§1.4 阶跃函数和冲激函数
第四节阶跃函数和冲激函数
t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
一阶电路阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数一阶电路是指由一个电感L和一个电阻R组成的电路。
在电路原理中，研究一阶电路的动态特性是非常重要的。
在分析一阶电路之前，我们需要先了解阶跃函数和冲激函数这两个重要的信号。
阶跃函数（Step Function）是一个在其中一时刻突变的函数。
它可以用一个数学表达式来表示，如下所示：u(t)={0,t<0{1,t>=0其中，u(t)表示阶跃函数，t表示时间。
在t=0时刻，阶跃函数突变从0变为1，表示系统的输入突变。
冲激函数（Impulse Function）是在一段非常短的时间内具有非常大的幅度的函数。
冲激函数用数学表达式表示为：δ(t)={0,t≠0{∞,t=0其中，δ(t)表示冲激函数。
冲激函数的面积等于1，但在t=0时刻的幅度为无穷大。
在电路分析中，我们经常使用阶跃函数和冲激函数来描述电路的输入和输出。
在一阶电路中，当输入信号为阶跃函数时，称为阶跃响应；当输入信号为冲激函数时，称为冲激响应。
一阶电路的特性可以通过阶跃响应和冲激响应来描述。
阶跃响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：y(t)=A(1-e^(-t/τ))其中，y(t)表示输出信号，A表示输入信号的幅度，τ表示电路的时间常数。
时间常数τ反映了电路的响应速度，它等于电感L与电阻R的乘积：τ=L/R。
冲激响应可以用一个指数函数来表示，具体形式为：h(t)=(1/τ)e^(-t/τ)其中，h(t)表示冲激响应。
通过上述公式，我们可以得到一阶电路的输出响应。
阶跃响应描述了电路对阶跃函数输入的响应特性，冲激响应描述了电路对冲激函数输入的响应特性。
在实际电路中，一阶电路有许多应用。
比如，RC电路常常用于信号的滤波，RL电路常常用于电感的充电和放电。
通过研究一阶电路的阶跃响应和冲激响应，我们可以进一步了解电路的动态特性，为电路设计和分析提供基础。
总之，阶跃函数和冲激函数是电路分析中常用的信号函数。
一阶电路的阶跃响应和冲激响应通过指数函数来描述，这些响应函数反映了电路的动态特性。
冲激函数和阶跃函数的转化
冲激函数和阶跃函数的转化冲激函数和阶跃函数的转化，这个话题听起来有点高深，但其实它就像生活中的一些小把戏，懂得了就能玩得溜溜的。
你看，冲激函数就像一个活泼的小孩，蹦蹦跳跳地出现在某个时刻，呼啦一下就消失了，给你一个惊喜。
想象一下，一个小朋友在你身边喊：“哇，我来了！”然后就立刻安静下来，留下的只有那一瞬间的回声。
你是不是想起了上课时老师突然提问的那一刻？心里一惊，瞬间抓住了知识的精髓。
就是这个感觉，冲激函数就是那么一瞬间的强烈表达，时间上毫无余地。
而阶跃函数嘛，它就像是你家的门，关上了就是关上，打开了就永远开着。
想象一下，有个小门，早上刚打开，阳光洒进来，整个房间都亮堂堂的，那一刻的美好简直让人陶醉。
但是你知道，一旦这扇门打开，它就不会再关上了。
它从此在阳光下，静静地接受着生活的点滴。
阶跃函数就是这样，一开始静悄悄的，突然有那么一刻，哗啦一下变得热闹起来，之后就一直保持着这个状态，不再改变。
两者之间的关系就像茶和水的融合，有趣得很。
冲激函数虽然短暂，却能在短时间内释放出巨大的能量，像是给你一记响亮的耳光，让你瞬间清醒。
而阶跃函数则是从冲激函数的影响中悄悄生根发芽，像那一场春雨过后，小草悄悄钻出地面，逐渐长成一片绿意盎然的天地。
这俩家伙，看似没什么关联，其实就像朋友一样，互相依赖，缺一不可。
你也许在想，为什么冲激函数可以转化为阶跃函数呢？这就涉及到积分的魔法了。
想象一下，你有一个超大号的魔法杯，把冲激函数倒进去，一滴一滴地流，流着流着，最终这杯子就满了。
就是这个过程，冲激函数的瞬间释放通过积分变成了阶跃函数的持久存在。
就像你聚会时，总是要喝点饮料，慢慢喝着，最后这杯子就被你喝光了，那个喝光的过程其实就是冲激函数的魔力展现。
这其中还有很多小细节，像是时间轴的变化，影响着函数的表现。
冲激函数在时间上是一个极限的点，而阶跃函数则是一个不断延续的状态。
就像你在路边摊买的煎饼果子，热乎乎的摊上来，瞬间被你抢光，而吃完之后，饱腹感又长久地陪伴着你。
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
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电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
阶跃函数与冲激函数的关系
阶跃函数与冲激函数的关系首先，我们来了解阶跃函数的定义。
阶跃函数又被称为单位跃跃函数或Heaviside阶跃函数，通常用符号u(t)表示。
它的定义如下：\[ u(t)=\begin{cases}0, \quad t<0 \\1, \quadt\geq0\end{cases} \]阶跃函数在t=0处从0跳跃到1，表示的是在该点之前信号为0，在该点及之后信号为1、阶跃函数是一个非常简单的信号，但它可以用来描述很多实际问题，如电路开关的打开时间、物体的运动状态等。
接下来我们来看看冲激函数的定义。
冲激函数又称为单位冲激函数或Dirac冲激函数，通常用δ(t)表示。
