单位脉冲函数
信号与系统傅里叶变换对照表
信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。
下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。
频域表示，1。
2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。
频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。
频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。
频域表示，T sinc(fT)。
5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。
频域表示，T^2 sinc^2(fT)。
6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。
频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。
7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。
频域表示，1/(a+j2πf)。
8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。
频域表示，1/(j2πf) + 1/2。
9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。
频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。
以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。
傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。
已知系统函数求单位脉冲响应
已知系统函数求单位脉冲响应在信号与系统中，我们经常需要求解系统的单位脉冲响应。
单位脉冲响应是指，当输入信号为单位脉冲函数（即一个时间上的单位冲激）时，系统输出的响应函数。
单位脉冲函数可以表示为：$$\delta(t)=\begin{cases}0 & t<0 \\\infty & t=0 \\0 & t>0 \\\end{cases}$$$$x(t)=\delta(t)$$而对于一个线性时不变系统，其输出可以表示为输入信号和系统单位脉冲响应的卷积形式：因此，我们需要知道系统的单位脉冲响应$h(t)$才能求解输出信号$y(t)$。
现在，我们已知系统的传递函数，如何求解$h(t)$呢？有以下三种方法：1. 直接查表法对于某些常见的系统，如一阶低通滤波器、二阶带通滤波器等，其单位脉冲响应可以通过表格得到，因此使用直接查表法即可。
2. 法式求解法对于一般的系统，我们可以通过传递函数的拉普拉斯变换公式得到系统的单位脉冲响应。
具体来说，令传递函数为$H(s)$，则其拉普拉斯变换为：$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$此时，由于输入信号为单位脉冲函数$x(t)=\delta(t)$，因此有：$$X(s)=1$$因此，得到单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：接着，我们可以通过拉普拉斯反变换得到$h(t)$：需要注意的是，这种方法只适用于系统传递函数存在的情况。
如果传递函数不存在，则需要使用第三种方法。
3. 时域响应求解法对于某些系统，其单位脉冲响应可以通过时域求解方法得到，例如一阶线性微分方程、RC电路等。
对于一般的系统，我们可以将系统分解为一些易于求解的子系统，例如串联的线性时不变系统可以分解为一系列一阶系统，从而利用时域方法求解每个子系统的单位脉冲响应，最终得到整个系统的单位脉冲响应。
总之，对于求解系统的单位脉冲响应，我们可以采用直接查表法、法式求解法和时域响应求解法等方法，根据具体情况选择相应的方法进行求解。
6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
(t)
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
(t )dt =
f
0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
1.2_单位冲激函数
0
方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位脉冲函数 (t t0 ) 满足 (t t0 ) (t )d t (t0 ),
(t ) C 称为检验函数。 其中，
(返回)
n
T
2
f ( ) cn
n
e
j n0t
e j t d t
2π cn ( n0 ).
n
18
4
§1.2 单位脉冲函数 第 二、单位脉冲函数的概念及性质 一 章 1. 单位脉冲函数的概念 (t t0 ) 并不是经典意义下的函数，而是 注 (1) 单位脉冲函数 傅 里 一个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下 叶 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 变 换 来使用它。
t
16
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
e
j 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
e j t d t
j ( 0 ) t e d t 2 π (0 ) 2 π ( 0 ) .
§1.2 单位脉冲函数 第 一 章 傅 里 叶 变 换
§1.2 单位脉冲函数
一、为什么要引入单位脉冲函数 二、单位脉冲函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§1.2 单位脉冲函数 第 一、为什么要引入单位脉冲函数 一 章 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 傅 里 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 叶 变 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否
复变函数与积分变换 第8.2 单位脉冲函数
∫
+∞
∞
2π i nδ ( n ) (ω )e iω t dω
= ( 1)n i n ( it )n = t n ,
所以 F [t ] = 2π i δ
n n
(ω ).
例5 计算 F [cos ω 0 t ] 和 F [sin ω 0 t ]. 函数Fourier变换的 根据δ 函数 变换的时移和频移性质 变换的 解 运行下面的 变换的时移和频移性质 , 可得
1 1 e iω0t + F e iω0t F [cos ω 0 t ] = F 2 2
当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的 从而在 ≠ 时 由于 是不连续的, 是不连续的 普通导数意义下, 在这一点是不能求导数的. 普通导数意义下 q(t)在这一点是不能求导数的 在这一点是不能求导数的
如果我们形式地计算这个导数, 如果我们形式地计算这个导数 则得
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个 函数能够表示这样的电流强度. 函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电 流强度, 引进一称为狄利克雷(Dirac)的函数 简单 的函数, 流强度 引进一称为狄利克雷 的函数 函数: 记成δ-函数 函数
1 = 2π
1 ∫∞ [πδ (ω )] e dω + 2π
jω t +∞
+∞
∫
+∞
∞
1 jωt jω e dω
1 1 = + 2 2π
cos ω t + j sin ω t dω ∫∞ jω 1 1 +∞ sin ω t 1 1 +∞ sin ω t = + ∫∞ ω dω = 2 + π ∫0 ω dω 2 2π
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
F t I (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：
(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .
4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
1
2
2d
0
1
2
jd
1
2
2d
0
1
2
jd
d
1
2
jd
0
1
0 2
jd
0 .
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
由上面两个函数的变换可得
eitd t 2d ()
e d t i(0 )t
2d
(
0 )
注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
0
d
(t)d t
lim
0
1 dt 1
0
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质)
d (t) f
(t)d t
f
(0) 及
d (t
t0 )
f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f
t 为连续函数）
(2) d函数为偶函数，即d (t) d (t) .
