冲激函数的性质
char2冲激函数及其性质
例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = u(t+1)-u(t-1)，
f (t ) T (t )
(t nT ) 解： y(t ) [u (t 1) u (t 1)]* (t nT )
v (t )
v c (0 ) v c (0 ) 0
否则，冲激响应会少一项
第二章 连续系统时域分析
2-2 系统的冲激响应
2）阶跃响应法
1 0.5
sv (t )
(0.5) 0.25
h( t )
第二章 连续系统时域分析
2-3 信号的时域分解和卷积积分
T 2
1）f(t)=fD(t)+fA(t)
2.利用图解法计算
1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) 4） f() h(t-) 5）计算积分 （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移）
（相乘）
f () h( t )d
卷积积分图解法:
f 1 (t ) 1 1 0
阶跃信号 冲激信号 正弦信号 指数信号等
2、系统分析：已知系统模型，研究系统对各种激励信号作用 下的响应特性。
3、信号与系统分析的意义：
（1）信号时间特性与系统时间特性匹配；
（2）信号频率特性与系统频率特性匹配； （3）信号功率特性与系统负载功率匹配； （4）信号信息含量与系统容量匹配； 4、分析方法： 时域法/变域法 内部法/外部法
x(t )
x (t )
x ( k )
0
k (k 1)
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激函数既不是偶函数也不是奇函数.是一个非正常函数,某种极限函数。
冲激偶函数是奇函数，关于原点对称，在全时域对其积分为零，即正、负两个冲激的面积相互抵消。
所以说冲激函数是偶函数，冲激偶就是奇函数
信号的分解，可以分解为冲激函数和阶跃函数的卷积，只不过对于阶跃函数而言会有一个初值的问题，这个初值产生原因就在于其对信号分解可以看成冲激函数与信号卷积的微分和积分（微分分配给f，积分分配给冲激函数），无论是先微分或者先积分，都会存在一个常数是无法确切表示的，需要有初值条件，从频域分析时，是因为存在微分性质使用时要保证是没有直流分量
在频域分析时，同样我们可以的得到一个有趣的结论，可以将任意信号分解为该信号的基函数的幅频特性曲线必没有0点，进一步拓展，一个有限长的信号，一定不能作为基函数表示任意信号（在时域来看这是显然的）。
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
单位冲激函数的性质
证 明 ： ＇ ｒ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 』 ｆ （ ｔ ） （ ） 出 ＋ 』 ， （ ￡ ） （ ￡ ） ｄ ｚ ＋ Ｊ ， （ ￡ ） （ ￡ ） 出 一 － ｒ ｌ ｉ 一 ｍ 。 ｆ （ ￡ ） （ ￡ ）
Ｏ ∞
一
厂 （ ｏ ） Ｉ ８ ０ ） ｄ ｔ ：厂 （ ０ ） ． 同 理可得 Ｉ （ ￡ 一ｔ 。 ） 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ＝ｆ （ ｔ ｏ ） ．
１ 单 位 冲 激 函数 的 性 质
单 位 冲 激 函 数 或 狄 拉 克 （ Ｄ ｉ ｃ ） 函 数 为 （ ￡ ） 一 ｛ 。 ， 王 （ ） 一 １ ． 单 位 冲 激 函 数 （ ￡ ） 是 一 种 广 义
函数 ， 它 的 幅值 为无穷 大 ， 图象 只能用 带箭 头 的射线 表示 ． 但通 常不 标 出其 幅值ｏ 。 ， 而是 只用 括号 标 出其 冲激
证明： ｔ ： ／ ： Ｏ ， （ ￡ ） ＝０ ， ， （ ￡ ） （ ￡ ） 一０ ＝厂 （ ０ ） （ ￡ ） ； ￡ ＝０ ， ８ ０） ≠Ｏ ， 厂 （ ￡ ） （ ） 一厂 （ ０ ） （ ） ，
ｆ ｃ ｚ ｃ ｚ 一 ｛ ； 三 ≠ 。 ＝ ， ｃ 。 ， ｃ ． 同 理 可 得 ， ｃ ｚ ｃ 一 一 ｆ ｃ ｃ ｔ 一 ．
第 １ ４卷
第 １期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｏ ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＴＡ Ｉ ＹＵＡＮ Ｎ ＯＲ ＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖｏ １ ． １ ４ Ｎ ｏ ． １
一
８ （ ｔ ） ｄ ｔ 一 １ ，
单位冲激函数性质
单位冲激函数性质
冲激函数的性质有：1、筛选性质。
2、取样性质。
3、导数性质。
4、尺度变换性质。
冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学
模型。
冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态
响应。
冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限
大的负的冲激函数。
应用领域：
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的
一些特性的研究。
冲激函数及其延时冲激函数的线性组合去则表示或迫近，再利用系统的vary原理，
可以通过直观的信号例如单位冲激函数的频谱，以及频域特性去探讨比较复杂信号的频谱。
从而增加排序繁杂信号频谱的难度。
关于冲激函数的一个性质
∫
Tk
-
Tk
+
δ[ψ( t ) ]ψ ( t) e ′
jwt
dt =
( T ) ]δ( y ) e sgn [ψ ′ ∫
0k jwTk
0+
- jwgk ( y)
( Tk ) ] e d y = sgn [ψ ′ Tk ) e
- jwt
jwgk ( 0)
=
( Tk ) ] e sgn [ψ ′
=
( T ) ]δ( t ∫sgn[ψ′
On a property of impulse f unction
HE Qiu - li , XU Mei
( Electrical Engineering College , Guangxi University , Nanning 530004 ,China)
Abstract :Impulse function δ( t ) is a singular function and play an important part in the subject
50
安徽大学学报 ( 自然科学版)
第 26 卷
成立 ,然后由这个等式直接推出 δ(ψ( t ) ) ψ ( t) = ′
∑
n
k =1
( Tk ) ]δ( t - Tk ) sgn [ψ ′
( 1)
ψ( t ) ) 笔者认为上述推断是不正确的 。下面我们将给出冲激函数δ( t ) 的导数与复合函数δ( ( ) 之间的一个更为一般的关系性质 ,从面推出等式 1 成立 。 定理 3 设 ψ( t ) 是 t 的实可导函数 , Tk ( k = 1 , 2 , …, n) 为 ψ( t ) 的所有的不同的实根 , 且 ψ( t ) 分别在 [ T -k , Tk ] 和 [ Tk , T + k ] ( k = ( 1 , 2 , …, n) 上严格单调 , 则
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
脉冲函数和冲激函数
脉冲函数和冲激函数1. 引言在信号处理和控制系统中，脉冲函数和冲激函数是非常重要的数学工具。
它们在时域和频域分析中具有广泛的应用，能够描述信号的时刻、幅度和频谱特性。
本文将详细解释脉冲函数和冲激函数的定义、用途以及工作方式等。
2. 脉冲函数2.1 定义脉冲函数（Impulse Function），也称为单位脉冲或单位样本序列，是一种特殊的信号。
它在时刻0处取值为无穷大，其它时刻取值均为零。
数学上，脉冲函数可以用符号δ(t)表示。
其中t表示时间变量，δ(t)表示在t=0时刻取值无穷大，其它时刻取值为零。
2.2 特点与性质•脉冲函数是一个奇异信号，在t=0处出现一个瞬间突变。
•脉冲函数的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
•脉冲函数的幅度是无穷大，在t=0时刻达到最大值。
2.3 应用脉冲函数在信号处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：2.3.1 时域分析脉冲函数可以用来描述信号的时刻特性。
当一个信号与脉冲函数进行卷积运算时，可以得到该信号在不同时刻的分量。
2.3.2 频域分析脉冲函数在频域上具有平坦的频谱特性，即其频谱密度为常数。
这使得脉冲函数成为理想的频率选择器。
2.3.3 系统响应在控制系统中，脉冲函数可以用来描述系统的单位响应。
通过将输入信号与单位脉冲进行卷积运算，可以得到系统对单位输入的响应。
2.4 工作方式脉冲函数可以通过多种方法生成，其中最常见的方法是通过极限逼近法。
例如，可以将一个矩形波形序列逐渐缩小并延长时间周期，使其趋近于一个无限窄、幅度为无穷大、宽度为0的瞬时脉冲。
3. 冲激函数3.1 定义冲激函数（Impulse Response）是指线性时不变（LTI）系统对单位脉冲输入的响应。
它描述了系统在接收到一个单位脉冲时的输出情况。
数学上，冲激函数可以用符号h(t)表示。
当输入信号为单位脉冲δ(t)时，系统的输出信号为h(t)。
3.2 特点与性质•冲激函数是系统的固有属性，与输入信号无关。
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e(t )
r (t )
r(t ) = e(t τ )
�
δ 为了信号分析的需要, 函数, 为了信号分析的需要,人们构造了 (t ) 函数,它属于广 t 而言 δ 义函数.就时间 而言, (t ) 可以当作时域连续信号处 义函数. ,
理,因为它符合时域连续信号运算的某些规则.但由于 因为它符合时域连续信号运算的某些规则. δ (t ) 是一个广义函数,它有一些特殊的性质. 是一个广义函数,它有一些特殊的性质.
