高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理优化训练北师大版必修4课件
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件高二必修4数学课件
12/13/2021
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当点 M 在 CB 的延长线上时， C→M＝－3M→B＝3B→M，故B→M＝12C→B， 所以A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋12C→B＝A→B＋12(A→B－A→C) ＝32A→B－12A→C＝32a－12b.
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第二章
平面 向量 (píngmiàn)
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§3 从速度的倍数(bèishù)到数乘向量
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3．2 平面(píngmiàn)向量基本定理
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01 预习篇
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【 解 析 】 (1) 设 a ＝ λb ， 即 2e1 － e2 ＝ λ(e1 ＋ 2e2) ， 则
2＝λ， －1＝2λ，
无解，故 a 与 b 不共线，能构成基底；同理可得，a
与 c，a＋b 与 c 均不共线，均能构成基底．∵a－b＝(2e1－e2)－
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类型三
平面向量基本定理的应用
【例 3】 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 CD 的中点， AF 与 BD 交于点 E，求证：E 为线段 BD 的一个三等分点．
【思路探究】
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【证明】 设A→B＝a，A→D＝b，则B→D＝A→D－A→B＝b－a，A→F＝ A→D＋D→F＝A→D＋12A→B＝b＋12a.
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高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理课件2北师大版必修
数乘向量
1 数与向量相乘
数称为标量。
2 结果向量的方向
与原向量相同或相反。
平面向量基本定理
任意平面向量
都可以表示为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的线性组合
将两个向量按一定比例相加得到向量。
图形解释
高中数学第二章平面向量 2.3从速度的倍数到数乘 向量2.3.2平面向量基本定 理课件2北师大版必修
学习高中数学第二章平面向量的课件，从速度的倍数到数乘向量学习，了解 向量的倍数和方向不变，向量长度的相应改变；速度的单位向量，方向与速 度相同，长度为1，用于计算速度的倍数。
速度的倍数和单位向量
1 速度的倍数
通过图形解释得到该定理的理解。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标
[解析] 如图所示，连接 FD， ∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，∴ DC 綊 FB，
∴四边形 DCBF 为平行四边形．∴D→C＝F→B＝12A→B＝12b，B→C＝F→D＝A→D－A→F＝A→D －12A→B＝a－12b，E→F＝D→F－D→E＝－F→D－D→E＝－B→C－12D→C＝－a－12b－12×12b＝ 14b－a.
[典例 2] 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，若 a＋b 与 a 的夹角为 α，a
－b 与 a 的夹角为 β，求 α＋β. [解析] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°， 以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则O→C＝a＋b，B→A＝ O→A－O→B＝a－b，B→C＝O→A＝a，因为|a|＝|b|＝2，且∠AOB＝ 60°，所以△OAB 为正三角形，∠OAB＝60°＝∠ABC， 即 a－b 与 a 的夹角 β＝60°. 因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形， 所以 OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°， 即 a＋b 与 a 的夹角 α＝30°，所以 α＋β＝90°.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、平面向量基本定理 1．定理：如果 e1、e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a， 有且只有 一对实数 λ1、λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 . 2．基底：不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
探究三 平面向量基本定理的应用 [典例 3] 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，AF 与 BD 交于 E，求证：E 为线段 BD 的三等分 点． [解析] 设A→B＝a，A→D＝b，则B→D＝A→D－A→B＝b－a， A→F＝A→D＋D→F＝A→D＋12AB＝b＋12a. 因为 A、E、F 与 B、D、E 分别共线，所以存在实数 λ、μ∈R，使A→E＝λA→F，B→E ＝μB→D.
