2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.2第二课时知能演练轻松闯关

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2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.4知能演练轻松闯关

1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解析：选B.直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点为A (－1，－2)，又∵x ＋ky ＝0过A (－1，－2)，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 2．过原点和直线l 1：x －3y ＋4＝0与l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0解析：选C.设所求直线方程为(x －3y ＋4)＋k (2x ＋y ＋5)＝0，将(0,0)代入得4＋5k ＝0，解得k ＝－45.故所求直线方程为(x －3y ＋4)－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y ＝0，故选C. 3．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，若l 1与l 2只有一个交点，则( )A ．A 1B 1－A 2B 2＝0 B ．A 1B 2－A 2B 1≠0C.A 1B 1≠A 2B 2D.A 1B 2≠B 1B 2解析：选B.只有一个交点即l 1与l 2不平行，即A 1B 2－A 2B 1≠0.4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.直线x －2y ＋1＝0过点A (0，12)，B (－1,0)，而A ，B 关于直线x ＝1的对称点，A ′(2，12)，B ′(3,0)所以直线A ′B ′为y ＝－12(x －3)，即x ＋2y －3＝0，故选D. 5．直线3x ＋2y －2m －1＝0与直线2x ＋4y －m ＝0的交点在第四象限，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－23)D ．(－23，＋∞) 解析：选D.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －2m －1＝02x ＋4y －m ＝0⇒⎩⎨⎧ x ＝3m ＋24y ＝－m －28，∴两直线的交点为(3m ＋24，－m ＋28)． ∵此交点在第四象限，∴⎝ ⎛3m ＋24>0，－m ＋28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞－23，m ＞－2，∴m ＞－23，故选D. 6．(2013·南昌期中测试)直线(1＋4k )x －(2－3k )y ＋(5k ＋4)＝0所确定的直线必经过定点________．解析：由(1＋4k )x －(2－3k )y ＋(5k ＋4)＝0，得(x －2y ＋4)＋k (4x ＋3y ＋5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝04x ＋3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1，即必过定点(－2,1)．答案：(－2,1)7．斜率为－2，且与直线2x －y ＋4＝0的交点在y 轴上的直线方程为________．解析：∵直线2x －y ＋4＝0与y 轴的交点为(0,4)，又直线的斜率为－2，∴所求直线方程为y －4＝－2(x －0)，即2x ＋y －4＝0.答案：2x ＋y －4＝08．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋4＝0}，C ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，若(A ∩B )C ，则b ＝________. 解析：A ∩B ＝⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0＝{(0,2)}，由于(A ∩B )C ，所以(0,2)在直线y＝3x ＋b 上，∴2＝3×0＋b ，∴b ＝2.答案：29．已知直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：x ＋y －2＝0，设其交点为P .(1)求交点P 的坐标；(2)已知直线l 3：3x －4y ＋5＝0，分别求出过点P 且与直线l 3平行和垂直的直线方程．解：(1)由于P 为直线l 1与直线l 2的交点，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，解得：x ＝0，y ＝2.∴P (0,2)．(2)设与l 3平行的直线为：3x －4y ＋m ＝0，与l 3垂直的直线为4x ＋3y ＋n ＝0. 当P (0,2)在与l 3平行的直线上时，3×0－4×2＋m ＝0，∴m ＝8，∴过P 与l 3平行的直线为3x －4y ＋8＝0.当P (0,2)在与l 3垂直的直线上时，4×0＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－6，∴过P 与l 3垂直的直线为4x ＋3y －6＝0.10．若a ＋b ＋c ＝0，且a 、b 不同时为0，求证：直线ax ＋by ＋c ＝0必经过一个定点．证明：因为a ＋b ＋c ＝0，且a ，b 不同时为0，不妨设b ≠0，则a ＝－(b ＋c )，代入直线方程ax ＋by ＋c ＝0得－(b ＋c )x ＋by ＋c ＝0，即(x －y )＋c b(x －1)＝0. 此方程可视为直线x －y ＝0与x －1＝0的交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两直线的交点为(1,1)．故直线ax ＋by ＋c ＝0必经过一个定点(1,1)．1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0相交于点(1，p )，则m ＋n －p 的值为( )A ．24B ．20C ．4D ．0解析：选D.∵两条直线相交，且交点为(1，p )，∴(1，p )满足两直线方程，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－5p ＋n ＝0m ＋4p －2＝0， ∴m ＋n －p ＝0.2．过点A (ln 1，log 28)及直线3x －y ＋3＝0与x 轴的交点的直线的一般式方程为________．解析：点A 的坐标为(0,3)，直线3x －y ＋3＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，由截距式得x －1＋y 3＝1，即3x －y ＋3＝0. 答案：3x －y ＋3＝03.一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？解：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则M (3,1)，E (0,2,0)，F (0,0.5)，所以EF 所在直线的斜率k ＝0.5－0.2＝－52，所以所求直线斜率为k ′＝25. 因为该直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴的交点为 (0.5,0)，故应在EB 上截EN ＝0.3 m ，得点N ，则MN 为要画的线．4．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)点P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解：如图，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k ·k BB ′＝－1，即3·b －4a＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于BB ′的中点坐标⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42在直线l 上． ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是l AB ′：y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. 即直线l 与直线AB ′的交点坐标为(2,5)．∵当P 点为l 与直线AB ′的交点时，P 点到两点的距离之差最大，∴P (2,5)． (2)如图，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，可求出C ′的坐标为⎝⎛⎭⎫35，245.∴直线AC ′所在直线方程为19x ＋17y －93＝0，∴直线AC ′和直线l 的交点坐标为P ⎝⎛⎭⎫117，267.∵当P 点为直线AC ′与直线l 的交点时，P 到两点的距离之和最小，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫117，267.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.1知能演练轻松闯关

