关于偶完全数的证明
偶完全数
每一个偶完全数，它的所有的因子的倒数之和都等于2；反之，也成立。
证明：方法一：充分性：由于偶完全数的通项公式为M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
则它的所有因子的倒数之和S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)(1+1/(2n-1))=(1-(1/2)n)/(1-1/2)*2n/(2n-1)=(2n-1)/2n-1*2n/(2n-1)=2故充分性得证。
必要性：设满足条件的偶数为M=2n-1p(p为奇数），则它的所有因子的倒数之和S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)S1=2S1表示p的所有因子的倒数之和。
由上式解得：S1=1+1/(2n-1).显然2n-1是素数;否则，p的所有因子的倒数之和大于S1，矛盾。
故p的因子为1,2n-1.则p=2n-1.即M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
故M是偶完全数。
即证:原命题成立。
方法二：引理：设任意正整数为M，它的所有因子之和为S，则S/M表示Ｍ的所有因子的倒数之和.证明：设Ｍ的所有因子分别为p1,p2,p3,***,p n.则显然M/p 1,M/p 2,M/p 3,***,M/p n 是M 的因子，且各不相同。
（因为若M/p i =M/p j ,则p i =p j,矛盾）同时，M/p i(i=1,2,3,***,n)共有n 项，故M/p i (i=1,2,3,***,n)是M 的所有因子。
则S/M=(p 1+p 2+p 3+***+p n )/M=p 1/M+p 2/M+p 3/M+***+p n /M=∑=n i i M p 1/引理得证。
推论：∑=ni i p1/M 表示充分性：若M 是完全数，则它的所有因子的倒数之和为 S/M=∑=n i i M p 1/=2成立。
必要性：由于任意正整数M 的所有因子的倒数之和为 S/M=2,故M 是完全数。
偶完全数的一个巧妙的性质
我们上文介绍过偶完全数。
为了使读者能了解同余能帮助我们更深入认识数的一些美丽性质，我们来研究偶完全数一个很巧妙的性质。
我们回忆一下：完全数是那些整数，它的所有小于它本身的因子的和是等于自身。
我们知道的完全数到目前为止只有27个，而且都是偶数。
最小的几个是 6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336等等。
你可以看到这些数的个位数和十位数时常是6或28。
如果明天有一个新的偶完全数被人们发现，它的个位数或十位数是否也会是6或28呢？我们知道二千年前的欧几里得及18世纪的数学家欧拉证明了偶完全数只能是2k-1（2k-1）这里 k=2或k是奇数。
k=2时，我们得最小的偶完全数 2（22-1）=6；现在看k是奇数的情形，奇数可以分成两类：第一类 k被4除后余1，即 k≡1（mod 4）由于 k-1=4n，所以2k-1=24n=（24）n从24=16≡6（mod 10）我们有2k-1≡6n（mod 10），但是62=36≡6（mod 10）， 63≡6（mod 10），一般6n≡6（mod 10）所以由同余的传递性我们说2k-1≡6（mod 10）。
所以2k=2×2k-1≡2×6=12≡2（mod 10）因此2k-1≡2-1（mod 10）即2k-1≡1（mod 10）所以（2k-1）2k-1≡6（mod 10），这就是说当偶完全数的k是第一类，这数减6后必能被10整除，也就意味着这完全数的个位数是6。
偶完全数欧拉定理证明
偶完全数和欧拉定理是数学中的两个重要概念，它们的存在和性质在数学研究中具有重要意义。
下面将分别介绍偶完全数和欧拉定理，并对其证明进行阐述。
一、偶完全数偶完全数是指一个正整数等于其所有因子（包括1，但不包括其自身）之和。
例如，4是一个偶完全数，因为4的因子是1、2、4，而1+2+4=7。
偶完全数在数学中具有重要的应用价值，例如在组合数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
证明偶完全数存在的一个常见方法是使用哥德巴赫猜想的证明方法。
哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
由于偶数可以表示为两个奇质数之和的“余数”，所以偶完全数必然存在。
二、欧拉定理欧拉定理是数学中的一个重要定理，它描述了弦图（一种由正方形和直角三角形组成的图形）上的多边形面积与构成该多边形的弦长之间的关系。
欧拉定理指出，在一个弦图上，如果一个凸多边形的所有边都垂直于弦图上的弦，那么这个多边形的面积等于构成该多边形的弦的长度之和乘以一个常数。
这个常数被称为欧拉函数φ（x）。
证明欧拉定理的方法有很多，其中一种常见的方法是通过构造一个包含该多边形的正方形，并利用正方形和多边形之间的关系来证明欧拉定理。
具体来说，可以通过将多边形分割成若干个小正方形和直角三角形，并利用这些小图形的面积关系来证明欧拉定理。
三、欧拉定理的证明下面是一个证明欧拉定理的例子：假设有一个凸四边形ABCD，其中AB=a，BC=b，CD=c，DA=d（a>b>0,c>d>0）。
