第六章 频响函数脉冲响应函数
求得： 0
1 A mq
故在单位脉冲力作用下，图示系统的脉冲响应函数为
1 pt e sin qt h(t ) mq 0 (t 0) (t 0)
6-3单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
频率响应函数H(ω)描述了系统对单位简谐输入的响应 脉冲响应函数h(t)描述了系统对单位脉冲输入的响应 两者分别在频域和时域描述了系统的动态特性。
H ( )
1 k m 2 jc
k m 2 c j 2 2 2 (k m ) (c ) (k m 2 ) 2 (c ) 2 y (t ) y0 H ( ) (cos j sin ) x(t ) x0
H ()
tan
cy ky x(t ) m y
( j )2 my0e j (t ) jcy0e j (t ) ky0e j (t ) x0e jt (k m 2 jc ) y0e j (t ) x0e jt
y0 e
j (t )
x(t )dt I (t )dt I
“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。
y(t ) H () x(t )
则输出简谐分量y(t)又可表示为
y (t ) H ( ) 1 X ( )d e jt 2
所以X(ω)、Y(ω)和H(ω)三者之间的重要关系式为
Y ( ) H ( ) X ( )
or
Y ( ) H ( ) X ( )
Y ( ) H ( ) X ( )
单位脉冲输入 脉冲响应函数
h(t ) dt 0
x(t ) (t ) y (t ) h(t )
分别作傅里叶变换
X ( ) x(t )e
jt
dt (t )e jt dt 1
Y ( ) y(t )e
jt
方程的位移响应 y(t) 就是脉冲响应 函数 h(t) 。当 t>0 时上式变为
my cy ky 0
my cy ky 0
这是弹簧—质量系统的有阻尼自由振动微分方程。表 示衰减振动，在小阻尼情况下，其通解为
y(t ) Ae pt sin(qt )
p k m
q 1 2 p
x(t ) x0 sin t
y(t ) y0 sin(t )
x(t ) x0 sin t
y(t ) y0 sin(t )
将输入简谐函数表示为复指数
x(t ) x0e jt
稳态输出则可表示为复数H(ω)与输入x0ejωt的乘积
y(t ) y0e j (t ) y0e j e jt
dt h(t )e jt dt
对于非周期输入信号 x(t) ，可将其利用傅立叶变换展 成一系列谐和分量之和。分别考虑各个谐和分量对系 统的作用结果，然后把它们叠加起来，就得到系统的 总响应。 对于任意输入信号 x(t) ，其频谱 X(ω) 连续变化，取其 由ω到ω＋ dω频带内的频率分量 X(ω) dω讨论，与之 对应的在同一频带内的输出y(t)的频率分量为Y(ω) dω
频响函数： H ( )
1 k m 2 jc
k m 2 c j 2 2 2 (k m ) (c ) (k m 2 ) 2 (c ) 2 A( ) jB( )
实部A(ω)和虚部B(ω)皆为实函数，它们与ω的关系曲 线分别称为频率响应函数的实频特性和虚频特性。
k m 2 jc 1 y (t ) x(t ) 2 k m jc 1 j y0 e x0 2 k m jc
1
x0 e jt
y (t ) y0 e j y0 1 H ( ) (cos j sin ) x(t ) x0 x0 k m 2 jc
c k 2p 2 m m
c 2 km
两种初始条件分别为： (1)当t≤0时，系统是静止的 y(0 ) y(0 ) 0 (2) 在 t=0 的邻域内，单位脉冲力 δ(t) 引起 位移与速度:
y(0 ) 0
1 y (0 ) m
pt
y(t ) Ae
sin(qt )
1 pt e sin qt h(t ) mq 0 (t 0) (t 0)
可证明上述两式分别为傅立叶变换对
6-4 卷积定理
本章1－2节讨论了系统对单位简谐激励和单位脉 冲激励的响应。以此为基础应用频率响应法或脉冲 响应法分析线性系统对任意输入的响应。
y(t ) H () x0e jt
y0 j e x0e jt x0
H(ω)又可写成复指数形式
H () H () e j
|H(ω)|表示复数H(ω)的模，φ表示其幅角。于是:
y(t ) y0e jt y0e j e jt
y(t ) H () x0e jt
系统的线性假设可以使问题的分析大为简化，当系 统受到联合激励时，可以分别确定各个激励单独作用 时引起的响应，然后把它们叠加起来，便得到系统的 总响应。 常参数线性振动系统的运动可用常系数线性微分 方程来描述。 单自由度系统可用一个二阶常微分方程来描述； 多自由度系统则需用多个互相耦合的二阶常微分 方程来描述，其方程个数与自由度数相同。
