冲激函数和冲激响应
冲激函数和冲激响应.
我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反 映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应 后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
* §6－6 冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图6-38
在介绍冲激函数之前，先看图6-38(a)所示电路，开关
原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有
1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。
lim
0
P
(t
)
δ(t)
(6 34)
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们
用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
lim
0
h
()
lim 0
f '() g ' ()
lim 0
(1/
τ)e 1
τ
1 τ
(6 35)
因此，图6－42(f)的波形趋于指数波形
h(t
)
1
e
t
0
t0 t0
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
冲击响应
系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联，框图表示：
h(t )
f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) * h1 (t )
g (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t )
可表示为:
e(t ) e(t ) (t )
三．利用卷积求系统的零状态响应
当一个信号作用于系统时，响应为
e( ) (t ) d r (t ) H e(t ) H e( ) H (t ) d 当系统为线性时
3. i ( t ) e( ) h(t ) d
e
1 2
i (t )
L 1H
u( ) u( 2) e ( t ) u(t ) d
e t e 2 u( )u( t )d e t e 2 u( 2)u( t )d
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。
四．卷积的计算
已知e( t ) e
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。 R 1 d i t 1．列写KVL方程 L Ri t et
t 2
2．冲激响应为
dt h( t ) e t u( t )
u (t )
H
g (t )
系统的输入 e t u t ，其响应为 r t gt 。系统方程的 右端将包含阶跃函数 ut ，t>0时输入不为0，所以其响应除 了齐次解外，还有特解项。
冲激响应计算公式
冲激响应计算公式冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统以及其他相关领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
本文将介绍冲激响应计算公式的基本概念和应用。
冲激响应计算公式通常用符号h(t)表示，其中t为时间。
它描述了系统对冲激信号的响应，即在系统输入信号为冲激函数时，系统的输出信号是如何变化的。
冲激响应计算公式是系统的重要特性之一，它可以帮助我们理解系统的动态响应和频率特性。
在计算冲激响应时，我们需要知道系统的输入输出关系以及系统的初始状态。
冲激响应计算公式可以通过卷积运算来实现，其数学表达式为：h(t) = ∫[g(tau) * delta(t - tau)] dtau其中，g(t)表示系统的单位冲激响应函数，delta(t)表示冲激函数。
公式中的卷积运算表示对两个函数进行积分，并将结果进行叠加。
冲激响应计算公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计数字滤波器、图像处理算法等。
在控制系统中，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计控制器的动态特性，如稳定性、响应速度等。
冲激响应计算公式还可以用于系统的频率特性分析。
通过对冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数。
频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以帮助我们了解系统的频率选择特性和滤波效果。
除了计算冲激响应，我们还可以通过观察系统的冲激响应来获取系统的信息。
例如，冲激响应的幅度可以告诉我们系统的增益特性，冲激响应的延迟时间可以告诉我们系统的时延特性。
通过分析冲激响应的形状和特性，我们可以对系统的性能和特性进行评估。
冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统等领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
通过计算冲激响应，我们可以了解系统的动态响应和频率特性，从而实现系统的优化和改进。
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨
《信号与系统》中冲激函数δ(t)的教学探讨作者：陈光红来源：《电脑知识与技术》2011年第25期摘要：通过对冲激函数δ(t)的工程定义、性质及由其引起的冲激响应h(t)等的分析，举例说明了与冲激函数相关的知识点及在运用时需注意的问题，并用三种方法求解冲激响应。
关键词：冲激函数δ(t)；冲激响应h(t)；傅立叶变换；拉普拉斯变换中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)25-6264-02Teaching Discussion of Dirac Delta Function in Information and SystemCHEN Guang-hong(Department of Electronic Information Engineering, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)Abstract: Definition and property of Dirac delta function is analyzed. Impulse response caused by Dirac delta function is introduced. Some examples are used to explain the notice. Three methods are used to solve the impulse response.Key words: Dirac delta function; impulse response; Fourier transform; Laplace transform信号与系统是通信技术和电子信息技术专业的一门核心课程。