1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,2)与(－4,1)B ．(0,3)与(3,0)C ．(3，－1)与(2，－1)D ．(－2,2)与(－2,5)解析：选D.选项D 中两点的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，因此直线的斜率不存在．2．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C ．每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应D ．与x 轴垂直的直线的斜率不存在解析：选B.每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°；仅当倾斜角α不为90°时，直线的斜率存在，换句话说，当倾斜角为90°时，斜率不存在．故选B.3．直线l 的斜率为k ＝ln 12，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90° B ．0°<α≤90°C ．90°≤α<180°D ．90°<α<180°解析：选D.由k ＝ln 12<0及直线倾斜角的范围是[0°，180°)，可知选D. 4．已知直线l 1的倾斜角为α，将直线l 1绕直线与x 轴的交点逆时针旋转45°，得直线l 2，则l 2的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－45°C ．α－135°D ．α＋45°或α－135°解析：选D.当0°≤α＜135°时，l 2的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 2的倾斜角为：α－135°.5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 3＜k 2D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选C.由图知k 2＞k 3＞0＞k 1.6．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k ＜1，则它的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0＞k ≥－1时，α∈[135°，180°)；当0≤k ＜1时，α∈[0°，45°)．答案：[0°，45°)∪[135°，180°)7．直线过l 过A ⎝⎛⎭⎫－2，⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，B ⎝⎛⎭⎫2，⎝⎛⎭⎫t －1t 2两点，其中t ≠0，则此直线的斜率为________，倾斜角为________．解析：k AB ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 22－(－2)＝－1，由tan α＝－1，得α＝135°.答案：－1 135° 8．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：三点共线，则k AB ＝k AC ，即22－a＝2－b 2，整理知2a ＋2b ＝ab ，同除以ab ，有2b ＋2a＝1， ∴1a ＋1b ＝12. 答案：129．已知三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解：k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74. ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 10．已知M (2m ＋3，m )，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？(3)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？解：当2m ＋3≠m －2，即m ≠－5时，k MN ＝m －1(2m ＋3)－(m －2)＝m －1m ＋5(m ≠－5)． (1)当k MN ＞0，即m －1m ＋5＞0时，解得m ＞1或m ＜－5，直线MN 的倾斜角为锐角． (2)当k MN 不存在，即m ＝－5时，直线MN 的倾斜角为直角．(3)当k MN ＜0时，解得－5＜m ＜1，直线MN 的倾斜角为钝角．1．(2013·九江同文中学期中测试)斜率为2的直线经过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a 、b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析：选C.由斜率公式可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 7－5a －3＝2b －5－1－3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.2．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围是________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图像上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A (1，52)，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是(－∞，－32]∪[12，＋∞)．答案：(－∞，－32]∪[12，＋∞) 3．在坐标轴上有一点B ，已知点A (3,4)，且k AB ＝2，求点B 的坐标．解：若点B 在x 轴上，设点B 的坐标为(x,0)，由题意可知4－03－x＝2，解得x ＝1，即B (1,0)．若点B 在y 轴上，设点B 的坐标为(0，y )，由题意可知4－y 3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)，故点B 的坐标为(1,0)或(0，－2)．4．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围(注：tan 135°＝－1)．解：如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1. (1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§1.5知能演练轻松闯关