激励x(t)可能是力、位移、速度或加速度等； 响应y(t)可能是力、位移、速度、加速度或应力等。
§6-1
频率响应函数
对常参数线性振动系统，采用频率响应法或脉 冲响应法来确定响应与激励之间的关系非常方便 ，上述两种方法中的频率响应函数与脉冲响应函 数互为傅里叶变换的关系。 频率响应法是描述线性系统动态特性的一种常 用方法。 对于常参数线性系统，当激励是稳态简谐输入 时，其稳态响应也一定是具有相同频率的简谐输 出，但其幅值和相位有所改变：
cy ky x(t ) m y
位移 y(t) k c 力 x(t)
对恒幅的正弦激励 x(t)=x0sinωt ，稳态响应是具有相 同频率的恒幅正弦波，但相位滞后φ角，即 y(t)=y0sin(ωt-φ) 设： x(t ) x0e jt 带入方程：
y(t ) y0e j (t )
对应简谐分量输入的时域波形
1 x(t ) X ( )d e jt 2 1 Y ( )de jt 2
与此简谐输入相对应的简谐输出的时域波形
y (t )
1 x(t ) X ( )d e jt 2
1 y (t ) Y ( )de jt 2
对于简谐输入x(t)=x0ejωt来说，与其相应的输出为
1 (k m 2 ) 2 (c) 2
c k m 2
H(ω)的模与相位分别称为幅频特性和相频特性。
6-2 单位脉冲响应函数
除了频率响应函数(对单位简谐输入的响应)也可以 用脉冲响应函数来描述系统的动态特性，它定义为系 统对单位脉冲（即冲量）输入的瞬态响应。
单位脉冲可以用狄拉克δ函数表示
H ( ) h(t )e jt dt
H ( ) h(t )e jt dt
说明频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。
1 h(t ) 2
H ( )e jt d
而脉冲响应函数是频率响应函数的傅里叶逆变换
H ( ) 1 k m 2 c
H ( ) 1 k m 2 jc
(t 0) (t 0)
1 pt e sin qt h(t ) mq 0
两者都取决于系统参数，之间有何内在联系
假定系统稳定，即受激励前是静止的，且在脉冲作用 之后，其运动又逐渐衰减，则系统对单位脉冲输入的 响应函数h(t)是绝对可积的，即满足收敛条件：
y(0 ) 0
1 y (0 ) m
x(t)=δ(t) m y(t) k c
将上述初始位移与初始速度带入方程：
y(t ) Ae
pt
sin(qt )
sin(q *0 ) Asin
y(0) Ae
p 0
y(0) ( Ae pt sin(qt ))'
如图所示的单输入和单输出的常参数系统，其响应 y(t)与激励x(t)之间的关系，可用如下一般形式的线性 微分方程来描述：
x(t) 输入（激励） 常参数线性振动系统 y(t) 输出（响应）
dny d n 1 y dy a n n a n1 n 1 a1 a0 y dt dt dt d mx d m1 x dx bm m bm1 m1 b1 b0 x dt dt dt
第六章 线性系统的动特性分析
第六章 线性系统的动特性分析
§6-1
§6-2 §6-3 §6-4
频率响应函数
单位脉冲响应函数 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
卷积定理
本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。
常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。
频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。
脉冲响应函数
y(t ) x(t ) * g (t ) g (t ) * x(t ) 表示为：
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
Tuesday, November 27, 2018
4
单位阶跃响应函数
27, 2018
1 ( t ) dt 1 ,
1
(t )
0
2
t
脉冲响应函数
以下讨论线性控制系统在单位脉冲 (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
L[ (t )] 1,Y ( s) 1 G(s),
y(t ) L1[Y (s)] L1[G(s)] g (t ) 故：
出现在 t 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： 0, t (t ) (t ) A ( t ) dt A A (t ) 且 , t 0 实际单位脉冲函数：