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
单位脉冲函数
单位脉冲函数在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的定义定义1 如果函数)(t δ称满足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或者()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)(t δ为δ一函数.. 更一般的情况下,如果函数满足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或者()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，则称为)(a t -δ函数.在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分理解为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情况下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=110=⎰dt hh.一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:若()t f 为连续函数,则有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一般情况,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处连续.由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦构成了一个傅氏变换对.同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。
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上次课程回顾
1.0信号与系统 信号、系统的概念 1.1信号的描述和分类 确定信号与随机信号；连续信号与离散信
号；周期信号与非周期信号；能量信号 与功率信号 1.2信号的基本特性 时间、频率、能量和信息特性
2020/3/6
电子与通信工程系 Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
lim
0
d dt
(t)
d dt
δ函数的积分为单 位阶跃信号
阶跃信号的导
lim
0
(t
)
数为δ函数
δ
函
(t) lim
1
t2
e
d (t)
dt
数
0
的
(高斯函数序列 ）
其 他 定
(t) lim sin(t / ) 0 t
(取样函数序列)
第 1 章 信号与系统的基本概念 δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
2020/3/6
电子与通信工程系 Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
性质2 δ函数与普通函数f(t)相乘
普通函数
f (t
)f(t)(与t)广dt义函f数(δ0()t)的 乘 积(t)，d有t :
(t) (t)dt (0)
上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。 通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
2020/3/6
电子与通信工程系 Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
冲激信号的取样特性与筛选特性。
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列
离散时间单位阶跃序列定义为
(k)
(k
)
1
0
k 0 k0 1
…
－ 2－ 1 0 1 2 3 4
k
2020/3/6
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1.4.2 连续时间冲激信号
(t)
lim
0
p
(t)
1
p (t)
d dt
(t)
0
0t 其他
2020/3/6
图 1.4-3 单位冲激信号
（δ函数）
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1)冲激信号的定义
(t) lim 0
p (t)
2. 单位脉冲序列
第 1 章 信号与系统的基本概念
离散时间单位脉冲序列定义为
(k
)
1 0
k 0 k 0
((kt)
1
2020/3/6
－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3
k
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第 1 章 信号与系统的基本概念
因为只有当k=0时δ(k)的值为1，而当k≠0时δ(k)的值均为
注意Δ： (t) 信号ε(t) 在 t=0 处和ε((tt)-t0) 在 t=t0 处都是不连续(t－的0t) 。
1
1
1
oΔ
t
0 t 0
(a)
(t)
1
t
0t
2020/3/6 1 t
o
t
o
t0
t
(b)
(c)
图 1.4-1 单位阶跃信号
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后向差分
(k) (k) (k 1) (k)
k
(k) (n)
迭分
n
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5 系 统 的 描 述
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
输入f(t)
防混迭 滤波器
3. δ
性质1 δ函数的微分和积分
(t)(t)dt (1) (t)(t)dt (0)
式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
(′t)
(1 )
2020/3/6
o (－ 1)
t
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一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng[φ(t)] 的过程。
广义函数g(t)的定义为:
g(t) (t)dt N g [ (t)]
广义函数与普通函数的对应关系
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
广义函数的基本运算：
(1) 相等
若 N g1[ (t)] N g2[ (t)], 则定义 g1(t) g2 (t)
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数 奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.
普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t， 按一定的 运算规则 f 指定一个数值 y 的过程;
广义函数 g(t)：对试验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按
上次课程回顾
1.3信号的基本运算 相加和相乘 翻转、平移和展缩 导数和积分 差分和迭分
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4 阶跃信号和冲激信号
1它.4(们t.1)在阶连信l跃续im号信时0 与号间系和(阶t)统冲跃分激信析信10号中号((tt具是有描00))重述要一意类义特。定物(t理现t0象) 的 数10学tt模型tt，00
第 1 章 信号与系统的基本概念
应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：
f1(t)
f2(t)
f3(t)
sin 0t 1
1
sin 0t
1
o
t
o
t0
t
－ 2 － 10 1 2 3 t
－1
－1
－1
(a)
(b)
(c)
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分
f (t) '(t)dt f (0) '(t)dt f '(0) (t)dt f '(0)
同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
表明：单位冲(n激) (函t数) δ(t)(的偶1)阶n导(n数) (是t)t 的偶函数，
显然， 当n为而偶其数奇时阶，导数有是 t 的奇函数。
(n)(t) (n)(t)
当n为奇数时，有
(n) (t) (n) (t)
n 0,2,4, n 1,3,5,
零，所以任一序列 f(k) 与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其
幅值等于 f(k) 在 k=0 处的值，
f (k) (k) f (0) (k)
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
(，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(tt0)
的t=t0时刻，则积分结果必为零。
(t) (t)dt (0)
பைடு நூலகம்
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的 展缩特性将其化为1/|a| (t+b/a)形式后，方可利用
(0)
(t
)
(t
)dt
根据广义函数相等的定义，得:
f (t) (t) f (0) (t)
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念 性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 有
f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
A/D
数字处 理系统
D/A
信号处理系统
平滑滤 波器
输出
2020/3/6
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第 1 章 信号与系统的基本概念
1.5.1 系统模型
所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。 形式(以电系统为例)： 电路图 模拟框图 信号流图 数学方程 按照一定规则建立的用于描述系统特性－－－－－数学模型
1 a
1 an
(n)