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理教案数学教案
2.3.2平面向量基本定理整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.重点难点教学重点:平面向量基本定理.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度v cosα和沿竖直方向的速度v sinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a.是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢？思路 2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?图1②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA=e1,OB=e2,OC=a..过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA.交于点M;过点C作平行于直线OA.的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM=λ1e1,ON=λ2e2.由于OC=OM+ON,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a.都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a.=λ1e1+λ2e2.定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a.在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a=λ1e1+λ2e2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a.与b的夹角.显然,当θ=0°时,a.与b同向;当θ=180°时,a.与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a.与b垂直,记作a.⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a.,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间\[0°,180°\]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.应用示例思路1例1 如图3,ABCD 中,AB =a .,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a .,b 为基底分解向量AM 与HF 图3 活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =b +21a .. HF =AF -AH =AB +BF -AH =AB +31BC -21AD=AB +31AD -21AD =a -61b 点评:以a .、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a .与b 表示向量AM 与HF . 变式训练已知向量e 1、e 2(如图4),求作向量-2.5e 1+3e 2.图4作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC 就是求作的向量.例2 如图5,质量为10kg 的物体a .沿倾角θ=30°的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力和支持力.(g=10m/s 2)图5解:物体受到三个力:重力AG ,斜面支持力AN ,滑动摩擦力AM .把重力AG 分解为平行于斜面的分力AF 和垂直于斜面的分力AE .因为物体做匀速运动,所以AN =-AE ,AM =-AF .因为|AG |=10(kg)×10(m/s 2)=100(N),|AF |=|AG |·sin30°=100×21=50(N)， |AE |=|AG |·c os30°=100×23=503(N),所以|AM |=|AF |=50N,|AN |=|AE |=503N.答：物体所受滑动摩擦力大小为50N,方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为503N,方向与斜面垂直向上.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A..①②B.②③C.①③D.①②③活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解析:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.变式训练(2007上海春季高考,13) 如图6,平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若OP =a .1OP +b 2OP ,且点P 落在第Ⅲ部分,则实数a .、b 满足.( )图6A.a.＞0,b ＞0B.a.＞0,b ＜0C.a.＜0,b ＞0D.a.＜0,b ＜0解析:∵点P 落在第Ⅲ部分, ∴OP 在直线1OP 上的分向量与1OP 同向,在直线2OP 上的分向量与2OP 反向.∴a.＞0,b ＜0.答案:B思路2例1 如图7,M 是△A.BC 内一点,且满足条件AM +2BM +3CM =0,延长CM 交A.B 于N,令CM =a .,试用a .表示CN .图7活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数 a.1,a.2,b 1,b 2,使得a=a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵AM =AN +NM ,BM =BN +NM , ∴由AM +2BM +3CM =0,得(AN +NM )+2(BN +NM )+3CM =0. ∴AN +3NM +2BN +3CM =0.又∵A.、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设AN =λBN ,CM =μNM , ∴λBN +3NM +2BN +3μNM =0.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+.033,02μλ.∴⎩⎨⎧-=-=.1,2μλ ∴CM =-NM =MN .∴CN =CM +MN =2CM =2a .点评:这里选取BN ,NM 作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a .=3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=-=-.154,523μλμλ 解之,得λ=1,μ=-1.例2 如图8,△A.BC 中,A.D 为△A.BC 边上的中线且A.E=2EC,求GD AG 及GEBG 的值. 图8活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设GD AG =λ,GEBG =μ. ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAE ,AG =μ+11AB +μμ+1AE . 又AE =32AC ,∴AG =μ+11AB +)1(32μμ+AC .② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+)1(32)1(2,11)1(2μλλμλλu 解之,得.23,4.23,4==∴⎪⎩⎪⎨⎧==GE BG GD AG μλ 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△OA.B 的重心G 的直线与边OA.、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OQ =k OB ,试证:kh 11+=3. 证明:设OA =a .,OB =b ,OG 交A.B 于D,则OD =21(OA +OB )=21(a .+b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),QG =OG -OQ =31(a .+b )-k b =31a +331k -b QP =OP -OQ =h a -k b. ∵P、G 、Q 三点共线,∴QG =λQP . ∴31a +331k -b =λh a .