系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
信号与系统习题
对它的数学描述是------------------------------------------------------。
14)信号的时域平移不影响信号的FT的-----------------，但是会影响到-----------------------。
[G (t)]= [ （详见教材52页）
根据频谱搬移特性 [f (t) ]= ，
[G (t) ]= {[ }
六、
1．画出Sa(t)及其FT的波形
解答略
2．画出矩形信号 (t)及其FT的波形
解答略
3已知连续信号x(t)=sint+sin3t,采样频率 =3rad/s，试画出连续信号各分量以及采样信号的波形。
8）正弦信号的频率与角频率的关系是：角频率是频率的倍。
9）如果信号是余弦信号，并且可以用 来表示，那么信号的角频率为--。
10）信号处理就是对信号进行、--、、-等等。提取,变换,分析,综合
11）指数信号的一个重要性质是它的积分、微分仍然是。
指数形式
12）单位斜变信号的微分是-。单位阶跃信号
13）单位冲击信号在自变量由负无穷到正无穷上的积分为1-。
（2）将信号 搬移到nT处，即得 。
（3）将信号 以T为周期进行重复（或者延拓）
（4）对信号 以T为周期进行理想采样，得到一系列冲击值。
（5）筛选出信号 在nT处的值
（6）把信号 在所有时间值为T的整数倍处的取值加起来，即
第3章
一、判断题：
1．拉普拉斯变换满足线性性。正确
2．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。正确
（幅度谱相位谱）
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统(带答案)
第一套第1题，下列信号的分类方法不正确的是（A）A、数字信号和离散信号B、确定信号和随机信号C、周期信号和非周期信号:D、因果信号与反因果信号第2题，以下信号属于连续信号的是（B）A、e-nTB、e-at sin(ωt)C、cos（nπ）D、sin（nω0）第3题，下列说法正确的是（D）A、两个周期信号x(t)，y(t)的和x(t)+y(t)一定是周期信号。
B、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和2开根号，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
C、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和Pi，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
D、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和3，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
第4题，将信号f(t)变换为( A ) 称为对信号f(t)的平移或移位。
A、f(t-t0)B、f( k -k0)C、f(at)D、f(-t)第五题，下列基本单元属于数乘器的是（A ）A、B、C、D、第六题、下列傅里叶变换错误的是（D）А.1<-->2πδ(ω)B.ejω0t<-- > 2πδ(ω-ω0 )С.соѕ(ω0t) < -- > π[δ(ω-ω0 ) +δ (ω+ω0 )]D. ѕіn(ω0t)<-> jπ[δ(ω+ω0)+ δ(ω- ω0)]第7题、奇谐函数只含有基波和奇次谐波的正弦和余弦项，不会包含偶次谐波项。
(对)第8题、在奇函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（错）第9题、满足均匀性和____条件的系统称为线性系统。
（叠加性）第10题.根据激励信号和内部状态的不同，系统响应可分为零输入响应和__响应（零状态）第二套1、当周期信号的周期增大时，频谱图中谱线的间隔( C)A:增大B:无法回答C:减小D:不变2、δ(t)的傅立叶变换为( A)。
A:1B: u(t)C: 0D:不存在3、已知f(t),为求f(3-2t)则下列运算正确的是(B)A:f(-2t)左移3/2B:f(-2t)右移3/2C:f(2t)左移3D:f(2t)右移3 ,4、下列说法不正确的是(D)。
冲激响应和零状态响应的关系
冲激响应和零状态响应的关系以冲激响应和零状态响应的关系为标题，我们需要先了解什么是冲激响应和零状态响应。
冲激响应是指系统对于一个单位冲激信号的响应，也就是系统在接收到一个瞬间的冲击信号后，输出的响应信号。
而零状态响应则是指系统在没有输入信号的情况下，输出的响应信号。
在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波处理，以去除噪声或者提取信号中的某些特征。
而滤波器的设计和分析中，冲激响应和零状态响应是非常重要的概念。
我们来看一下冲激响应和零状态响应的关系。
在一个线性时不变系统中，任何输入信号都可以表示为一系列冲激信号的线性组合。
也就是说，任何输入信号都可以看作是一系列冲激信号的叠加。
因此，系统对于任何输入信号的响应都可以看作是对于一系列冲激信号的响应的叠加。
在这个过程中，我们可以将系统的响应分解为两个部分：零状态响应和零输入响应。