将四边形ABCD 分割成四个小正方形和四个直角三角形（如图所示），其中小正方形的边长分别为x和y （x>y>0），直角三角形的斜边长为z（z>0）。
根据面积关系，可以得到以下等式：AB*BC=xy+a*b；CD*DA=cd+z^2；BC*DA=(xy+c*d) z^2/(a+c)；ABC的面积= AB + BC = (x + y) + a + b + z^2/(a + c)；ADB的面积= CD + DA = (x + z) + b + c + d/(a + c)；四边形面积= AB*BC + ADB*ABC + ADC*CD = 3(x+y) + 3(a+b+c+d) - z^2/a - z^2/c；因此，凸四边形ABCD的面积为：3(x+y) + 3(a+b+c+d) - z^2/(x+y)。
数学实验素数
素数姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：素数(Prime)是构造所有数的“基本材料”，犹如化学上的化学元素和物理学中的基本粒子，有关素数的许多看似简单却极富刺激性的奇妙问题，向一代代数学家提出了挑战，始终吸引着他们的目光。
本实验将探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，如素数的判别，求素数的个数等。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：素数：如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数，否则被称为合数。
算数基本定理：从数学史的黎明时期开始，数学家就一直在探索自然数的奥秘，远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算数基本定理。
算数基本定理表明素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。
Mathematica的素数函数：Mathematica系统提供了两个常用的与素数有关的函数：（1）[n]，就是返回从第一个素数2数起的第n个素数；（2）PrimeQ[n]，就是判断自然数n是否为素数，是则返回True，否则返回False。
使用系统函数输出某个指定范围内的所有素数，只要定义如下的函数即可：筛法求素数：2000多年前，希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes 公元前约284-192年)给出了一个寻找素数的简便方法—筛法：写下从2、3、…、N，注意到2是一个素数，划去后面所有2的倍数，越过2，第一个没有被划去的数是3，它是第二个素数，接下来再划掉所有3的倍数，3之后没有被划去的数是5，然后再划掉除5外所有5的倍数，以此类推。
显然，划掉的都是较小整数的倍数，它们都不是素数，都被筛掉了，而素数永远不会被筛掉，它们就是要寻找的不超过N的所有素数。
试除法求素数：假设我们已经找到了前n个素数，为了下一个素数我们从开始一次检验每一个整数N，看N是否能被某个整除。
如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。
第七节 费马数、梅森数、完全数
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定义1.18 当自然数 等于它的某些真约数之和，则称 为 当自然数n等于它的某些真约数之和 则称n为 等于它的某些真约数之和， 定义 半完全数。 的真约数有2, 半完全数。如12的真约数有 3, 4, 6，而12=2+4+6，故 的真约数有 ， ， 12是半完全数 是半完全数. 是半完全数
内容小结
1. 费马数及其性质； 2. 梅森数及其性质； 3. 完全数及其性质
作业
P111 1； 5(1),(3); 7 ；
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
二、梅森数
定义1.12 当p是质数时，形状是 p=2p-1的数叫梅森 是质数时， 定义 是质数时 形状是M 的数叫梅森 数。 到目前为止已经找到了37个梅森质数 个梅森质数. 注：到目前为止已经找到了 个梅森质数 求证： 为质数时， 性质 求证：当m ≠ n，m, n为质数时，(Mm, Mn)=1. ， 为质数时
定义1.14 k, n∈ N+, 若σ(n)=kn, 则称 为k倍完全数 用 则称n为 倍完全数 倍完全数, 定义 ∈ pk表示k倍完全数 表示 倍完全数. 倍完全数 如：n=2178540 =22×32×5× 72×13 ×19, σ(n)=4n, × 所以2178540是p4数。 所以 是 定义1.15 k, n∈ N+, 若对于一切 对于一切k<n都有 σ (n) > σ (k ) , 定义 ∈ 都有 n k 则称n为过剩数 为过剩数. 就是过剩数. 则称 为过剩数 如4就是过剩数 就是过剩数 定义1.16 k, n∈ N+, 若对所有的 ≤n都是 的某些不同 若对所有的 所有的k≤ 都是 都是n的某些不同 定义 ∈ 真约数之和，称n为实用数， 如：6就是实用数。 真约数之和， 为实用数， 就是实用数。 为实用数 就是实用数 定义1.17 当n= σ(n)-n-1时，称n为几乎完全数。 为几乎完全数。 定义 时 为几数。 定义1.13 当a∈ N+，若σ(a)=2a, 则称 为完全数。 ∈ 定义 定理1.7.1 正整数 是偶完全数的充分必要条件是 正整数a是偶完全数的充分必要条件是 定理 a=2n(2n+1-1)(n≥1), 且 2n+1-1是质数。 是质数。 ≥ 是质数
