冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
at的冲激函数 -回复
at的冲激函数-回复什么是冲激函数？冲激函数是信号处理中的一种特殊函数，用来描述一个瞬间突变并具有无限幅值的信号。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用，尤其是在研究系统的响应和分析滤波器的性能方面。
冲激函数通常用符号δ(t)来表示，其中t代表时间。
它在t=0时取得最大值，而在其他时间点上则为零。
冲激函数的面积为1，符合冲激性质的定义。
冲激函数的主要特点是它的幅值是无限大的，而持续时间却仅仅是瞬间。
这意味着冲激函数的能量集中在一个非常短暂的时间段内，可以被视为一个理想的瞬态触发器。
在实际的信号处理中，冲激函数常常被用来模拟系统的输入或激励源。
冲激函数在系统响应分析中有着重要的地位。
根据线性系统的特性，系统的输出可以通过将输入和冲激函数的响应进行卷积来得到。
这个卷积运算称为系统的脉冲响应。
对于具有连续时间的系统，脉冲响应表示为h(t)，而对于离散时间系统，脉冲响应表示为h[n]。
系统的输出可以表示为输入信号与脉冲响应之间的卷积运算。
此外，冲激函数还在滤波器设计和信号恢复等领域中被广泛应用。
滤波器是一种用于从信号中提取或去除特定频率分量的设备。
用冲激函数作为滤波器的输入信号，在系统的输出中可以观察到滤波器的频率响应特性。
冲激函数还在信号采样和重构中发挥着重要作用。
在数字信号处理领域，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程称为采样，而将离散时间信号转换回连续时间信号的过程称为重构。
冲激函数常常被用作采样和重构的基准信号，以确保信号的准确性和一致性。
总结起来，冲激函数是一种用于描述信号和系统特性的特殊函数。
它在信号处理、滤波器设计、系统响应分析以及信号采样和重构等领域中都有着广泛的应用。
对于理解信号处理和系统建模的基本原理，理解冲激函数的特性是非常重要的。
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨作者：陈光红来源：《电脑知识与技术》2011年第25期摘要：通过对冲激函数δ(t)的工程定义、性质及由其引起的冲激响应h(t)等的分析，举例说明了与冲激函数相关的知识点及在运用时需注意的问题，并用三种方法求解冲激响应。
关键词：冲激函数δ(t)；冲激响应h(t)；傅立叶变换；拉普拉斯变换中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)25-6264-02Teaching Discussion of Dirac Delta Function in Information and SystemCHEN Guang-hong(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)Abstract: Definition and property of Dirac delta function is analyzed. Impulse response caused by Dirac delta function is introduced. Some examples are used to explain the notice. Three methods are used to solve the impulse response.Key words: Dirac delta function; impulse response; Fourier transform; Laplace transform信号与系统是通信技术和电子信息技术专业的一门核心课程。
冲激函数δ(t)是信号与系统中的重要信号，此信号本身有采样性质、偶对称性质等，由其衍生出的卷积性质、冲激响应等都是信号与系统中的重要知识点。
英美报刊选读(辅修) 冲激函数
英美报刊选读（辅修）冲激函数
冲激函数（Impulse Function）是在数学和工程领域中常用的一种理想化函数。
它通常用符号δ(t)表示，其中t表示时间。
冲激函数的定义有多种形式，其中最常见的是单位冲激函数，也称为狄拉克冲激函数（Dirac Delta Function）。
单位冲激函数的定义如下：
δ(t) = 0, t ≠ 0
= ∞, t = 0
冲激函数在t=0时的值为无穷大，而在其他时间点上的值均为0。
这种特性使得冲激函数在数学和工程问题的建模中具有重要作用。
冲激函数的一个重要性质是它的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
这意味着冲激函数可以用来进行信号的归一化处理。
在信号处理领域，经常使用冲激函数来表示和处理离散信号和连续信号。
冲激函数在工程领域中的应用非常广泛。
例如，在控制系统中，冲激函数可以用来描述系统的单位脉冲响应。
在电路分析中，冲激函数可以用来表示电路的单位脉冲响应和冲击响应。
此外，冲激函数还可以用来描述信号的功率谱密度和频谱特性。
冲激函数在数学中的推广和拓展也是一个研究热点。
例如，狄拉克冲激函数可以通过极限过程从一个序列函数中构造出来。
此外，冲激函数的一般化形式也被广泛研究，如狄拉克分布、广义函数等。
总之，冲激函数作为一种理想化的数学工具，在科学研究和工程实践中具有重要的应用价值。