1．数轴上两点A 、B ，若x A ＝3，|AB |＝5，则x B ＝( )A ．8B ．－2C ．8或－2D ．－8或2解析：选C.∵|AB |＝|x A －x B |＝|3－x B |＝5，∴x B ＝8或－2.2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A.12 .32C.22 .322解析：选D.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得d ＝|1＋1＋1|1＋1＝32＝322，故选D.3．以A (5,5)、B (1,4)、C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.∵|AB |＝(5－1)2＋(5－4)2＝17，|AC |＝(5－4)2＋(5－1)2＝17， |BC |＝(1－4)2＋(4－1)2＝18＝32，∴△ABC 为等腰三角形．4．已知两直线l 1：2x ＋3y －3＝0与l 2：mx ＋6y ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于( )A.21313 .52613 C.72613 D ．4 解析：选C.∵l 1与l 2平行，∴2m ＝36， ∴m ＝4，l 2的方程为4x ＋6y ＋1＝0.l 1的方程可化为4x ＋6y －6＝0，由两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得l 1与l 2间的距离为d ＝|1－(－6)|42＋62＝7213＝71326. 5．(2013·临川一中4月月考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点B 在直线y ＝－x 上运动，则当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(12，－12) C ．(22，－22) D ．(－12，12) 解析：选B.当AB 与直线y ＝－x 垂直时，线段AB 最短．此时直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x y ＝x －1，得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝－12，∴B 点坐标为(12，－12)． 6．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________．解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5. 答案： 57．已知A (1,1)，B (3,3)，C (2,4)，则△ABC 的面积为________．解析：由两点间距离公式，得|AB |＝22；直线AB 的斜率k AB ＝1，则直线AB 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0.设点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2－4|2＝2， ∴S △ABC ＝12×22×2＝2. 答案：28．与A (－2,2)，B (2,4)两点等距离，且在x 轴上的点的坐标是________．解析：设点P (x,0)，则|AP |＝(x ＋2)2＋4，|BP |＝(x －2)2＋16，由于|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋4＝(x －2)2＋16，解得：x ＝32，∴P (32，0)．答案：(32，0) 9．正方形的中心为(－1,0)，一条边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三条边所在的直线方程．解：正方形的边心距d ＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边为x ＋3y ＋C 1＝0，则|－1＋3×0＋C 1|12＋32＝3105， ∴C 1＝－5(舍去)或C 1＝7，∴x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的直线为3x －y ＋C 2＝0. ∴|3×(－1)－0＋C 2|(－1)2＋32＝3105，解得C 2＝－3或C 2＝9.∴3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.∴其他三条边所在直线方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．已知直线l ：x ＋y －3＝0，点A (3,2)，B (4,5)，设点P 是直线l 上的动点，求点P 到A 与点B 的距离和的最小值．解：如图所示，作出点A (3,2)关于直线l ：x ＋y －3＝0的对称点A 1，其坐标为(1,0)． ∵|P A |＋|PB |＝|P A 1|＋|PB |，由两点之间线段最短，则当P ，A 1，B 三点共线时距离最短． ∴|BA 1|＝(4－1)2＋(5－0)2＝34，即点P 到点A 与点B 的距离和的最小值为34.1．平面上一点到两个坐标轴和直线x ＋y ＝2的距离都相等，则该点的横坐标为( )A ．2＋ 2B ．2±2C ．±2D ．(2±2)或±2解析：选D.设该点为(m ，n )，则|m |＝|n |＝|m ＋n －2|2.当m ＝n 时，则|m |＝|2m －2|2，解得m ＝2±2；当m ＝－n 时，则|m |＝|－2|2，解得m ＝±2. 2．已知两平行线l 1，l 2分别过点P 1(1,0)，P 2(0,5)，设l 1，l 2之间的距离为d ，则d 的取值范围是________．解析：若两直线的斜率不存在，则d ＝1.若两直线的斜率存在，设两直线的方程为y ＝k (x －1)与y ＝kx ＋5.由平行线之间的距离公式，得d ＝|5＋k |k 2＋1.整理，得(1－d 2)k 2＋10k ＋25－d 2＝0.∵k ∈R ，∴Δ＝100－4(1－d 2)(25－d 2)≥0，解得d 2≤26.又∵d >0，∴0<d ≤26.综上所述，d 的取值范围为0<d ≤26.答案：(0，26]3．直线l 过点P (1,0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．解：若l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2(k ＋3)2. 由|AB |＝9，得1＋k 2(k ＋3)2＝1，∴k ＝－43. ∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.4.如图，已知P 是等腰三角形ABC 的底边BC 上一点且不与B 、C两点重合，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，用解析法证明|PM |＋|PN |为定值．证明：过点A 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0)，A (0，b )(b ＞0)，P (x 1,0)，a ，b 为定值，x 1为参数，－a ≤x 1≤a ，∴直线AB 的方程是bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 的方程是bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，得|PM |＝|bx 1＋ab |a 2＋b 2，|PN |＝|bx 1－ab |a 2＋b 2. ∵a ＞0，b ＞0，－a ≤x 1≤a ，∴ab ＞0，－ab ＜0，∴bx 1＋ab ≥0，bx 1－ab ≤0，∴|PM |＋|PN |＝bx 1＋ab －(bx 1－ab )a 2＋b 2＝2ab a 2＋b2(定值)．。

北师大版高中数学必修第二章测试题及答案

高一年级数学学科必修一（第二章）质量检测试卷（斗鸡中学）一．一、选择题：共10个小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列判断正确的是（）A 函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B 函数()(1f x x =-是偶函数C 函数()f x x =+D 函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2 若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（） A)23(-f >)252(2++a a f B )23(-f <)252(2++a a fC)23(-f ≥)252(2++a a f D )23(-f ≤)252(2++a a f3 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A 2a ≤-B 2a ≥-C 6-≥aD 6-≤a4 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（）A {}|303x x x -<<>或B {}|303x x x <-<<或C {}|33x x x <->或D {}|3003x x x -<<<<或5 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A 2-B 4-C 6-D 10-6 已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()(),f x h x 的奇偶性依次为（）A 偶函数，奇函数奇函数，偶函数C 偶函数，偶函数D 奇函数，奇函数7.若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（）A (],40-∞B [40,64]C (][),4064,-∞+∞UD [)64,+∞8 已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A 3a ≤-B 3a ≥-C 5a ≤D 3a ≥9. 