单位冲激函数讲解
冲激函数
状态，然后求解由这一初始状态所产生的零输入响应。 此即为t＞0时的冲激响应h(t)。
17
例9-8
试求电路中电流及电感电压的冲激响应。
解 把电感看作开路，作出t=0时的等效电路(b)。来自
冲激电源的冲激电压全部出现于电感两端。
关于冲激电压全部出现于电感可理解如下：如果冲激
t
t
1
e t
t
C1 C
e t
t
u2 t
u21
u22
R
R1
1 et
C1 C
e
t
t
24
§9-6 线性非时变电路对任意输入的响应
❖ 电路的冲激响应和该电路的零输入响应相同，而电路 的零输入响应的形式只与电路本身的性质有关，与激 励的形式无关。
于不同的网络对同样的冲激激
励，N的响应不同，网络N可用 它的冲激响应表征。
a
❖ h(t)是冲激在t=0时作用所产生
的响应，由于网络是非时变的，
对于在t=时作用的冲激，其响
b
应必为h(t-),图(b)。
❖ 如果作用于N的冲激不是单位
冲激而是强度为x()的冲激，
那末，由于网络是线性的，其
响应必为x()h(t-)，图(c)。
u21(t)为
u21 t
t
R1
R
1
e t
冲激电流产生u2(t)的分量u22(t)。由于u21(t)与R1的乘积 即为该电路的单位阶跃响应，其导数为冲激响应
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。
单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。
一、定义单位冲激函数可以定义为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0其中，t是时间变量。
这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。
这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。
二、性质1.积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。
2.期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。
3.微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。
三、应用1.信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。
这种信号通常被称为“脉冲信号”。
2.概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。
例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。
3.物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。
例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。
四、总结单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。
它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。
虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。
通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。
单位冲激函数的z变换
单位冲激函数的z变换引言：在信号处理中，单位冲激函数是一种非常重要的信号，它在数字信号处理中有着广泛的应用。
而在对单位冲激函数进行处理时，z变换是一种非常常用的方法。
本文将从单位冲激函数的定义、z变换的基本概念以及单位冲激函数的z变换等方面进行详细的介绍。
一、单位冲激函数的定义单位冲激函数是一种特殊的函数，它在t=0时取值为1，而在其他时刻取值均为0。
其数学表达式为：δ(t) = {1, t=0; 0, t≠0}其中，δ(t)表示单位冲激函数，t表示时间。
二、z变换的基本概念z变换是一种非常常用的信号处理方法，它可以将离散时间信号转换为复平面上的函数。
z变换的数学表达式为：X(z) = Σx(n)z^(-n)其中，X(z)表示z变换后的信号，x(n)表示原始信号，z表示复平面上的变量。
在z变换中，有一些基本的概念需要了解：1. 收敛域：指z变换中收敛的区域，即z变换后的函数在该区域内收敛。
2. 极点：指z变换后的函数在复平面上的奇异点，即使得函数值趋于无穷大的点。
3. 零点：指z变换后的函数在复平面上的零点，即使得函数值为0的点。