冲激函数δ(t)是信号与系统中的重要信号，此信号本身有采样性质、偶对称性质等，由其衍生出的卷积性质、冲激响应等都是信号与系统中的重要知识点。
matlab 冲激函数
matlab 冲激函数冲激函数是信号处理中的一种基本函数，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在MATLAB中，冲激函数可以通过使用impulse函数来实现。
本文将从冲激函数的定义、性质和应用角度进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用冲激函数。
冲激函数是一种特殊的信号，其定义如下：在时间原点处取值为无穷大，其他时刻取值为零。
冲激函数可以用符号δ(t)表示，其中t 代表时间。
在MATLAB中，我们可以使用impulse函数来生成冲激函数的离散表示。
冲激函数具有一些重要的性质。
首先，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。
这是因为冲激函数在时间原点处对称，不受时间的正负影响。
其次，冲激函数的积分在整个时间轴上等于1，即∫δ(t)dt = 1。
这是因为冲激函数在时间原点处取值为无穷大，但其面积是有限的，等于1。
此外，冲激函数与其他函数的卷积运算可以用来计算函数的响应，这在信号处理中具有重要的应用。
冲激函数在信号处理中有广泛的应用。
其中之一是用冲激函数来描述系统的冲激响应。
系统的冲激响应是指当输入信号为冲激函数时，系统输出的响应。
通过计算系统的冲激响应，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应特性。
在MATLAB中，可以通过conv函数将输入信号与冲激响应进行卷积运算，从而得到系统的输出信号。
另一个应用是使用冲激函数来表示信号的频谱。
频谱是信号在频域上的表示，它描述了信号在不同频率上的能量分布。
对于一个时域上的信号，可以通过将其与冲激函数进行卷积运算，然后进行傅里叶变换，得到信号的频谱表示。
在MATLAB中，可以使用fft函数进行傅里叶变换，得到信号的频谱。
冲激函数还可以用于信号的采样和重构。
在数字信号处理中，信号通常是以离散的形式进行处理和存储的。
采样是指将连续时间上的信号转换为离散时间上的信号，而重构是指将离散时间上的信号还原为连续时间上的信号。
在MATLAB中，可以使用impulse函数生成冲激函数的离散表示，然后进行采样和重构操作，以实现信号的数字化处理。
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
用冲激函数匹配法求冲激响应
用冲激函数匹配法求冲激响应一、引言冲激响应是线性时不变系统的重要特性之一，它描述了系统在接受一个单位冲激信号时的输出响应。
在信号处理、控制系统等领域中，冲激响应的求解是非常重要的问题。
本文将介绍一种常用的方法——冲激函数匹配法，用于求解线性时不变系统的冲激响应。
二、冲激函数匹配法原理1. 线性时不变系统首先，我们需要明确什么是线性时不变系统。
线性时不变系统是指其输入与输出之间存在线性关系，并且其特性参数（如增益、相位等）与时间无关。
这类系统可以用微分方程或差分方程来描述。
2. 冲激函数接着，我们需要介绍什么是冲激函数。
在信号处理中，冲激函数通常指单位冲击函数，记作δ(t)。
它满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$$$$\delta(t)=0, t\neq 0$$$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)$$其中第三个条件称为采样定理。
3. 冲激响应对于一个线性时不变系统，其冲激响应h(t)定义为其接受单位冲激信号δ(t)后的输出响应。
即：$$h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\tau)x(t-\tau)d\tau$$其中x(t)为输入信号。
4. 冲激函数匹配法冲激函数匹配法是一种常用的求解线性时不变系统冲激响应的方法。
其基本思想是将输入信号x(t)表示为若干个单位冲击函数的线性组合，然后利用线性时不变系统的可叠加性质，将每个单位冲击函数的输出响应相加得到总的输出响应。
具体而言，设输入信号x(t)可以表示为：$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\delta(t-kT)$$其中T为采样周期，a_k为系数。
则有：$$h(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kh_k(t)$$其中h_k(t)为系统接受单位冲击函数δ(kT)后的输出响应。
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h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 － 32)
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
1 s(t ) (1 e R
R － t L
) (t )
电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应
t t t ds(t ) 1 1 1 h(t ) (1 e L ) (t ) e L (t ) e L (t ) dt R L L R R R
R t L R
2002年春节摄于成都人民公园
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds ( t ) h (t ) dt
(8 31)
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
s(t ) (1 e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
t
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽 度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限
的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数
1 u (t ) e 0
' C t
( t )
uS ( )d
(8 38)
考虑到电容电压uC(t)的零输入响应
'' uC (t ) uC (0)e t τ
(8 39)
根据线性电路的叠加定理可以求得电容电压uC(t)的全
响应为
" ' u C (t ) u C (t ) ＋u C (t ) u C (0)e t t 0
