§1.4阶跃函数和冲激函数讲解
阶跃函数和冲激函数
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
阶跃信号和冲激信号
3） 奇偶性：
(t) (t) (t) (t) (n) (t) (1)(n) (n) (t)
由第四组a=-1得来 由第五组a=-1得来
结论: 冲激函数为偶函数 冲激偶函数为奇函数
n为偶数时, (n) (t) 为偶函数, n为奇数时, (n) (t) 为奇函数
例题
例题1－3－2
1.计 算 ： (2 cos3t) ( t )dt
(n)(t t0 ) d t
(1)n
f
(n) (t0 )例题 Nhomakorabea例 (题t) f1(－t)d3－t 1f (0)
f (t) (t) d t f (0)
1.计 算 ： (2t sin 2t) (t)dt
2.练 习 ：
[2t 2 cos (t 1)] (t 2)dt
3
2 1
2 (t) sin 2t dt
第五组: (at) 1 1 (t)
aa
(n) (at )
1 a
1 an
(n) (t )
*第六组:
(at
t0 )
a(t
t0 a
)
1 (t t0 )
a
a
对冲激函数尺度变换说明(自学）
从 (t)定义看：
pt
1
α﹥1
pat
1
压缩1/ α
O
2
t
2
O
t
2a
2a
a
p(t)面积为1， 0时p(t) t强度为1
第三节 阶跃信号和冲激信号
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数,统称为奇异信号或奇异函 数。
主要内容： •单位阶跃信号 •单位冲激信号
是两种特殊的连续信号,是实际信号或物 理现象抽象出来的理想化信号模型.
一阶电路阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数一阶电路是指由一个电感L和一个电阻R组成的电路。
在电路原理中，研究一阶电路的动态特性是非常重要的。
在分析一阶电路之前，我们需要先了解阶跃函数和冲激函数这两个重要的信号。
阶跃函数（Step Function）是一个在其中一时刻突变的函数。
它可以用一个数学表达式来表示，如下所示：u(t)={0,t<0{1,t>=0其中，u(t)表示阶跃函数，t表示时间。
在t=0时刻，阶跃函数突变从0变为1，表示系统的输入突变。
冲激函数（Impulse Function）是在一段非常短的时间内具有非常大的幅度的函数。
冲激函数用数学表达式表示为：δ(t)={0,t≠0{∞,t=0其中，δ(t)表示冲激函数。
冲激函数的面积等于1，但在t=0时刻的幅度为无穷大。
在电路分析中，我们经常使用阶跃函数和冲激函数来描述电路的输入和输出。
在一阶电路中，当输入信号为阶跃函数时，称为阶跃响应；当输入信号为冲激函数时，称为冲激响应。
一阶电路的特性可以通过阶跃响应和冲激响应来描述。
阶跃响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：y(t)=A(1-e^(-t/τ))其中，y(t)表示输出信号，A表示输入信号的幅度，τ表示电路的时间常数。
时间常数τ反映了电路的响应速度，它等于电感L与电阻R的乘积：τ=L/R。
冲激响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：h(t)=(1/τ)e^(-t/τ)其中，h(t)表示冲激响应。
通过上述公式，我们可以得到一阶电路的输出响应。
阶跃响应描述了电路对阶跃函数输入的响应特性，冲激响应描述了电路对冲激函数输入的响应特性。
在实际电路中，一阶电路有许多应用。
比如，RC电路常常用于信号的滤波，RL电路常常用于电感的充电和放电。
通过研究一阶电路的阶跃响应和冲激响应，我们可以进一步了解电路的动态特性，为电路设计和分析提供基础。
总之，阶跃函数和冲激函数是电路分析中常用的信号函数。
一阶电路的阶跃响应和冲激响应通过指数函数来描述，这些响应函数反映了电路的动态特性。
阶跃响应和冲激响应之间的关系
阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。
我们来看一下阶跃响应的定义。
阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。
阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
接下来，我们来看一下冲激响应的定义。
冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。
冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。
事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。
这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。
具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。
假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。
根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。
换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。
这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。
阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。
在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。
阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。
总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
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电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
信号与系统 1.4 阶跃函数和冲激函数
n
n
(t)
1
我们称γ (t)的极限为阶跃函数
n
O
t
(t)
2. 延迟单位阶跃信号
1
0
(t t0 ) 1
0
(t t0 ) 1
O
t
(t t0 )
t t0, t t0
t0 0
1
O
t0
t
t t0, t t0
t0 0
(t t0 ) 1
|a|
(n) (at) 1 1 (n) (t)
| a | an
δ(2at)=t00).5δ|
1a(t|)
(t
t0 a
)
所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
冲激信号尺度变换的证明
从 (t)定义看： pt
pat
(t) 1
t 0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
δ (t) (1)
o
t
冲激函数的平移（书14页）
▲
■
第 9页
3. δ(t)与ε(t)的关系
ε (t) 1
积分 求导
o
t
t
(t) ( ) d
δ (t) (1)
o
t
(t) d (t)
分t = 0和t ≠0 两种情况讨论 当t ≠0 时， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0 当t = 0 时，δ(t) ≠ 0， f(t)δ(t)= f(0)δ(t)
例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
与普通函数乘积举例
sin( t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数与冲激函数的关系首先，我们来了解阶跃函数的定义。