下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数其中正确命题的个数是( )A 0B 1C 2D 310 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上 1 设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________2 若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是3 已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____4 若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a的取值范围是____________三、解答题1 求下列函数的定义域（本小题共三小题，每小题4分，总分12分）（1）y = （2）11122--+-=x x x y（3）xx y ---=111112（本小题满分12分）判断一次函数,b kx y +=反比例函数x ky =，二次函数c bx ax y ++=2的单调性3 判断下列函数的奇偶性（本小题满分12分）（1）()22f x x =+- （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--U4 （本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围5 （本小题满分12分）已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数6 （本小题满分14分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值参考答案一选择题1C 2 C 3 B 4 D 5 D 6 .D 7 .C 8 . A 9. A 10.B 二填空题 1(1x 2 0a >且0b ≤ 372 4 1(,)2+∞三解答题1 解：当0k >，y kx b =+解：（1）∵8083,30x x x +≥⎧-≤≤⎨-≥⎩得∴定义域为[]8,3-（2）∵222101011,110x x x x x x ⎧-≥⎪-≥=≠=-⎨⎪-≠⎩得且即∴定义域为{}1-（3）∵0111021101011x x x x x x x x x x ⎧⎪⎧⎪⎪-≠⎪<⎪⎪⎪⎪-≠≠-⎨⎨-⎪⎪⎪⎪≠-≠⎪⎪-⎩⎪-⎪-⎩得∴定义域为11,,022⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 2. ：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数；当0k >，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，当0k <，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a -+∞是增函数，当0a <，2y axbx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a -+∞是减函数3 解：（1）定义域为[)(]1,00,1-U ，则22x x +-=，()f x =∵()()f x f x -=-∴()f x =为奇函数（2）∵()()f x f x -=-且()()f x f x -=∴()f x 既是奇函数又是偶函数4 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩,5 解：2(1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴min max 1,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ===== ∴max m ()37,()1in f x f x ==（2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x []5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-6 解：（1）当0a =时，2()||1f x x x =++为偶函数，当0a ≠时，2()||1f x x x a =+-+为非奇非偶函数；（2）当x a <时，2213()1(),24f x x x a x a =-++=-++ 当12a >时，min 13()()24f x f a ==+，当12a ≤时，min ()f x 不存在；当x a ≥时，2213()1(),24f x x x a x a =+-+=+-+ 当12a >-时，2min ()()1f x f a a ==+，当12a ≤-时，min 13()()24f x f a =-=-+。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§2知能演练轻松闯关

1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.1＋22B.2＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S ＝1＋1＋22×2＝2＋ 2.5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等．答案：不全相等7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝12×6×4＝12.答案：129．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．解析：∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.梯形的直观图如图．则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22. 答案：223．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：相应的直观图如下图所示：在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋12(OD ＋CF )·OF＋12BF ·CF ，在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝24OD ，C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝24CF ，此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·24OD＝28AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝28BF ·CF ，过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝22OF ，因此：S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫12DO ＋12CF·22OF＝28(DO＋CF)·OF，∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝28AO·OD＋28(DO＋CF)·OF＋28BF·CF＝24S，∴S∶S′＝S24S＝2 2.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章随堂检测