它不仅可以描述和处理信号的特性，还可以用于系统建模和分析，为工程师和科学家提供了强大的工具和方法。
计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换
标题：计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换在信号与系统的学习中，冲激信号是一种非常重要的信号类型。
它在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。
而冲激信号的傅里叶变换在频域分析和频谱分析中也扮演着重要角色。
计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换是很有意义的。
1. 冲激函数的定义与性质冲激函数（Impulse function）又称为δ函数（Delta function），是一种特殊的函数。
它在数学上的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0冲激函数具有以下性质：（1）积分性质：∫δ(t)dt = 1（2）脉冲性质：δ(at) = 1/|a| * δ(t)（3）位移性质：δ(t-b) = δ(t)2. 冲激信号eδ(t)的定义冲激信号eδ(t)定义为：eδ(t) = e * δ(t)3. 傅里叶变换的定义在信号与系统中，傅里叶变换是一种十分重要的数学工具。
对于一个信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jwt)dt4. 计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换现在，我们来计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换。
根据傅里叶变换的定义，冲激信号eδ(t)的傅里叶变换可以表示为：E(ω) = ∫eδ(t)e^(-jwt)dt= e∫δ(t)e^(-jwt)dt由于δ(t)只在t=0的时候有值，因此积分的结果只有在t=0的时候才取得非零值。
所以：E(ω) = e * e^0= e冲激信号eδ(t)的傅里叶变换为常数e。
5. 总结通过以上计算，我们得出冲激信号eδ(t)的傅里叶变换为常数e，这个结果在频域分析中具有重要的意义。
在实际的信号处理和系统分析中，对冲激信号的傅里叶变换有着深远的影响。
冲激信号eδ(t)的傅里叶变换是一项重要的计算内容，它不仅有着理论上的意义，也在工程实践中有着重要的应用。
希望本文能够帮助读者更好地理解冲激信号的傅里叶变换，并在实际应用中发挥作用。
冲激函数的特解范文
冲激函数的特解范文冲激函数是数学中的一种特殊函数，通常记为δ(t)，也称为Dirac函数。
它在数学分析和工程应用中非常有用，尤其在处理信号问题时。
冲激函数的特解即是求解线性时不变系统微分方程的一个方法，下面将详细介绍冲激函数的特解的基本原理和应用。
首先，我们来了解一下冲激函数的基本性质。
冲激函数δ(t)在t=0的时刻取无穷大，并且在其他时刻都为零。
在数学上，可以将冲激函数定义为满足以下两个性质的极限函数：1.函数在t=0时的值为无穷大，即δ(0)=∞。
2.对任意的t≠0，函数的值为零，即δ(t)=0。
在实际应用中，由于冲激函数的定义非常特殊，它不是一个常用函数，而是作为一种数学工具来使用。
因此，我们通常可以将冲激函数理解为一个脉冲信号，它的幅值非常短暂且极大，然后迅速衰减为零。
这种特性使得冲激函数成为处理信号问题的重要工具。
接下来，我们来探讨冲激函数的特解的应用。
在信号处理和系统分析中，我们经常遇到线性时不变系统的微分方程，例如:d^n y(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y(t) / dt^(n-1) + ... +a_0 y(t) = b_(n-1) d^(n-1) x(t) / dt^(n-1) + ... + b_0 x(t)其中，y(t)表示系统的响应，x(t)表示系统的输入信号，a_i和b_i表示系统的系数。
我们可以通过冲激函数的特解来求解这个微分方程。
假设系统的零状态响应为y_p(t)，那么系统的总响应为y(t)=y_p(t)+y_c(t)，其中y_c(t)是系统的零输入响应。
根据线性时不变系统的性质，我们可以将输入信号x(t)拆解为冲激函数的线性组合，即:x(t)=∫x(τ)δ(t-τ)dτ带入微分方程，我们可以得到:d^n y_p(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y_p(t) / dt^(n-1) + ...+ a_0 y_p(t) = ∫ b_(n-1) d^(n-1) x(τ) / dt^(n-1) δ(t - τ)dτ + ... + b_0 x(t)根据冲激函数的性质，除了t=τ处的δ(t-τ)项之外，其他的冲激函数都为零。
冲激函数取样性质证明
冲激函数取样性质证明冲激函数是一种特殊的函数，也称为单位脉冲函数或Dirac函数。
它在数学分析和信号处理中有着重要的应用。
冲激函数取样性质是指冲激函数作为取样信号时，保持原信号的性质。
在这篇文章中，我将详细阐述冲激函数取样性质的证明。
首先，我们需要明确冲激函数的定义。
