非线性系统的状态观测器设计
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法
非线性系统表现出的动力学特性比线性系统要复杂，因此通常不能直接使用线性方法来分析或控制非线性系统。
然而，还有一些基于线性化的方法可以在一定程度上处理非线性系统，这些方法被称为线性方法。
其中最常用的线性方法包括：
1. 线性化方法：通过在某个工作点附近对非线性系统进行泰勒展开，得到一个线性模型，然后使用线性系统的理论和方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的小扰动，且要求非线性系统在其他工作点上的行为与线性模型类似。
2. 线性误差反馈（LEF）方法：通过估计非线性系统与线性系统的误差，并利用误差来设计一个线性系统的反馈控制器。
该方法的关键是如何估计非线性系统与线性模型之间的误差，通常使用状态观测器或者误差动态模型来实现。
3. 线性拟合方法：通过在非线性系统的某个工作点上采集大量数据，并利用数据拟合技术（如最小二乘法）来得到一个线性模型。
然后使用线性系统的方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的输入输出数据已知的情况。
需要注意的是，这些线性方法只是对非线性系统的一种简化处理，只能在一定程
度上解决非线性系统的分析和控制问题。
对于复杂的非线性系统，需要使用更加复杂和全面的非线性方法来分析和控制。
非线性控制系统的最优观测器设计研究
非线性控制系统的最优观测器设计研究非线性控制系统是现代控制领域研究的重点之一，随着计算机技术的发展，非线性系统的研究已经可以实现数字控制，而在非线性控制领域中最优观测器设计则是关键技术之一。
最优观测器是非线性控制系统中用于估计状态量的一种方法，其主要作用是根据量测数据估计系统状态并反馈到控制器中，从而实现对系统的控制。
在非线性控制系统中，系统状态的观测问题比较复杂，因为系统状态受到多个变量的影响，这些变量之间相互耦合、交互作用，因此需要对系统状态进行最优估计，从而实现最优控制。
最优估计问题在控制领域中一直是研究热点之一，而在非线性控制系统中则更加困难。
一方面，非线性系统具有高维度、非线性、不确定性等特点，需要更加复杂的算法处理；另一方面，最优估计常常需要对系统模型进行更加准确的描述，因此需要开展深入研究。
当系统为线性的情况下，最优估计问题可通过卡尔曼滤波器等实现，但是对于非线性系统，需要采用更加高级的算法，如扩展卡尔曼滤波器、无损卡尔曼滤波器、粒子滤波器、自适应滤波器等。
在最优观测器设计中，常用的方法是基于状态变量的观测器设计方法，这种方法主要是通过估计观测器矩阵、状态反馈矩阵等来实现系统的状态估计。
但是，这种方法只能适用于线性系统，对于非线性系统实现起来比较困难。
因此，在非线性系统中，需要采用更为高级的方法，如自适应最优观测器和无损最优观测器等。
自适应最优观测器是一种根据量测数据自动调整观测器参数的方法，其主要思想是在系统状态变化过程中，根据观测数据对观测器参数进行自适应的修正，使得观测器可以实时地跟踪系统状态。
自适应最优观测器可以有效地解决非线性系统中状态估计问题，但是其设计和实现过程比较复杂，需要对系统的性质进行深入研究。
无损最优观测器是一种对特定类别的非线性系统状态进行估计的方法，其主要思想是基于无损条件，通过设计适当的观测器矩阵来实现状态的估计。
这种方法可以保持系统的无损性质，提高系统的稳定性，但是需要对系统的动力学模型进行深入研究，并对系统的非线性特性进行全面分析。
状态观测器原理
状态观测器是一种数学工具，用于估计系统状态在给定时间的状态。
它基于系统动态方程，通过测量输入和输出数据，可以推断出系统内部状态的变化。
状态观测器的原理基于卡尔曼滤波器。
卡尔曼滤波器是一种优化算法，用于通过历史数据预测未来的值，特别是对于线性系统和非线性系统的近似。
对于线性离散系统，卡尔曼滤波器能够提供最佳估计。
然而，对于非线性系统，卡尔曼滤波器的效率可能会降低。
状态观测器就是为了解决这个问题而设计的。
状态观测器的核心思想是通过设计适当的反馈控制策略，使得系统输出能够最大限度地反映系统真实状态的改变。
观测器设计依赖于对系统动态方程的理解，包括系统的输入、输出和状态变量。
通过观察系统输出，观测器可以推断出系统内部状态的变化。
在具体实现上，状态观测器通常包括两个部分：一个估计器和一个滤波器。
估计器负责估计系统的状态，而滤波器则通过测量数据（包括输入和输出）来更新这个估计。
观测器的优点在于它不需要知道系统的精确模型，只需要知道它的动态行为和某些输入输出数据。
因此，观测器可以用于各种不同的系统，包括那些具有复杂非线性特性的系统。