0, t 0 和 t (t ) 1 , , 0t (t ) (t ) 当 0时， Tuesday, November
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) 4e 1 t 4 8 2 [解]： G ( s ) L[ g (t )] L[4e ] 1 2s 1 s 2
G(s) -1 G(s) L[ g (t )dt ] , 即L [ ] g (t )dt s s
第六章 频响函数脉冲响应函数
x(t )dt I (t )dt I
“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。
0 (t ) (t 0) (t 0)
(t )dt (t )dt 1
0
0
若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲
(t )
量纲:[时间]
1
自读此页
x(t ) I (t )
当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I 具有力乘时间的量纲。
频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。
若已知系统的运动微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动 微分方程并消去 ejωt 项，可得到 H(ω) 的代数方程。求 解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H(ω)。
例5.1 图示弹簧—阻尼器系统。假设在质量为 m的小车上作用激励力 x(t)，小车的位移响应为 y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。 解：对于刚度为 k 的线性弹 簧和阻尼系数为 c 的线性阻 尼器，可得系统的运动微 分方程
§6-1
§6-2 §6-3 §6-4
频率响应函数
单位脉冲响应函数 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
卷积定理
本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。
常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。
机械测试技术与信号分析简答题及答案
一、问答题(每题8分，共40分)1．在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。
请用卷积分定理解释这样做的道理。
答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。
在其频谱上是一条直线。
系统频率特性：传递函数的一种特殊情况，是定义在复平面虚轴上的传递函数。
时域卷积分定理：两个时间函数的卷积的频谱等于各个时间函数的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。
频域卷积分定理：两个时间函数的频谱的卷积等效于时域中两个时间函数的乘积。
y(t)=h(t)*x(t),对y(t)作付式变换，转到相应的频域下Y(f)=H(f)X(f)，由于x(t)是白噪声，付式变换转到频域下为一定值，假定X(f)=1，则有Y(f)=H(f)，此时就是传递函数。
2．用1000Hz的采样频率对200Hz的正弦信号和周期三角波信号进行采样，请问两个信号采样后是否产生混叠？为什么？3．什么是能量泄露和栅栏效应？能量泄漏与栅栏效应之间有何关系？能量泄漏：将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
栅栏效应：对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为N = T/dt = T.fs则计算得到的离散频率点为Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2。
这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应。
频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。
例如，余弦信号的频谱为线谱。
脉冲响应函数ht与频率响应函数Hjω
2.3.2 一阶系统的动态响应
2.3.2.4 单位脉冲响应
输入信号x(t)=δ(t)时，系统响应y(t)为单位脉冲响应。
