冲激函数和冲激响应.
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
冲激响应计算公式
冲激响应计算公式冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统以及其他相关领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
本文将介绍冲激响应计算公式的基本概念和应用。
冲激响应计算公式通常用符号h(t)表示，其中t为时间。
它描述了系统对冲激信号的响应，即在系统输入信号为冲激函数时，系统的输出信号是如何变化的。
冲激响应计算公式是系统的重要特性之一，它可以帮助我们理解系统的动态响应和频率特性。
在计算冲激响应时，我们需要知道系统的输入输出关系以及系统的初始状态。
冲激响应计算公式可以通过卷积运算来实现，其数学表达式为：h(t) = ∫[g(tau) * delta(t - tau)] dtau其中，g(t)表示系统的单位冲激响应函数，delta(t)表示冲激函数。
公式中的卷积运算表示对两个函数进行积分，并将结果进行叠加。
冲激响应计算公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计数字滤波器、图像处理算法等。
在控制系统中，我们可以利用冲激响应计算公式来分析和设计控制器的动态特性，如稳定性、响应速度等。
冲激响应计算公式还可以用于系统的频率特性分析。
通过对冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数。
频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以帮助我们了解系统的频率选择特性和滤波效果。
除了计算冲激响应，我们还可以通过观察系统的冲激响应来获取系统的信息。
例如，冲激响应的幅度可以告诉我们系统的增益特性，冲激响应的延迟时间可以告诉我们系统的时延特性。
通过分析冲激响应的形状和特性，我们可以对系统的性能和特性进行评估。
冲激响应计算公式是一种用于描述系统对冲激信号的响应的数学表达式。
它在信号处理、控制系统等领域中被广泛应用，用于分析和设计系统的性能和特性。
通过计算冲激响应，我们可以了解系统的动态响应和频率特性，从而实现系统的优化和改进。
冲激函数和冲激响应
h(t )
1
e
1
ε (t )
t
(8 － 32)
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后 求脉冲宽度趋于零的极限。
1 e h ( )
f ( ) g ( )
(8 33)
当△→0时，P(t)趋向于单
位冲激，如图(g)所示，即
lim P (t ) δ (t ) (8 34 )
1 s(t ) (1 e R
R － t L
) (t )
电感电流阶跃响应对时间求导得到iL(t)的冲激响应
t t t ds(t ) 1 1 1 h(t ) (1 e L ) (t ) e L (t ) e L (t ) dt R L L R R R
R t L R
2002年春节摄于成都人民公园
响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时
间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
ds ( t ) h (t ) dt
(8 31)
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
s(t ) (1 e
其冲激响应为
t RC
) ε (t )
t
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽 度趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限
的波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数
关于冲激响应和冲激信号的思考
关于冲激响应和冲激信号的思考冲激响应和冲激信号是控制理论、信号处理等领域中常用的概念。
冲激信号是一种极短且幅度极大的信号，可以看做是一个非常局部的脉冲。
在信号处理领域中，冲激信号广泛应用于系统的测试与分析，冲激响应则是系统对冲激信号的响应。
冲激响应和冲激信号之间的关系可以用数学式子表示。
设一个系统对于任意输入信号x(t) 的响应为 y(t)，则其冲激响应 h(t) 定义为：h(t) = L^{-1}(H(s))其中，L^{-1}(H(s)) 表示对拉普拉斯变换后的 H(s) 进行反变换得到的函数。
而冲激信号则可以表示为：其中 1 表示一个常数函数，\delta(t) 则是一个特殊的信号函数，即冲激信号。
冲激响应和冲激信号之间的关系是非常密切的。
当系统输入为冲激信号时，输出信号即为系统的冲激响应。
这是因为冲激信号在时域上等价于单位函数，其拉普拉斯变换后的结果为常数，因此反变换后得到的函数即为系统对冲激信号的响应。
而当系统对任意输入信号进行处理时，可以将输入信号看做由一系列冲激信号组成的函数，系统对冲激信号的响应则是对所有冲激信号响应的叠加。
在实际应用中，冲激响应和冲激信号常用于系统的测试和分析。
例如，可以通过向系统输入冲激信号，观察系统对信号的响应来确定系统的传输特性。
此外，冲激响应还可以用于设计数字滤波器、系统辨识等方面。
在数字滤波器的设计中，可以将滤波器的传输特性看做是对输入信号进行加权叠加的结果，其中每一个加权系数可以通过系统对冲激信号的响应得到。
在系统辨识方面，可以通过与已知冲激信号进行卷积，观察系统的响应来确定系统的参数，从而建立系统的数学模型。
总之，冲激响应和冲激信号是控制理论、信号处理等领域中非常重要的概念。