关于奇完全数的研究
关于奇完全数的研究姓名：XXX 专业班级：信息与计算科学2005XXXXXX 指导教师：XXX摘要本文首先介绍了完全数的一些基本性质和当前研究状况，鉴于偶完全数与梅森素数一一对应的特殊关系,接着对梅森素数进行了介绍。
完全数各因子（除1）的倒数和等于1，也就是有若干个循环小数相加，它们的和是1。
于是本文又对循环小数的性质进行了讨论，并得出了可喜的结果：两个循环节位数不相等的小数相加，它们的和不会等于1；偶完全数的非2幂因子项的倒数的循环节位数相等。
在这个过程中意外的得到了“一个素数，只要非2与5，那么它就会整除一个全1数”。
迄今为止,人类共发现46个完全数,且均为偶完全数.是否有奇完全数存在,至今尚未解决。
本文在奇完全数存在的条件下,研究了奇完全数的各因子倒数循环节的规律，得到两个性质：奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会是互异的素数；奇完全数的各因子倒数的循环节位数不会相等。
【关键词】完全数；梅森素数；循环节；奇完全数Study on the Odd Perfect NumberAbstract：This thesis firstly introduce some of the basic nature and current research status of the Perfect Number.In view of Even Perfect Number correspondence with Mersenne prime,then Mersenne prime to have been introduced.The toal multiplicative inverse of all factor (except 1)of Odd Perfect Number equal 1,in other words,some recurring decimal for adder,the sum equal 1.Then reserth on the recurring decimal,have some encouraging conclusions:if two recurring decimal for adder,have unequal recurrent length,then sum of them can't equal 1; Even Perfect Number non-2 factor have equal recurent length.And have a surprise conclusion:a prime,if it is not 2、5,can divide a all 1 number.So far, 46 perfect numbers have been found, and they are all Even Perfect Numbers. It is not known whether or not there exists an Odd Perfect Number. In the paper, on the supposition that Odd Perfect Number do exist,give two conclusions:the length of factor's multiplicative inverse of Odd Perfect Number can't all prime number,and can't all equal!Keywords: perfect number; Mersenne prime; recurrent number; odd perfect number目录符号说明.................................................................................................................... - 1 - 第1章前言.............................................................................................................. - 2 - 第2章预备知识...................................................................................................... - 5 - 第3章梅森素数...................................................................................................... - 7 -3.1有关概念、定理.......................................................................................... - 8 -3.2 梅森素数判定法的算法设计..................................................................... - 8 -3.3有关梅森素数分布规律的研究.................................................................. - 9 -3.4现今的46个梅森素数...............................................................................