1．与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程为( )A ．5x －12y ＋32＝0B ．5x －12y －20＝0C ．5x ＋12y ＋32＝0或5x ＋12y －20＝0D ．5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0解析：选D.法一：设所求直线方程为5x －12y ＋c ＝0，在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝⎛⎭⎫0，12，则点P 0到直线5x －12y ＋c ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12×12＋c 52＋(－12)2＝|c －6|13， ∴|c －6|13＝2，∴c ＝32或c ＝－20. 故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线方程为5x －12y ＋c ＝0，由两条平行直线间的距离公式得||c －652＋(－12)2＝2，解得c ＝32或c ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0和5x －12y －20＝0.2．(2012·高考天津卷)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析：选D.由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.故选D.3．已知空间直角坐标系中A (2,1,3)，B (2，－1,4)，C (1，－1,3)，那么△ABC 的面积为________．解析：|AB |＝(2－2)2＋[1－(－1)]2＋(3－4)2＝5，|AC |＝(2－1)2＋[1－(－1)]2＋(3－3)2＝5，|BC |＝(1－2)2＋[－1－(－1)]2＋(3－4)2＝2，所以BC 边上的高为h ＝5－24＝322， ∴S △ABC ＝12|BC |·h ＝12×2×322＝32. 答案：324．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解：法一：设光线l 所在直线的方程为y －3＝k (x ＋3)，则反射点的坐标为(－3(1＋k )k，0)(k 存在且k ≠0)． ∵光线的入射角等于反射角，∴反射光线l ′所在直线的方程为y ＝－k [x ＋3(1＋k )k]，即l ′：y ＋kx ＋3(1＋k )＝0.∵圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，且l ′与圆相切，∴圆心到l ′的距离d ＝|2＋2k ＋3(1＋k )|1＋k2＝1， ∴k ＝－34或k ＝－43， ∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.法二：已知圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，如图所示．可设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，∵直线l 与圆C ′相切，∴圆心C ′(2，－2)到直线l 的距离d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 解得k ＝－34或k ＝－43. ∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第二章§3知能演练轻松闯关

1.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为()A．(0，2，0)B．(0，2，3)C．(1,0，3)D．(1，2，0)解析：选D.过P作平面xOy的垂线PQ，则Q点的x坐标，y坐标与P点相同，Q点的z坐标为0，所以Q点的坐标为(1，2，0)．2．在空间直角坐标系中，点A(1，－1,1)与点B(－1，－1，－1)关于________对称() A．x轴B．y轴C．z轴D．原点解析：选B.∵A、B两点的y坐标相同，其他两个坐标均互为相反数，∴A、B两点关于y轴对称．3．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线解析：选D.(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．4．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形解析：选B.由空间两点间的距离公式，得|AB|＝(1－1)2＋(2－5)2＋(1－1)2＝3，|BC|＝(1－1)2＋(2－5)2＋(7－1)2＝35，|AC|＝(1－1)2＋(2－2)2＋(7－1)2＝6.因为|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．5．(2013·南昌质检)点M(3，－2,1)关于坐标平面yOz对称的点的坐标是()A．(－3，－2,1) B．(－3,2，－1)C．(－3，－2，－1) D．(－3,2,1)解析：选A.关于yOz平面对称的两个点应该是x坐标互为相反数，y、z坐标不变，故选A.6．(2013·赣州一中质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7.如图所示，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，点M是棱AA ′的中点，点O 是对角线BD ′的中点，则M 点的坐标为________，点O 的坐标为________．解析：根据题中所建空间直角坐标系，可得正方体ABCD A ′B ′C ′D ′各个顶点的坐标分别为A (1,0,0)，B (1,1,0)，A ′(1,0,1)，D ′(0,0,1)．因为点M 是AA ′的中点，点O 是BD ′的中点，所以M (1,0，12)，O (12，12，12)．答案：(1,0，12) (12，12，12) 8．在△ABC 中，如果A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，那么AB 边上的中线CD 的长为________．解析：依题意可得AB 边的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，3，所以AB 边上的中线CD 的长为 ⎝⎛⎭⎫12－122＋⎝⎛⎭⎫52－02＋()3－32＝52. 答案：529．如图，正四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 的中心为O ，试以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .解：底面四边形ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，∴AC ⊥BD .又SO ⊥平面ABCD ，∴以直线CA 为x 轴，直线OB 为y 轴，直线SO 为z 轴建立空间直角坐标系，如图(1)．或过点O 在平面ABCD 内作与CB 、BA 平行的直线，分别作为x 轴、y 轴，由于SO ⊥平面ABCD ，∴仍以直线SO 为z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ，如图(2)．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，H 为C 1G 的中点，求|EF |和|GH |.解：法一：由已知条件得|DE |＝12，|DF |＝12|DB |＝22，∴|EF |＝|DE |2＋|DF |2＝14＋24＝32， |C 1G |＝|CC 1|2＋|CG |2＝1＋(14)2＝174， ∴|GH |＝178. 法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，那么E (0,0，12)，F (12，12，0)，G (0，34，0)，H (0，78，12)， ∴|EF |＝14＋14＋14＝32， |GH |＝0＋(34－78)2＋14＝178.1．在坐标平面xOy 上，到点A (3,2,5)，B (3,5,1)距离相等的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个解析：选 D.在坐标平面xOy 上，设点P (x ，y,0)，依题意得(x －3)2＋(y －2)2＋25＝(x －3)2＋(y －5)2＋1，整理得y ＝－12，x ∈R ，所以符合该条件的点有无数个． 2.如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则AD 的长度为________．解析：由于D 在平面yOz 上，所以D 点的横坐标为0，又因为BC＝4，原点O 是BC 的中点，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，所以D 点的竖坐标为z ＝4·sin 30°·sin 60°＝3，纵坐标为y ＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，所以D (0，－1，3)，故AD 的长度为 34＋94＋3＝ 6. 答案： 63．在空间直角坐标系中，已知A (2,0,0)，B (0,2,0)，问在直线AB 上是否存在一点P ，使它到定点Q (1,2,3)的距离最小？解：存在．假设在直线AB 上存在适合题意的点P ，∵点A ，B 都在xOy 平面内，∴直线AB 在xOy 平面内，点P 也在xOy 平面内，设P (x ，y,0)．