9
2.2.4 分辨力
分辨力是指测量系统所能检测出来的输入量的最 小变化量，通常是以最小单位输出量所对应的输入量 来表示。
一个测量系统的分辨力越高，表示它所能检测出 的输入量的最小变化量值越小。
10
2.2.5 精确度
精确度是指测量仪器的指示值和被测量真值的接 近程度。精确度受诸如非线性、迟滞、温度、漂移等 一系列因素的影响，反映测量中各类误差的综合。
若系统输入信号为单位阶跃信号，即 x(t)=u(t)，则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/s
某系统阶跃响应函数的实例
H(f)
23
2.3.2 一阶系统的动态响应
典型的一阶系统有忽略质量的弹簧-阻尼系统、RC电路、 液柱式温度计等。
酒精检测
湿度检测
24
2.3.2 一阶系统的动态响应
图2.5(a)中，弹簧k和阻尼c组成的单自由度一阶系统 的运动微分方程为
20
2.3.1 基本动态特性指标
2.3.1.3 脉冲响应函数
测量系统对单位脉冲输入的响应称为测量系统的脉冲响 应函数，也称为权函数，用h(t)表示。
脉冲响应函数是对测量系统动态响应特性的一种时域描 述。对于单输入、单输出系统，系统的输入量x(t)、输出量 y(t)及脉冲响应函数h(t)之间的关系为
28
2.3.2 一阶系统的动态响应
2.3.2.2 频率响应
由公式(2.19)和图2.6可知，一阶系统在正弦激励下， 有如下特点：
稳态输出时，响应幅值和相位差取决于输入信号的频率
ω和系统的时间常数τ；
脉冲响应函数
脉冲响应函数
脉冲响应函数是指一种数学函数，可以用来描述系统如何响应一个脉冲输入，以及该输入如何影响系统的输出。
当任意一个脉冲输入被应用到一个系统时，脉冲响应函数可以用来表示该系统的输出。
脉冲响应函数有多种形式，其中最常见的形式是双曲正弦（hyperbolic sine）函数。
此外，还有一些其他的脉冲响应函数，包括幂函数、双指数函数和正弦函数。
脉冲响应函数在工程领域中有着广泛的应用，其中最常见的应用是滤波，即使用脉冲响应函数来消除信号中的噪声或者干扰。
与滤波相关的另一个应用是控制，即使用脉冲响应函数来控制信号的频率或者其他参数。
脉冲响应函数也可以用于信号检测，即使用脉冲响应函数来计算信号的频率、相位或者其他参数。
此外，脉冲响应函数还被广泛应用于信号处理，包括消除信号中的噪声和干扰，以及改变信号的频率或其他参数。
总之，脉冲响应函数是一种数学函数，可以用来描述系统如何响应一个脉冲输入，以及该输入如何影响系统的输出。
脉冲响应函数在工程领域中有着广泛的应用，包括滤波、控制、信号检测和信号处理等。
脉冲响应函数
脉冲响应函数
脉冲响应函数是一种动态控制系统的重要工具，它对动态控制系统的响应性能有重要影响。
下面就脉冲响应函数进行详细介绍：
一、什么是脉冲响应函数
脉冲响应函数又称冲动响应函数，是指控制系统中给定脉冲输入后，控制系统的输出变化情况，以此来反映控制系统的动态性能。
二、脉冲响应函数对控制系统的重要影响
脉冲响应函数可以准确地反映控制系统的动态特性，可以清楚地表示出系统的调节能力、阻尼情况以及振荡频率等，反映了控制系统是否满足要求。
三、研究脉冲响应函数的方法
（1）模拟方法：模拟技术是研究脉冲响应函数最常用的方法，可以在发生器上给定某一脉冲信号，然后可以测量控制系统的输出信号在时间上的变化，从而形成脉冲响应函数。
（2）数学模型方法：建立控制系统模型，然后用数学方法研究脉冲传
播率，推导出脉冲响应函数。
（3）曲线拟合方法：此方法是以正弦或者多项式拟合的形式表示脉冲响应函数，通过曲线拟合可以得到脉冲响应函数的表示式。
四、研究中的关键要点
（1）建立正确的模型。
（2）优化脉冲响应函数特性。
（3）正确掌握脉冲响应函数在控制系统中的影响。
（4）选择合理的收敛算法来进行脉冲响应函数的计算。
五、总结
脉冲响应函数是控制系统中一种重要的性能指标，能够有助于我们了解一个控制系统的动态行为特点，为控制系统的改进及调试提供有用的参考。
研究脉冲响应函数的主要方法有模拟方法、数学模型方法和曲线拟合方法。
此外，研究脉冲响应函数时，还需要重点关注正确建立模型、优化脉冲响应函数特性、正确掌握脉冲响应函数在控制系统中的影响以及使用合理的收敛算法。
脉冲响应函数
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏 反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。
[例2-16]：设系统的脉冲响应函数是
1t
，g求(tG)(s)。4e 2
[解]：
1t
Friday, June 05, 2020
8
1(t)的作用下的输出响应h(t).