在实际应用中，它们可以用于系统的测试、分析、设计和辨识等各个方面。
熟练掌握这些概念的定义和应用，对于从事相关研究或开发工作的人员来说，是非常有必要的。
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
信号与系统复习题之冲击响应
g(t) g1 (t)2g1(t) g1(t)满 足 方 程
g1 (t)3g1 (t)2g1(t)=(t)
(3)
g1(0)g1 (0)=0
7
其 特 征 根 1 1 ,2 2 ,其 特 解 为 0 .5 ， 于 是 得 g 1 (t)= (C 1 e t C 2 e 2 t 0 .5 )(t)
式 （ 3） 等 号 右 端 只 有 (t)， 故 除 了 g1 (t)外 ， g(t)和 g(t)
均 连 续 ， 即 有 g1(0)g1 (0)=0
代入上式，有 g1(0)C1C20.50 g1(0)=-C12C2=0
可 解 得 ： C 1 1 ， C 2 0 .5 于是
g1(t)=(et 0.5e2t 0.5) (t)
4
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为
h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件h(0+) = – 3， h’(0+) =12 求得C1=3，C2= – 6, 所以
h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得
∫
3
x(t) 2
- y(t)
∫
∑
+
2
解：（1）列写系统的微分方程
设 图 中 右 端 积 分 器 的 输 出 为 x(t)， 则 其 输 入 为 x(t)，
左 端 积 分 器 的 输 入 为 x(t)。 左 端 加 法 器 的 输 出
即
x(t)＝ -3x(t)2x(t)f(t)
x(t)+ 3 x(t)2x(t)＝ f(t) （ 1 ）
6-6一阶电路(冲击响应)
§6-6 一阶电路的冲激响应 一、单位冲激函数的定义：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-≤+≥=⎰∞∞-1)(0)(dt t o t o t t δδ或 ⎩⎨⎧=∞≠=o t0)(o t t δ⎰∞∞-=1)(dt t δ单位冲激函数又称δ函数或狄拉克函数。
)(t δ可以用来描述某些物理现象，如冲击力、闪电等一些作用时间短，强度大，能达到一定作用结果的情况。
用一条短路线对电容器放电，放电电流因O R →而非常大，时间很短，其情形也比较近似)(t δ函数。
)(t δ函数可以看作单位脉冲函数的一种极限情况，（数学意义单位脉冲函数∆P (t )⎰∞∞-∆=1)(dt t P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆≥∆<<∆≤=++--∆t o t o o t o t P 1)( 当0→∆时∞→∆1而+→+∆o即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥∞→∆-≤=∆→∆o t o o t o t p o 1 )(lim⎰∞∞-∆=1)(dt t P上述表达的极限就是)(t δ)(t δ是一种理想化的或者说理论上的脉冲波型 单位冲激函数的波形：如果冲激函数脉冲发生的时间不是o t=而是o t t =，而且强度不是1而是k （波形面积为k ），则可表示为)(o t t k -δ，其中)(o t t -δ称为延时（延迟）冲激函数。
对于单位冲激函数)(t δ 当o t ≠时，0)(=t δ对o t =时连续的)(t f 有 )()()()(t o f t t f δδ=∴⎰⎰∞∞-∞∞-==)()()()()(o f dt t o f dt t t f δδt)(t δ1tk )(t δ ktf(t)t 0k )(o t t -δ同理，对于在任意时刻τ=t 处连续的函数)(t f 有)()()(ττδf dt t t f =-⎰∞∞-这个式子说明了δ函数有将某函数在某时刻的值“筛”出来的本领。
这一性质称为δ函数的抽样特性或“筛”选特性。
单位冲激函数)(t δ与单位阶跃函数)(t ε的数学关系：)(o t 10)()(t o t d tεξξδ=⎩⎨⎧+≥-≤=⎰∞- 可见单位阶跃函数)(t ε可以看作单位冲击函数)(t δ的积分。
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我们为什么要研究电路的冲激响应呢？这是由于电子、 通信与信息工程中使用的电信号十分复杂，我们需要知道 电路对任意输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反 映出电路的特性，而且在知道线性时不变电路的冲激响应 后，可以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的 零状态响应，从而求出电路的全响应。
* §6－6 冲激函数和冲激响应
一、 冲激函数
图6-38
在介绍冲激函数之前，先看图6-38(a)所示电路，开关
原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有
1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。
lim
0
P
(t
)
δ(t)
(6 34)
注意到响应波形的峰值h△(△)将随△减小而增加，我们
用罗比塔法则求h△(△)在△→0时的极限
lim
0
h
()
lim 0
f '() g ' ()
lim 0
(1/
τ)e 1
τ
1 τ
(6 35)
因此，图6－42(f)的波形趋于指数波形
h(t
)
1
e
t
0
t0 t0