它的定义如下：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \]冲激函数的一个特点是在t=0时刻处取正无穷，而在其他时刻都是0，形状上类似于一个非常窄的脉冲。
冲激函数在数学上是很难准确定义的，但我们可以通过一些近似方法来描述它，如高斯分布等。
阶跃函数和冲激函数之间有着一定的关系。
首先，我们可以把阶跃函数表示为冲激函数的积分形式：\[ u(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau)d\tau \]这个式子表示了在t之前的所有时刻上的冲激函数的叠加，从而得到阶跃函数。
这个等式在数学上可以通过积分的性质予以证明。
另外，冲激函数也可以表示为阶跃函数的导数形式：\[ \delta(t)=\frac{d}{dt}u(t) \]这个式子表示了冲激函数是阶跃函数的导数。
这个等式在微积分中可以通过导数的性质予以证明。
阶跃函数和冲激函数的关系在实际应用中有着重要的意义。
首先，冲激函数常常被用来描述理想的触发脉冲，以及用于控制系统中的激励信号。
阶跃函数则常常被用来描述系统的响应，如单位阶跃响应函数。
在信号与系统的分析中，通过对冲激信号的积分可以得到系统对任意输入信号的响应。
这一过程被称为卷积运算，是信号处理中的一种重要操作。
冲激函数和阶跃函数
冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数是数学建模中常用的两个非常重要的函数。
它们在信号处理、电路设计、控制系统等领域起着举足轻重的作用。
在本文中，我们将详细介绍冲激函数和阶跃函数的定义、性质以及其在实际应用中的意义。
首先，让我们来看看冲激函数。
冲激函数是一个在原点处取值无限大，在其他位置取值为零的函数。
它通常用符号δ(t)来表示，其中t为自变量。
冲激函数在时间域上的表示是一个瞬时的、无宽度的脉冲，因此也被称为单位冲击函数。
冲激函数在数学建模中用于描述突发事件或瞬间的冲击信号。
在信号处理中，冲激函数经常被用来分析系统的响应、频率响应、时域响应等。
冲激函数具有一些重要的性质。
首先，冲激函数满足单位面积的条件，即积分值为1。
其次，冲激函数是偶函数，即δ(t) = δ(-t)。
再次，冲激函数具有平移不变性，即δ(t - a)表示将冲激函数在时间轴上向右平移a个单位。
最后，冲激函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理中非常重要。
接下来，我们来介绍阶跃函数。
阶跃函数是数学建模中常用的一种特殊函数，用符号u(t)来表示。
这个函数在t = 0时取值为0，在t > 0时取值为1。
阶跃函数在数学中用来描述突变现象，比如开关的启动和停止。
在电路设计和控制系统中，阶跃函数非常有用，通常用来描述信号的启动时间、响应时间等。
阶跃函数也有一些重要的性质。
首先，阶跃函数具有连续性，即在t = 0时函数值连续。
其次，阶跃函数是单调非减的，即随着时间的增加，函数值逐渐增加。
再次，阶跃函数在t = 0时的导数是冲激函数，即u'(t) = δ(t)。
最后，阶跃函数与其他函数的卷积运算可以将原函数的特性传递给卷积结果，这在信号处理和控制系统中也非常重要。
冲激函数和阶跃函数在实际应用中有着广泛的意义和指导作用。
在信号处理中，冲激函数可以用来分析复杂系统的频率响应、时域响应等，帮助工程师更好地理解系统的性质和行为。
时间变换14阶跃函数和冲激函数一
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N1 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数， 故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。 由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列 不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而 两周期序列之和一定是周期序列。
5．一维信号与多维信号
从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函 数，称为一维或多维函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。 而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点又是 二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。还有更多维 变量的函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
二、系统的概念
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的 物理装置常称为系统。 一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组 合而成具有特定功能的整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系 统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成 信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号 输入信号 进行加工和处理，将其转换为所需 要的输出信号。 激励