0,t 0 x(t) 1(t) 1,t 0 X (s) L[x(t)] L[1(t)] 1
s 1 则输出： y(s) G(s), 单位阶跃响应函数：s h(t) L1[Y (s)] L1[1 G(s)]
s
Friday, June 05, 2020
Friday, June 05, 2020
7
பைடு நூலகம்
基本要求：
会列写控制系统中常用元件的数学模型以及根据系统的组成列写系统的微分方程； 根据微分方程求传递函数的方法； 熟悉绘制结构图和信号流图的方法； 熟悉由结构图和信号流图求取传递函数的方法 －结构图和信号流图的等效变换 －在结构图和信号流图上，用列方程的方法求传递函数 －梅逊公式
5
小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃响应函数； 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系。
Friday, June 05, 2020
6
本章总结
本章讨论了控制系统数学模型问题，数学模型是实际系统 与控制理论联系的桥梁，建立系统的数学模型是对系统进 行分析的第一步。 本章介绍了时域和频域的数学模型：系统的微分方程，传 递函数，结构图，信号流图，脉冲响应函数等。请注意各 种数学模型之间的联系。 本章研究的数学模型是基于线性定常控制系统的，是研究 输入输出之间的关系，不涉及系统内部状态的变化，故称 为输入输出模型。
第六章脉冲响应函数
第6章 脉冲响应函数的辨识6.1辨识问题的提法下图所示，、将作用在系统上的一切随机干扰和噪声，用一个作用于系统输出的等效随机干扰源)t (v 来代替。
其中，输入信号)(u t 是过程的运行操作信号，是可以直接观测的确定性变量；)(y u t 是过程的实际输出，是不能被观测到的；y(t)是过程的观测输出，混有随机噪声)t (v 。
由此可以提出辨识问题：在已知输入、输出的观测量)(u t 、y(t)以及f t （f t 可以根据脉冲响应过渡历程时间的先验知识作粗略估计）的情况下，要求估计出脉冲响应函数)(g t 。
下面介绍两种辨识脉冲响应函数的常用方法：相关分析法和最小二乘法。
6.2用相关分析法辨识脉冲响应函数相关函数是基于一种统计的描述，是由输出信号)(y t 同其余变量之间的关系确定脉冲响应函数。
假定噪声)t (v 是一个零均值平稳随机过程，并与)(u t 不相关，且过程是线性时不变的、因果性的系统，过程的未知脉冲响应函数为)(g t ，则过程的输入、输出和脉冲响应函数之间的基本关系如下：⎰∞-=0)()()(y λλλd u t g t u （6.1）⎰+-=ft t v d u t g t 0)()()()(y λλλ (6.2)把变量t 用τ+t 代换，得⎰++-+=+ft t v d t u g t 0)()()()(y τλλτλτ (6.3)由于已经假设)t (v 与输入信号)(u t 不相关，因此对应的相关系数0)(uv =τR ，是可得维纳-霍夫方程。
λλλτd t R g R ft uu )()()(0uy -=⎰ (6.4)若将（6.4）离散化，得到离散型Wiener-Holf 方程：过程g(t))(u t y(t))(y u t )t (v ＋＋∑-=∆-=1)()()(N i uu uy t i k R i g k R (6.5)式中t ∆为)(g t 的采样周期，f t t N =∆；∑-+=-=100)()(1)(M i i i uu i u k i u Mk R (6.6)∑-+=-=100)()(1)(M i i i uy i y k i u Mk R (6.7)M 为足够大的整数，0i 为计算起点。
