冲激函数
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激信号是偶函数,冲激偶信号是奇函数
冲激函数既不是偶函数也不是奇函数.是一个非正常函数,某种极限函数。
冲激偶函数是奇函数，关于原点对称，在全时域对其积分为零，即正、负两个冲激的面积相互抵消。
所以说冲激函数是偶函数，冲激偶就是奇函数
信号的分解，可以分解为冲激函数和阶跃函数的卷积，只不过对于阶跃函数而言会有一个初值的问题，这个初值产生原因就在于其对信号分解可以看成冲激函数与信号卷积的微分和积分（微分分配给f，积分分配给冲激函数），无论是先微分或者先积分，都会存在一个常数是无法确切表示的，需要有初值条件，从频域分析时，是因为存在微分性质使用时要保证是没有直流分量
在频域分析时，同样我们可以的得到一个有趣的结论，可以将任意信号分解为该信号的基函数的幅频特性曲线必没有0点，进一步拓展，一个有限长的信号，一定不能作为基函数表示任意信号（在时域来看这是显然的）。
冲激函数和冲激响应.
我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反 映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应 后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
* §6－6 冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图6-38
在介绍冲激函数之前，先看图6-38(a)所示电路，开关
原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有
1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。
lim
0
P
(t
)
δ(t)
(6 34)
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们
用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
lim
0
h
()
lim 0
f '() g ' ()
lim 0
(1/
τ)e 1
τ
1 τ
(6 35)
因此，图6－42(f)的波形趋于指数波形
h(t
)
1
e
t
0
t0 t0
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
1.3_冲激函数
1
方法二： 0 0 1 f t(2t+2)反折 f (-2t+2)] .5 压缩 平移 f (t+2)
1
平移
2
t
另外应该还
方法三： f (t 方法一： 2) 压缩 f (2t) f (-2t)平移 f [-2(t-1)] 压缩 f (2t) 反折 1 f (2t 2) 平移 f [2(t+1)] 反折 f (-2t+2)
折叠信号的平移
f (t )
1
0
f (-t-1)= f [-(t+1)]将 已知 ff(t) 求 f (-t-1) (-t) 的波形向左移动 1。
f (t ) f (t 1)
平移
反折
1
平移
t
1
0
t
2
1
0
t
f (t 1)
1
0
反折
1
2
t
13
第一章第2讲
信号的平移与折叠
折叠信号的平移
任何偶函数的导数为奇函数。
第一章第2讲 5
举 例 1
下列各表达式中错误的是______ C 。
( A) ( B) (C ) ( D) (C )
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t )dt f (t0 ) f (t t0 ) (t t0 )dt f (0) f (t t0 ) (t )dt
1
0
平移 请同学们自己思考绘出图形。
1
0
t
0.5 0
第一章第2讲
冲激函数的一阶导数
冲激函数（也称为单位冲激函数或狄拉克冲激函数）用符号δ(t)表示。
它在t=0处为无穷大，其面积为1。
冲激函数的一阶导数是用导数的定义来理解，考虑极限：
δ′(t)=limΔt→0δ(t+Δt)−δ(t)
Δt
由于冲激函数在t=0处除了一个脉冲之外都是零，我们可以将这个极限化简为：
δ′(t)=limΔt→00−0
Δt
=0
因此，冲激函数的一阶导数是零，除了在t=0处的一个点外。
在这个点，导数未定义，因为冲激函数在t=0处不是光滑的。
需要注意的是，冲激函数和其导数在分布理论等数学领域有广泛的应用，但在普通函数的意义下，它们是一种广义函数，不容易在每个点上具有良好的定义。
冲激函数和冲激响应
h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 － 32)
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
1 s(t ) (1 e R
R － t L
) (t )
电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应
t t t ds(t ) 1 1 1 h(t ) (1 e L ) (t ) e L (t ) e L (t ) dt R L L R R R
R t L R
2002年春节摄于成都人民公园
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds ( t ) h (t ) dt
(8 31)
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
s(t ) (1 e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
t
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽 度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限
的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数
冲激函数和阶跃函数
冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数是数学建模中常用的两个非常重要的函数。
它们在信号处理、电路设计、控制系统等领域起着举足轻重的作用。
在本文中，我们将详细介绍冲激函数和阶跃函数的定义、性质以及其在实际应用中的意义。
首先，让我们来看看冲激函数。
冲激函数是一个在原点处取值无限大，在其他位置取值为零的函数。
它通常用符号δ(t)来表示，其中t为自变量。
冲激函数在时间域上的表示是一个瞬时的、无宽度的脉冲，因此也被称为单位冲击函数。
冲激函数在数学建模中用于描述突发事件或瞬间的冲击信号。
在信号处理中，冲激函数经常被用来分析系统的响应、频率响应、时域响应等。
冲激函数具有一些重要的性质。
首先，冲激函数满足单位面积的条件，即积分值为1。
其次，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。
再次，冲激函数具有平移不变性，即δ(t - a)表示将冲激函数在时间轴上向右平移a个单位。
最后，冲激函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理中非常重要。
接下来，我们来介绍阶跃函数。
阶跃函数是数学建模中常用的一种特殊函数，用符号u(t)来表示。
这个函数在t = 0时取值为0，在t > 0时取值为1。
阶跃函数在数学中用来描述突变现象，比如开关的启动和停止。
在电路设计和控制系统中，阶跃函数非常有用，通常用来描述信号的启动时间、响应时间等。
阶跃函数也有一些重要的性质。
首先，阶跃函数具有连续性，即在t = 0时函数值连续。
其次，阶跃函数是单调非减的，即随着时间的增加，函数值逐渐增加。
再次，阶跃函数在t = 0时的导数是冲激函数，即u'(t) = δ(t)。
最后，阶跃函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理和控制系统中也非常重要。
冲激函数和阶跃函数在实际应用中有着广泛的意义和指导作用。
在信号处理中，冲激函数可以用来分析复杂系统的频率响应、时域响应等，帮助工程师更好地理解系统的性质和行为。
冲激函数的特解范文
冲激函数的特解范文冲激函数是数学中的一种特殊函数，通常记为δ(t)，也称为Dirac函数。
它在数学分析和工程应用中非常有用，尤其在处理信号问题时。
冲激函数的特解即是求解线性时不变系统微分方程的一个方法，下面将详细介绍冲激函数的特解的基本原理和应用。
首先，我们来了解一下冲激函数的基本性质。
冲激函数δ(t)在t=0的时刻取无穷大，并且在其他时刻都为零。
在数学上，可以将冲激函数定义为满足以下两个性质的极限函数：1.函数在t=0时的值为无穷大，即δ(0)=∞。
2.对任意的t≠0，函数的值为零，即δ(t)=0。
在实际应用中，由于冲激函数的定义非常特殊，它不是一个常用函数，而是作为一种数学工具来使用。
因此，我们通常可以将冲激函数理解为一个脉冲信号，它的幅值非常短暂且极大，然后迅速衰减为零。
这种特性使得冲激函数成为处理信号问题的重要工具。
接下来，我们来探讨冲激函数的特解的应用。
在信号处理和系统分析中，我们经常遇到线性时不变系统的微分方程，例如:d^n y(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y(t) / dt^(n-1) + ... +a_0 y(t) = b_(n-1) d^(n-1) x(t) / dt^(n-1) + ... + b_0 x(t)其中，y(t)表示系统的响应，x(t)表示系统的输入信号，a_i和b_i表示系统的系数。
我们可以通过冲激函数的特解来求解这个微分方程。
假设系统的零状态响应为y_p(t)，那么系统的总响应为y(t)=y_p(t)+y_c(t)，其中y_c(t)是系统的零输入响应。
根据线性时不变系统的性质，我们可以将输入信号x(t)拆解为冲激函数的线性组合，即:x(t)=∫x(τ)δ(t-τ)dτ带入微分方程，我们可以得到:d^n y_p(t) / dt^n + a_(n-1) d^(n-1) y_p(t) / dt^(n-1) + ...+ a_0 y_p(t) = ∫ b_(n-1) d^(n-1) x(τ) / dt^(n-1) δ(t - τ)dτ + ... + b_0 x(t)根据冲激函数的性质，除了t=τ处的δ(t-τ)项之外，其他的冲激函数都为零。
冲激函数的卷积
冲激函数的卷积冲激函数（impulse function）是一种在数学和工程中经常出现的函数。
形式上，冲激函数是一个极小化了宽度但有无限高度的正态分布函数，通常表示为δ(t)。
冲激函数的主要特点是在t=0的地方等于无限值，且在其他地方都等于0。
当两个函数f(t)和g(t)做卷积运算时，结果可以写成下面的形式：f(t)*g(t) = ∫f(t-τ)g(τ)dτ在这个公式中，f(t)和g(t)可以是任何类型的函数，而τ是一个积分变量。
这个公式中包含的信息是f(t)的形状要和位于τ处的g(τ)的形状结合起来，可以想象它们的相对位置在不断地变化。
卷积运算的物理解释是将一个函数和一个滤波器（另一个函数）相乘，然后在一定时间内积分，得到的结果是输出信号。
在实际中，经常使用冲激函数来描述信号系统的行为。
因为冲激函数的一个重要特性是可以用来表示单位冲激响应函数（impulse response），即系统对单位冲激响应的输出。
另一个重要的特性是冲击函数具有筛选性质（selectivity property），即对于输入序列的每个分量，只有在t=0时能够对输出产生影响。
所以，当使用冲激函数对一个系统进行调试时，只需要生成一个单位冲激输入信号，通过观察系统的输出能够得到系统对每个分量响应的确认。
在卷积运算中，冲激函数具有独特的作用。
假设有一个函数f(t)，我们将它和冲激函数做卷积运算，可以得到下面的形式：f(t)*δ(t) = ∫f(t-τ)δ(τ)dτ根据冲激函数的定义，只有在τ=0时δ(τ)才会取得其最大值。
再根据卷积运算的定义，当τ=t时f(t-τ)等于f(0)，所以上式需要简化为：f(t)*δ(t) = f(0)这个结果非常有用。
它表示当一个信号与冲激函数做卷积运算时，得到的结果就是原始信号在t=0处的值。
这个性质在信号处理和控制系统设计中经常被用到。