冲激函数通常用符号δ(t)表示，它满足以下条件：1.δ(t)在t=0时的取值为无穷大，其他时间点的取值为零：δ(0)=∞，δ(t)=0,t≠0。
2. δ(t)的面积等于1：∫δ(t)dt=1我们可以将冲激函数定义为一个函数序列的极限形式，即：δ(t) = lim(n→∞) gn(t)其中gn(t)是一系列脉冲函数。
例如，gn(t)可以是一个高度为n，宽度为1/n的矩形函数，使得gn(t)在0附近的面积为1，其他位置的面积为零。
假设我们有一个信号x(t)，我们用冲激函数对其进行取样。
取样信号可以表示为s(t)=x(t)δ(t-T)，其中T是取样时刻。
我们的目标是证明冲激函数取样信号的性质与原信号相同。
首先，我们可以推导冲激函数取样信号的时域表达式。
由于δ(t)在t=T时的取值为无穷大，假设在t=T时，x(T)的取值为X。
那么，我们可以得到：s(t)=x(t)δ(t-T)=x(t)δ(t-T)，t=T=x(T)δ(t-T)=Xδ(t-T)。
因此，冲激函数取样信号的时域表达式为s(t)=Xδ(t-T)。
这意味着取样信号在t=T时的取值为X，其他时间点的取值为零。
这与原信号在t=T时的取值相同，因此冲激函数取样信号在时域上保持了原信号的性质。
接下来，我们证明冲激函数取样信号的频域性质与原信号相同。
我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频域特性。
假设原信号x(t)的傅里叶变换为X(ω)，即X(ω)=F{x(t)}，其中F表示傅里叶变换操作。
根据冲激函数的定义，我们可以得到取样信号的傅里叶变换为：S(ω)=F{s(t)}=F{Xδ(t-T)}。
我们可以利用傅里叶变换的性质，将傅里叶变换和冲激函数的性质结合起来。
脉冲函数和冲激函数
脉冲函数和冲激函数1. 引言在信号处理和控制系统中，脉冲函数和冲激函数是非常重要的数学工具。
它们在时域和频域分析中具有广泛的应用，能够描述信号的时刻、幅度和频谱特性。
本文将详细解释脉冲函数和冲激函数的定义、用途以及工作方式等。
2. 脉冲函数2.1 定义脉冲函数（Impulse Function），也称为单位脉冲或单位样本序列，是一种特殊的信号。
它在时刻0处取值为无穷大，其它时刻取值均为零。
数学上，脉冲函数可以用符号δ(t)表示。
其中t表示时间变量，δ(t)表示在t=0时刻取值无穷大，其它时刻取值为零。
2.2 特点与性质•脉冲函数是一个奇异信号，在t=0处出现一个瞬间突变。
•脉冲函数的面积为1，即∫δ(t)dt = 1。
•脉冲函数的幅度是无穷大，在t=0时刻达到最大值。
2.3 应用脉冲函数在信号处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：2.3.1 时域分析脉冲函数可以用来描述信号的时刻特性。
当一个信号与脉冲函数进行卷积运算时，可以得到该信号在不同时刻的分量。
2.3.2 频域分析脉冲函数在频域上具有平坦的频谱特性，即其频谱密度为常数。
这使得脉冲函数成为理想的频率选择器。
2.3.3 系统响应在控制系统中，脉冲函数可以用来描述系统的单位响应。
通过将输入信号与单位脉冲进行卷积运算，可以得到系统对单位输入的响应。
2.4 工作方式脉冲函数可以通过多种方法生成，其中最常见的方法是通过极限逼近法。
例如，可以将一个矩形波形序列逐渐缩小并延长时间周期，使其趋近于一个无限窄、幅度为无穷大、宽度为0的瞬时脉冲。
3. 冲激函数3.1 定义冲激函数（Impulse Response）是指线性时不变（LTI）系统对单位脉冲输入的响应。
它描述了系统在接收到一个单位脉冲时的输出情况。
数学上，冲激函数可以用符号h(t)表示。
当输入信号为单位脉冲δ(t)时，系统的输出信号为h(t)。
3.2 特点与性质•冲激函数是系统的固有属性，与输入信号无关。
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冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在
图
1-2
箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
=
∞
→
)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；
并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其
零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
0→t 时，1)(S →t a ，并且有：
(a)τ逐渐减小的脉冲函数
(b)冲激信号
图1-1
图 1-3
⎰
∞
=
2
)(π
dt t Sa
因其是偶函数有
⎰+∞
∞-=πdt t Sa )( （1-4）
由式（1-4）知
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧==⎰⎰∞+∞-∞
+∞-1)()()(dt kt Sa k
kt d kt Sa ππ （1-5） 式（1-5）表明，)(kt Sa k
π
曲线下的面积为1，且k 越大，函数的振幅
越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k ∞→时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3.