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC(t)的波形将 变为初始值iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的
波形称为单位冲激电流，用(t)表示。
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t)
(6 36)
如图(h)所示。利用单位阶跃函数(t)，我们可以将式
(6-36)写为下式
h(t)
1
t
e
(t)
(6 37)
从以上讨论中可以看出，冲激电压或电流的作用就是 给动态元件提供一个初始储能(例如uC(0+)=1/C或iL(0+)=1/L)，
即产生一个初始条件(例如f (0+)=1/)。此时刻以后电路响应
称为单位冲激函数
δ(t)＝奇 0 异值
ε1 δ(t)dt
ε2
1
t 0 t0
ε1 0, ε 2 0
(6 28)
当图6-38(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上 移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增
加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)。
例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式6-28，所产生的 冲激电流应该表示为
t
iL (t) iL (0)e
t 0
1e
(t
)
iS
(
)d
(6 41)
其中第一项是电感电流iL(t)的零输入响应，第二项是
电感电流iL(t)的零状态响应，时间常数是=GoL=L/Ro。
iS (t) 10 δ (t 5)A
这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10库 仑的电荷，使 1F 电容 C2 的电压压发生 10V 的跃变，由 uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。
uC (t)
q(t) C
1 5
t
iS (t)dt 2 (t 5)V
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电 容电压发生2V的跃变，由uC(5-)=0V跃变到uC(5+)=2V。
h(t)
R
Rt
e Lε
(t)
L
以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：
h(t )
1
1
e
t
ε(t )
(6－32)
图6-42
计算冲激响应的另一种方
法是先求出面积为1个单位
的矩形脉冲的响应，然后
求脉冲宽度趋于零的极限。
h
()
1
e
f () g()
(6 33)
当△→0时，P(t)趋向于单 位冲激，如图(g)所示，即
RC
RC
由于t=0时，
t
(1 e RC ) 0 而t 0时，(t)=0，因此得到，
t
(1 e RC )δ (t)＝0
最后得到图6-40所示RC串联电路电容电压的冲激响应。 与此相似，可以得到图6-41所示RL并联电路中电感电 流的冲激响应。
图6－40
h(t)
1
t
e RCε (t)
RC
图6－41
图6－39 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之存 在以下关系
δ(t) dε(t) dt
t
ε(t) δ( )d -
(6 29) (6 零状态响应，称为电路的 冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激 响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时 间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
(6 39)
根据线性电路的叠加定理可以求得电容电压uC(t)的全
响应为
t
uC (t) uC" (t)＋uC' (t) uC (0)e
t 0
1e
(t
)
uS
(
)d
(6 40)
图6－43 (a),(b) 含一个电容的一阶电路 (c),(d) 含一个电感的一阶电路
与此相似，RL并联一阶电路在任意波形电流源uS(t)作 用下，其电感电流的全响应为
例如对于图6－43(a)所示线性时不变RC一阶电路，初
始条件为零，即uC(0)=0时，在任意波形uS(t)激励下，电容
电压uC(t)的零状态响应可以通过以下积分求得
uC' (t)
t 0
1e
(t
)
uS
(
)d
(6 38)
考虑到电容电压uC(t)的零输入响应
t
uC'' (t) uC (0)e τ
当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷 移动所形成的电容电流iC(t)，如图(c)和(e)所示。
由图6-38可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、 0.5时，uC2(t)和iC(t)的波形如图所示。注意到电容C1上移 动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电 流对时间轴之间的面积）均为1个单位
h(t) ds(t) dt
(6 31)
例如图6－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为
t
s(t) (1 e RC ) ε (t)
其冲激响应为
h(t) ds(t) dt
t
d[(1 e RC ) ε (t)] dt
t
(1 e RC )δ (t)
1
t
e RCε (t)
1
t
e RCε (t)