三、单位冲激函数的z变换对于单位冲激函数，其z变换为：Δ(z) = Σδ(n)z^(-n)其中，Δ(z)表示单位冲激函数的z变换。
根据单位冲激函数的定义，可以得到：Δ(z) = 1 + z^(-1) + z^(-2) + ...由于z变换中的幂次为负数，因此可以将上式改写为：Δ(z) = 1 + z^(-1) + z^(-2) + ... + z^(-n) + ...当n趋近于无穷大时，上式趋近于：Δ(z) = 1 + z^(-1) + z^(-2) + ...根据等比数列求和公式，可以得到：Δ(z) = 1 / (1 - z^(-1))因此，单位冲激函数的z变换为：Δ(z) = 1 / (1 - z^(-1))在z变换中，单位冲激函数的z变换是非常重要的，它可以用于求解其他信号的z变换，从而实现对信号的处理。
信号与系统单位冲激函数有关例题
信号与系统单位冲激函数有关例题【信号与系统】单位冲激函数有关例题导读：本文将深入探讨信号与系统领域中与单位冲激函数有关的例题。
我们将简要介绍单位冲激函数的概念和特性，然后通过具体的例题来展示如何应用单位冲激函数进行信号分析和系统建模。
我们将回顾这些例题并总结一些实际应用中的思考点和技巧。
1. 单位冲激函数的定义和特性单位冲激函数（也称为Dirac函数）是信号与系统领域中的基础概念之一。
它在数学上被定义为一个面积为1，宽度趋近于无穷小的脉冲信号。
单位冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t为时间变量。
单位冲激函数具有以下重要特性：1.1 零相位特性单位冲激函数在时间域中的相位为零，这意味着它不会引起信号的时间延迟。
在系统分析中，这个特性非常有用，因为它可以简化计算和推导。
1.2 区间积分性质单位冲激函数在任意有限时间区间上的积分等于该时间区间内的长度。
即对于任意时刻t0和有限时间区间[a, b]，有∫[a,b] δ(t-t0) dt= b - a。
1.3 线性组合性质符合线性性质的信号对单位冲激函数的线性组合仍然是一个有效的线性信号。
这个性质对于系统建模和分析非常重要。
2. 例题分析接下来，我们将通过几个具体的例题来演示如何应用单位冲激函数进行信号与系统的分析。
2.1 离散时间系统考虑一个离散时间系统，其输入信号x[n]和输出信号y[n]之间的关系满足差分方程y[n] = x[n] + 2x[n-1]。
为了进行系统分析，我们可以将该差分方程转化为差分方程的单位冲激响应表示。
我们将系统的输入信号设置为单位冲激函数，即x[n] = δ[n]，其中δ[n]代表离散时间单位冲激函数。
代入差分方程得到y[n] = δ[n] +2δ[n-1]。
通过这个输出信号，我们可以看出系统对单位冲激信号的响应。
进一步，我们可以通过计算差分方程的响应来得到系统的单位冲激响应h[n]。
在这个例子中，单位冲激响应是由δ[n]和2δ[n-1]线性叠加而成的。
《单位冲激函数》课件
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数是信号与系统课程中的重要概念之一。
它在信号处理和系统分析中起到了至关重要的作用。
本文将从单位冲激函数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和运用单位冲激函数。
单位冲激函数是一种理想化的信号，通常用符号δ(t)表示。
在数学上，单位冲激函数可以看作是在t=0时刻瞬间取得无限大值，其它时刻取值为0的函数。
单位冲激函数不是一个可测函数，但在信号处理中却有广泛的应用。
这是因为单位冲激函数具有许多重要的性质。
首先，单位冲激函数是一个偶函数。
也就是说，δ(t) =δ(-t)。
这个性质非常重要，它使得我们可以通过对单位冲激函数的一个半区进行分析，来得到整个函数的性质。
其次，单位冲激函数在任意时刻t≠0处的值都是0。
这个性质使得单位冲激函数在很多应用中能够起到集中能量的作用。
比如，如果我们用单位冲激函数来描述一个物体的冲击力作用，那么冲击力就只在短暂的瞬间时间内起作用，其他时间段力为0。
此外，单位冲激函数还具有面积为1的性质。
即∫δ(t)dt = 1。
这个性质使得单位冲激函数能够在频域中起到“单位”作用，即在频域上的响应等于输入信号在该频点上的幅度。
单位冲激函数在信号处理和系统分析中有着广泛的应用。
首先，单位冲激函数可以用来表示理论上的完美观测和测量。
在实际应用中，我们无法获得真正的冲激信号，但可以通过对实际信号进行采样来近似地获得冲激响应。
其次，单位冲激函数可以用来表示线性时不变系统（LTI系统）的冲激响应。
在信号和系统分析中，我们经常使用冲激响应来描述系统的性质。
当输入一个单位冲激函数时，系统的输出即为系统的冲激响应。
此外，单位冲激函数还可以用来求解微分方程和差分方程。
通过将微分方程转化为积分方程或差分方程，我们可以使用单位冲激函数来求解方程的解。
在频域分析中，单位冲激函数是非常重要的工具。