-λk b ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得k h k -=-311⇒k+h=3hk, ∴kh 11==3. 知能训练已知G 为△A.BC 的重心,设AB =a .,AC =b ,试用a .、b 表示向量AG .图9解答:如图9,AG =32AD , 而AD =AB +BD =AB +21BC =a +21(b -a )=21a +21b ,33223点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2—35、6.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.备课资料一、三角形三条中线共点的证明如图13所示,已知在△A.BC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA.、A.B 的中点,设中线A.D 、BE 相交于点P.图13求证:A.D 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线. 证明:设AC =a .,AB =b ,则AL =21b ,CL =AL -AC =-a +21b . 设AP =m AD ,则AC +CP =m(AC +CD ),CP =(-1+m)AC +m CD =(-1+m)a .+m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b .① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ), ∴CP =(1-n)CE +n CB =-21(1-n)a +n(b -a .)=(-21-21n)a +n b .② 由①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21,2121211n m n m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,32n m33323∴C、P 、L 三点共线.∴A.D、BE 、CL 三线共点.二、备用习题 1.如图14所示,已知AP =34AB ,AQ =31AB ,用OA 、OB 表示OP ,则OP 等于( ) 图14 A..31OA +34OB B.-31OA +34OB C.-31OA -34OB D.31OA -34OB 2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A..λ1m+λ2nB.λ1n+λ2mC.|λ1|m+|λ2|nD.|λ1|n+|λ2|m 3.已知G 1、G 2分别为△A.1B 1C 1与△A.2B 2C 2的重心,且21A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21G G 等于( ) A..21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.-31(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A.、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA ||||AC ACAB ABP 的轨迹一定通过△A.BC 的( )A..外心B.内心C.重心D.垂心5.已知向量a .、b 且AB =a .+2b ,BC =-5a .+6b ,CD =7a .-2b ,则一定共线的三点是( )A..A.、B 、DB.A.、B 、CC.C 、B 、DD.A.、C 、D6.(2007浙江高考,15)如图15,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为__________________.图15参考答案:1.B 2.C 3.B 4.B 5.A. 6.6。
北师大版必修4高中数学第2章平面向量33.2平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝ _λ1_e_1_＋__λ_2e_2 (如图②所示)，其中不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面 内所有向量的一组_基__底__．
思考：若存在 λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且 a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1 ＋μ2e2，那么 λ1，μ1，λ2，μ2 有何关系？
3．基底给定时，向量分解形式唯一吗？ [提示] 向量分解形式唯一．
【例 3】 如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中 点，点 N 在 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于 点 P，求 AP∶PM 与 BP∶PN.
[思路探究] 以B→M与C→N为基底利用平面向量基 本定理求解，解题时注意条件 A、P、M 和 B、P、N 分别共线的应用．
平面向量基本定理应用 [探究问题] 1．如果 e1，e2 是两个不共线的非零向量，则与 e1，e2 在同一平 面内的任一向量 a，能否用 e1，e2 表示？依据是什么？ [提示] 能．依据是平面向量基本定理．
2．如果 e1，e2 是共线向量，那么向量 a 能否用 e1，e2 表示？为 什么？
[提示] 不一定．当 a 与 e1，e2 中的一个非零向量共线时可以表 示，否则不能表示．
B．e1＋e2,3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
2．设 O 为平行四边形 ABCD 的对称中心，Байду номын сангаас→B＝4e1，B→C＝6e2，
则 2e1－3e2 等于( )
A.O→A
B.O→B
→ C.OC
→ D.OD
B [如图，O→B＝12D→B＝12(A→B－B→C)＝2e1－3e2.]
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示导学案无答案新人教A 版必修4一、【温故互查】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________ 2．怎样理解向量的数乘运算λa（1）模：|λa |= ______；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向_______；λ<0时λa 与a 方向_______；λ=0时λa=0 3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________ 二、【设问导读】 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
【练1】如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD探究（二）：平面向量的坐标表示探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？1、非零向量a 、b 的夹角的定义： _________________________________ 。
高中数学第二章平面向量2.3从速的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理高一数学
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为
a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是
.
12/9/2021
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一
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(tànjiū)二
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三
Z 自主预习
IZHUYUXI
H 合作学习
EZUOXUEXI
思维辨析
解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中
的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的
列结论都是成立的:
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(1) + + =0;
(2) + + =0;
(3) + + =0;
(4) + + =0.