实际上，脉冲函数的选取并不 限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限， 也可以变为冲激函数，作为冲激函 数的定义。
相应可以表示为： 三角形脉冲：
()()[]⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→τετεττδτt t t t ||11lim )(0 （1-6）双边指数脉冲：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-→τττ
δ||021lim )(t e t （1-7） 钟形脉冲：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→201lim )(τπττδt e t （1-8）
这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).
定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≠===⎰+∞∞0
0(t)dt 0
t 1(t)dt -t δδ （2-1）
这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。
现给出δ函数三个有用的特性：
性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。
由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为
|
a |1
，由于冲激信号δ
(at)
仍在
t=0处发生，所以它可以被看做一个未
压缩的冲激
)
(
||1at a δ，即有)(|
|1)(at a at δδ=。
由于时间位移不会影响面积的大小，所以有
（a ）三角脉冲 （b ）指数脉冲 （c ）钟形脉冲
图 1-4
[])(|
|1
)(00t t a t t a -=
-δδ （2-2） 式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。
特别的当
0,10=-=t a 时，式（2-2）变为
)()(t t -=δδ (2-3) 从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。
性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数)(0t t -δ乘以任意连续信号)(t f ，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于)(t f 在0t t =处的值。
即筛选出了)(0t f 。
从而有 ⎰⎰⎰
+∞∞
+∞
∞
+∞
∞
===---)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t δδδ （2-4）
类似有
⎰⎰⎰
+∞∞
+∞
∞
+∞
∞
=-=-=--0-0000-0)()()()()()()(t f dt t t t f dt t f t t dt t f t t δδδ （2-5）
式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数)(t f 与单位冲激信号)(t δ或)(0t t -δ相乘，并在()+∞∞-,时间内积分，可以得到)(t f 在0t t =处的函数值。
性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积
)()()()(000t t t f t t t f -=-δδ的面积等于)(0t f ，也就是说)(0t t -δ移除了
)(t f 在0t t =处的值。
)()()(0-0t f dt t f t t ⎰
+∞
∞
=-δ （2-6）
值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：
)()(-t u d t
⎰
∞
=ττδ （2-7）
dt
t du )
()(=
τδ （2-8） )(t δ的狄拉克定义也可以表示为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==∞=≠=⎰∞∞
-1(t)dt 0(t)0
t 0(t)δδδt （2-6）
上式与式（2-1）一样都表示，0=t 处，是一个间断点，但作为
数学抽象式，式（2-1）中采用⎰+∞
∞-=1(t)dt δ
的约束条件，已经概括了间断点0=t 得邻域内的积分⎰+
=00-
1(t)dt δ，反映出0→∆t 时∞→)(t δ的趋势，
因此采用（2-1）的描述更合适。
另一方面，狄拉克-δ函数的定义在数学上也是不严格的。
如函数
)()('t t δδ+也满足式（2-1）
其中: )()('t
dt
d
t δδ=
为冲激偶信号，但)()('t t δδ+并不是单位冲激信号。
为了给出奇异函数)(t δ的严格定义，我们先引入分配函数的概念。
概念引出（1950年，L. Schwartz ）
电压v(t) 表示方法：
分析说明：
① 读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v (t )与测试仪表特性h (t )二者综合结果
② 电压v (t )的存在和性质借助h (t )来体现（测量系统是检测电压v (t )特性的手段），故称h (t )为检试函数。
下面给出分配函数定义：
定义三：用分配函数定义)(t δ.
)(t δ指定给)(t ϕ的值为)0(ϕ.
通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于)(t δ的一些基本运算特性。
（1） 相加:
(3-1)
（2） 相乘:
(3-2)
（3）反褶:
（3-3）证明参见性质一.
（4）尺度:
（3-4）
（5）时移:
（3-5）证明参见性质二.
（6）卷积:
（3-6）仅对i)进行如下证明：
（7）复合函数：
（3-7）
证明：用泰勒级数展开，0)(=i t f ，忽略高次项。
复合函数形式的 [])(t f δ可化简为位于i t t =处的一系列冲激函数的叠加，强度为|
)('|1
i t f 。
参考文献：
［1］ 樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京：北京航空航天大学出版社.
［2］ 邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京：科学出版社. ［3］ 彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.
［4］。