其中，零状态响应是指系统在没有输入信号的情况下，输出的响应信号；而零输入响应则是指系统对于一个初始状态的响应，也就是系统在接收到一个初始状态信号后，输出的响应信号。
因此，我们可以将系统的响应表示为：y(n) = yzs(n) + yzi(n)其中，yzs(n)表示系统的零状态响应，而yzi(n)表示系统的零输入响应。
接下来，我们来看一下冲激响应和零状态响应的关系。
在一个线性时不变系统中，系统的冲激响应可以表示为系统的单位冲激响应函数h(n)。
也就是说，系统对于任何输入信号的响应都可以表示为输入信号和单位冲激响应函数的卷积。
因此，我们可以将系统的响应表示为：y(n) = x(n) * h(n)其中，*表示卷积运算。
在这个过程中，我们可以将系统的响应分解为两个部分：零状态响应和零输入响应。
其中，零状态响应是指系统在没有输入信号的情况下，输出的响应信号；而零输入响应则是指系统对于一个初始状态的响应，也就是系统在接收到一个初始状态信号后，输出的响应信号。
因此，我们可以将系统的响应表示为：y(n) = yzs(n) + yzi(n)其中，yzs(n)表示系统的零状态响应，而yzi(n)表示系统的零输入响应。
信号与系统试题库整理
信号与系统试题库整理 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】信号与系统试题库一、选择题共50题1.下列信号的分类方法不正确的是（A）：A、数字信号和离散信号B、确定信号和随机信号C、周期信号和非周期信号D、因果信号与反因果信号2.下列说法正确的是（D）：A、两个周期信号x(t)，y(t)的和x(t)+y(t)一定是周期信号。
B、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和2，则其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
C、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和 ，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
D、两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为2和3，其和信号x(t)+y(t)是周期信号。
3.下列说法不正确的是（D）。
A、一般周期信号为功率信号。
B、时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。
C、ε(t)是功率信号；D、e t为能量信号;4.将信号f(t)变换为（A）称为对信号f(t)的平移或移位。
A、f(t–t0)B、f(ｋ–k0)C、f(at)D、f(-t)5.将信号f(t)变换为（A）称为对信号f(t)的尺度变换。
A、f(at)B、f(t–k0)C、f(t–t0)D、f(-t)6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（B）。
A 、)()0()()(t f t t f δδ=B 、()t aat δδ1)(=C 、)(d )(t t εττδ=⎰∞-D 、)()-(t t δδ=7.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（D ）。
A 、⎰∞∞-='0d )(t t δB 、)0(d )()(f t t t f =⎰+∞∞-δC 、)(d )(t tεττδ=⎰∞-D 、⎰∞∞-=')(d )(t t t δδ8.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（B ）。
A 、)()1()()1(t f t t f δδ=+B 、)0(d )()(f t t t f '='⎰∞∞-δC 、)(d )(t tεττδ=⎰∞-D 、)0(d )()(f t t t f =⎰+∞∞-δ9.)1()1()2(2)(22+++=s s s s H ，属于其零点的是（B ）。
零状态响应和冲激响应的关系(一)
零状态响应和冲激响应的关系(一)
零状态响应和冲激响应的关系
概述
•零状态响应和冲激响应是信号处理领域中常用的概念，用于描述系统的特性和性能。
•零状态响应和冲激响应之间存在一种紧密的关系。
零状态响应（Zero-state response）
•零状态响应指的是系统在初始时刻，不考虑任何历史输入的情况下的输出响应。
•零状态响应只考虑当前输入对系统的影响，与系统的历史输入序列无关。
冲激响应（Impulse response）
•冲激响应是指系统对单位冲激信号的响应。
•单位冲激信号是一个幅度为1、持续时间极短的信号，代表了一个瞬时的能量输入。
关系解释
1.零状态响应可以通过冲激响应进行叠加得到。
–当系统的输入信号为冲激响应的线性叠加时，系统的输出信号可以表示为各个冲激响应与对应冲激信号的乘积之和。
–这种叠加原理可以用数学公式来表示：系统的输出信号 = 输入信号与冲激响应的卷积运算。
2.冲激响应是系统的特征函数。
–冲激响应可以反映出系统对输入信号的时域和频域特性，从而描述了系统的动态特性。
–通过对冲激响应的分析，可以了解系统的稳定性、时延、幅频特性等重要信息。
总结
•零状态响应和冲激响应之间具有密切的联系和重要的应用价值。
