信息安全数学基础第一阶段知识总结

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第一章 整数的可除性

一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念

定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，

我们常常将q 写成a ／b 或

否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b.

2整除的基本性质

(1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数.

(3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理

(1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，

a

b

有c|sa+tb.

(4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 (5) 设a ，b 都是非零整数.若a|b ，b|a ，则a=±b

(6) 设a, b , c 是三个整数，且b ≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则

(ab , c)=(b , c)

(7) 设a , b , c 是三个整数，且c ≠0，如果c ｜ab , (a , c) = 1, 则c | b.

(8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a 或p|b

(9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数，p 是素数，若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k

二 整数的表示

主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三 最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是

个整数，若

使得

，

则称

为

的一个因数．公因数中最大的一个称为

的最大公因数．记作

.

若 ,则称

互素．

若

,则称

两两互素．

n

n a

s a s ++ 11

思考：1．由两两互素，能否导出

2．由能否导出两两互素？

2．最大公因数的存在性

(1)若不全为零，则最大公因数存在并且

(2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．

3．求两个正整数的最大公因数．

定理1：设任意三个不全为零的整数，且则

辗转相除法

由带余除法得

(1)

……

因为每进行一次带余除法，余数至少减少1，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即

由(1)知，

定理2：任意两个正整数,则是(1)中最后一个不等于零的余数．

定理3：任意两个正整数的任意公因数都是的因数．4．性质

定理4：任意两个正整数，则存在整数，使得

成立

定理5：设是不全为零的整数．

(i)若则

(ii)若则

(iii)若是任意整数，则

从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：

①

②且

③

④

5．求两个以上正整数的最大公因数

设

则有下面的定理：

定理6：若是个正整数，则

只需证①是的一个公因数．②是的公因数中最大一个

例求

解：

6．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；

方法二补充的方法

方法三运用列表法求解

(二) 最小公倍数

1．最小公倍数的定义

定义：是个整数，如果对于整数，有

,那么叫做的一个公倍数．在的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍

数．记作．

2．最小公倍数的性质．

定理1：设是任给的两个正整数，则

(i)的所有公倍数都是的倍数．

(ii)

定理2：设正整数是的一个公倍数，则

3．求两个以上整数的最小公倍数

定理3：设是个正整数, 若

则

只需证：①是的一个公倍数，即,

②设是的任一公倍数,则

例1 求

解：

又

四素数算术基本定理

1．素数、合数的概念

定义：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．

2．性质

定理1：设是大于1的整数，则至少有一个素因数，并且当

是合数时，若是它大于1的最小正因数，则

p ，都定理2设n是一个正整数，如果对所有地素数n

有

p n,则n一定是素数.

求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。

定理3：设是素数，是任意整数，则

(i) 或(ii) 若则或

3．素数的个数

定理4：素数的个数是无穷的．

4．算术基本定理

定理5任一整数n>1都可以表示成素数的乘积，且在不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是唯一的.即

n= p1… p s , p1≤… ≤p s , (1)

其中p i是素数，并且若n = q1…q t , q1≤… ≤q t , 其中q j是素数，则s= t , p i = q j, 1 ≤i ≤s.

推论1：设是任一大于1的整数，且