阶跃函数又被称为单位跃跃函数或Heaviside阶跃函数，通常用符号u(t)表示。
它的定义如下：\[ u(t)=\begin{cases}0, \quad t<0 \\1, \quadt\geq0\end{cases} \]阶跃函数在t=0处从0跳跃到1，表示的是在该点之前信号为0，在该点及之后信号为1、阶跃函数是一个非常简单的信号，但它可以用来描述很多实际问题，如电路开关的打开时间、物体的运动状态等。
接下来我们来看看冲激函数的定义。
冲激函数又称为单位冲激函数或Dirac冲激函数，通常用δ(t)表示。
它的定义如下：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \]冲激函数的一个特点是在t=0时刻处取正无穷，而在其他时刻都是0，形状上类似于一个非常窄的脉冲。
冲激函数在数学上是很难准确定义的，但我们可以通过一些近似方法来描述它，如高斯分布等。
阶跃函数和冲激函数之间有着一定的关系。
首先，我们可以把阶跃函数表示为冲激函数的积分形式：\[ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau \]这个式子表示了在t之前的所有时刻上的冲激函数的叠加，从而得到阶跃函数。
这个等式在数学上可以通过积分的性质予以证明。
另外，冲激函数也可以表示为阶跃函数的导数形式：\[ \delta(t)=\frac{d}{dt}u(t) \]这个式子表示了冲激函数是阶跃函数的导数。
这个等式在微积分中可以通过导数的性质予以证明。
阶跃函数和冲激函数的关系在实际应用中有着重要的意义。
首先，冲激函数常常被用来描述理想的触发脉冲，以及用于控制系统中的激励信号。
阶跃函数则常常被用来描述系统的响应，如单位阶跃响应函数。
在信号与系统的分析中，通过对冲激信号的积分可以得到系统对任意输入信号的响应。
这一过程被称为卷积运算，是信号处理中的一种重要操作。
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)
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0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
o
δ(t)
(1) t
t ，为无界函数。 t =0 时，
推导
返回 ▲
■
第6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γn
1 2
1 o
1 n
n 2
t
def
求导
pn(t)
1 n
1 n
0 (t t0 ) 1
0 (t t0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
t t0 , t0 0 t t0
1
O
t0
(t t 0 )
t
1
t0 O
▲ ■
t
第3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
f ( 0 ) ( t )
(t ) f (t ) d t f (0)
o
证明 对于平移情况：
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
t
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
举例
返回
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s( t )
|a|
|a|
a
(2) 当a = –1时 ( n) (t ) (1) n ( n) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
(t 2) 2 ' (t ) d t
返回 ▲
■
第 13 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
1 1 at t a a
证明
举例
1 1 ( n) n (t ) |a| a
( n ) (at)
δ(2t) = 0.5δ (t) 推论: t0 1 1 (t ) (at t 0 ) (t ) (1) (at)
狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ (t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
(t ) d t (t ) d t
求导
o t
t
(1) o
▲ ■
(t ) ( ) d
d (t ) (t ) dt
t
第8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
求导，得g(t)
t
(4) -2
g(t) = f '(t)
2
o -1
t
压缩，得g(2t)
(2) -1 o -1
g(2t)
1
t
返回 ▲
■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t )
证明
(t ) f (t ) d t (1) n f
( n)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③ 例
( n)
(0)
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t ) d t t
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
1
(t )
(1)
τ↓
o
s( t )
1
t
O
t
0
( t )
2
O 1
t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
o 1 2 t f (t) 2
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t ) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
返回 ▲
■
第4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
补充
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函 数。 阶跃函数 冲激函数 冲激函数 练习题
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
d d f (t ) { [ f (t )]} [ f (t )] dt dt
o
1 n
t
(t ) lim pn (t )
n
物理意义
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。 返回
▲ ■ 第7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γn
1 2
1 o
1 n
求导
n 2 1 n
pn(t)
1 n
d n (t ) p n (t ) dt
t
n→∞
o
1 n
t
ε(t)
1
δ(t)
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
1 2
1 o
1 n
0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0
信号的物理意义：
1 n
t
(t )
1
O
▲ ■
t
第2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
O
(t )
t
(t t 0 )
冲激函数的物理解释
返回
▲
■
第9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数 冲击函数的性质总结
下一部分内容
▲ ■ 第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t ) f (t ) f (0) (t )
f (t )