通过对输入信号和系统的冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频域响应。
而单位冲激函数则可以用来计算系统的频率特性、幅度频率响应和相位频率响应等。
单位冲激函数和冲击函数的区别
单位冲激函数和冲击函数是信号与系统理论中常见的两种函数形式，它们在控制理论、信号处理、电路分析等领域中有着重要的应用。
虽然它们在名称上非常相似，但它们的数学定义和物理意义却有着明显的区别。
本文将从数学定义、性质和应用等方面对单位冲激函数和冲击函数进行比较，帮助读者清晰地理解它们之间的区别。
一、单位冲激函数的定义和性质1.1 单位冲激函数的数学定义单位冲激函数通常用δ(t)来表示，其数学定义为：δ(t) = \begin{cases} 0, t\neq 0 \\ +\infty, t=0 \end{cases}单位冲激函数在t=0时取无穷大，在其他时刻取零。
在实际应用中，单位冲激函数常常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号。
1.2 单位冲激函数的性质（1）面积为1：单位冲激函数的面积为1，即∫δ(t)dt=1。
（2）零相位：单位冲激函数的频谱幅度恒为1，相位为0。
（3）与任意函数的卷积：单位冲激函数与任意函数f(t)的卷积满足δ(t)*f(t)=f(t)。
二、冲击函数的定义和性质2.1 冲击函数的数学定义冲击函数通常用u(t)来表示，其数学定义为：u(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ 1, t\geq 0 \end{cases}冲击函数在t=0时从0跃迁到1，表征了一个瞬时的冲击信号。
冲击函数也常被称为跃变函数。
2.2 冲击函数的性质（1）面积为½：冲击函数的面积为½，即∫u(t)dt=½。
（2）无相位：冲击函数的频谱幅度恒为1，相位不确定。
（3）与任意函数的卷积：冲击函数与任意函数f(t)的卷积满足u(t)*f(t)=∫f(τ)dτ。
三、单位冲激函数和冲击函数的区别3.1 数学定义的区别单位冲激函数在t=0时取无穷大，其他时刻取零；冲击函数在t=0时从0跃迁到1，其他时刻取1。
3.2 物理意义的区别单位冲激函数常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号，用于描述系统的冲击响应；冲击函数常被用于表示系统的跃变响应，表征系统由静止到激活的瞬时过程。
numpy 单位冲激函数
numpy 单位冲激函数在数学和工程领域中，经常会遇到单位冲激函数的概念，而Numpy是Python科学计算中最重要的工具之一，下面我将详细介绍Numpy中的单位冲激函数。
一、什么是单位冲激函数？1.1 概念：单位冲激函数是在数学和工程领域中的一个非常重要的基础函数，简称为Dirac Delta函数。
它用于描述一个短时间的、极强的、逐渐递减的信号，是瞬时信号的极限形式。
1.2 数学定义：单位冲激函数被定义为在自变量为0的位置上除了一个无穷大的数，其他所有位置上函数值都为0的函数。
这个无穷大数可以通过拟定极限的方式来定义。
二、Numpy中的单位冲激函数：在Numpy中，我们可以使用impulse()函数来快速生成单位冲激函数。
该函数可以生成一列长度为M的数字类型的单位冲激响应序列。
以下是impulse()函数的一般情况语法：numpy.impulse(M, dtype=<class 'float'>, axis=-1)其中，M是序列的长度，dtype是序列的数字类型，axis是序列的维度，缺省值为-1。
如果序列长度为1（即M=1），那么该序列只会包含一个值为1的元素。
下面是一个示例：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltM = 20n = np.linspace(-0.5, 0.5, M)imp_n = np.zeros(M)imp_n[M//2] = 1impulse_n = np.impulse(M)plt.stem(n, imp_n, use_line_collection=True)plt.stem(n, impulse_n, '--', use_line_collection=True)plt.show()在这个示例中，我们首先通过np.zeros()创建了一个大小为M的零向量，然后在这个向量中央的位置设置了一个值为1的元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
二、单位冲激函数的概念及性质
2. 单位冲激函数的性质
性质 (1) 筛选性质
P192
设函数 f (t) 是定义在 ( , ) 上的有界函数，
性质
8.1
且在 t 0 处连续，则 (t) f (t)d t f (0) .