第十四页，共二十六页。
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(tànjiū)三
)
(2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底. (
)
(3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有x1=x2,且
y1=y2. (
高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理备课素材 北师大版必修4
2.3.2 平面向量基本定理备课资料一、三角形三条中线共点的证明如图13所示,已知在△A.BC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA.、A.B 的中点,设中线A.D 、BE 相交于点P.图13求证:A.D 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线.证明:设AC =a .,AB =b ,则AL =21b ,CL =AL -AC =-a +21b . 设AP =m AD ,则AC +CP =m(AC +CD),CP =(-1+m)AC +m CD =(-1+m)a .+m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b .① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ), ∴CP =(1-n)CE +n CB =-21(1-n)a +n(b -a .)=(-21-21n)a +n b .② 由①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21,2121211n m n m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,32n m ∴CP =-32a +31b =32(-a .+21b )=32CL ∴C、P 、L 三点共线.∴A.D、BE 、CL 三线共点.二、备用习题 1.如图14所示,已知AP =34AB ,AQ =31AB ,用OA 、OB 表示OP ,则OP 等于( )图14A..31OA +34OB B.-31OA +34OB C.-31OA -34 D.31OA -34OB2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A..λ1m+λ2nB.λ1n+λ2mC.|λ1|m+|λ2|nD.|λ1|n+|λ2|m3.已知G 1、G 2分别为△A.1B 1C 1与△A.2B 2C 2的重心,且21A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21G G 等于( )A..21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.-31(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A.、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ(||||AC ACAB AB),λ∈［0,+∞),则P 的轨迹一定通过△A.BC 的( )A..外心B.内心C.重心D.垂心5.已知向量a .、b 且AB =a .+2b ,BC =-5a .+6b ,CD =7a .-2b ,则一定共线的三点是( )A..A.、B 、DB.A.、B 、CC.C 、B 、DD.A.、C 、D6.(2007浙江高考,15)如图15,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为__________________.图15参考答案:1.B 2.C 3.B 4.B 5.A. 6.6。
北师大版高中数学高一2.3.2 平面向量基本定理
思想方法 待定系数法与方程思想在向量中的应用 例 4 如图所示，在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，点 M 是 AB 上靠近 B 的一
个三等分点，点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P， 求O→P.
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12345
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 基底的是( B )
λ、μ∈R，则
4 λ＋μ＝____3____.
解析 设A→B＝a，A→D＝b，则A→E＝12a＋b，A→F＝a＋12b，
又∵A→C＝a＋b，
∴A→C＝23(A→E＋A→F)，即 λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
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12345
5.已知 G 为△ABC 的重心，设A→B＝a，A→C＝b.则用 a、b 表示向量 A→G＝__13_a_＋__13_b___. 解析 如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点， A→G＝23A→D＝23(A→B＋B→D) ＝23A→B＋12B→C＝23A→B＋13B→C ＝23A→B＋31(A→C－A→B)＝31A→B＋13A→C＝13a＋13b.
第二章 § 3 从速度的倍数到数乘向量
2.3.2 平面向量基本定理
学习 目标
1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定理的 含义，了解基底的含义. 2.理解并掌握平面向量基本定理.
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知识点 平面向量基本定理
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跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其 中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④___.(写出所有满足 条件的序号) 解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4 (1)
③∵e1-2e 2= − 2 (4e2-2e1),∴e 1-2e 2 与 4e 2-2e1 共线 ,即 e1-2e2 与
4e2- 2e1 不可作为一组基底 ; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则 (1-λ)e1+(1+λ)e2=0, 1-������ = 0, 无解,∴e1+e2 与 e1-e2 不共线 ,即 e1+e2 与 e1-e2 可作 1 + ������ = 0, 为一组基底 . ∴
1.理解平面向量基本定理 剖析:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量. (2)对于给定的向量a,实数λ1,λ2存在且唯一.实数λ1,λ2的唯一性是 相对于基底e1,e2而言的. (3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所 以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的 分解是唯一的. (4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内 任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他 两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量.