《机械工程测试技术》课后习题答案机工版
2 44, 724,500, 600 2 22,362, 250,300 11,181,125,150
所以该信号的周期为 0.25s。
1-7 求正弦信号 x(t) Asin( 2 t) 的单边、双边频谱，如果该信号延时 T 后，其频谱如何变
T
4
化？
0 ea jwt dt ea jwdt
0
11 a jω a jω
2a a2 ω2
双边指数信号的傅里叶变换是一个正实数，相频谱等于零。由于双边指数信号为实偶对
称函数，因此 X ω 为 ω 的实偶对称函数。
5
1-5 设有一组合信号，有频率分别为 724Hz， 44 Hz，500 Hz，600 Hz 的同相正弦波叠加而 成，求该信号的周期。
答：在时域范围内，实现不失真的条件是：输出信号 y t 与输入信号 x t 相比，只要是幅
值上扩大 A0 ,时间上滞后 t0 ，即 y t A0x t t0 。
2-6 从频域说明测量系统不失真测量条件是什么? 答：在频域内实现不失真测试的条件即为幅频特性是一条平行于 轴的直线，相频特性
1
在教学环节中安排与本课程相关的必要的实验及习题，学习中学生必须主动积极地参加 实验及完成相应的习题才能受到应有的实验能力的训练，才能在潜移默化中获得关于动态测 试工作的比较完整的概念，也只有这样，才能初步具有处理实际测试工作的能力。
2
思考题与习题
1-1 信号的分哪几类以及特点是什么？ 答：按信号随时间的变化规律分为确定性信号和分确定性信号，确定信号分为周期信号
则 有 输 出 y1 t ， 且 y1 t
2
2
11
1
cos 10t
许同乐 机械工程测试技术课后习题及答案
1-5设有一组合信号，有频率分别为724Hz， 44 Hz，500 Hz，600 Hz的 同相正弦波叠加而成，求该信号的周期。 答：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数，则：
而：，所以该信号的周期为0.25s。 1-6 从示波器荧光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为（0，1），振幅 为2，周期为4，求该正弦波的表达式。 解：已知幅值A=2,频率而在t=0时，,将上述参数代人一般表达式 得：，。 所以： 1-7求正弦信号的单边、双边频谱，如果该信号延时后，其频谱如何变 化？ 解：，所以可得正弦信号单边频谱图，如图a所示。双边频谱图如图b所 示。信号延时后，其实频图如图e所示，虚频图如图f所示：
3-7 差动变压器的输出电压信号如果采用交流电压表指示，能否反 映铁芯的移动方向？试描述差动变压器经常采用的差动相敏检波电路的 原理。
3-8 欲测量液体压力，拟采用电阻应变式、电感式、和压电式传感 器，请绘出可行方案的原理图，并作比较。
3-9 压电式传感器所采用的前置放大器的主要作用？前置放大器主 要包括哪两种形式，各有何特点？
试求：1）无应变时电流指示值；2）有应变时电流指示值；3）试分析 这个变量能否从表中读出？
解：由得，即，
1.5V mV
图3-105 题3-4图
3-5 电容式传感器常用的测量电路有哪几种? 答：变压器式交流电桥、直流极化电路、调频电路、运算放大电 路。
3-6 一个电容测微仪其传感器的圆形极板半径r=4mm，工作初始间 隙δ=0.3mm，求：1）工作时，如果传感器与工件的间隙变化量Δδ= ±1μm时，电容变化量是多少？2）如果测量电路的灵敏度 S1=100mV/pF，读数仪表的灵敏度S2=5格/mV，在Δδ=±1μm时，读数仪 表的指示值变化多少格？