数理统计课件 4.2 正态总体均值与方差的假设检验

通常我们选取
λ1α＝χ
2 1－α
(n
−
1),
λ2α＝χ
2 α
(n
−
1)
，使
2
2
P{χ 2
使 P{| T |≥ tα / 2 (n − 1)} = α ，
即
|X− P{
Sn* /
µ0 | n
≥
tα
/2(n
−
1)}
=
α
，
故检验的拒绝域为
W
= {x : | x − µ0 |
S
* n
/
n
≥
tα / 2 (n − 1)}。
若| T |≥ tα /2(n − 1) ，拒绝假设 H0 ，即认为总体均值与 µ0 有显
10.9,10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7
假设切割的金属棒的长度服从正态 N (µ,σ 2 ) 分布，试问该
切割机工作是否正常(α = 0.05 )?
解问题归结为检验假设 H0 : µ = 10.5 ↔ H1 : µ ≠ 10.5 。 因σ 2 未知，现在用 t 检验。由样本均值计算出
以接受假设 H0 ，即认为两种安眠药的疗效无显著差异。
解 2 如果在本例中，只选了 10 个失眠者为试验对象，先
服用安眠药 A，以 X 表示服用 A 后延长的睡眠时间，经过
一段时间后，再服用安眠药 B，用 Y 表示延长的睡眠时间。
因为对同一病人服用两种药后延长的睡眠时间会有联
系，如对重症者都延长的少，对轻患者都延长的多，所
故检验的拒绝域为：
W ={
x− y
⋅
(n1 − 1)S1n1*2 + (n2 − 1)S2n2*2
⋅
n1n2 (n1 + n2 n1 + n2
−
2)
≥
tα / 2 (n1
+
n2
−
2)}
(4.11)
例 4.6 比较两种安眠药 A 与 B 的疗效，对两种药分
布抽取 10 个失眠者为试验对象，以 X 表示使用 A 后延长
检验方法。
由本例看出，同一批试验数据，看成由不同的试验方
法得来，采用不同的数学模型和检验方法，所得的结论
截然不同。因此对同一批试验数据，到底用配对试验的
分析方法还是用非配对试验的分析方法，要根据试验的
性质而确定。
三、 χ 2 检验
设 X1," Xn 是正态总体 N (µ,σ 2 ) 的一个样本，
欲检验假设
关于方差的检验
⎧χ 2 检验法(一个正态总体)
⎨ ⎩F
检验法
(两个正态总体 )
下面我们将分别予以讨论。
二、正态总体均值的检验 (一) U 检验法
U 检验适应在方差已知的情况下，对均值的检验（一个
总体或两个总体）。
1. 单个正态总体情形 设总体 X ~ N (µ,σ 2 ) ，样本 ( X1, X2,", Xn )T 来自总体 X，
作正常。
2．方差未知时两个正态总体均值的检验 设 X1," Xn1 和Y1,"Yn2 分别是来自独立正态总体 N (µ1,σ 2 ) 和 N (µ2 ,σ 2 ) 的样本。要检验假设
H0 : µ1 = µ2 ↔ H1 : µ1 ≠ µ2
这是对两个正态总体在方差相等的条件下检验均值是否
相等。
统计量
T=
一个自然的想法是以样本修正方差代替总体方差,构造
统计量
T = X − µ0 Sn* / n
∑ 其中
S
*2 n
=
1 n−1
n i =1
(Xi
−
X
)2
。
当 H0 成立时，T 服从自由度
为 n − 1的 t 分布。
当| T | 的值大时，假设不大可能成立，应否定 H0 。所以，
对给定 0 < α < 1 ，由 t 分布表即可得检验的临界值 tα /2(n − 1)
的睡眠时间，Y 表示使用 B 后延长的睡眠时间（单位：h），
试验结果如下：
X：1.9,0.8,1.1,0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4；
Y：0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1，3.4，3.7，0.8，0，2.0
假定 X，Y 分别服从正态 N (µ1,σ 2 ) 和 N (µ2 ,σ 2 ) 分布，试问 两种药的疗效有无显著差异（α = 0.01 ）？ 解 1 由试验方案知 X 与 Y 独立，要求检验假设
n1 + n2
= 2.33 − 0.75 ⋅ 10×10× (10 + 10 − 2)