又点P 在直线AB 上，而直线上的点的横坐标和纵坐标满足x ＋y ＝2.∴y ＝2－x ，|PQ |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(x －1)2＋(2－x －2)2＋9＝ 2⎝⎛⎭⎫x －122＋192， ∴当x ＝12时，|PQ |取得最小值382.此时y ＝32. ∴在直线AB 上存在一点P ⎝⎛⎭⎫12，32，0.使得点P 到Q 的距离最小．4.如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E .(1)求A ，E 两点之间的距离；(2)求四棱锥E ABCD 的体积．解：(1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．如图所示，由题意，得A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于点F ，则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ，所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a 3. 在Rt △BEB 1中，|BE |＝|BB 1|2－|B 1E |2＝a 2－⎝⎛⎭⎫63a 2＝3a 3. 由平面几何知识得Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，所以|BF |＝23a ，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，0，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a 3.所以由两点间的距离公式，得|AE |＝ ⎝⎛⎭⎫a －2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＝63a ，所以A ，E 两点之间的距离为63a . (2)因为ABCD 为边长为a 的正方形，所以S 四边形ABCD ＝a 2，由(1)知E 到平面ABCD 的距离d ＝|EF |＝a 3，所以V E -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·d ＝13×a 2×a 3＝a 39. 即四棱锥E -ABCD 的体积为a 39.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二综合质量评估]

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综合质量评估第一、二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )【解析】选C.由y=x+a得斜率为1，排除B，D，由y=ax与y=x+a中a同号知，若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选C.2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解析】选A.由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为〓22〓4〓π+2〓2〓4=16+8π.3.(2014·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】选A.过点A作AO⊥面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD与BD于F，E点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故选A.C1中，侧棱AA1⊥底面【变式训练】如图，三棱柱ABC-AA1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面A1C1CA与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C.4.(2014·安康高一检测)圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交【解析】选D.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，表示以A(-1，-4)为圆心，以5为半径的圆.C2：x2+y2-4x+4y-2=0，即(x-2)2+(y+2)2=10，表示以A(2，-2)为圆心，以为半径的圆.两圆的圆心距d==，大于两圆半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选D.5.圆(x+2)2+y2=5关于y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2) 2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选D.圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0，-2)，故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.【误区警示】本题容易出现因为不会求点关于y=x的对称点而导致出错.6.三棱柱的放置方法如图所示，它的三视图是( )【解析】选A.对于选项A，其主视图是一个矩形，左视图是一个三角形，俯视图是一个矩形，中间应有一条横线，其摆放位置符合要求，故对；对于选项B，俯视图中少了一条横线，不符合三视图的作图规则，不正确；对于选项C，正视图中不应该有横线，故不正确；对于选项D，俯视图不可能是三角形，故不正确.7.(2014·吉安高一检测)已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个结论①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①不正确，b可以在平面α内.②错误，b可能在平面α内.③错误，a可以在β内.④错误，平面β可经过直线a，所以①②③④均不正确.8.在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确.若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确.由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确.故选C.9.(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.由题意可知，A(1，1)是一个切点，根据切线的特点可知过点A，B的直线与过点(3，1)，(1，0)的直线互相垂直，k AB=-=-2，所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0.10.(2014·西安高一检测)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A.{2}∪(4，+∞)B.(2，+∞)C.{2，4}D.(4，+∞)【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，因为OA=OB=2，∠AOB=90°，所以根据勾股定理得：AB=2，所以OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ>4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪(4，+∞).故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是________.【解析】点M(a，b)在圆x2+y2=1外⇒a2+b2>1.圆心O(0，0)到直线ax+by=1的距离d=<1=圆的半径，故直线与圆相交.答案：相交12.已知圆O：x2+y2=5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为____________.【解析】由题意知，点A在圆上，切线斜率为==-，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为〓〓5=.答案：13.过点P(-1，6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是____________________.【解析】画出草图可知直线x=-1是一条切线，设另一条为y-6=k(x+1)，则y-kx-6-k=0.