ds (t ) h(t ) dt d[(1 e
t RC
) ε (t)]
t t
dt
t RC
(1 e
1 RC 1 RC )δ (t ) e ε (t ) e ε (t ) RC RC
由于t=0时，
(1 e
t RC
)0
而t 0时，(t)=0，因此得到，
iS ( )d
(8 41)
其中第一项是电感电流 iL(t) 的零输入响应，第二项是
电感电流iL(t)的零状态响应，时间常数是=GoL=L/Ro。
例8-17 电路如图8-44(a)所示，试求电感电流和电感电压的 阶跃响应和冲激响应。
图8-44
解：用三要素法先求出电感电流iL(t)的阶跃响应
uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。
q( t ) 1 t u C (t ) iS (t )dt 2 (t 5) V C 5
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电
容电压发生2V的跃变，由uC(5-)=0V跃变到uC(5+)=2V。
1 τ
(8 35)
因此，图8－42(f)的波形趋于指数波形
t0 t0 (8 36)
如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式
(8-36)写为下式
t
h(t )
1
e (t )
(8 37)
从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是
给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)， 即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响 应实际上是这些初始储能引起的零输入响应。 我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反
图8－39 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之 存在以下关系
dε (t ) δ (t ) dt ε (t ) δ ( )d
- t
(8 29) (8 30)
二、冲激响应
单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的
冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激
利用电感电压电流关系可以求出电感电压uL(t)的冲激 响应
diL (t ) u L (t ) L e dt
压uL(t)的冲激响应为
R t L
R (t ) e L
R t L
(t )
令含有冲激函数(t)的第一项中的t=0，得到电感电
R h(t ) (t ) e L
R t L
映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应
后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
例如对于图8－43(a)所示线性时不变RC一阶电路，初 始条件为零，即uC(0)=0时，在任意波形uS(t)激励下，电容
电压uC(t)的零状态响应可以通过以下积分求得
1 e
( t )
uS ( )d
(8 40)
图8－43 (a),(b) 含一个电容的一阶电路 (c),(d) 含一个电感的一阶电路
与此相似，RL并联一阶电路在任意波形电流源uS(t)作 用下，其电感电流的全响应为
t 0
1 e
( t )
(t )
电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出电感电 压uL(t)的阶跃响应
R － t L
s(t ) e
(t )
然后再对时间求导得到电感电压uL(t)的冲激响应
ds (t ) h(t ) dt R Lt e (t ) e (t ) L t R R L (t ) e (t ) L
奇异值 δ (t ) ＝ 0 ε 1 δ (t )dt 1 ε 2 t 0 t0 ε 1 0, ε
2
(8 28) 0
当图8-38(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上 移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增 加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)。
冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图8-38
在介绍冲激函数之前，先看图8-38(a)所示电路，开关 原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将 有1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压 逐渐达到uC1()=uC2()=1V。 当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷 移动所形成的电容电流iC(t)，如图(c)和(e)所示。
例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式8-28，所产生的
冲激电流应该表示为
iS (t ) 10 δ (t 5)A
这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10库 仑的电荷，使 1F 电容 C2 的电压压发生 10V 的跃变，由
0
图8-42
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我 们用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
τ
f ' ( ) (1 /τ )e lim h ( ) lim ' lim 0 0 g ( ) 0 1
1 t e h(t ) 0
由图8-38可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、 0.5时，uC2(t)和iC(t)的波形如图所示。注意到电容C1上移
动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电
流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即
Q
0
iC
(t )dt
0
R e 0.5 R dt 0.5 2 1C S U
(1 e
t RC
) δ (t )＝0
最后得到图8-40所示RC串联电路电容电压的冲激响应。
与此相似，可以得到图8-41所示RL并联电路中电感电
流的冲激响应。
图8－40
图8－41
1 h (t ) e RC
t RC
ε (t )
R h(t ) e ε (t ) L
R t L
以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：