1
2
(
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������ 的夹角等于 )
A.60° C.120°
B.90° D.150°
1
2
解析 :延长 AB 到 D,使 AB=BD,如图 , 则 ������������ 与 ������������的夹角等于∠CBD. 又 ∠ABC=60° , 则 ∠CBD=180° -∠ABC=180° -60° = 120° ,所以 ������������ 与 ������������的夹角等于120° . 答案 :C
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2.3.2 平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）A.①② B .②③ C .①③ D .①②③ 解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确. 答案：B2.设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③CA 与DC ；④OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是（ ）A.①②B.①③C.①④D.③④解析：①AD 与AB 不共线,②DA=-BC,DA∥BC,DA 与BC 共线,③CA 与DC 不共线,④OD=-O B,OD∥OB,OD 与OB 共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底. 答案：B3.想一想，e 1、e 2不共线，e 1、e 2中能否有零向量？a 与e 1、e 2的关系可能有几种情况？ 解析：e 1、e 2不共线，则e 1≠0且e 2≠0.（1）a 与e 1共线，则有且只有一个λ1，使a =λ1e 1； （2）a 与e 2共线，则有且只有一个λ2，使a =λ2e 2； （3）a 与e 1、e 2都共线，则a =0；（4）a 与e 1、e 2都不共线，a 能用e 1、e 2表示，解法如下：与共线，则有且只有一个λ1，使=λ1e 1.与共线，则有且只有一个λ2，使=λ2e 2，则a =+=λ1e 1+λ2e 2.4.如图2-3-3，已知△OAB，其中=a ，=b ，M 、N 分别是边、上的点，且=31a ，=21b .设与BM 相交于P ，用向量a 、b 表示.图2-3-3解：OP =OM +MP ,OP =ON +NP . 设=m ，=n ，则=+m =31a +m(b -31a )=31(1-m)a +m b , =+n =21b +n(a -21b )=21(1-n)b +n a . ∵a 、b 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.52,51.)1(21,)1(31m n m n n m 解得∴=51a +52b . 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量、、的终点A 、B 、C 在一条直线上，且=-3.设OA =p ,OB =q ,OC =r ，则下列等式成立的是( )A.r =q p 2321+-B.r =-p +2qC.r =q p 2123- D.r =-q +2p解析：由=-3,得-=-3（-）， 即2=-+3，∴=21-+23，即r=q p 2321+-.答案：A2.设一直线上三点A 、B 、P 满足=λ(λ≠1),O 是空间一点，则用、表示为( )A.=+λB.=λ+(1-λ)C.=λλ++1OBOA D.OB OA OPλλ-+111解析：由AP =λPB （λ≠1）得OP -OA =λ（OB -OP ），即OP =λλ++1.答案：C3.如图2-3-4，四边形ABCD 为矩形，且AD=2AB,又△ADE 为等腰直角三角形，F 为ED 中点，EA =e 1，EF =e 2.以e 1、e 2为基底，表示向量AF 、AB 、AD 及BD.图2-3-4解：∵=e 1，=e 2，∴=e 2-e 1. 依题意有AD=2AB=DE ，且F 为ED 中点， ∴四边形ABDF 为平行四边形. ∴BD =AF =e 2-e 1，AB =EF =e 2. ∴=+=e 2-e 1+e 2=2e 2-e 1.4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=c ，=d ，试用c 、d 表示和.图2-3-5解：设AB =a ，AD =b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=b 21，DM =a 21. 从△ABN 和△ADM 中可得a +21b =d ，b +21a =c . 解得a =32(2d -c ),b =32(2c -d ),即AB =32(2d -c ),AD =32(2c -d ).5.证明三角形的三条中线交于一点. 证明：如图，令=a ,=b 为基底.=b -a ,=21a +21b ,=21b -a .设AD 与BE 交于点G 1，并设1AG =λ,1BG =μ， 则有1CG =1AG -AC =b b a -+22λλ=b a 222-+λλ,1CG =1BG -=b a b a 2μμ+--,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.2222,12μλμλ解得λ=μ=32,∴1AG =32AD .设AD 与CF 交于点G 2，同理,可得2AG =32. ∴G 1与G 2重合，也就是说AD 、BE 、CF 相交于同一点. ∴三角形的三条中线交于一点.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.e 1和e 2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是( )A.e 1+e 2和e 1-e 2B.3e 1-2e 2和4e 2-6e 1C.e 1+3e 2和e 2+3e 1D.e 2和e 1+e 2 解析：∵3e 1-2e 2=21-（4e 2-6e 1）， ∴3e 1-2e 2与4e 2-6e 1共线. 答案：B2.下面关于单位向量的叙述正确的是( )A.