一般地，若 f (t ) 在 t t0 点连续，则
(t t0 ) f (t )d t f (t0 ) .
P193 (2) 对称性质
性质
8.2
函数为偶函数，即 (t) (t) .
6
二、单位冲激函数的概念及性质
3. 单位冲激函数的图形表示
函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点
出发长度为 1 的有向线段来表示，其中有向线段的长度
e j( 0 )td t
2π (0 )
2π ( 0 ).
(2) 由 cos0t
1 2
(e j 0 t e j 0 t ) ，
F2 ( )
π
有 F2() [ f2(t)]
1 ( [ e j 0 t ]
2
0
[ e j 0 t ] )
[ f1(t)]
1 e j td t
2π ( ) 2π ( ) .
(2)
将等式
e j td t
2π ( )
的两边对
求导，有
( jt )e j td t
2π (),
t e j td t
t
d
t
e j t
1.
t0
即 (t ) 与 1 构成Fourier变换对 (t) 1.
(t)
[ (t )]
1
1
t
由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。
8
三、单位冲激函数的 Fourier 变换
按照 Fourier 逆变换公式有
0
π ( 0 ) π ( 0 ).
12
四、周期函数的 Fourier 变换
定理 设 f (z) 以 T 为周期，在 [ 0 , T ] 上满足 Dirichlet 条件，
P195 定理
则 f (z) 的 Fourier 变换为
8.3
F ( ) 2π F (n0 ) ( n0 ) .
上，则它的线密度函数为
Pa(x)源自m a 0,
,
0 xa, 其它.
质量为 m 的质点放置在坐标原点，则可认为它相当于 细杆取 a 0的结果。相应地，质点的密度函数为
P(x)
lim
a0
Pa
(
x
)
,
0
,
x 0, x 0.
显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 ,
代表 函数的积分值，称为冲激强度。
同样有，函数 A (t ) 的冲激强度为 A。
(t)
(t t0)
A (t)
1
1
A
t
t0 t
t
7
三、单位冲激函数的 Fourier 变换
利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： P194
[ (t )]
(t
)
e
j
n
其中，0 2π /T , F(n0 ) 是 f (z) 的离散频谱。
证明
由 f (t ) F (n0 )e jn0t 有
§8.2 单位冲激函数
一、为什么要引入单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
一、为什么要引入单位冲激函数
理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。
2π j (),
即得 F2() [ f2(t)] 2π j ().
10
P194 例8.8 修改
解 已知 [ sgn t ] 2 , jω
[ 1 ] 2π ( ) , 又 u(t) 1 (sgn t 1),
2
得 U ( ) 1 ( [ sgn t ]
2
u(t ) 1
t
[ 1] ) 1 π δ(ω).
jω
注 称 u(t) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。
11
P194 例8.7 部分
P195 例8.9
解 (1) F1()
[ f1(t)]
e j 0 t e j td t
重要公式 e j td 2π (t ) .
注 在 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
9
P194 例8.7 修改
解 (1) F1()
4
二、单位冲激函数的概念及性质
1. 单位冲激函数的概念 注 (1) 单位冲激函数 (t ) 并不是经典意义下的函数，而是一
个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 来使用它。
(2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。
(2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。
(3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。
2
一、为什么要引入单位冲激函数
引例
P191 例 8.5
长度为 a，质量为 m 的均匀细杆放在 x 轴的 [0 , a] 区间
3
二、单位冲激函数的概念及性质
1. 单位冲激函数的概念 定义 单位冲激函数 (t ) 满足： P192 (1) 当 t 0 时， (t ) 0;
(2) (t)d t 1.
单位冲激函数 (t )又称为 Dirac 函数或者 函数。
显然，借助单位冲激函数，前面引例中质点的密度函数 就可表示为 P( x) m ( x) .