1-2冲击信号
3 系统框图 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 连续基本单元：积分器、加法器、数乘器、延时器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。 离散基本单元：加法器、数乘器、延迟器等。
连续系统基本单元 积分器
f (t )
f1 (t )
离散系统基本单元
∫
y (t ) =
∫
t
−ω
f ( x)dx
Aε (t )
u = Aε (t )
2. 定义
1 ε (t ) = 0
ε (t )
t >0 t<0
延时阶跃函数： 延时阶跃函数：
1 ε (t − t 0 ) = 0
(t )
t > t0 t < t0
O
t0
3. 阶跃函数是可积函数
r (t ) = tε (t ) = ε (τ )dτ
三. 冲激函数
1.工程背景 工程背景 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 力学中瞬间作用的作用力；电学中的雷击电闪等。 2.定义 2.定义 狄拉克（Dirac） 狄拉克（Dirac）定义 极限方式定义 严格数学定义：分配函数（广义函数） 严格数学定义：分配函数（广义函数）定义
δ (t )
与任意函数相乘
+ω
f (t )δ ' (t ) = f (0)δ ' (t ) − f ' (0)δ (t )
f (t )δ ' (t − t 0 ) = f (t 0 )δ ' (t − t 0 ) − f ' (t 0 )δ (t − t 0 )
抽样性
∫
−ω
f (t )δ ' (t ) dt = − f ' (0)
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def
含义： ( t ) 函数，在t=0点有一“冲激”， 在t=0点外各处，函数值为零。 注意：如果矩形面积=E， ( t ) 冲激强度为E
▲ 17:21
0
■
τ
第 6页
★面积为1 三个特点： ★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0 t0 t0
▲ 17:21
■
第 7页
2. 狄拉克(Dirac)定义
f (t) f(t)ε (t)
1 T
t
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
o (b)
t
o
f((t) 1
▲
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t ( t )
t
■
t
第 4页
17:21
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。 矩形脉冲演变为冲激函数； 狄拉克（Dirac)定义定义； 冲激函数与阶跃函数关系； 冲激函数的性质。
(2) 当a = –1时
( n ) ( t ) ( 1)n ( n ) ( t )
δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
17:21
▲
■
第 18 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4 -2 o 2
（4）微积分性质
d (t ) (t ) dt 17:21
( ) d (t )
t
▲
■
第 20 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列------非奇异函数
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1,
(k )
k0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
▲ 17:21 ■ 第 8页
3. δ(t)与ε(t)的关系
ε (t ) 1 o t
求导
积分
o
δ (t ) (1) t
( t ) t ( ) d
d (t ) (t ) dt
▲ 17:21
■
第 9页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t ) 2
f '(t) (2)
■ 第 21 页
Hale Waihona Puke 2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
•定义 ( k )
def 1,
k0
1 -1
ε (k)
… o1 2 3 k
0, k 0
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k ) (i )
i
k
(k ) (k j )
1 / 2
t
求 导
0
t
1 / 2
t
▲ 17:21
■
第 15 页
冲激偶的性质
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
① f(t)δ’(t) = f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t)