若e 是向量AB 的单位向量，则e 与AB 同向或反向B.若e 1与e 2是两向量的单位向量，则e 1与e 2可作为平面的一组基底C.0的单位向量是0D.向量的单位向量e解析：单位向量是指与a 同向且大小为一个单位的向量，故A 不正确.若e 1、e 2是两个单位向量，则可能反向，故B 不正确.易知选D.答案：D3.已知=3（e 1+e 2），=e 2-e 1，=2e 1+e 2，则( )A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 解析：AC =AB +BC =AB -CB =4e 1+2e 2=2（2e 1+e 2）=2CD . 答案：C4.在△ABC 中，设AB =m ，AC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______________,AE =_______________.解析：由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得BD =31BC ,BE =32BC ，转化为已知向量即可. 答案：n m n m 32313132++ 5.设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量b=e 1+λe 2（λ∈R ）与向量a =2e 1-e 2共线，则λ=___________.解析：由共线向量定理，设b =λa ，即e 1+λe 2=2μ e 1-μ e 2. 所以⎩⎨⎧-==.,12μλμ解得λ=21-.答案：21-6.如图2-3-6，在平行四边形PQRS 中，在PQ 、QR 、RS 、SP 上分别取点K 、L 、M 、N ，其中K 、N 分别为PQ 、PS 的中点，QL=31QR ，SM=41SR.设KM 与LN 交于A 点，=a ，=q ，=s ，试用q 、s 表示a .图2-3-6解法一：∵与共线，∴存在实数λ1，使=λ1. ∵=++,K 为的中点，=31,=43-,=， ∴KM =21++(43-）=41-+，即KM =41-q+s.∴KA =sq 114λλ+-.∵=+,K 为的中点， ∴PA =21q sq 114λλ+-，即PA =(4211λ-)q+λ1s. 同样设NA =λ2，=++=21PS +RQ -32PS =RQ -61PS =q-61s, ∴PA =PN +NA =PN +λ2NL =21s+λ2q-s 62λ=(21-62λ)s+λ2q. ∵关于q 、s 的分解式是唯一的，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.239,23104121,6121211221λλλλλλ解得∴=s q 2310239+. 解法二：由于N 、A 、L 三点共线，故存在α∈R ，使=α+(1-α).∵=21=21s,=+=+31=q +31s . ∴PA =21α s +(1-α)(q+31s )=s 2α+(1-α)q +s 31α-.∴=(1-α)q +(631α+)s .同理，由于K 、A 、M 三点共线，故存在β∈R ，使=β+(1-β).∵=21=21q ,=+=s+q 41, ∴PA =21β s +(1-β)(s+q 41).∴PA =(1-β)s +(441β+）q .∵关于q 、s 的分解式是唯一的，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-.2313,2314.6311,4411βαββα解得a∴PA =s q 2310239+. 7.已知向量a =2e 1-3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线.向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa +μb 与c 共线?若存在，求出λ、μ的值；若不存在，请说明理由.解：∵d =λ（2e 1-3e 2）+μ（2e 1+3e 2） =（2λ+2μ）e 1+（-3λ+3μ）e 2，如果d 与c 共线，则应存在实数k ，使得d =k c ， 即（2λ+2μ）e 1+（-3λ+3μ）e 2=2k e 1-9k e 2. ∴2λ+2μ=2k ，-3λ+3μ=-9k ， 解得λ=-2μ.故存在这样的λ、μ，只要λ=-2μ，就能使d 与c 共线. 8.如图2-3-7，平行四边形ABCD 中，DE =31DC ，DF =41DB .求证：A 、F 、E 三点共线.图2-3-7证明：设=a ，=b ，由题意，得=31=31=31a ， =41=41（-）=41（a -b ）.又AE =AD +DE =b +31a ，∴AF =AD +DF =b +41（a -b ）=41a +43b .∴43AE =43（31a +b ）=b a 4341+=AF . ∴∥.又∵直线AE 与直线AF 有公共点A ，∴A、F 、E 三点共线.9.如图2-3-8,在△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在边AC 上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP∶PM 的值.图2-3-8解:设BM=e 1,CN=e 2,则AM=AC+CM =-3CN-BM=-3e 2-e 1,BN=BC+CN =2BM+CN=2e 1+e 2.∵A、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ、μ使AP=λAM=-3λe 2-λe 1，BP=μBN =2μe 1+μe 2 故BA=BP-AP=2μe 1+μe 2-（-3λe 2-λe 1）=（2μ+λ）e 1+（μ+3λ）e 2 而BA=BC+CA=2BM+3CN=2e 1+3e 2 由平面向量基本定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+.53,543322μλλμλμ 故AP =54AM ,即AP∶PM=4∶1. 快乐时光分数略某考生在考数学时，最后一道题不会做，他偷看到了别人的答案，但过程还是不会.快交卷时，他灵机一动，在卷子上写道：运算过程略.接着把答案抄在后面.评卷老师看后，在答案后打个“X”，接着写道：分数略.。