(4.132 + 0.75)× 9
10 + 10
= 4.9964 = 2.2613 2.2095
自由度为 n = n1 + n2 − 2 = 10 + 10 − 2 = 18 ，由α = 0.01 ，查附表
2 得 t0.005 (18) = 2.8784 ，于是 t = 2.26213 < 2.88784 = tα /2 (18) ，所
σ 2 已知. 1° 提出假设: H0： µ = µ0 ； H1： µ ≠ µ0
2° 取检验统计量： U = X − µ0 ，在 H0 成立的条件下，
σn
U = X − µ0 ~ N (0,1) σn
3°
给定显著性水平
α
，由
Φ(uα
2
)
=
1
−
α 2
,
查正态表可得
{ } 临界值 uα . 使 P U ≥ uα = α
在 H0 成立的条件下，U = ( X −Y ) ~ N (0,1)
σ
2 1
+ຫໍສະໝຸດ σ2 2n1 n2
3° 给定显著性水平
α
,由
Φ(uα
2
)
=
1
−
α 2
,
查表可得临界
{ } 值 uα ，使 P U ≥ uα = α
2
2
拒绝域：W = {( x1 , x2 ,", xn1 ; y1 , y2 ,", yn2 ) :
H0
:σ 2
=
σ
2 0
↔
H1
:σ
2
≠
σ
2 0
。
统计量。
n
∑ χ 2 =
nS
2 n
=
i =1
( Xi − X )2
σ
2 0
σ
2 0
(4.12)
在假设
H0 (σ
2
=
σ
2 0
)
成立时，服从自由度为
n
−
1
的
χ
2
分布。
对给定的检验水平 α ，选取实数 λ1α 和 λ2α 使得下
式成立：
P{λ1α ≤ χ 2 ≤ λ2α } = 1 − α
A：24 27 26 21 24
B：27 28 23 31 26
据经验知，尼古丁含量服从正态分布，且 A 种的方差为 5，
B 种的方差为 8，取 α=0.05，问两种烟草的尼古丁含量
是否有差异？
解 设两种烟草的尼古丁平均含量分别为 µ1 和 µ2 . 1° 提出零假设: H0： µ1 = µ2 ； H1： µ1 ≠ µ2
H0 : µ1 = µ2 ↔ H1 : µ1 ≠ µ2 。
现在 n1 = n2 = 10, x = 2.33h ，
S *2 1n1
=
4.132, y
=
0.75h, S2n2*2
=
3.201 ，代入公式(3.22)得
t=
x− y
⋅ n1n2 (n1 + n2 − 2)
(n1 − 1)S1n1*2 + (n2 − 1)S2n2*2
著差异；当| T |< tα /2(n − 1) ，则接受 H0 ，即认为总体均值与
µ0 无显著差异。这种利用服从 t 分布的统计量作为检验统
计量的检验方法称为 t 检验法。
**双边 t 检验的势函数为
β (δ ) = Pµ {| T |≥ tα / 2 (n − 1)}
∫ = 1 − k ∞ xn−2ϕ ( x)[Φ[ x tα / 2 (n − 1) − δ ]
X −Y
(n1 − 1)S1n1*2 + (n2 − 1)S2n2*2
n1n2 (n1 + n2 − 2) n1 + n2
(4.10)
在假设 H0 成立的条件下，T 服从自由度为 n1 + n2 − 2 的 t 分
布。给定显著水平α ，由附表 2 可查得 tα /2(n1 + n2 − 2) 使 P{| T |≥ tα / 2 (n1 + n2 − 2)} = α ，
2° 取检验统计量： U = ( X −Y )
σ
2 1
+
σ
2 2
n1 n2
在 H0 成立的条件下，U = ( X −Y ) ~ N (0,1)
σ
2 1
+
σ
2 2
n1 n2
3° 给定显著性水平 α = 0.05 ，由 Φ(u0.025 ) = 0.975 查
{ } 表可得临界值 u0.025 = 1.96. 使 P U ≥ u0.025 = 0.05
5+8
n1 n2
55
5° 作判断：因为 u0 ∈ W，所以接受 H0，即在显著水
平 α=0.05 下，认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差
异.
（二）t 检验
1. 方差未知时，单个正态总体均值的检验