•通过对零状态响应的叠加或对冲激响应的分析，我们可以深入了解系统的特性和性能，对信号处理领域的研究和实际应用具有重
要意义。
第二次信号与系统作业答案
下半年信号与系统作业1一、判断题：1．拉普拉斯变换满足线性性。
正确2．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。
正确 3．冲击信号的拉氏变换结果是一个常数。
正确 4．单位阶跃响应的拉氏变换称为传递函数。
错误二、填空题1．如果一个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为 全通系统 。
2．单位冲击信号的拉氏变换结果是 ( 1 ) 。
3．单位阶跃信号的拉氏变换结果是 (1 / s) 。
4．系统的频率响应和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的s 因子用j ω 代替后的数学表达式。
5．从数学定义式上可以看出，当双边拉氏变换的因子s=j ω时，双边拉氏变换的就变成了傅立叶变换的定义式，所以双边拉氏变换又称为 广义傅立叶变换 。
6、单边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:.7、双边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:.三、计算题 1. 求出以下传递函数的原函数 1）F （s ）=1/s 解：f (t)=u(t) 2）F(s)=11+s 解：f (t)=e -tu(t)3）F(s)=)1(12-s s解：F(S)=)1(12-s s =)1)(1(1+-s s s =)1(5.0-s +)1(5.0+s -s1F(t)=0.5e-tu(t)+ 0.5e -t u(t)-U(t)2．根据定义求取单位冲击函数和单位阶跃函数的拉氏变换。
解：L[δ(t)]= ⎰+∞∞-δ(t) e -st dt=1L[u(t)]= ⎰+∞∞-u(t) e -stdt=⎰+∞∞- e -st dt=s13、已知信号)(t f 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=21s，试求)0(f =？ )0(f =lim 0→t )(t f =lim ∞→s S ·F(s)=lim∞→s 2ss =0 4、已知信号)(t f 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=)100010()10)(2(2++++s s s s s ，试求)(∞f =？ 由终值定理)(∞f =lim 0→s SF(s)=lim→s s)100010()10)(2(2++++s s s s s =0.025、求)()(3t u t t f =的拉氏变换答：L[)(t f ]=46s(Re(s)>0)一、判断题（1）如果x(n)是偶对称序列，则X(z)=X(z -1)。
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2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应
信号分解为冲激信号之和：
求和变积分
e(t) t1
e(t1 )
t1
e(t)
lim
t1 0
e(t1 )t1
t1
(t
t1 )
e( ) (t )d
t1 d t1
e(t1)t1 (t t1) e(t1)t1h(t t1)
f (t)
f1(1) (t) *
f2(1) (t)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1）与冲激函数卷积
1. f (t) * (t) (t) * f (t) ( ) f (t )d f (t)
某函数与冲激函数的卷积是其本身
2. f (t) * (t t0) (t t0) * f (t)
t
t
f1() * f2 ()d f1() * f2 ()d
t
f2 () * f1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t)
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
r(t)
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
r(t) e( )h(t )d
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
k 0,e(k)
n k
0k
n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
•两有限长序列的卷积和也是 有限长的序列
•序列长度---->序列值不为零的个数
•卷积和的序列长度＝两序列长度之和－1 L=L1+L2-1
三、列表法：卷积的数值计算
Hale Waihona Puke h(t)f2(n) E(t)
f1(n) 1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
四、解析法
例如：已知系统的单位样值响应 h(n) anu(n) 激励 x(n) bnu(n) a b
(
t0 )
f
(t
)d
f (t t0 )
函数与冲激函数时移相卷积的结果相当于把函数本身时移
3.