e1(t ) e2 (t ) r (t ) e1(t )
∑
e2 (t )
r (t )
r(t ) = e1(t ) + e2 (t ) r(t ) = e1(t ) e2 (t )
2.乘法器 2.乘法器
e1(t ) e2 (t )
r (t )
注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 注意: 与公式中的卷积符号相区别,没有卷积器. 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 3.标量乘法器(数乘器,比例器) 标量乘法器
∞
④ f (t )δ ′(t) = f (0)δ ′(t) f ′(0)δ (t ) ,
不同) (与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t ) 不同)
X
∞
冲激函数的性质总结
(1)抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
(5)冲激偶 δ ′(t ) = δ ′(t )
∫
+∞
s(t )
1
δ (t )
∞
(1)
τ 1 τ
τ τ o τ
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
τ2
1
τ2
τ τ O 1 2 1
τ
t
O
t
τ
τ2
冲激偶的性质
① δ′(t )是奇函数
δ ′(t ) = δ ′(t ) ,
② ③
δ ′(t0 t ) = δ ′(t t0 )
∫
δ ′(t )dt = 0 , ∞
∞
f (t )δ (t )dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t )dt = 0 ∞
∞
t
∞
(2)奇偶性 δ (t ) = δ (t )
δ ′(t )dt = δ (t ) ∞
∞
(3)比例性 ∞ 1 δ (at ) = δ (t ) f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) f ′(0)δ (t ) a (6)卷积性质 (4)微积分性质 du(t ) t f (t ) δ (t ) = f (t ) δ (t ) = ∫∞δ (τ )dτ = u(t) dt
∞
∞
∫
δ ′ (t )dt = δ (t ) ∞
t
∫
δ ′(t ) f (t )dt = f ′ (0) ∞
∞
∞
时移 ,则:
∫
阶导数: 对δ (t )的k阶导数: ∫ δ (k ) (t ) f (t ) d t = ( 1) f (k) (0)
k
∞ ∞
δ ′(t t0 ) f (t )dt = f ′ (t0 ) ∞
∫
f (t )δ ′(t )dt = f ′(0)
四.总结: R(t),u(t), δ(t) 之间的关系
R(t ) 1
O
u(t ) 1 t 1
O
δ (t )
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
基本元件1 基本元件1
1.加法器 1.加法器
∞
f (t )
f (0)
∞
o
t
对于移位情况: 对于移位情况:
δ (t ) f (t t 0) = f (t0 )δ (t )
∫
δ (t t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ∞
∞
2. 奇偶性
δ (t ) = δ (t )
3. 对δ(t)的标度变换
1 δ (at ) = δ (t ) a
冲激函数的性质
1.抽样性 . 2.奇偶性 . 3.标度变换 . 4.微分性质(冲激偶)和积分性质 .微分性质(冲激偶) 5. 卷积性质
如果f(t)在 处连续, 如果 在t = 0处连续,且处处有界,则有 处连续 且处处有界,
1.
抽样性(筛选性) 抽样性(筛选性)
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t ) ∞ ∫ δ (t) f (t)dt = f (0)
e(t ) a r (t )
a
r(t ) = ae(t )
基本元件2 基本元件2
4.微分器 4.微分器 5.积分器 5.积分器 6.延时器 6.延时器
e(t ) d dτ r(t )
de(t ) r(t ) = dt
e(t )
∫
r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
∞
t
e(t )
τ
Tδ (5t ) f (t )dt =?
1 f (0) 5
4.微 4.微,积分性质
∫
δ (τ )dτ = u(t ) ∞
'
t
d[δ ( t )] δ (t )= dt
d u( t ) δ(t ) = dt
5.卷积性质 5.卷积性质
f (t ) δ (t ) = f (t )
δ ' (t )
4.冲激偶 4.冲激偶