由2=得k=，可知答案.答案：x=-1或4y-3x-27=0【误区警示】本题易忽略斜率不存在的情况，而忘记考虑直线x=-1.14.(2013·安徽高考)如图，正方体ABCD-AC1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为.【解析】①当0<CQ<时，截面如图1所示，截面是四边形APQM，故①正确；②当CQ=时，截面如图2所示，易知PQ∥AD1且PQ=AD1，S是等腰梯形，故②正确；③当CQ=时，截面如图3所示，易得C1R=，截面是五边形；④当<CQ<1时，如图4是五边形；故④不正确；⑤当CQ=1时，截面是边长相等的菱形，如图5所示，由勾股定理易求得AC1=，MP=，故其面积为S=AC1〓MP=.答案：①②③⑤15.(2014·镇江高一检测)从直线3x+4y+8=0上一点P向圆C：x2+y2-2x-2y+1=0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长最小值为________.【解析】由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1.因为PA，PB是☉C的切线，则CA⊥PA，CB⊥PB，所以|PA|=|PB|==，所以四边形PACB的周长l=2+2，因此当PC垂直于直线3x+4y+8=0时，PC取得最小值，此时|PC|==3，所以四边形PACB的周长l的最小值=2+2=4+2.答案：4+2三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·宝鸡高一检测)已知两直线l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0，A(m，n)是l1和l2的交点.(1)求m，n的值.(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程.(3)求过点A且平行于直线l：2x-3y-1=0的直线l4的方程.【解析】(1)因为A(m，n)是l1和l2的交点，所以解得(2)由(1)得A(-2，3).因为=2，l 3⊥l1，所以=-，由点斜式得，l3：y-3=-(x+2)，即l3：x+2y-4=0.(3)因为l 4∥l，所以k l==，由点斜式得，l4：y-3=(x+2)，即2x-3y+13=0.17.(12分)(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 【证明】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC；由PA垂直于圆所在的平面，得PA⊥平面ABC；由BC平面ABC，得PA⊥BC；又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，知M为AC的中点，由Q为PA的中点，得QM∥PC，又因为QM⊈平面PBC，PC平面PBC，所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点，则OM∥BC.同理可证，OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M，QM平面QMO，OM平面QMO，所以，据面面平行的判定定理，平面QMO∥平面PBC，又QG平面QMO，故QG∥平面PBC.18.(12分)(2014·商州高一检测)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x-3y=0上，求圆C的方程. 【解析】所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x相交，设交于A，B两点，因为圆心C在直线x-3y=0上，所以设圆心C(3a，a)，又圆与y轴相切，所以R=3|a|.又圆心C到直线x-y=0的距离|CD|==|a|.因为在Rt△CBD中，R2-|CD|2=()2，所以9a2-2a2=7，a2=1，a=〒1，3a=〒3，所以圆心的坐标C分别为(3，1)和(-3，-1)，故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过AB的中点E 作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明：四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直进而得AD垂直于平面BDC，确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直，注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=〓〓2〓2〓1=.(2)因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形.20.(13分)圆(x+1)2+y2=8内有一点P(-1，2)，AB过点P，(1)若弦长|AB|=2，求直线AB的倾斜角α.(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程.【解析】(1)当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，与圆的交点坐标A(-1，2)，B(-1，-2)，则|AB|=4(不符合条件).当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，圆心到直线AB的距离d=，又d==1，所以=1，即k=〒.所以直线AB的倾斜角α为或.(2)要满足圆上恰有三点到直线AB的距离等于，则圆心到这条直线的距离应为，当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，直线过圆心(不符合条件)，当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，d==，即k=〒1，所以直线AB的方程为y=x+3或y=-x+1.【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，且0≤c≤，求这两条直线之间距离的最大值和最小值.【解析】由题意a+b=-1，ab=c，所以 (a-b)2=1-4c，所以≤(a-b)2≤1，因为两平行线间距离d=，所以d2=∈，所以d∈，所以d的最大值为，最小值为.21.(14分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y 轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，由于圆心C，所以D=-2t，E=-，令y=0得x=0或x=-D=2t，所以A(2t，0)，令x=0得y=0或y=-E=，所以B，所以S△OAB=|OA|·|OB|=·|2t|·=4(定值).(2)因为OM=ON，所以O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，所以k OC=，所以=，解得t=2或t=-2，而当t=-2时，直线与圆C不相交，所以t=2，所以D=-4，E=-2，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.关闭Word文档返回原板块。

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1．下列说法正确的是( ) A.y －y 1x －x 1
＝k 是过点(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是a 、b 的直线方程为x a ＋x
b
＝1
C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为b
D ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式
解析：选D.对A ，∵y －y 1
x －x 1
＝k 表示的直线不包含(x 1，y 1)，∴A 错；对B ，当a 、b 为零
时，不能写成x a ＋y
b
＝1，∴B 错；因为截距与距离不同，∴C 错；只有D 正确．
2．若2x 1＋3y 1＝4,2x 2＋3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＝4 B ．2x －3y ＝4 C ．3x ＋2y ＝4 D ．不能确定
解析：选A.由于(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都满足2x ＋3y ＝4，故A 、B 两点都在直线2x ＋3y ＝4上，故选A.