- 10 - 第4章循环小数.....................................................................................................- 12 - 第5章奇完全数.....................................................................................................- 19 - 结论.........................................................................................................................- 21 - 致谢.........................................................................................................................- 22 - 参考文献...................................................................................................................- 23 -符号说明本文中未加说明的字母均表整数，以下是全篇通用符号，如在个别地方有不同含义则将明确说明。
史上最大的素数刚刚被找到,来感受下它的长度
史上最大的素数刚刚被找到，来感受下它的长度宇宙中素数的最大记录被刷新了，这个被命名为M77232917的最大素数，共23,249,425位，比目前的第二大素数多了将近100万位。
仅仅是记录这个数的纯文本文件，在电脑占有的内存超过23M。
如果一个人打算挑战手写这个数，一天写1000位，从今天开始算，需要写到2081年。
幸运的是，有一个简单的方法可以表述这个数：2^77,232,917-1。
也就是说，这个新素数是2的次方的次方的次方…(重复77,232,917次)然后减1。
在素数中，有一类数是2的n次幂减1，这类数叫梅森素数（Mersenne prime）。
最小的梅森素数是3（2^2-1），次小的梅森素数是31（2^5-1）。
感受一下这个数有多长而这个迄今最大的梅森素数，是在2017年12月底由全球合作项目“互联网梅森素数搜索”（GIMPS）发现的。
一位现年51岁，住在田纳西州的电气工程师Jonathan Pace在自己的电脑上发现了这个数，他参与GIMPS项目已有14年。
GIMPS在1月3号的官方声明中称，另外4位参与GIMPS 的人用了4种不同的算法，花了六天的时间来验证这个素数。
据田纳西大学的数学家Chris Caldwell个人网站上的信息称，梅森素数的命名源自法国教士马林·梅森（1588-1648）。
梅森提出，当n<=257, 且仅当n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257时, (2^n-1)是素数，马林·梅森在现代软件解决素数问题的曙光出现前，一个教士能提出这样的理论已是很了不起（事实上他和数学家费马是好朋友）。
在1536年，这个理论有了不起的进步之处。
此前人们认为，当n为素数时，2的n次幂减1会是素数。
不过，梅森的理论也存在错误之处。
梅森理论里的最大数，即2^257-1，其实并不是素数。
而且梅森漏掉了几个数：2^61-1, 2^89-1和2^107-1, 尽管后两个数直到20世纪初才被发现。
五年级：完美的数和谐的数
五年级:完美的数·和谐的数这是古希腊的一个神话故事。
战神瓦尔骑在高头大马上，指挥着部队操练。
队形按照瓦尔的命令变换着，既整齐，又威武。
当各队都是6人的4个分队，排成4种不同的方阵（允许排成一行或一列）时，瓦尔发现：每个方阵最前排的人数的和1＋2＋3＋6＝12，恰恰是每队人数6的2倍。
瓦尔又命令：各队都是28人的6个分队，排成6种不同的方阵，奇迹再次出现：每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋7＋14＋28＝56，恰恰也是28的2倍。
战神为他的杰作振发。
可是，除了6和28以外，瓦尔再也没有找到一个类似的数。
例如，每队20人的分队可以排成6种不同的方阵，每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋5＋10＋20＝42，而不是20的2倍。
显然，在上面的排列中，每个方阵最前排的人数都一定是这个方阵总人数的约数。
并且，方阵的人数有几个约数，就可以排成几种不同的方阵。