然而，状态观测器也有其局限性。
首先，观测器的性能受到噪声和扰动的干扰，可能会引入误差。
其次，观测器只能近似地估计系统的状态，而不能完全恢复系统的精确状态。
最后，观测器的设计需要一定的专业知识，包括对系统动态的理解和对噪声特性的认识。
总的来说，状态观测器的原理是通过设计适当的反馈控制策略和测量数据来估计系统的状态。
它基于卡尔曼滤波器，通过历史数据来预测未来的状态变化，对于线性和非线性系统的状态估计具有重要的应用价值。
然而，它也有其局限性，需要在实际应用中注意其性能和误差来源。
非线性观测器设计
ρ ≥ r1 u + a (t , y ) + η
得到的误差系统
= A0 e − Bξ + Bv e
是渐进稳定的。 Walcott-Zak 鲁棒观测器实现时的困难在于找到增益矩阵 G 和 Lyapunov 矩阵 P。 Walcott
1
和 Zak 提出了如下算法： （1）选择 A0 的谱，计算相应的矩阵 G； （2）根据 C F = PB ，用 F 的各个分量表示 P，保证 P 对称正定；
初始状态 x = [ 0.5
ˆ = [ 0.2 −0.3 0.5] ， 0.8 −1] ，x 非线性项 f (t , x, u ) 满足匹配条件，
T T
函数 ξ 为 ξ (t , x, u ) = [ 2sin(2π t )
2 cos(2π t ) ] ，因此 ξ (t , x, u ) ≤ 2 。
e1 e2 e3
time/s
图 3-14 观测器误差 e
9
4
v1 v2
2
0
v
-2
-4 0
1
2
time/s
3
4
5
图 3-15 观测器输入 v
0.5 0 -0.5 -1 s -1.5 -2 -2.5 -3 0 1 2 3 4 5
s1 s2
time/s
图 3-16 滑动模态 s
4 Matlab 程序
4.1 Walcott-Zak 鲁棒观测器程序
sT MB ≠ 0
参数选择与上节相同， ε = 0.2 。
3 仿真结果
3.1 Walcott-Zak 观测器
0.6 0.4 0.2 x1 0 -0.2 -0.4 0
浅谈非线性系统状态观测器设计问题
浅谈非线性系统状态观测器设计问题本文综述了非线性系统状态观测器设计问题的研究成果，包括发展简介，研究现状和发展趋势等。
标签：非线性状态观测器；类Lyapunov方法；Luenberger观测器方法；Lipschitz非线性系统；H∞状态观测器。
1、引言简单的说，观测器是基于模型和测量信息的闭环信息重构器。
具体来说，观测器设计问题即状态重构问题，就是重新构造一个系统，它以原系统的输入量和输出量作为输入量，而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值，或者某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值，并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量构成状态反馈律，这个用以实现状态重构的新系统通常称为原系统的观测器，它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统，也可以是由计算机和计算模型及软件实现的软系统。
对线性系统而言，著名的Kalman滤波器和Luenberger观测器为该领域的观测器设计问题提供了较为完美的答案。
与线性系统不同，对非线性系统不存在一个总的方法来设计观测器，但对不同的非线性系统可以找出不同的设计方法，因而对非线性系统观测器的研究要复杂得多。
因此，非线性观测器问题是国内外控制界学者当今研究的热点之一。
2、非线性状态观测器的发展简介对于非线性系统状态观测器的研究始于上世纪70年代，在80年代取得了较大的进展，但由于非线性系统本身的复杂性，非线性观测器理论还未能系统化。
对非线性系统，观测器理论方面最初的系统性结果是在观测误差是线性的等一系列条件下得出的。
这类观测器存在的充分必要条件是相当严格的。
在1989年，Tornambe[1]提出了基于“高增益”近似抵消的方法。
然而此方法不能保证增益任意高时，估计的状态渐近收敛到真正的状态，即使观测器与系统的初值一致，一般情况观测器误差只是有界的，而不能保证是渐近收敛到零。
对于能够转换成能观标准型的单输入单输出非线性系统，1988年，Bastin和Gevers给出了系统转换成这类标准型的充要条件，然而此类观测器所需要的转换是很难找到的，并且Bastin和Gevers提出的条件是相当严格的。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。