证明 [ f(t)δ(t)]’ = f(t)δ’(t) + f ’(t)δ (t)
▲ ■ 第 16 页
f ( 0)
17:21
冲激偶的性质
②
' ( t ) f ( t ) d t f ' (0)
δ’(t)的平移：
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
δ(n)(t)的定义：
③ ④
t ( t ) d t
( t
t0 ) f (t ) d t f (t0 )
▲ ■ 第 12 页
17:21
( t ) f ( t ) f (0) ( t ) 取样性证明
分t = 0和t ≠0 两种情况讨论
1. 当t ≠0 时， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0， 积分结果为0 2. 当t = 0 时， δ(t) ≠ 0，
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数；
冲激函数；
阶跃序列和单位样值序列。
■ 17:21
第 1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
u( t )
1
t
电路如图： 在t=0时刻，电路接入电源，且无限 持续下去。 单位阶跃函数
▲ 17:21
■
第 5页
1.矩形脉冲演变为冲激函数δ(t)
矩形脉冲
p ( t ) 如右图：
p ( t )
宽为τ
,高为1/ τ ,面积为1
脉冲幅度
变化： 面积1不变，脉冲宽度τ 0
1
← τ → (t )
E
τ/1 t
( t ) lim p ( t ) 单位冲激函数
0
1 1 at t a a
t0 1 (at t0 ) (t ) |a| a
证明 举例
( n)
1 1 ( n) (at ) n (t ) |a| a
推论: (1)
1 (at ) ( t ) |a|
δ(2t) = 0.5δ (t)
1 u( t ) 0 ( t 0) t 0
注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。
▲ 17:21 ■ 第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
0 t 0 (t ) 1 t 0
(t )
1
O
t
(t t 0 )
0 (t t0 ) 1
j 0
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲ 17:21 ■ 第 22 页
( t ) 0 t 0 ( t ) d t 1
( t ) d t
δ (t ) (1) o t
0 0 ( t ) d t
1
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1； t =0 时， t ，为无界函数。
0 3 sin( t
2 2
) ( t 1) d t ? 4
0
9 sin( t ) ( t ) d t ? 1
4
2 2
1 1 2 (
2t , 1 t 1 t ( 1)2 ( ) d ? ε ( t) 1 t ) d ? 其它 0,
(4)
g(t) = f '(t)
2
求导
-2 o -1 t
t
(2) -1 o -1
g(2t)
1
压 缩
t
▲ 17:21
■
第 19 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶
( t ) ( t )
f (t ) (t ) d t f (0)
( n) n ( n) ( t ) f ( t ) d t ( 1 ) f ( 0)
t
不能按常规函数对待
/ (t )
( t ) d t 0
+、-面积抵消
▲
t
■
17:21
第 17 页
3. 对(t)的尺度变换
1 at t a
⑴ 如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
( t ) f ( t ) f (0) ( t )
( t )
f (t )
f ( 0 ) ( t )
f ( t ) d t f ( 0)
o
t
⑵ 对于平移情况：
f (t ) (t t 0) f (t0 ) (t t 0)
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
1 -2 -1 0 1 2
k
f ( k ) ( k ) f (0)
( k 5) ( k ) ?
•例
17:21
k
(k ) ?
k
i ▲
(k i ) ?
f(t)δ’(t) = [ f(t)δ(t)]’ – f ’(t)δ (t)
= f(0)δ’(t) – f ’(0)δ (t) ②
( t )
' ( t ) f ( t ) d t f ' (0)
证明
f ( t ) d t f ( 0)
f ( t ) ( t ) f ( t ) ( t )dt ( t ) f ( t )dt
d 2t e ( t ) e 2t ( t ) 2 e 2t ( t ) ( t ) 2 e 2t ( t ) dt
■ 17:21
第 14 页
2.冲激偶
S(t)
1 /
规则函数求极限定义
(t )
0
t
/ (t )
求 导
S/(t)
f(t)δ(t)= f(0)δ(t) ，
0
积分为 f (0) ( t )dt f (0)0 ( t )dt f (0)