这就是说，6和28的美妙之处在于：它的所有约数的和，正好等于本身的2倍。
或者说，它的所有真因子（除了本身以外的约数）之和恰好等于它本身。
数学家们给这种数起了一个好听的名字：完全数。
6和28是完全数中最小的两个。
还有没有其他的完全数呢？数学家们发现，在自然数里，完全数非常稀少，在1到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了计算完全数的公式：如果2n-1是一个质数，那么由公式N=2n-1（2n－1）算出的数一定是一个完全数。
例如，当n＝2时，22－1=3是一个质数，于是N2＝22-1×（22-1）＝2×3＝6是一个完全数。
当n＝3时，N3＝28是一个完全数。
当n＝5时，N5＝496也是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
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2p+1
·
<
f (w)
2p+1
(16)
与式6相矛盾，这类情况不成立
综上所述，得证。
3
4 写在最后
以上所有的内容就是我蛋疼了一天的结果。（其实主要是写文档太慢了） 之前已经说过这不过是重复造轮子的事罢了（Euler，于 18 世纪）。 最后，纯蛋疼之作，写着玩的，极不规范，不喜勿喷。
5 参考文献
积性函数 from Wikipedia 梅森素数 from Wikipedia 完全数 from Wikipedia Mersenne_prime from Wikipedia
– 所以
q = pα1 1 · w
(7)
– 所以
q f (q)
=
∑αi=1p0α1p11
·
i
w · f (w)
≤
(pα1 1
pα1 1 · w + pα1 1−1)
·
f (w)
=
(p1
p1 · w + 1) · f (w)
(8)
2关于积性函数的定义，请参见维基百科
2
– 因为
w ≤1
(9)
f (w)
• 为了后文叙述方便，定义：f : N → N ，f (x) 为 x 所有因子的和。 显然：一个数 n 为完全数 ⇐⇒ 2 · n = f (n)
1实际上，就是梅森素数
1
3 本文要证明的定理
Theorem 1 (偶完全数形式). 对于一个偶数 n，如果 n 是一个完全数，则有：
n = 2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗
(1)
proof.
• 设整数 n 可以表示为这样的形式：
∏n
n = piαi
(2)
i=1
则有：
∏n ∑ αi
f (n) = ( pij)
(3)
i=1 j=0
这一点是显然的，同时，由这一点可知：f 函数是积性的2
• 由于 n 是一个偶数，所以，n 可以表示为：
n = 2p · q , q ≡ 1(mod2), 2p > 0
关于偶完全数的证明
Carbon.Chen February 4, 2013
Contents
1 1
3 本文要证明的定理
2
4 写在最后
4
5 参考文献
4
1
1 说在前面
写这篇文档的原因，应该说比较奇怪吧。省冬令营的时候，下午一般没什 么事情。然后某天下午，李爷爷突然抓住我们几个扯关于完全数的问题，让我 们验证有关完全数的一个猜想。基于下午一般都是Waste Time的事实，我无 聊地想要证明一下，然后得到了一些关于偶完全数的证明。第二天去逛了一下
– 所以
q ≤ p1
(10)
f (q) p1 + 1
– 又因为
p1 < 2p+1 − 1
(11)
– 所以
p1 p1 + 1
<
2p+1 − 1 2p+1
(12)
– 所以
q
2p+1 − 1
< f (q)
2p+1
(13)
与式6相矛盾，这类情况不成立
2. 2p+1 − 1 是一个质数
– 如果 k = 1，则定理成立
(4)
由于 n 是一个完全数，所以有：
2p+1 · q = (2p+1 − 1) · f (q)
(5)
所有有：
q
2p+1 − 1
= f (q)
2p+1
(6)
不妨设 q = k · (2p+1 − 1)，下面分两种情况讨论：
1. 2p+1 − 1 是一个合数
– 则 q 最小的质因子 p1 < 2p+1 − 1
– 否则有
q = (2p+1 − 1)α · w
(14)
* 如果 w = 1，则 α > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α
2p+1 − 1
f (q)
=
∑α
i=0
(2p+1
− 1)i
<
2p+1
与式6矛盾
(15)
* 如果 w > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α w
2p+1 − 1 w
2p+1 − 1
f (q) = f ((2p+1 − 1)α) · f (w) ≤
Wikipedia，发现不过是做了一些重复造轮子的事（不过这一点在做这么一件
蛋疼的事之前显然就是注定的）。然后，既然想都想了，干脆写篇文档，顺便打 发一些时间吧。
2 一些定义，记号什么的
• 完全数的定义：一个数被成为完全数，当且仅当它的所有因子（不包括自 身）的和等于自身
• 一个猜想：所有的完全数具这样的形式：2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗，其中 2p+1 − 1 为素数1。
4