3．直线x a ＋y
b
＝1过一、二、三象限，则( )
A ．a ＞0，b ＞0
B ．a ＞0，b ＜0
C ．a ＜0，b ＞0
D ．a ＜0，b ＜0 解析：选C.根据截距的意义可知a ＜0，b ＞0.
4．两直线x m －y n ＝1与x n －y
m
＝1的图像可能是( )
解析：选B.两直线方程可化为y ＝n m x －n 及y ＝m n x －m ，两直线的斜率n m 与m
n
同号，故倾
斜角同为锐角或钝角，因而A ，C ，D 不正确，选B.
5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( ) A ．m ≠1
B ．m ≠－3
2
C ．m ≠0
D ．m ≠1且m ≠－3
2
且m ≠0
解析：选A.由直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0要求A ，B 不同时为0，因此由2m 2＋m －3＝0且m 2－m ＝0，解得m ＝1，所以当m ≠1时，2m 2＋m －3与m 2－m 不同时为0，故选A.
6．(2013·宜春高中质检)过点M (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________．
解析：若直线过原点，则方程为y ＝x .
若直线不过原点，设x a ＋y
a
＝1，将M (1,1)代入得a ＝2，
∴直线的方程为x ＋y ＝2.
综上所述，所求直线的方程为y ＝x 或x ＋y ＝2. 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝0
7．过两点(5,7)、(1,3)的直线方程为________；若点(a,12)在此直线上，则a ＝________. 解析：由两点式求得直线方程为y ＝x ＋2，即为x －y ＋2＝0，把点(a,12)代入直线方程可求得a ＝10.
答案：x －y ＋2＝0 10 8．(2013·西安交大附中月考)不论k 为何值时，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________．
解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0.
∵k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝0. 答案：(1,0)
9．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解：∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)，由两点式，得直线A ′B 的方程为 y －6－2－6＝x ＋1
3－(－1) 即2x ＋y －4＝0，
同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为2x －y －4＝0，
故入射光线所在直线的方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线的方程为2x ＋y －4＝0.
10．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．
证明：法一：直线l 的方程可化为y －3
5
＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点⎝⎛⎫
15，35.
而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限．法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，
必有⎩
⎪⎨⎪
⎧
5x －1＝05y －3＝0，即⎩
⎨⎧
x ＝15y ＝35
，
即l 过定点⎝⎛⎭⎫
15，35.
而点⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故l 总经过第一象限．
1．方程|x |＋|y |＝1所表示的图形在平面直角坐标系中所围成图形的面积是( ) A ．2 B ．1 C ．4 D. 2 解析：
选A.原方程可化为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝1x ≥0
y ≥0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＝1x ≥0y ≤0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＋y ＝1
x ≤0y ≥0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －y ＝1，x ≤0，y ≤0.
分别表示四条线段，如图，在坐标系中围成一个边长为2的正方形，故面积为2.
2．在直线方程y ＝kx ＋b 中，当x ∈[－3,4]时，恰好y ∈[－8,13]，则此直线的方程为________．
解析：由已知得k ≠0，当k ＞0时，
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
－8＝－3k ＋b ，13＝4k ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝3，b ＝1，此时直线方程为y ＝3x ＋1，即3x －y ＋1＝0.
当k ＜0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 13＝－3k ＋b ，－8＝4k ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝－3，b ＝4. 此时直线方程为y ＝－3x ＋4，即3x ＋y －4＝0. 综上，直线的方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0. 答案：3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.
3．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，显然相等，所以a ＝2，方程为3x ＋y ＝0；
当a ≠2时，由a －2
a ＋1
＝a －2，解得a ＝0，
所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.
综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)≥0a －2≤0，解得a ≤－1，
当a ＝2时，－(a ＋1)＝－3＜0，此时直线过第二象限．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]．
4．给定点B (3,2)，若A 是直线l ：y ＝3x 上位于第一象限内的一点，直线AB 与x 轴的正半轴相交于点C .试探究：△AOC 面积是否具有最小值？若有，求出点A 的坐标；若没有，请说明理由．若点A 为直线y ＝3x 上的任意一点，情况又会怎样呢？
解：设A (m,3m )(m ＞0)，C (x,0)(x ＞0)，
由A ，B ，C 三点共线得3m －2m －3＝2－03－x ，解得x ＝7m
3m －2，
∴△AOC 的面积：S ＝12x ·3m ＝21m 2
6m －4
.
即21m 2－6Sm ＋4S ＝0.
若S 有最小值时，则关于m 的一元二次方程有唯一解，故Δ＝(－6S )2－4×21×4S ＝0，
解得S ＝28
3
或S ＝0(舍去)，
即△AOC 面积的最小值为28
3
.
此时m ＝4
3
，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，4. 若A 点是直线y ＝3x 上的任意一点，△AOC 面积不具有最小值．因为当A 点无限地接近于原点O 时，△AOC 面积无限地接近于0.。