举个例子，设有一个跃阶函数（step function）f(t)，其表达式为：f(t) = 1，t>=0； f(t) = 0，t<0将f(t)和冲击函数δ(t)做卷积计算，可以得到下面的公式：f(t)*δ(t) = ∫f(t-τ)δ(τ)dτ = ∫1δ(τ)dτ = 1结果是1，这意味着在t=0处，f(t)的值为1。
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一冲激函数的定义
在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。
对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。
1 单位冲激函数的普通数学定义
定义有多种方式，其中
定义1设有一函数P(t)
当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。
这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。
定义2 狄拉克（Dirac）定义
上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。
2 单位冲激函数的广义定义
选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为
式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数
空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。
根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若
就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。
按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式
定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。
如将(1)式中的函数看做广义函数，则有：
当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得
比较以上两式，得
按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:
δ(t)=高斯钟形函数
δ(t)=取样函数
δ(t)=双边指数函数
等等
而对于离散的δ[n]定义很简单:
δ[n]=1,(n=0)
δ[n]=0,(n 0)
二 冲激函数的性质 1.微分性质
冲激函数δ(t)的一阶导数
可定义为:
通常称δ‘
(t )为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示
冲激偶信号两个重要性质
n 阶导数为:
由于选好了性能良好的检验函数空间中，广义函数的各阶导数存在并属于缓增广义函数空间中，广义函数的求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算的限制，分析更加灵活简便。
2.积分性质
设有一广义函数G(t)的导数g(t)，就称G(t)是g(t)的原函数，令G(-)=0，则有G(t)=
这样δ(t)函数的积分就定义为δ(t)=
，
=
,
以上两式不能看作普通积分，这里仅仅是一种表示形式，它表明δ(t)的原函数是
o
t
(1)
(－1)
δ (t )′)
0(')()('x dt t x t -=⎰
∞
∞
-δ0
)('=⎰
∞
∞
-dt t δ
，的原函数是，当t时有=1，和=0
3.取样性质
根据函数的广义定义，可以推出下面公式:
f(0)为普通函数，即使f(t)是缓升的，只要f(t) 在t=0处连续，上式则成立，被称为函数的取样性质，即冲激函数从普通函数f(t)中选出函数值f(0)．也可以推出
4.移位性质
表示在t=0处的冲激，在t=处的冲激函数可表示为δ(t—)，式中的为常数，于是有
5.尺度变换
因=) ，令f(t)=1时f(0)=1 ，则有=类似地一阶导数有:=，n阶导数有:=。
6.奇偶性
在=中取a=-1，得这表明n为偶数时有，；当n为奇数时有即为奇函数。
三冲激函数的应用
1. 用冲激函数匹配法求系统的完全响应
例1.++3i（t）=+3e（t）其中e（t）=2u（-t）+4u（t）
系统完全解可写为：i（t）=（++4）u（t）
i（）=，=--3
=[ i（）- i（）]=（
=（）+[]=（+（--3）
以及（t）=2，（t）=2
在t=0处，将i（0），（0），及e（0），（t），（t）代入微分方程，有
（+ （--3）+ 4（=2
两边系数相等，就可得出=则i（t）=（+4）u（t）
2. 系统的单位冲激响应h（t）或h[n]
由于单位冲激函数的傅里叶变换为1，所以任何信号与冲激函数相卷积后仍为它本身，冲激信号可视为标准量单位“1”，而对于LTI系统，单位冲激响应h （t）就是某一特定系统的单位“1”。
若已知系统的单位冲激响应，则y（t）=h（t）*x（t），对于离散序列y[n]=x[n]*h[n] 若知道其傅里叶变换H（jw），则Y（jw）= H（jw）X（jw），对于离散序列Y（=H （X（
3. 信号的采样
若对某一连续时间信号x（t）以周期T进行采样，则采样后信号
（t）==
，=
根据对冲激函数的分析，可以得出，当>2时，采样后信号与没有发生混叠，加一滤波器后即可重建。
4. 利用冲激函数表示非周期信号
根据冲激函数的取样性质，任意信号x（t）可用
X（t）=
x[n]=
五用matlab求解某一系统的冲激响应
设某一LTI系统+4+3y=x（t）
Matlab代码如下：
sys=tf([1],[1,4,3]);
t=0:0.01:5;
y=impulse(sys,t);
plot(t,y);
grid on
图形如下：
总结
以上对单位冲激函数进行了比较科学的定义，并分析了其特性以及在在信号分析中的用途，冲激函数时很重要的一类函数，存在着极为广泛的用途。
参考文献：
于慧敏《信号与系统》第二版
奥本海默《信号与系统》
周锦诚《傅里叶级数与广义函数论》。