmgR点评：（1）一些变力做功，不能用 W＝ FScosθ求，应当善于用动能定理．（2）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）一同代入公式．【例2】一质量为m 的物体．从h 高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh 后静止，求阻力做功为多少？提示：整个过程动能增量为零， 则根据动能定理mg （h ＋Δh ）－W f ＝0 所以W f ＝mg （h ＋Δh ） 答案：mg （h ＋Δh ）规律方法1、动能定理应用的基本步骤应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．动能定理应用的基本步骤是：①选取研究对象，明确并分析运动过程．②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．③明确过程始末状态的动能E k1及E K2④列方程 W=E K2一E k1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．【例3】总质量为M 的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？解析:此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视画草图）；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.FL －μ(M －m)gS 1=－½(M －m)v 02对末节车厢，根据动能定理有一μmgs 2＝－½mv 02 而ΔS=S 1一S 2由于原来列车匀速运动，所以F=μMg ．以上方程联立解得ΔS=ML/ (M 一m ）． 说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方程解方程组．2、应用动能定理的优越性(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F 的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．【例4】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是:FR3FR5FRA、；、；、；、零;B C D442【例5】质量为m的飞机以水平v0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?3、应用动能定理要注意的问题注意1．由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．【例6】如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．注意2．用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变为F 所做的功．【例7】质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）A.mgR/4B. mgR/3C. mgR/2D.mgR【例8】、一种氢气燃料的汽车，质量为m=2.0×103kg，发动机的额定输出功率为80kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍。

若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为a=1.0m/s2。

达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了800m，直到获得最大速度后才匀速行驶。

试求：（1）汽车的最大行驶速度；（2）汽车匀加速启动阶段结束时的速度；（3）当速度为5m/s 时，汽车牵引力的瞬时功率；（4）当汽车的速度为32m/s 时的加速度；（5）汽车从静止到获得最大行驶速度所用的总时间。

注意3．区别动量、动能两个物理概念．动量、动能都是描述物体某一时刻运动状态的状态量，动量是矢量，动能是标量．动量的改变必须经过一个冲量的过程，动能的改变必须经过一个做功的过程．动量是矢量，它的改变包括大小和方向的改变或者其中之一的改变．而动能是标量，它的改变仅是数量的变化．动量的数量与动能的数量可以通过P 2=2mE K 联系在一起，对于同一物体来说，动能E K 变化了，动量P 必然变化了，但动量变化了动能不一定变化．例如动量仅仅是方向改变了，这样动能就不改变．对于不同的物体，还应考虑质量的多少．【例9】在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A 和B ，它们相距s ，在B 右侧距B2s 处有一深坑，如图所示，现对A 施以瞬间冲量，使物体A 沿A 、B 连线以速度v 0开始向B 运动．为使A 与B 能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A 、B 与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B 碰撞时间很短，A 、B 碰撞后不再分离．【例10】如图所示，两个完全相同的质量为m 的木板A 、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m ．质量为2m 、大小可忽略的物块C 置于A 板的左端． C 与A 之间的动摩擦因数为μ1=0.22， A 、B 与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C 施加一个水平向右，大小为mg 52的恒力F ， 假定木板A 、B 碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C 最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?4、 动能定理的综合应用动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理【例11】两个人要将质量M ＝1000 kg 的小车沿一小型铁轨推上长L ＝5 m,高h ＝1 m 的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g 取10 m/s 2）参考解答：例4、解析:设当绳的拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 1，则有F=mv 12/R ……①当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v 2,则有F/4=mv 22/2R ……②在绳的拉力由F 减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=½mv 22－½mv 12=－¼FR所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A 选项正确．说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．例5、解析(1)飞机水平速度不变,L= v 0t,竖直方向的加速度恒定,h=½at 2,消去t 即得2022h a v l= 由牛顿第二定律得:F=mg ＋ma=20221h mg v gl ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2)升力做功W=Fh=20221h mgh v gl ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在h 处,v t 02hv l =, ()2222002114122k t h E m v v mv l ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭例6、解析：设木块与木板间摩擦力大小为f 1，木板与地面间摩擦力大小为f 2． 对木块：一f 1t=mv t 一mv 0，得f 1=2 N对木板：（f l －f 2）t ＝Mv,f 2＝μ（m ＋ M ）g得v ＝0．5m/s 对木板：（f l －f 2）s=½Mv 2，得 S=0·5 m 答案：0．5 m例7、解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v 1,则7mg －mg=mv 12/R ……①设小球恰能过最高点的速度为v 2,则mg=mv 22/R ……②设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R －W=½mv 22－½mv 12……③由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C 说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点． 例9、解析:A 与B 相碰，则22001,.22v mv mgs gsμμ〉〈A 和B 碰前速度v 1，22101122mv mv mgs μ-=-,1v =A 与B 碰后共同速度v 2.mv 1=2mv 2,2112v v =AB 不落入坑中,221222,2mv mg s μ⨯≤ 解得2014v gs μ≥ 综上，μ应满足条件2200142v v gs gsμ≤≤ 例10、【分析】：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A 、B 碰撞前A 、C 是相对静止的，A 、B 碰撞后A 、B 速度相同，且作加速运动，而C 的速度比A 、B 大，作减速运动，最终A 、B 、C 达到相同的速度，此过程中当C 恰好从A 的左端运动到B 的右端的时候，两块木板的总长度最短。