f (t t1) * (t t2 ) (t t1) * f (t t2 ) f (t t1 t2 )
*
＝
*
*
t1
＝
t0
＝
t2
t0 t1+ t2
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
f1(t)
f1(t)*f2(t)
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
y1(t) f1(t) h(t)= =
y1(t)
f2(t)*f3(t)
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
（1）微分：两个函数相卷积后的导数等于其中一个函 数的导数与另一个函数的卷积
d dt
[
f1(t)
*
f2(t)]
f1(t)
e(t)为激励系统的零状态响应
r(t
) lim t10 t1
e(t1)t1h(t t1)
卷积积分公式( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
卷积公式表明：
其中，为积分变量，t为参变量
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
任意两个函数卷积积分
3.4 图解法、列表法、解析法
•L=L1+L2-1
作业：1-9, 2-1(1) ,2-3, 2-15(2),2-16(1) 作业：2-4(1) (3)
作业：2-6(1) (4),2-10, 2-12(d)
作业：2-7, 2-14(2) (3)(6), 2-17(1) 2-18(2)
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
满足交换律、分配率、结合律
(3)性质---与(n)的卷积和 f (n) (n) (n) f (n)
(k ) f (n k ) k 0时， (k ) 1 k
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
f (t) * (t t0 ) (t t0 ) * f (t) f (t t0 )
f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 )
3.3 卷积和定义
r(n) e(n) * h(n) e(k )h(n k ) k
h(t)
单位样值响应h(n)：
（n）
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
求零状态响应 y(n) ?
解: y(n) x(n) * h(n)
x(n)和h(n)均为因果信号
n
n
y(n) x(k)h(n k) bk ank
k 0
k 0
n
an ( b )k
an
1
(
b a
)n1
k 0
a
1
b a
an1 bn1 u(n) ab
第二章 连续时间系统的时域分析方法 主 要内容
s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t) * '(t) f '(t) * (t) f '(t)
（3）与阶跃函数u（t）的卷积 卷积的积分性质
f (t) *u(t) f 1(t) * (t) f 1(t) t f ()d
应用：函数与奇异信号的卷积与下式结合紧密
(5)积分：计算积分 f1 ( ) f2 (t )d ，f1()与f2(t－)乘
积曲线下的面积为t时刻卷积值。
卷积图解实例
2.4.3卷积的性质
一、卷积的代数性质
二、卷积的积分和微分
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
一、卷积的代数性质
卷积运算是一种代数运算，与乘法运算的某些
性质相同 1、交换律
f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)
*
df2 (t dt
)
df1(t) * dt
f2 (t )
证：
d
d
dt [ f1(t)* f2 (t)] dt
f1
f2t
d
f1
(
)
d dt
f2 (t
)d
f1(
)
d
d(t
)
f2 (t )d
d f1(t) * dt
f2 (t)
同理可证：左边＝
df1(t) dt
*
f2 (t )
（2）积分：两个函数相卷积后的积分等于其中一个 函数的积分与另一个函数的卷积
f (n)
推广： f (n)* (n n1) (n n1)* f (n) f (n n1)
f (n n1)* (n n2 ) (n n1)* f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
f (t)
f1(1) (t) *
f
( 1) 2
(t
)
d dt
f1 t *
t
f 2 ( )d
§2.5 卷积和—已知单位样值响应， 求系统零状态响应 一、 卷积和定义
e(n)
r(n) e(n)*h(n)
h(n)
e(n) e(k) (n k) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
1 求微分(差分）方程的解——求时域响应
全解 齐次解 + 特解
经典解法
零输入响应 +零状态响应
连续系统解的形式：
n
r(t )
ci eit rf (t )
i 1
离散系统解的形式：
n
r (t )
ci
n i
rf
(t )
i 1
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
则：f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 证明：f1(t t1) * f2 (t t2 )
f1(t)* (t t1)* f2 (t)* (t t2 ) f1(t) * f2 (t) * (t t1) * (t t2 ) s(t) * (t t1 t2 )